清华大学概率论与数理统计复习ppt

x f ( x )d x

2 x2
0
2 dx 2 3
2 令1 E ( X ) A1 X ， 3 3 ˆ 得 X 为参数的矩估计量。 2 2 似然函数为:
L( xi , )
i 1
n
2 xi

2

2n

2n
xi ， 0 xi ,( i 1, 2, L , n) i 1
n
而L( )是的单调减少函数，所以的极大似然估计 ˆ max{ X , X , L , X }. 量为
1 2 n
考题（ 3 2008级 48学时） 三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布， 其中 ( 0)未知，(X 1 , L , X n )为来自总体X的样本， 求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
n
n ln X i i 1
n
.
考题（ 8 2005级 224学时） 三、(本题8分)设X 1 , X 2 , L , X n为总体的样本， X的密度函数为： (1 ) x , 0 x 1, 1 f ( x) 0, 其他 求参数 的极大似然估计。
考题（ 9 2005级 256学时） 三、(本题8分)设X 1 , X 2 , L , X n为服从泊松分布 ( )的总体X的一个样本，求 的极大似然估计量。

2
~ (1), 求D(
2 2 0.975

3
)的置信水平
2 0.025
为0.95的置信区间； (
( 9) 2.70,
( 9) 19.023).
解：（1） 2的置信水平为0.95的置信区间为： 18 18 , 2 6.6667）； 2 ，即为（0.9462， 0.025 ( 9) 0.975 ( 9) X2 1 X2 1 2 2 （2）D 3 2 D 2 2 D[ (1)] 2 ； X2 2 由于D 3 2 是 2的单调减少函数，
2nX 即的单侧置信下限为 2 ( 2 n) 2 16 5010 （2） 3764.706 42.585
考题（ 5 2008级 24学时,作业题） 六、(本题14分)某工厂正常生产时，排出的污水 中动植物油的浓度X ~ N (10,1)，今阶段性抽取10个 水样，测得平均浓度为10.8 （mg / L), 标准差为 1.（ 2 mg / L)，问该工厂生产是否正常？
xi 1( i 1, 2, L , n) 其他
当xi 1( i 1, 2, L , n)时，L( ) 0, 取对数得 ln L( ) n ln ( 1) lnln L 得 = ln xi 令 0, 可得 d i 1 d ˆ 故 的最大似然估计量为 n ln X i i 1
解： 1，由于E ( X ) 令
1


x f ( x; )d x
x

x
1
dx
1
, X . X 1
1
ˆ X，解得参数 的矩估计量
n
2 似然函数为:L( xi , ) f ( xi , )
i 1
n , 1 ( x1 x2 L xn ) 0,
i 1 n
x x
2n 2 n , 3 f ( xi ) ( x1 x2 L xn ) 0,
xi ,( i 1, 2L , n) 其它
当xi 时, 越大，L( )越大，所以的极大似然估计 ˆ min{ X 1 , X 2 , K , X n } 量为
没有落在拒绝域中，故接受H0
考题（ 2 2009级 24学时） 七、(本题10分)假设0.50, 1.25， 0.80, 2.00是来自总体 X的简单随机样本值，已知Y ln X ~N( ,1), （1）求X的数学期望E ( X )； （2）求的置信水平为0.95的置信区间；
解（1）E ( X ) E ( e )
解：（1）检验H0： 0.5%，H1： 0.5%，
H 0的拒绝域为： t x s/ n t ( n 1)
2
经计算： t x s/ n 4.10 t ( n 1) t 0.025 ( 9) 2.26,
2
故拒绝H0
（2）检验H0： 0.04%，H1： 0.04%，
x1 x1
1
x f ( x )d x
x

x
1
dx
1
X,
ˆ 解得 的矩估计量为
X . X 1
（2）似然函数为： L( )
i 1 n
n , 1 f ( xi ) ( x1 x2 L xn ) 0,
xi 1,( i 1, 2L , n) 其它
H 0的拒绝域为 或 ( n 1) s
2
( n 1) s 2
2
2 2 ( n 1) 0 .975 ( 9) 2.7 1 2

2
2 2 ( n 1) 0 .025 ( 9) 19.02 2
经计算：
( n 1) s 2

2
7.70
考题（ 4 2008级 48学时） 七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为 2e 2( x ) , x f ( x) ，其中 0为未知参数, 0, 其他 又设x1 , L , xn是X的一组样本观察值，求参数的 极大似然估计。
解：似然函数为: L( xi , ) 2n e
2 2 置信区间为 2 , 2 ，即为（0.3000， 2.1137）。
考题（ 4 2008级 24学时） 五、(本题10分)设总体X 服从参数为的指数分布, 其中 0未知，X 1 , L , X 10为取自总体X的样本，若 已知U 2
2 X ~ i ( 2n), 求 i 1 n
二、有关区间估计及假设检验方面的题型
考题（ 1 2009级 24学时） 四、(本题12分)测定某种溶液中的水分，它的10个 测定值给出样本均值为：x 0.452%, 样本均方差为： s 0.037%, 设测定值总体服从正态分布N( , 2 ),试在 5%显著水平下，分别检验假设（1）H 0： 0.5%; （2）H 0： 0.04%。
考题10 （2004级 32学时） 三、(本题8分)设总体X的概率密度为： ( 1) x , 0 x 1, f ( x) 0, 其它 其中 1是未知参数，X 1 , X 2 , L , X n为总体X 的一个容量为n简单随机样本，求参数的极大 似然估计量。
这个题目和2005级 224学时的类似。
解：似然函数为: L( xi , ) f ( xi , ) N (1 ) n N
i 1 n
ln L( ) N ln ( n N ) ln(1 ) d ln L N n N N ˆ 令 = 0, 解得： d 1 n N ˆ 所以的极大似然估计为 n
考题（ 2 2008级 24学时） 三、(本题14分)设随机变量X的概率密度为： 2x 2 , 0 x f ( x) ，其中未知参数 0, 其他 0, X 1 , L , X n是来自X的样本，求（1）的矩估计； （2）的极大似然估计。
解： 1 ，E ( X )
考题（ 6 2007级 64学时 作业P153 四） 七、(本题8分)设X 1 , L , X n为总体X的样本， X的密度函数为： 0 x1 , f ( x , ) 1 , 1 x 2；其中未知参数 0 0, 其他 设N 为样本值x1 , L , xn中小于1的个数，求的极 大似然估计。

（1）的置信水平为1 的单侧置信下限； （2）某种元件的寿命（单位:h）服从上述指数分布， 现从中抽得容量为16的样本，得样本均值为510( h), 试求元件平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下 限。
2nX 2 解：（1） QP ( 2 n) 1 , 2nX P 2 1 , ( 2 n)
1 2 n
考题（ 5 2007级 32学时） 六、(本题10分)设随机变量X的概率密度为 2x 2 , 0 x f ( x) ，其中未知参数 0, 其他 0, X 1 , L , X n是样本，求的矩估计和最大似然估计。
（此题和2008级的第三大题一样的.)
1 y (ln 0.5 ln 1.25 ln 0.8 ln 2) 0 4
故总体均值的置信区间为 ( 0.98, 0.98)
考题（ 3 2008级 24学时） 四、(本题14分)设总体X ~ N ( , 2 ),且x1 , x2, L , x10 是样本观察值，样本方差s 2 2, （1）求 2的置信水平为0.95的置信区间； （2）已知Y X2 X2
考题（ 7 2006级 32学时） 三、(本题14分)设总体X的概率密度为： 1 , x 1, f ( x, ) x 其中未知参数 1, x 1. 0, X 1 , L , X n为来自X的简单随机样本， 求（1） 的矩估计量； （2） 的最大似然估计量。
n
当xi 1时, 对数似然函数为 ln L( ) n ln ( 1) ln xi d ln L( ) n n 令 ln xi 0 d i 1
i 1
ˆ 解得 的极大似然估计量为
n ln X i i 1
n
（3）当 2时，X的概率密度函数为： 2 2 3 , f ( x) x 0, 似然函数为： L( )