第2章 随机过程

一实现的功率谱的统计平均，即
f (t)
…
…
O
t
f T(t)
－
T 2
O
T 2
t
图 2-2 功率信号f(t)及其截短函数
P () E
Pf ()
lim T
E FT () 2
T
(t) 的平均功率S则可表示成
S 1
2
P
()d
1
2
lim E FT () 2 d
T
T
(2.2 – 15) (2.2 – 16)
a x(t) lim 1
T /2
x(t)dt
T T T / 2
R( ) x(t)x(t ) lim 1
T /2
x(t)x(t )dt
T T T / 2
(2.2 - 6)
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
R( ) R( )
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
(2.2 - 7)
即
R(t1,t1 ) R( )
设有一个二阶矩随机过程 (t) ，它的均值为常数，自
相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广 义平稳随机过程。
注意：通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可 视为平稳的随机过程。
2.2.2 各态历经性
x(t)是平稳随机过程 (t) 的任意一个实现，它的
时间均值和时间相关函数分别为
R( ) lim 1 T T
T /2
T /2 Acos(ct ) Acos(c (t ) ]dt
A2 2
c os c
比较统计平均与时间平均，得 a a, R( ) R( ) ，
因此，随机相位余弦波是各态历经的。
2.3 高斯随机过程
2.3.1 定义
若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是 正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。
R (t1, t2 ) E (t1)(t2 )
(2.1 - 12)
2.2
2.2.1 定义
所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时 间的推移而变化。
fn (x1, x2,, xn;t1,t2,,tn ) fn (x1, x2,, xn;t1 h,t2 h,,tn h)
(2.2 - 1)
则称 (t) 是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
第 2 章 随机过程
学习目标：
➢ 随机过程的基本概念;
➢ 随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）;
➢ 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的 性质、相关函数与功率谱密度的关系;
➢ 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函 数和正态分布函数，高斯白噪声;
➢ 随机过程通过线性系统，其输出过程的均值、自 相关函数和功率谱密度、带限白噪声;
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都 经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需 （实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样 本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就 可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化 为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机 过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通 信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足 各态历经条件。
率谱密度曲线下的面积。因此，P ( ) 必然是平稳随机 过程的功率谱密度函数。
简记为
R( ) P ()
关系式（2.2 - 18）称为维纳-辛钦关系。
根据上述关系式及自相关函数R(τ)的性质，不难 推演功率谱密度Pξ(ω)有如下性质：
（1） P ( ) 0
［非负性］
（2） P ( ) P ( ) ［偶函数］
f1(x1, t1) f1(x1)
f2 (x1, x2;t1, t2 ) f2 (x1, x2; )
(2.2 - 2) (2.2 - 3)
均值
E[ (t)] x1 f1(x1)dx1 a
(2.2 - 4)
自相关函数 R(t1,t2 ) E (t1) (t1 )
(2.2 - 5)
x1x2 f2 (x1, x2; )dx1dx2 R( )
(2.2 - 9) (2.2 - 10) (2.2 - 11) (2.2 - 12)
（5） R(0) R() ［2 方差， (t)的交流功率］(2.2 - 13) 当均值为0时，有 R(0) 2 。
2.2.4
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述 的。对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为
fn (x1, x2,, xn;t1,t2,,tn )
1
(2 )n/2
n
n
exp
j
j1
xj aj
2
2 j
2
j 1
nBiblioteka Baidu
j 1
1
exp
2 j
n j 1
xj aj
2
2 j
2
f (x1,t1) f (x2 ,t2 ) f (xn , tn )
(2.3 - 2)
也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不 相关的， 那么它们也是统计独立的。
fn (x1,
x2 ,,
xn ;t1, t2 ,, tn )
(2
1
)n/ 21 2 n
B 1/2
exp
1
2 B
n j 1
n k 1
B
jk
xj aj
j
xk ak
k
(2.3 - 1)
2.3.2
1. 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由 n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一 化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只 要研究它的数字特征就可以了。
2. 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值、方差 与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而 与时间起点无关，由性质1知，它的n维分布与时 间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭 义平稳的。
3. 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即 对所有j≠k有bjk=0，这时式（2.3 - 1）变为
解：(1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。
(t) 的数学期望为
a(t) E[ (t)]
2 0
A c os (ct
)
1
2
d
0
(t) 的自相关函数为
R(t1, t2 )
E[ (t1) (t2 )]
A2 2
cosc (t2
t1)
R( )
因为 (t)数学期望为常数，自相关函数只与 有关，
所以， (t) 是广义平稳。
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量 之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关 函数R(t1, t2)来表示。
协方差函数：
B(t1,t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
x1 a(t1) x2 a(t2 ) f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
因此，可定义单边谱密度 P1( )
(2.2 - 20) (2.2 - 21)
P1() 20P ()
0 0
(2.2 - 22)
[例2–1] 某随机相位余弦波 (t) Acos(ct ) ，其 中A和c 均为常数，θ是在(0, 2 )内均匀分布的随机
变量。
（1） 求 (t) 的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论 (t) 是否具有各态历经性。
4. 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高 斯过程。
f (x)
1
2
exp
(x a)2
2 2
(2.3 - 3)
由式（2.3 - 3）和图2 - 3可知f(x)具有如下特性：
1 f (x)
2
(1) f(x)对称于x=a这条直线。
(2) f (x)dx 1
(2.3 - 4)
O
a
x
图2-3 正态分布的概率密度
1. 数学期望（均值）
E[ (t1)] x1 f1(x1, t1)dx1
a(t) E[ (t)] x f1(x,t)dx
(2.1 - 6)
2. 方差
D (t) E (t) a(t)2 E 2(t) a(t)2
x
2
f1
(
x,
t
)dx
a(t
)2
(2.1 - 7)
可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它 表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
2.1 随机过程的基本概念和统计特性
2.1.1 随机过程
确定性过程： 其变化过程可以用一个或几个时间t的 确定函数来描述。
随机过程： 其变化过程不可能用一个或几个时间t 的确定函数来描述。
通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而 通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计 数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
Pf
()
lim
T
FT () 2
T
(2.2 – 14)
我们可以把f(t)看成是平稳随机过程ξ(t)中的任一实现， 因而每一实现的功率谱密度也可用式（2.2 - 14）来表 示。由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现 是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作 为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任
确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一 对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关 系，即
P ()
R( )e j d
R( ) 1
2
P
(
)e
j
d
(2.2 – 18)
于是
R(0) 1
2
P
( )d
E[
2 (t)]
(2.2 – 17)
因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功
样本空间 S1
S2
x1(t)
Sn
t
x2(t)
t (t)
xn(t) t
tk
图 2- 1样本函数的总体
随机过程 (t)具有两个基本特征： a) (t) 是时间t的函数； b) 在某一观察时刻t1，样本的取值 (t1)是一个随机变
量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间 参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机 变量和时间函数的特点。
2.2.3
设 (t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数
R( ) E[ (t) (t )]
(2.2 - 8)
具有下列主要性质：
（1） R(0) E[ 2 (t)] ［ (t) 的平均功率］ （2） R() E2[ (t)] ［ (t) 的直流功率］ （3） R( ) R( ) ［ 的偶函数］ （4） R( ) R(0) ［ R( ) 的上界］
且有
a f (x)dx f (x)dx 1
a
2
(2.3 - 5)
(3) a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随 着σ的减小而变高和变窄。当a=0，σ=1时，称f(x)为 标准正态分布的密度函数。
随机过程的定义：设 Sk (k 1, 2,) 是随机试验。每一次 试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记
作xi (t)，所有可能出现的结果的总体x1(t), x2 (t),, xn (t)
就构成一随机过程，记作 (t) 。简言之，无穷多个样本
函数的总体叫做随机过程，如图 2 - 1 所示。
➢ 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特 性，其同相分量、正交分量的统计特性；
➢ 正弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性。
第 2 章 随机过程
2.1 随机过程的基本概念和统计特性 2.2 平稳随机过程 2.3 高斯随机过程 2.4 随机过程通过线性系统 2.5 窄带随机过程 2.6 正弦波加窄带高斯噪声
(2.1 - 8)
R(t1,t2 ) E (t1) (t2 )
x1x2 f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
(2.1 - 9)
B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1)a(t2 )
(2.1 - 10)
B (t1,t2 ) E (t1) a (t1) (t2 ) a (t2 ) (2.1 - 11)
根据 R( ) P ()
以及 cosc ( c ) ( c )
则功率谱密度为
P
(
)
A2
2
(
c
)
(
c
)
平均功率为
S R(0)
P ()d
A2 2
(2) 现在来求 (t) 的时间平均。
根据式（2.2 - 6）可得
1
a lim T T
T /2
T /2 Acos(ct )dt 0
2.1.2 随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函 数或数字特征来描述。
一维分布函数： F1(x1,t1) P[ (t1) x1]
一维概率密度函数： F1(x1, t1) x1
f1(x1, t1)
二维分布函数：
(2.1 - 1) (2.1 - 2)
F1(x1, x2;t1,t2 ) P (t1) x1, (t2 ) x2 (2.1 - 3)
二维概率密度函数：
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1x2
f2 (x1, x2;t1,t2 )
(2.1 - 4)
2.1.3
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描 述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易 或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过 程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单 直观。