蒲丰投针-2PPT课件

• ②由假设, 三角形中有两条边与平行线相交.
• 所以, 当三角形的a边与平行线相交时, 必然导致b边或c边 与平行线相交,
• 即: P(a) =P(ab) +P(ac)
(1)
• 同理有:
•
P(b) =P(ab) +P(bc)
(2)
•
P(c) =P(ac) +P(bc)
(3)
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• 1850年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎世，用 一根长36mm的针，平行线间距为45mm，投 掷5000次，得π≈3.1596.
• 1864年，英国人福克投掷了1100次，求得 π≈3.1419.1901年，意大利人拉泽里尼投 掷了3408次，得到了准确到6位小数的π值 .
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• P3 =P(ab) +P(bc) +P(ac).
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把针替换成四边形时的蒲丰问题
• 平面上画有等距离l(l >0)的平行线, 向平面上任意投掷一个以a, b, c, d 为边长的四边形, 此四边形的两条对 角线分别为e, f, 且设a, b, c, d, e, f均小于l, 求此四边形与平行线相 交的概率.
(6)
• P(d) =2d/ (πl) =P(ad) +P(bd) +P(cd)
• 2) 对四边形的每一条边进行单独考虑, 并假设四边形与平 行线相交时, 四边形有两条边与平行线相交. 由蒲丰投针问 题可得:
• P(a) =2a/Байду номын сангаас(πl) =P(ab) +P(ac) +P(ad)
(4)
• P(b) =2b/ (πl) =P(ab) +P(bc) +P(bd)
(5)
• P(c) =2c/ (πl) =P(ac) +P(bc) +P(cd)
蒲 丰 投 针
数学1101班
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小组成员
洪丽珠 马丽
刘梦娇
葛靖文 王磊
代华斌 王晶
朱飞天
杨鹏
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蒲丰
（George-Louis Leclerc de Buffon, 1707.9.7-1788.4.16），
法国数学家、自然科学家。1707年 9月7日生于蒙巴尔；1788年4月16 日卒于巴黎。蒲丰10岁时在第戎耶 稣会学院读书，16岁主修法学，21 岁到昂热转修数学，并开始研究自 然科学，特别是植物学。1733年当 选为法国科学院院士，1739年任巴 黎皇家植物园园长，1753年进入法 兰西学院。1771年接受法王路易十 五的爵封。
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考虑三角形中有两条边与平行线相交的情况.
• ①投掷三角形时, 若只考虑三角形的a边与平行线是否相交, 则a与平行线相交的概率仍然符合蒲丰投针问题,
• 故三角形的a边与平行线相交的概率为P(a) =2a/ (πl) .
• 同理有P(b) =2b/ (πl) ; P(c) =2c/ (πl) .
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蒲丰投针问题研究史
• 蒲丰是几何概率的开创者，并以蒲丰投针 问题闻名于世，发表在其1777年的论著《 或然性算术试验》中.其中首先提出并解决 下列问题：把一个小薄圆片投入被分为若
干个小正方形的矩形域中，求使小圆片完
全落入某一小正方形内部的概率是多少，
接着讨论了投掷正方形薄片和针形物时的 概率问题.这些问题都称为蒲丰问题.
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• 解 1) 当三角形与平行线相交时, 有下列4种情形:
• ①三角形只有一个顶点在一条平行线上, 即三角形与平行 线只有1个交点(如图(a)所示);
• ②三角形有两条边分别与平行线相交, 交点有2个(如图 (b)所示);
• ③三角形的某一个顶点在一条平行线上, 其对应边也在同 一条平行线上(如图(c)所示);
• （书本P26）
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二维空间中的蒲丰投针问题
ａ把针替换成三角形时的蒲丰问题 ｂ把针替换成四边形时的蒲丰问题 ｃ把针替换成硬币时的蒲丰问题
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• 设平面上画有等距离l(l>0)的平行 线,向平面上任意投掷一个以a,b,c 为边长的三角形,且a<l,b<l,c<l时 ,求三角形与平行线相交的概率
• ④三角形的某一条边与一平行线重合, 此时认为三角形与 平行线的交点有无穷多个(如图(d)所示)
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• 由于三角形的三个顶点及三条边所占 有的区域的面积为零, 在几何概率中, 其概率也为零.
• 因此, 三角形与平行线相交的概率在 数值上等于三角形中有两条边与平行 线相交时的概率. 即
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• 其中投针问题可述为：设在平面上有一组 平行线，其距都等于D，把一根长l<D的针
随机投上去，则这根针和一条直线相交的 概率是2l/πD.由于通过他的投针试验法可 以利用很多次随机投针试验算出π的近似
值，所以特别引人瞩目，这也是最早的几 何概率问题.并且蒲丰本人对这个实验给予 证明。
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投针步骤
• 1） 取一张白纸，在上面画上许多条 间距为d的平行线。
• 2） 取一根长度为l（l<d） 的针，随 机地向画有平行直线的纸上掷n次，观 察针与直线相交的次数，记为m
• 3）计算针与直线相交的概率．
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• 求：平面上画有间隔为d（d>0)的等距平行 线，向任意平面投一枚长为l（l<d）的针， 求针与任意平行线相交的概率。
• ⑤四边形的某一条边与平行线重合(无穷多个交点) (如图
(e)). 2021/3/30
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• 因为四边形的四个顶点及四条边所占有的 区域的面积为零, 在几何概率中, 其概率 也为零. 因此, 四边形与平行线相交的概 率在数值上等于四边形中有两条边与平行 线相交的概率, 即
• P4 =P(ab) +P(ac) +P(ad) +P(bc) +P(bd) +P(cd) .
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• 解 1) 和三角形与平行线相交的讨论相似, 四边形与平行 线相交也有5种情形:
• ①四边形只有一个顶点在一条平行线上(1个交点) (如图(a)）
• ②四边形有两条边分别与平行线相交(2个交点) (如图(b)）；
• ③平行线过四边形的对角线(2个交点) (如图(c));
• ④四边形的某一顶点恰好在平行线上, 其对应的某一边也 在同一条平行线上(2个交点) (如图(d));