高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题
人教a版(数学选修2-2)测试题及参考答案
人教a 版（数学选修2-2）测试题第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。
2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：第一章导数及其应用测试卷Word版含解析
第一章导数及其应用测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题 )和第Ⅱ卷(非选择题 )两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60 分)一、选择题 (本大题共 12小题，每题 5 分，共60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．以下求导运算正确的选项是()22A ． (cos x)′＝ sin x B． (2πx )′＝ 4πx－1C． (e x)′＝ xe x 1 D ． (lg x)′＝xln 101，∴A 、B、C选分析：∵ (cos x)′＝－ sin x， (2πx2)′＝4πx， (e x)′＝ e x， (lg x)′＝xln 10项均不正确， D 选项正确，应选 D.答案： D2．已知物体的运动方程是s＝1432的4t －4t＋ 16t (t 表示时间， s 表示位移 )，则刹时速度为 0时辰是()A．0 秒、2 秒或 4秒 B．0 秒、2 秒或 16 秒C．2 秒、8 秒或 16秒 D．0 秒、4 秒或 8秒分析： s′＝ t3－ 12t2＋ 32t＝ t(t2－ 12t ＋ 32)＝ t(t－ 4)(t－ 8)，可得 t＝ 0，或 t ＝4，或 t＝8，故选 D.答案： D3．曲线 y＝ (x－ 1)e x(e 为自然对数的底数)在点 (1,0)处的切线方程为 ()A ． y＝ x＋1B ．y＝ x－ 1C． y＝ ex＋e D ．y＝ ex－ e分析：由 y＝ (x－ 1)e x，得 y′＝ xe x，∴曲线在点 (1,0) 处切线的斜率k＝ y′ |x＝1＝ e，∴ 切线方程为 y＝ e(x－ 1)，即 y＝ex－ e，应选 D.答案： D4．若两曲线 y＝ x2与 y＝ cx3 (c>0)围成的图形面积是2，则 c＝ () 31A．1 B.23C.2 D． 2y＝ x211分析：由3得两曲线交于点O(0,0)和点 A c，c2 ，∴两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0) y＝ cx ，围成的图形面积S＝(x2－ cx3)dx＝1x3－1c x4＝1 13－114＝13＝2，解得c＝1，故34··c·12c 323 c 4c选 B.答案： B3＋2ln x 的单一递减区间是 ()5．函数 f(x) ＝ x＋xA． (－ 3,1) B． (0,1)C． (－ 1,3) D． (0,3)3 2x2＋ 2x－ 3x＋ 3 x－ 1分析：函数 f(x) 的定义域为 (0，＋∞)，f ′ (x) ＝ 1－x2＋x＝x2＝x2.由 f ′ (x)<0 ，得 0<x<1 ，∴ 函数 f(x) 的单一递减区间是 (0,1)．应选 B.答案： B6．函数 f(x) 的定义域为 R，导函数 f′ (x)的图象如下图，则函数f(x)()A ．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点分析：由导函数f′ (x)的图象知，f′( x)＝ 0 有四个根，设这四个根从左到右挨次为a， b，c， d，又 x∈ (－∞， a)时， f(x)单一递加； x∈(a，b)时， f( x)单一递减； x∈ (b， c)时， f(x) 单一递加； x∈ (c，d)时， f(x)单一递减；当 c∈ (d，＋∞ )时， f(x)单一递加，∴ a，c 为函数的极大值点，b，d 为函数 f(x)的极小值点，应选 C.答案： C7．已知函数 f(x)＝ x2＋ 2x－2 的图象在点 M 处的切线与 x 轴平行，则点 M 的坐标是 ()A ． (－ 1,3) B． (－ 1，－ 3)C． (－ 2，－ 3) D ．( －2,3)分析：由 f(x)＝ x2＋ 2x－2，得 f′( x)＝ 2x＋ 2，∵ 函数 f(x)在点 M 处的切线平行于x 轴，∴ f′ (x)＝ 0，即 x＝－ 1，∴ f(－ 1)＝ 1－ 2－ 2＝－ 3，∴点 M 的坐标为 ( －1，－ 3)，应选 B.答案： B8．已知函数f(x) ＝x3＋ax2＋ x＋ 2(a>0) 的极大值点和极小值点都在区间(－ 1,1)内，则实数a 的取值范围是 ()A ． (0,2] B． (0,2)C．[ 3，2)D．( 3，2)分析：由题意可知 f′ (x)＝ 0的两个不一样解都在区间(－ 1,1)内．因为 f′ (x)＝ 3x2＋ 2ax＋ 1，＝ 2a 2－ 4×3× 1>0－1<－ 2a因此依据导函数图象可得6 <1又 a>0 ，解得3<a<2.应选 D.f′ － 1 ＝3－ 2a＋1>0f′ 1 ＝ 3＋2a＋ 1>0，答案： D9．设 f(x)， g(x)在 [a， b]上可导，且f′ (x)>g′ (x)，则当 a<x<b 时，有 ()A ． f( x)>g(x)B． f( x)<g(x)C． f( x)＋ g(a)>g(x)＋ f(a)D． f( x)＋g( b)>g(x)＋ f(b)分析：令 h(x) ＝f(x)－ g(x)，x ∈[a ，b] ，∴ f ′ (x)>g ′ (x)，∴ h ′ (x)＝ f ′ (x)－ g ′ (x)>0，∴ h(x)在区间 [a ， b]上单一递加，当 a<x 时， h(a)<h(x)，即f(a)－ g(a)<f(x)－ g(x)， ∴ f(x) ＋ g( a)>g(x)＋ f( a) ，应选 C.答案： C10．已知函数 f(x)知足 f(0) ＝0，导函数 f ′ (x)的图象如下图，则 f(x)的图象与 x 轴围成的关闭图形的面积为 ( )14A. 3B.38C ． 2D.3分析： 由 f ′ (x)的图象知， f ′ (x)＝2x ＋ 2，设 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ c ，由 f(0)＝ 0 知， c ＝ 0，22因此 f(x)＝ x ＋ 2x ，由 x ＋ 2x ＝ 0 得 x ＝ 0 或 x ＝－ 2.答案： B.11．若函数 f(x) ＝ e x (sin x ＋ a)在区间π πa 的取值范围是 ()－ ， 上单一递加，则实数 2 2A ． [ 2，＋∞ )B ． (1，＋∞ )C ． [1，＋∞ )D ．(－ 2，＋∞ )分析： f ′ (x)＝ e x ( sin x ＋ a)＋ e x ·cos x ＝ e x (sin x ＋ cos x ＋ a)，∵函数 f(x) ＝e x π π e x>0 ， (sin x ＋ a)在区间 － ， 2上单一递加，且2∴ s in x ＋ cos x ＋ a ≥ 0，即 a ≥ － (sin x ＋ cos x)＝π π π － 2sin x ＋ 4 在 － 2，2上恒建立．∵当－ π π π π 3π<x< 时，－ <x ＋ <，2 2 4 4 4 π 2π∴sin x ＋4 ∈ － 2 ， 1 ， ∴ － 2sin x ＋ 4∈ [ － 2，1)．∴a ≥1，即实数 a 的取值范围是 [1，＋ ∞ )，应选 C. 答案： C12．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，设其导数为 f ′ (x)，当 x ∈ (－∞，0]时，恒有 xf ′( x)<f(－x)，令 F(x)＝ xf(x)，则知足 F(3)> F(2x － 1)的实数 x 的取值范围为 ( )1A ．(－ 1,2)B. －1，C.1， 2 D ． (－2,1)2分析： 因为 f(x)是奇函数，因此不等式xf ′(x)<f(－ x)等价于 xf ′ (x)<－ f(x)，即 xf ′ (x)＋f(x)<0 ，即 F ′ (x)<0.当 x ∈ (－ ∞ ，0]时，函数 F(x)单一递减；因为 F(x) ＝xf(x)为偶函数，因此F(x)在 [0，＋ ∞ )上单一递加．因此 F(3)> F(2x － 1)等价于 F(3)> F(|2x － 1|)，即 3>|2x － 1|，解得－ 1<x<2. 答案： A第Ⅱ卷 (非选择题，共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上 )13．已知 f(x) ＝x 2＋ 3xf ′(2) ，则 f ′(2) ＝________.分析： 由 f(x)＝ x 2＋ 3xf ′ (2) ，得 f ′ (x)＝2x ＋ 3f ′ (2) ，令 x ＝ 2，则 f ′ (2) ＝ 4＋ 3f ′ (2)，解得 f ′ (2)＝－ 2.答案： －214．已知某矩形广场面积为40 000 m 2，则其周长起码为 ________米．分析：设广场的长为 x m ，则宽为 40 000 m ，于是其周长为 y ＝ 2 x ＋ 40 000(x>0)，因此 y ′xx40 000＝ 2 1－ x 2，令 y ′＝ 0，解得 x ＝200(x ＝－ 200 舍去 )，这时 y ＝800. 当 0< x<200 时，y ′ <0；当 x>200 时， y ′ >0，因此当 x ＝ 200 时， y 获得最小值，故其周长起码为 800 m.答案： 80015．由曲线 y 2＝ x ，直线 y ＝x － 2 所围成的关闭图形的面积为 ________．分析： 由y 2＝ xx ＝1 x ＝ 4 得或y ＝ x －2，y ＝－ 1，y ＝ 2，根 据 定 积 分 的 几 何 定 义 可 知 所 求 封 闭 图 形 的 面 积答案：9.216．若对于 x 的方程 x 3 －3x ＋ m ＝ 0 在 [0,2] 上有根，则实数 m 的取值范围是 ________． 分析： 令 f(x) ＝ x 3－ 3x ＋ m ，则 f ′ (x)＝ 3x 2 －3＝ 3(x ＋ 1)(x － 1)．明显，当x< － 1 或 x>1时， f ′ (x)>0 ，f(x) 单一递加；当－ 1<x<1 时， f ′ (x)<0 ，f(x) 单一递减．因此当 x ＝－ 1 时， f(x)取极大值 f( － 1) ＝m ＋ 2；当 x ＝ 1 时， f(x) 取极小值 f(1) ＝ m － 2.而 f(0) ＝ m ， f(2) ＝ m ＋ 2， f(0)<f(2)因为 f(x) ＝ 0 在 [0,2] 上有解，f 1 ≤0 m － 2≤0 因此因此f 2 ≥ 0，2＋m ≥ 0，因此－ 2≤ m ≤ 2. 答案： [ － 2,2]三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤 )17． (10 分 )已知函数 f(x) ＝x 3－ 4x 2＋5x － 4. (1)求曲线 f(x) 在点 (2，f(2)) 处的切线方程；(2)求经过点 A(2 ，－ 2)的曲线 f(x) 的切线方程． 分析： (1) ∵ f ′ (x)＝ 3x 2－ 8x ＋ 5， ∴ f ′ (2)＝ 3× 22－ 8× 2＋ 5＝ 1，又 f(2) ＝－ 2，∴曲线在点 (2，f(2)) 处的切线方程为y － (－ 2)＝ x － 2，即 x － y － 4＝0.(2)设曲线与经过点A(2 ，－ 2)的切线相切于点3 －4x 2 ＋ 5x － 4)P(x ， x0 0 02－ 8x 0 ＋5.∵f ′ (x 0)＝ 3x 0∴切线方程为3220＋ 5)(x － x 0)y － (x 0－ 4x 0＋ 5x 0 － 4)＝ (3x 0－ 8x 又切线过点 A(2 ，－ 2) ，3 24)＝(3x 2∴－ 2－ (x 0－ 4x 0＋ 5x 0－ 0－ 8x 0＋ 5)(2－ x 0)，2 0－1) ＝0， 整理，得 (x － 2) (x解得 x 0＝ 2 或 1.∴经过点 A(2 ，－ 2)的曲线 f(x) 的切线方程为x －y － 4＝ 0 或 y ＋ 2＝0.1－ x， x ≥0，此中 a>0.18． (12 分 )已知函数 f(x) ＝ln (ax ＋ 1)＋ 1＋ x(1) 若 f(x) 在 x ＝ 1 处获得极值，求 a 的值； (2) 求 f(x) 的单一区间；(3) 若 f(x) 的最小值为 1，求 a 的取值范围．分析： (1)f ′(x) ＝a 2ax 2＋ a －2ax ＋ 1－ 1＋ x 2＝ax ＋ 11＋ x 2，因为 f(x) 在 x ＝ 1 处获得极值，因此 f ′ (1) ＝ 0，a ＋a － 2即 ＝ 0，解得 a ＝1. 4 a ＋ 1ax 2＋ a － 2(2)由 (1)知 f ′ (x)＝ ax ＋ 1 1＋ x 2，因为 x ≥ 0，a>0，因此 ax ＋ 1>0.①当 a ≥ 2 时，在区间 [0，＋ ∞ )上， f ′ (x)>0 ，因此 f(x) 的单一增区间为 [0，＋ ∞ )．②当 0<a<2 时，由 f ′ (x)>0 解得 x>2－ aa ，由 f ′ (x)<0 解得 x<2－ aa ，因此 f(x) 的单一减区间为0，2－ a ，单一增区间为2－ aa a，＋∞.综上可知，当 a ≥2 时， f(x) 的单一增区间为 [0，＋ ∞ )；当 0<a<2 时， f(x) 的单一减区间为2－a，单一增区间为2－ a0，a ，＋∞ .a(3)当 a ≥2 时，由 (2)① 知， f(x) 的最小值为 f(0) ＝ 1，当 0<a<2 时，由 (2)② 知，f(x) 在 x ＝2－ a2－ a<f(0) ＝1，a 处获得最小值， 最小值为 fa综上可知，若 f(x) 的最小值为 1，则 a 的取值范围是 [2，＋ ∞ )．19．(12 分 )苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动， 某厂商拟投入适合的广告费， 对所售产品进行促销， 经检查测算， 该促销产品在狂欢购物节的销售量p(万件 ) 与广告花费 x(万元 ) 知足 p ＝3－2x ＋ 1(此中 0≤ x ≤ a ，a 为正常数 ) ．已知生产该批产品p 万件还需投入成本 (10＋2p)20万元 (不含广告花费 )，产品的销售价钱为 4＋ p 元 /件，假设厂商生产的产品恰巧可以售完．(1)将该产品的收益 y(万元 )表示为广告花费 x(万元 )的函数； (2)问广告投入多少万元时，厂商的收益最大？分析： (1) 由题意知， y ＝ 4＋20p p － x － (10＋ 2p)，将 p ＝ 3－ 2代入化简得x ＋1y ＝ 16－ 4－ x(0≤ x ≤ a ， a 为正常数 )．x ＋1－ 4－ x ＋1 2＋4 x ＋ 3 x － 1(0≤ x ≤a ， a 为正常数 )．(2)由 (1)知 y ′＝－ 1－2＝2＝－2x ＋ 1x ＋ 1x ＋1①当 a>1 时，在区间 (0,1) 上， y ′ >0，函数在 (0,1) 上单一递加；在区间 (1， a)上， y ′ <0 ，函数在 (1， a)上单一递减．则广告花费投入 1 万元时，厂商的收益最大．②当 a ≤ 1 时，函数在 [0，a]上单一递加，因此 x ＝ a 时，函数有最大值，即广告花费投入 a 万元时，厂商的收益最大．综上所述，当 a>1 时，广告花费投入1 万元，厂商的收益最大；当a ≤ 1 时，广告花费投入 a 万元，厂商的收益最大．20． (12 分 )已知 F(x) ＝ x － 1t(t － 4)dt ， x ∈ (－ 1，＋∞ )． (1) 求 F(x) 的单一区间；(2) 求函数 F(x) 在 [1,5] 上的最值．分析：F(x) ＝1 1 17＝ 3x 3－ 2x 2－ － 3－2 ＝ 3x 3 － 2x 2 ＋3(x> － 1)．(1)F ′(x) ＝ 13x 3－ 2x 2＋ 73 ′ ＝ x 2－4x ，由 F ′ (x)>0 ，即 x 2－ 4x>0，得－ 1<x<0 或 x>4 ；由 F ′ (x)<0 ，即 x 2－4x<0 ，得 0<x<4 ，因此 F(x) 的单一递加区间为 (－ 1,0)和 (4，＋ ∞ )，单一递减区间为 (0,4)．(2)由 (1)知 F(x) 在 [1,4] 上递减，在 [4,5] 上递加．因为 F(1)＝13－ 2＋73＝ 23， F(4)＝ 13×43－ 2× 42＋ 73＝－ 253， F(5)＝ 13×53－ 2× 52＋ 73＝－ 6，2 25因此 F(x) 在 [1,5] 上的最大值为 3，最小值为－3.21． (12 分 )已知函数 f(x) ＝x 3＋ ax 2＋bx ＋ a 2(a ， b ∈ R) (1)若函数 f(x)在 x ＝ 1 处有极值为 10，求 b 的值；(2)对随意 a ∈ [－ 1，＋∞ )， f( x)在区间 (0,2)单一递加，求 b 的最小值； (3)若 a ＝ 1，且过点 (－2,0)能作 f(x)的三条切线，求 b 的取值范围．分析： (1)f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋ b ，依题意：f ′ (1)＝ 3＋ 2a ＋ b ＝ 0①， f(1)＝ 1＋a ＋ b ＋ a 2 ＝10②a ＝ 4 a ＝－ 3 由①② 解得：或；b ＝－ 11b ＝ 3a ＝－ 3经查验当时无极值点，b ＝ 3a ＝ 4当时函数 f(x)在 x ＝ 1 处有极小值，b ＝－ 11 故 b ＝－ 11.(2) f ′ (x)＝3x 2 ＋2ax ＋ b ≥0 对 ? a ∈[ －1，＋ ∞ )，当 x ∈ (0,2)恒建立记 h(a)＝ 3x 2＋2ax ＋ b ＝ (2x)a ＋3x 2 ＋b ，∴h(a)min ＝ h(－ 1)＝ 3x 2－2x ＋ b ≥ 0又设 H(x)＝ 3x 2－ 2x ＋b ，11当 x ∈ (0,2)时 H (x)min ＝ H 3 ＝－ 3＋b ≥ 0，b ≥1， ∴ b 的最小值为 1.33(3)当 a ＝ 1 时， f(x)＝x 3＋ x 2＋bx ＋ 1，2f x设切点为 P(x 0， y 0)，则切线斜率为 f ′ (x 0)＝ 3x 0＋ 2x 0＋ b ＝，x ＋232∴2x 0＋ 7x 0＋ 4x 0＋ 2b － 1＝ 0，设 F(x 0 3 2 00 0)＝ 2x ＋ 7x ＋ 4x ＋ 2b － 1，过点 ( －2,0)能作 f(x) 三条切线等价于 F(x 0)有三个零点2F ′ (x 0)＝ 6x 0＋14x 0＋ 4＝ 2(3x 0＋ 1)(x 0＋ 2)x 0(－∞，－ 2)－2，－ 113－3，＋ ∞F ′ (x )正负正F(x )增减增F －2>02b ＋ 3>0令1，即44，F － 3 <02b － 27<0322∴ b ∈ － 2， 27 .122． (12 分 )已知函数f(x)＝2x2＋ (1－ a)x－aln x.(1)议论 f(x)的单一性；(2)设 a>0，证明：当0<x<a 时， f(a＋ x)< f(a－ x)；(3)设 x1， x2是 f(x)的两个零点，x1＋ x2证明： f′>0.分析： (1)f(x)的定义域为 (0，＋∞ )，由已知，得af′ (x)＝ x＋ 1－ a－ x＝x2＋1－a x－ a＝xx＋ 1 x－a x.若 a≤ 0，则 f ′ (x)>0，此时 f(x) 在 (0，＋∞ )上单一递加．若 a>0，则令 f′( x)＝ 0，得 x＝ a.当 0< x<a 时， f′ (x)<0 ；当 x>a 时， f′ (x)>0.此时 f(x)在 (0， a)上单一递减，在 (a，＋∞ )上单一递加．综上，当 a≤ 0 时， f(x)在 (0，＋∞ )上单一递加；当 a>0 时， f(x)在 (0， a)上单一递减，在(a，＋∞ )上单一递加．11(2) 令 g(x) ＝ f(a ＋ x) － f(a － x) ，则 g( x) ＝2 (a ＋ x)2＋ (1－ a)( a ＋ x) － aln(a ＋ x) －a－ x 2＋ 1－ a a－ x － aln a－ x ＝ 2x－ aln( a＋ x)＋ aln(a－ x)．2因此 g′ (x)＝ 2－a－a＝2x2. a＋ x a－ x x2－a2当 0< x<a 时， g′ (x)<0，因此 g(x)在 (0，a)上是减函数．而 g(0) ＝ 0，因此 g(x)<g(0)＝ 0.故当 0<x<a 时， f(a＋ x)< f(a－ x)．(3)由 (1)可知，当a≤ 0 时，函数f(x)至多有一个零点，故 a>0，进而 f(x)的最小值为 f(a)，且 f( a)<0.不如设 0<x1<x2，则 0<x1<a<x2，因此 0<a－ x1<a.由(2) 得 f(2a－ x1)<f(x1)＝ 0＝ f(x2) ，x ＋x12>a.进而 x >2 a－ x ，于是212x1＋ x2由(1) 知， f′>0.2。
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题
《数学选修2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1.若函数 在区间 内可导,且 则 的值为( ) A.0()f x ' B.02()f x ' C.02()f x '- D.02.一个物体的运动方程为 其中 的单位是米, 的单位是秒,那么物体在 秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒 3.曲线 在点 处的切线倾斜角为( )A.34π B.2π C.4π D.6π 4.曲线 在 处的切线平行于直线 ,则 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)-- 5.若 ,则 等于( )A.cos αB.sin αC.sin cos αα+D.2sin α 6.若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为( )A.430x y --=B.450x y +-=C.430x y -+=D.430x y ++= 7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是( ) A.2n B.22n - C.12n + D.122n +-8、已知32()967,f x ax x x =++-若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.103 D.1339、二次函数()y f x =的图象过原点,且它的导函数()y f x '=的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数()y f x =的图象的顶点所在象限是( )A.第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+的值等于( )A.1B.52C.3D.0 11.下列式子不正确的是( )A.()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+- B.23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.............D.12.设 ,函数 的导函数是 ,且 是奇函数.若曲线 的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为 ( )A.ln 2B.ln 2-C.ln 22D.ln 22-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13.已知函数 的图象上的一点 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. 14.曲线 在点(1,一3)处的切线方程是___________15、在平面直角坐标系 中,点P 在曲线 上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标... .16.已知函数 是定义在R 上的奇函数, , ,则不等式 的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆41:22=+y x C 相切,求a 的值.18、(12分)设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数. (1)求ϕ的值;(2)求()'()f x f x +的最值.19、(12分)已知a ∈R ,函数2()()f x x x a =-,若(1)1f '=.(1)求a 的值并求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程()y g x =;(2)设()()()h x f x g x '=+,求()h x 在[0,1]上的最大值与最小值.20、(12分)设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最小值.21.(12分)设函数()bf x ax x=-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. (1)求()f x 的解析式;(2)证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22.(14分)已知关于x 的方程sin ((0,1))xk k x=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .(1)求证:44tan x x =;(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.参考答案1.B 000000()()()()limlim 2[]2h h f x h f x h f x h f x h h h →→+--+--=0000()()2lim 2()2h f x h f x h f x h→+--'==.2.C ()21,(3)2315s t t s ''=-=⨯-=.3.A 21334,|1,tan 1,4x y x k y αα=''=-==-=-=π. 4.D 设切点为0(,)P a b ,22()31,()314,1f x x k f a a a ''=+==+==±,把1a =-, 代入到3()2f x x x 得4b =-;把1a =,代入到3()2f x x x 得0b =,所以0(1,0)P 和(1,4)--.5.B ()sin ,()sin f x x f αα''==.6.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=.7.D ()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为,令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+,所以21n n a n =+,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--8.B2()3186f x ax x '=++,由(1)4,f '-=得31864a -+=,即163a =. 9.C 设2(),()2f x ax bx f x ax b '=+=+,()f x '的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故20,0a b >>,又22()24b b f x a x a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,即项点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限. 10.C 由已知切点在切线上,所以f (1)=25221=+,切点处的导数为切线斜率,所以1(1)2f '＝,所以(1)(1)f f '+＝311.D 2sin cos sin x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭12.A '()x xf x e ae-=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x xf x e e-=-,设切点为00(,)x y ,则0003'()2xx f x e e -=-=,得02x e =或012xe =-(舍去),∴0ln 2x =. 13.3x -∆22(1)(1)y x x -+∆=--+∆+-+∆∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 14.520x y +-= 易判断点(1,-3)在曲线32242y x x x =--+上,故切线的斜率()211|344|5x x k y x x =='==--=-,∴切线方程为()351y x +=--,即520x y +-=15.(-2,15) 231022y x x '=-=⇒=±,又点P 在第二象限内,∴2x =-,得点P 的坐标为(-2,15)16.),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时, ()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞.17.解:依题意有:)2(222)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l ∴的方程为02)1(2=-+--a y x a l 与圆相切,811211)1(4|2|2=⇒=+--∴a a a ∴a 的值为118.18.解:(1)()'()f x f x +))ϕϕ=+-+5)6πϕ=++, 又0ϕ<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=ϕ6π.(2)由(1)得()'()f x f x +)=+π=-. ∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-.19、解:(1)2()32f x x ax '=-,由(1)1f '=得321a -=,所以1a =; 当1a =时,32()f x x x =-,(1)0f =,又(1)1f '=,所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为01(1)y x -=⨯-,即()1g x x =-;(2)由(1)得22113()313()612h x x x x =--=--, 又(0)1h =-,(1)1h =,113()612h =-, ∴()h x 在[0,1]上有最大值1,有最小值1312. 20.解:(1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c --+=---, ∴0c =,又∵2'()3f x ax b =+的最小值为12,∴12b =;又直线1870x y +-=的斜率为118- ,因此,'(1)318f a b =+=, ∴2a =, ∴2a =,12b =,0c =为所求.(2)由(1)得3()212f x x x =+,∴当0x >时,2()()f x g x x=62()2x x =+≥⋅=,∴()g x的最小值为.21.解:(1)方程74120x y --=可化为734y x =-. 当 时, .又 , 于是 解得.,故 .(2)设00(,)P x y 为曲线上任一点,由231y x'=+知曲线在点00()P x y ，处的切线方程为 002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭,即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令0x =得06y x =-,从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 令y x =得02y x x ==,从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，. 所以点00(,)P x y 处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形面积为016262x x-=. 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x =,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =在5(2,)2ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线. 由 ,∴ ,又∵ ,于是 .(2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴3413x x =. 由33sin x kx =,得4411sin 33x kx =,即441sin 3sin 3x x =. 由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336x ππ∈,∴41sin(,322x ∈,有433sin (,322x ∈,即43sin (,)22x ∈,与4sin 1x <矛盾! 故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列。
数学选修2-2第一章导数及其应用
数学选修2-2第一章导数及其应用1．一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[11]t +∆，内相应的平均速度为（ ） Ａ．3()6t ∆+ Ｂ．3()6t -∆+ Ｃ．3()6t ∆- Ｄ．3()6t -∆-2．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数的极大值就是最大值 Ｂ．函数的极小值就是函数的最小值 Ｃ．函数的最值一定是极值 Ｄ．闭区间上的连续函数一定存在最值3．抛物线214y x =在点(21)Q ，处的切线方程（ ） Ａ．10x y -++= Ｂ．30x y +-= Ｃ．10x y -+= Ｄ．10x y +-=4．设21()(1)f x x =-，则(0)f '等于（ ） Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．25．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D ）非充分非必要条件6．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)7．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168．已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，， ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰（ ）Ａ．56 Ｂ．76 Ｃ．43 Ｄ．53 9．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）10．设313y x ax c =-+在()-+，∞∞上单调递增，则（ ） Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数 Ｃ．0a <且c 是任意实数 Ｄ．0a <且0c ≠11．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（ ） Ａ．312cmＢ．372cmＣ．3144cmＤ．3160cm12．如图，由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为（ ） Ａ．512Ｂ．3712Ｃ．94 Ｄ．8313．若对于任意x ，有3()4(1)1f x x f '==-，，则此函数解析式为 ． 14.函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为__________________； 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值 ，极小值 ；16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 ；17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ； 19．计算下列定积分。
人教A版选修2-2第一章导数及其应用基础测试题
人教A版选修2-2第一章导数及其应用基础测试题一、单选题1．函数1y xx=+的导数是（）A．11x-B．211x-C．211x+D．11x+2．设()()22lim2xf x f xx∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x=在点()()22f,处的切线的倾斜角是（）A．4πB．3πC．34πD．23π3．若曲线2y ax=在x a=处的切线与直线210x y--=平行，则a=（）A．1-B．1 C．1-或1 D．12-或1 4．如图是函数()y f x=的导函数()y f x='的图象，则函数()y f x=的极小值点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．函数()2xf x x e=+在[]01，上的定积分为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e-16．曲线siny x=，[0,2]xπ与x轴所围成的面积是（）A．0 B．2 C．4 D．π7．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为()3113s t t=+，设其在时间段[]1,2内的平均速度为1m/sv，在2t=时的瞬时速度为2m/sv，12vv=（）A ．13B ．712C ．56D ．238．曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ） A ．6-B ．6C ．12D ．12-9．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e10．函数cos ()xx a f x e -=在2x π=处取得极值，则（ ）A ．1a =，且2π为极大值点 B ．1a =，且2π为极小值点 C ．1a =-，且2π为极大值点D ．1a =-，且2π为极小值点11．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数2(ln 1)y x x =+在1x =处的切线方程为（ ） A ．42y x =+ B ．24y x =-C ．42y x =-D ．24y x =+二、填空题 13．n =___________14．曲线ln y x x =在点()10，处的切线的方程为__________. 15．已知函数()f x =+，则()f x 在2x =处的导数()2f '=________.16．()121xdx -+=⎰__________.三、解答题17．已知函数3()395f x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.18．（1）求导：33cos 243ln xy x x x =+-+（2）求函数ln y x x =在1x =处的导数.19．已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是()f x 的一个极值点． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若当[1,?3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求实数a 的取值范围．20．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．21．函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，曲线y ＝f （x ）上点P （1，f （1））处的切线方程为y ＝3x +1（1）若y ＝f （x ）在x ＝﹣2时有极值，求函数y ＝f （x ）在[﹣3，1]上的最大值； （2）若函数y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b 的取值范围．22．函数()ln 1f x x x ax =-+在点(1,(1))A f 处的切线斜率为2-． （1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．参考答案1．B 【分析】根据导数的计算公式计算即可. 【详解】 解：1y x x=+， 211y x'∴=-. 故选：B . 2．C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-， 故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C 3．A 【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解． 【详解】解：2y ax '=，于是切线的斜率2|2x a k y a =='=，切线与直线210x y --=平行222a ∴=，1a ∴=±，1a =时，2yx ，切点是(1,1)，切线的斜率2k =，故切线方程是：12(1)y x -=-，即210x y --=和直线210x y --=重合， 故1a =-， 故选：A ． 4．B 【分析】通过读图由()y f x ='取值符号得出函数()y f x =的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案． 【详解】由图象，设()f x '与x 轴的两个交点横坐标分别为a 、b 其中a b <，知在(,)a -∞，(,)b +∞上()0f x '>，所以此时函数()f x 在(,)a -∞，(,)b +∞上单调递增， 在(,)a b 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)a b 上单调递减， 所以x a =时，函数取得极大值，x b=时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1． 故选: B 【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题． 5．C 【分析】根据微积分基本定理进行计算可得结果. 【详解】1(2)x x e dx +⎰212200()(1)(0)11x x e e e e e =+=+-+=+-=,故选：C 6．C 【分析】根据积分的几何意义化为求20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰可得结果.【详解】曲线sin y x =，[0,2]x π与x 轴所围成的面积20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰20cos cos x xπππ=-+(cos cos0)cos 2cos πππ=--+-(11)1(1)=---+-- 4=.故选：C 【点睛】结论点睛：由上下两条连续曲线2()y f x 与1()y f x =及两条直线x a =与x b =()b a >所围成的平面图形的面积为[]21()()baS fx f x dx =-⎰.7．B 【分析】求出平均速度和瞬时速度，即得解. 【详解】由题意，该质点在时间段[]1,2内的平均速度331112111733m/s 213s v t ⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯+ ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭===∆-，因为()2s t t '=，所以()24s '=，即该质点在2t =时的瞬时速度为24m/s v =，所以12712v v =， 故选：B ．【点睛】本题主要考查平均速度和瞬时速度的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．A 【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a 的值. 【详解】由421y x ax =++，得342y x ax '=+，则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题. 9．D 【分析】 利用()'fx 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】 依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题. 10．B 【分析】先求导，再根据题意得()02f π'=，由此求得1a =，再根据导数研究函数的极值．【详解】 解：∵cos ()xx af x e -=， ∴sin cos ()xx x a f x e --+'=4xx ae π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，又()f x 在2x π=处取得极值，∴21()02a f e ππ-+'==，得1a =，∴14()xx f x e π⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=， 由()0f x '<得，104x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即sin 42x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， ∴322,444k x k k Z πππππ+<+<+∈，即22,2k x k k Z πππ<<+∈， 同理，由()0f x '>得，22,2k x k k Z ππππ+<<+∈，∴()'f x 在2x π=处附近的左侧为负，右侧为正，∴函数()f x 在2x π=处取得极小值，故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题． 11．C 【分析】根据函数()y xf x '=的图象，依次判断()f x 在区间(,1)-∞-，(1,0)-，(0,1)，(1,)+∞上的单调性即可． 【详解】由函数()y xf x '=的图象可知：当1x <-时，()0xf x '<，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当10x -<<时，()0xf x '>，()0f x '<，此时()f x 单调递减； 当01x <<时，()0xf x '<，()0f x '<，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()0xf x '>，()0f x '>，此时()f x 单调递增． 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．C 【分析】先求出导函数，代入1x =可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程. 【详解】解：由已知12(ln 1)22ln 4y x x x x'=++⋅=+， 则1|4x y ='=， 又1x =时，2y =， 则切线方程为42y x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，是基础题. 13．12【分析】根据极限的运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】n n n →∞==()11111442n ==+=. 故答案为：12. 14．1y x =- 【分析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程． 【详解】ln 1yx ，∴切线斜率为1|ln111x k y ='==+=，切线方程为1y x =-． 故答案为：1y x =-． 15．2 【分析】求导后代入2x =即可得到结果. 【详解】()21f x x ==-，()()221f x x '∴=-，()22f '∴=.故答案为：2. 16．23【分析】直接利用微积分的基本定理求解. 【详解】()11230012133|xdx x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭⎰，故答案为：2317．（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49- 【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间； （2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值. 【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R 令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题. 18．（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+；（2）1； 【分析】（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案； （2）求导后可得ln 1y x ，再将1x =代入即可得答案；【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+； （2）ln 1(1)1y x y ''=+⇒=；【点睛】本题考查导数的四则运算，属于基础题.19．(1) ()y f x =的单调递增区间为(,?1)-∞，(2,?+)∞ (2) 01a << 【解析】试题分析：（I ）先求导函数，然后根据x=2是f （x ）的一个极值点建立等式关系，求出b ，然后解不等式f′（x ）＞0即可求出函数的单调增区间；（II ）先利用导数求出函数f （x ）在区间[1，3]上的最小值，若当x ∈[1，3]时，要使f(x)-a 2＞23恒成立，只需f(x) min ＞a 2+23，即可求出a 的范围． 解：（Ⅰ）2()22f x x bx '=-+. ∵2x =是的一个极值点，∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32b =. 令()0f x '>，则，解得1x <或2x >.∴函数()y f x =的单调递增区间为(,?1)-∞，(2,?+)∞.（Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时()0f x '<，(2,3)x ∈时()0f x '>， ∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.∴(2)f 是在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1,?3]x ∈时，要使22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+， 即22233a a +>+，解得 01a <<. 考点：本题主要考查了函数的极值，单调性和在闭区间上的最值，同时考查了恒成立问题，属于中档题点评：解决该试题的关键是利用极值点处导数为零，那么得到参数b 的值，然后求解二次不等式同时能将不等式的恒成立问题，转换为求解函数的最小值大于参数问题．即f(x) min ＞a 2+23体现了转换与化归思想的和运用． 20．解：（1）1,22a b =-=-，递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）1,2c c <->或 【分析】（1）求出f '（x ），由题意得f '（23-）＝0且f '（1）＝0联立解得a 与b 的值，然后把a 、b 的值代入求得f （x ）及f '（x ），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x ∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f （2），代入求出最大值，然后令f （2）＜c 2列出不等式，求出c 的范围即可． 【详解】（1）()32f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表： x （﹣∞,23-） 23-（23-，1） 1 （1，+∞） f '（x ）+﹣+所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）． （2）因为()[]3212122f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性， 得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23-，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x 23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值．要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ． 解得c ＜﹣1或c ＞2． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．21．(1) f （x ）在[﹣3，1]上最大值为13 (2) [0，+∞）． 【分析】（1）由f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c 求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f （x ）在x ＝﹣2时有极值即可列出关于a ，b ，c 的方程，求得a ，b ，c 的值，从而得到f （x ）的表达式，求函数的导数f ′（x ），通过f ′（x ）＞0，及f ′（x ）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f ′（x ）的最小值，令最小值大于等于0，求出b 的范围． 方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b ，构造新函数m （x ），利用基本不等式求出m （x ）的最大值，令b 大于等于m （x ）的最大值即可． 【详解】解：（1）由f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，求导数得f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，过y ＝f （x ）上点P （1，f （1））的切线方程为：y ﹣f （1）＝f ′（1）（x ﹣1） 即y ﹣（a +b +c +1）＝（3+2a +b ）（x ﹣1）故32321a b a b c ++=⎧⎨++-=⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，∵有y ＝f （x ）在x ＝﹣2时有极值，故f ′（﹣2）＝0，∴﹣4a +b ＝﹣12，则203412a b a b c a b +=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得a ＝2，b ＝﹣4，c ＝5，f （x ）＝x 3+2x 2﹣4x +5．f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ＝3x 2+4x ﹣4＝（3x ﹣2）（x +2）f （x ）极大＝f （﹣2）＝（﹣2）3+2（﹣2）2﹣4（﹣2）+5＝13,f （1）＝13+2×1﹣4×1+5＝4 ∴f （x ）在[﹣3，1]上最大值为13．（2）方法一：y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，又f '（x ）＝3x 2+2ax +b ，由（1）知2a +b ＝0，∴f '（x ）＝3x 2﹣bx +b ， 依题意f '（x ）在[﹣2，1]上恒有f '（x ）≥0， 即g （x ）＝3x 2﹣bx +b ≥0在[﹣2，1]上恒成立．①在x 6b=≥1时，即b ≥6，g （x ）最小值＝g （1）＝3﹣b +b ＞0，∴b ≥6， ②在x 6b=≤-2时，即b ≤﹣12，g （x ）最小值＝g （﹣2）＝12+2b +b ≥0，则b ∈∅，③在﹣26b ＜＜1时，即﹣12＜b ＜6，g （x ）最小值21212b b -=≥0，综合上述讨论可知，b 取值范围是：[0，+∞）． 解法二：（1）y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，又f '（x ）＝3x 2+2ax +b ，由（1）知2a +b ＝0，∴f '（x ）＝3x 2﹣bx +b ，依题意f '（x ）在[﹣2，1]上恒有f '（x ）≥0，即g （x ）＝3x 2﹣bx +b ≥0在[﹣2，1]上恒成立∴b 231x x ≥=-3（x ﹣1）31x ++-6（x ≤1），令m （x ）＝3（x ﹣1）31x +=--3[﹣（x ﹣1）+（11x --）]≤﹣3（＝﹣6，（x ≤1），∴3（x ﹣1）31x ++-6最大值为0，∴（231x x -）max ＝0，∴b ≥0， ∴b 取值范围是：[0，+∞）． 【点评】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．22．（1）3；（2）增区间为()2,e +∞，减区间为()20,e ．极小值21e-，无极大值．【分析】（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数a 的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值. 【详解】解：（1）函数()ln 1f x x x ax =-+的导数为()ln 1f x x a '=+-，在点(1,(1))A f 处的切线斜率为12k a =-=，(1)2f '∴=-，即12a -=-，3a ∴=；（2）由（1）得，()ln 2,(0,)f x x x '=-∈+∞，令()0f x '>，得2x e >，令()0f x '<，得20x e <<，即()f x 的增区间为()2,e +∞，减区间为()20,e ．在2x e =处取得极小值21e -，无极大值． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题．。
数学人教A版选修2-2章末测试：第一章导数及其应用A Word版含解析
x2 4．函数 f(x)＝ ( )
x－1
A．在(0,2)上单调递减
B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增
C．在(0,2)上单调递增
D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减
5．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)＝2x2，x∈(－1,1)．如果 f(x)＜f(1－x)，则实数 x 的取
值范围为( )
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在 x＝2 处取极大值
8．已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则实数 a
的取值范围是( )
A．a＞－1
B．－1＜a＜0
C．0＜a＜1
D．a＞1
9．如果圆柱的轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )
( )1
A． －∞， 2
B．(－1,1)
( )1
C． －1， 2
( )1
D． 0， 2
1 π
6． 3
4 π
cos
2xdx＝( )
4
1 A．
3
2 B．
3
2 C．
3
2 D．－
3
7．已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在 x＝0 处取极小值
∴b≤－1.
答案：C
( ) 二、11．解析：由已知面积 S＝
1 0
(ex＋x)dx＝
1 ex＋ x2
2
|10
1
1
＝e＋ －1＝e－ .
2
2
1 答案：e－
2 12．解析：∵y′＝3x2－10＝2，∴x＝±2.
高中数学人教A选修2-2导数及其应用一测试题(可编辑修改word版)
⎩ ⎭ 《数学选修 2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数 y = f (x ) 在区间 (a , b ) 内可导,且 x ∈(a , b ) 则 lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )的值为( )A. f '( x 0 )B. 2 f '( x 0 )C. -2 f '( x 0 )D. 0h →0 h 2、一个物体的运动方程为 s = 1 - t + t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在3 秒末的瞬时速度是( )A. 7 米/秒B. 6 米/秒C. 5 米/秒D. 8 米/秒 3、曲线 y = x 3 - 4x 在点(1, -3) 处的切线倾斜角为()3πππA. πB.C.D.42 4 64、曲线 f (x ) = () x 3 + x - 2 在 p 0 处的切线平行于直线 y = 4x - 1,则 p 0 点的坐标为A. (1, 0)B. (2,8)C. (2,8) 和(-1, -4)D. (1, 0) 和(-1, -4)5、若 f (x ) = sin- cos x ,则 f '() 等于()A. cosB. sinC. sin+ c os D. 2 s in 6、若曲线 y = x 4 的一条切线l 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直,则l 的方程为( ) A. 4x - y - 3 = 0 B. x + 4 y - 5 = 0 C. 4x - y + 3 = 0 D. x + 4 y + 3 = 07、对正整数 n ,设曲线 y = x n(1 - x ) 在 x = 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列⎧ a n ⎫ 的前 n 项和的公式是( )⎨ n +1⎬ A. 2nB. 2n - 2C. 2n +1D. 2n +1 - 28、已知 f (x ) = ax 3 + 9x 2 + 6x - 7, 若 f '(-1) = 4 ,则 a 的值等于()19 16 10 13 A.B.C.D.33339、二次函数 y = f (x ) 的图象过原点,且它的导函数 y = f '(x ) 的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数 y = f (x ) 的图象的顶点所在象限是()A. 第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数 y = f (x ) 的图象在点 M (1,f (1))处的切线方程是 y = 1x +2,则 f (1) + f '(1) 的2 值等于()⎪ 5 A.1 B.C.3D.0211、下列式子不正确的是()2'⎛1 ⎫' 12A. (3x + x c os x )= 6x + cos x - x sin xB. ln x - 2 ⎪ =-⎝x ⎭ x x '⎛ sin x ⎫'cos x - sin xC. (sin 2x ) = 2 cos 2xD. x = x 212、设 a ∈ R ,函数 ⎝ ⎭ f (x ) = e x + a ⋅ e -x 的导函数是 f '(x ) ,且 f '(x ) 是奇函数.若曲线y = f (x ) 的一条切线的斜率是 3,则切点的横坐标为( ) 2A. ln 2B. -ln 2ln 2 C. D. 2ln 2 2第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.)13、已知函数 f (x ) = -x 2 + x 的图象上的一点 A (-1, - 2) 及临近一点B (-1 + ∆x , - 2 + ∆y ) 则 ∆y= .∆x14、曲线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 在点(1,一3)处的切线方程是15、在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线C : y = x 3 -10x + 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为.16、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) = 0 , 等式 f ( x ) > 0 的解集是.xf '(x ) - f (x )x 2> 0 ( x > 0) ,则不三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12 分)已知函数 f (x ) = ax 2 + 2 ln(2 - x )(a ∈ R ) ,设曲线 y = l ,若l 与圆C : x 2 + y 2 = 1相切,求 a 的值.4f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线为-318、(12 分)设函数f (x) = cos( 3x +)(0 <<),且f (x) +f '(x) 为奇函数. (1)求的值;(2)求f ( x) +f '( x) 的最值.19、(12 分)已知a ∈R ,函数 f (x) =x2 (x -a) ,若 f '(1) = 1 .(1)求a 的值并求曲线 y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程 y =g( x) ;(2)设h( x) =f '( x) +g( x) ,求h( x) 在[0,1] 上的最大值与最小值.20、(12 分)设函数 f (x) =ax3+bx +c (a ≠ 0) 为奇函数,其图象在点(1, f (1)) 处的切线与直线x + 18 y - 7 = 0 垂直,导函数f '(x) 的最小值为12 .(1)求a , b , c 的值;f ( x)(2)设g( x)x2,当x > 0 时,求g( x) 的最小值.21、(12 分)设函数 f (x) =ax -bx,曲线 y =f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程为7x - 4 y -12 = 0 .(1)求f (x) 的解析式;(2)证明:曲线y =f (x) 上任一点处的切线与直线x = 0 和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.=0 x =2 ( ) ⎩ ⎭22、(14 分) 已知关于 x 的方程大依次为 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .sin x = k (k ∈(0,1)) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根,从小到x(1) 求证: x 4 = tan x 4 ;(2) 是否存在常数 k ,使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列?若存在求出 k 的值,否则说明理由.1.Blimf (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) 参考答案= lim 2[ f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )]h →0hh →0 2h= 2 lim f ( x 0 + h ) - f ( x 0 - h ) = 2 f '( x ) .h →0 2h2.C s '(t ) = 2t - 1, s '(3) = 2 ⨯ 3 - 1 = 5 .3.A y ' = 3x 2- 4, k = y ' | = -1, tan = -1,= 3π . 44.D 设切点为 P (a , b ) , f '( x ) = 3x 2+1, k = f '(a ) = 3a 2 + 1 = 4, a = ±1,把 a = -1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = -4 ;把 a = 1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = 0 ,所 以P 0 (1, 0) 和(-1, -4) .5.Bf '( x ) = sin x , f '() = sin .6.A 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直的直线l 为4x - y + m = 0 ,即 y = x 4 在某一点的导数为4 ,而y ' = 4x 3 ,所以 y = x 4 在(1,1) 处导数为4 ,此点的切线为4x - y - 3 = 0 .7.Dy ' = -2n -1 (n + 2),切线方程为: y + 2n = -2n -1 (n + 2)( x - 2) ,令 x = 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y = (n +1)2n ,所以 a n= 2n ,则数列⎧ a n ⎫的前 n 项和 S n 02 1- 2n == 2n +1 - 2 1- 2n +1⎨n +1⎬x =12a ⎝ ⎭x =1 x =1 8.B f '(x ) = 3ax 2 +18x + 6 ,由 f '(-1) = 4, 得3a - 18 + 6 = 4 ,即a =16 .39.C 设 f (x ) = ax 2 + bx , f '(x ) = 2ax + b , f '(x ) 的图象是过第一、二、三象限的一条直线,⎛b ⎫2b 2 ⎛ b b 2 ⎫ 故2a > 0, b > 0 ,又 f (x ) = a x + ⎪ ⎝ ⎭ - 4a ,即项点 - 2a , - 4a ⎪ 在第三象限.10.C 由已知切点在切线上,所以 f (1)= 1 + 2 = 5 ,切点处的导数为切线斜率,所以 f '(1)＝ 1,所以 f (1) + f '(1)＝⎛ sin x ⎫' 2 2 2 3x cos x - sin x11.D x ⎪ = x 2⎝ ⎭12.Af '( x ) = e x - ae -x , f '(x ) 是奇函数 f '(0) = 1 - a = 0 ,∴ a = 1 ,有 f '( x ) = e x - e -x ,x - x 3 x x 1 设切点为( x 0 , y 0 ) ,则 f '( x 0 ) = e 0 - e 0 = ,得e 0 = 2 或e 0= - 2 2(舍去),∴ x 0 = ln 2 .13. 3 - ∆x -2 + ∆y = -(-1+ ∆x )2 + (-1+ ∆x )∴ ∆y = ∆x - (-1 + ∆x )2 + (-1 + ∆x ) - 2 ∆x= 3 - ∆x 14. 5x + y - 2 = 0易 判 断 点 (1,-3)在 曲 线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 上 ,故 切 线 的 斜 率k = y ' | = (3x 2 - 4x - 4) | = -5,∴切线方程为 y + 3 = -5( x -1) ,即5x + y - 2 = 015.( - 2,15) y ' = 3x 2 -10 = 2 ⇒ x = ±2 ,又点 P 在第二象限内,∴ x = -2 ,得点 P 的坐标为(- 2,15)f ( x ) 16. (-1,0) (1,+∞) 可得 f '( x ) >,由导数的定义得,当0 < x < 1 时,xf ( x ) - f (1) >x - 1 ,又 f (1) = 0 , xf ( x ) < ( x - 1) f ( x ) ,∴ f ( x ) < 0 ;当 x > 1时,x同理得 f ( x ) < 0 .又 f (x ) 是奇函数,画出它的图象得 f ( x ) > 0 ⇒ x ∈(-1, 0) (1, +∞) .17.解:依题意有: f (1) = a , f '(x ) = 2ax +∴ l 的方程为2(a - 1)x - y + 2 - a = 02x - 2(x < 2) ,| 2 - a |l 与圆相切,∴= 4(a - 1)2 + 1 1 ⇒ a =11 28 ∴ a 的值为11 .818.解:(1) f ( x ) + f '( x ) = cos( 3x +) -3 sin( 3x +)f ( x )6 6 ) 1 13 ⎨ 3 3= 2 sin( 3x ++5 ,6又0 << π , f ( x ) + f '( x ) 是奇函数,∴= . 6(2)由(1)得 f ( x ) + f '( x ) = 2 sin( 3x + π) = -2 sin 3x .∴ f ( x ) + f '( x ) 的最大值为 2,最小值为-2 .19、解:(1) f '(x ) = 3x 2 - 2ax ,由 f '(1) = 1 得3 - 2a = 1 ,所以a = 1 ;当a = 1 时, f ( x ) = x 3 - x 2 , f (1) = 0 ,又 f '(1) = 1 ,所以曲线 y = f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程为 y - 0 = 1⨯ ( x - 1) ,即 g ( x ) = x - 1 ;(2)由(1)得h ( x ) = 3x 2 - x - 1 = 3( x - 1)2 -13,6 12又h (0) = -1 , h (1) = 1, h ( ) = -, 6 1213∴ h ( x ) 在[0,1] 上有最大值 1,有最小值.1220.解:(1)∵ f (x ) 为奇函数,∴ f (-x ) = - f (x ) ,即-ax 3 - bx + c = -ax 3 - bx - c ,∴ c = 0 ,又∵ f '(x ) = 3ax 2 + b 的最小值为12 ,∴ b = 12 ;1又直线 x + 18 y - 7 = 0 的斜率为- 18∴ a = 2 , b = 12 , c = 0 为所求.,因此, f '(1) = 3a + b = 18 , ∴ a = 2 ,(2)由(1)得 f ( x ) = 2x 3 + 12x ,∴当 x > 0 时, g ( x ) =f ( x ) = 2( x + 6) ≥ 2 ⋅ 2 = 4 ,x 2 x∴ g ( x ) 的最小值为4 .721.解:(1)方程7x - 4 y -12 = 0 可化为 y = x - 3 .4当 x = 2 时, y = 1 . 又 f '(x ) = a + b,2 x 2⎧2a - b = 1 ⎪ 于是⎨ ⎧a = 1 解得 b 7 b = 3 , 故 f (x ) = x - . x ⎪a + = ， ⎩ ⎩⎪ 4 4(2)设 P ( x 0 , y 0 ) 为曲线上任一点,由 y ' = 1+x 2知曲线在点 P (x 0，y 0 ) 处的切线方程为 x ⋅ 6 x2 21 2 3 3 y - y = ⎛1+ 3 ⎫ (x - x ) ,即 y - ⎛x- 3 ⎫ = ⎛1+3 ⎫(x - x ) .0 x 2 ⎪ 0 0 x ⎪ x 2 ⎪ 0 ⎝ 0 ⎭6 ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 ⎭⎛ 6 ⎫ 令 x = 0 得 y = - x ,从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 0，- x ⎪ . 0 ⎝ 0 ⎭令 y = x 得 y = x = 2x 0 ,从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为(2x 0，2x 0 ) .所以点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形面积为 -2x 0 = 6 .故曲线 y = 此定值为6 .f (x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形的面积为定值,22.解:(1)由原方程得sin x = kx (x ≠ 0) ,设函数 f (x ) = sin x , g (x ) = kx (x ≠ 0) ,它们的图象如图所示:方程得sin x = kx (x ≠ 0) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根, x 4 必是函数 g (x ) = kx 与 f (x ) = sin x 在(2π,5π) 内相切时切点的横坐标,即切点为(x , sin x ) , g (x ) = kx 是 f (x ) = sin x 的切线.24 4由 f '( x ) = cos x ,∴ k = cos x 4 ,又∵ sin x 4 = kx 4 ,于是 x 4 = tan x 4 .1(2)由题设知 x 2 = -x 3 ,又 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列,得2x 3 = x 2 + x 4 ,∴ x 3 = 3x 4 .1 1 1由sin x 3 = kx 3 ,得sin 3 x 4 = 3 kx 4 ,即sin x 4 = 3sin 3 x 4 .由题设 x ∈(2π, 5π) ,得 x 4 ∈( 2π , 5π) ,42 ∴ sin x 4 ∈ 13 3 6x 4 3 3( , ) ,有3sin 3 ∈( , ) ,即sin x 4 ∈( , ) ,与sin x 4 < 1 矛盾!故不存在常数 k 使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列yxO2 36x3 3 3 2 2 3 2 2 2 2。
[精品]新人教A版选修2-2高中数学第一章 导数及其应用 综合检测和答案
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第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( ) A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C ．6D ．7 [答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′|x ＝2＝7，故选D.4．函数y ＝x |x (x －3)|＋1( ) A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1 B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1 C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1 D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－3 [答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：极大极小故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( ) A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋3[答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )A．2B．3C．4D．5[答案] D[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴a＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ [答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎜⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎜⎛241x dx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2. 10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大，最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0 f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13.⎠⎜⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________. [答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎜⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x 2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝nn ＋1，∴a n ＝lgnn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎜⎛01x d x ＋⎠⎜⎛121x d x ＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎜⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎜⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎜⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎜⎛02(2x 2－4x )d x . 因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ， 所以S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值；(2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a－3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23，当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。
人教新课标版数学高二人教A版选修2-2测评 第一章 导数及其应用(A卷)
单元测评(一) 导数及其应用(A 卷)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5)′＝－15x －6解析：由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.只有C 正确．答案：C2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.答案：B4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3 C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.答案：D5．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A6．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列结论正确的是()A ．在区间(－2,1)内f (x )是增函数B ．在区间(1,3)内f (x )是减函数C ．在区间(4,5)内f (x )是增函数D ．在x ＝2时，f (x )取极小值解析：由图象可知，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(4,5)内为增函数． 答案：C7．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A ．－5B ．7C ．10D ．－19解析：∵y ′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， ∴函数在[－2，－1]内单调递减， 最大值为f (－2)＝2＋a ＝2.∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 答案：A8．曲线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积等于( ) A.13B.23C ．1D.43解析：函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛1(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 3|10＝2×23＝43.答案：D9．设f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e ]，则⎠⎛0e f(x)d x 等于( )A .43B .54C .65D .76解析：⎠⎛0e f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x＝13x 3|10＋ln x |e1＝43. 答案：A10．若函数f(x)在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，则当a >b 时，下列不等式成立的是( )A ．e a f (a )>e b f (b )B ．e b f (a )>e a f (b )C ．e b f (b )>e a f (a )D ．e a f (b )>e b f (a ) 解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )e x ′＝e x f ′(x )－e x f (x )(e x )2＝e x [f ′(x )－f (x )](e x )2<0，∴y ＝f (x )e x 单调递减，又a >b ， ∴f (a )e a <f (b )e b ， ∴e a f (b )>e b f (a )． 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解． 又∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1212．函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________. 解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，y ′＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，函数无极值，故a ＝4，b ＝－11.答案：413．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，根据条件4R ＋2h ＝4，得h ＝2－2R,0<R <1.∴V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3，由V ′＝4πR －6πR 2＝0得R ＝23，且当R ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23时，函数V 递增；R ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1时，函数V 递减，故R ＝23时，V 取最大值827π. 答案：827π14．一动点P 从原点出发，沿x 轴运动，其速度v (t )＝2－t (速度的正方向与x 轴的正方向一致)，则t ＝3时，动点P 移动的路程为________．解析：由v (t )＝2－t ≥0得0≤t ≤2， ∴t ＝3时，点P 移动的路程为 s ＝⎠⎛02(2－t)d t －⎠⎛23(2－t)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t 2|20－⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t 2|32＝52.答案：52三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在x ＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 解：(1)∵y ′＝x 2，∴在点P(2,4)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 又x ＝2时y ＝4，∴在点P(2,4)处的切线方程：4x －y －4＝0.4分(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.8分∵点P(2,4)在切线上，∴x 30－3x 20＋4＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1，x 0＝2.故所求的切线方程为y ＝x ＋2或y ＝4x －4，即4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.12分16．(12分)设函数f(x)＝a e x＋1a e x ＋b(a>0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b的值．解：(1)f ′(x)＝a e x－1a e x ，当f ′(x)>0，即x>－ln a 时，f(x)在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x)<0，即x<－ln a 时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减． ①当0<a<1时，－ln a>0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a ＋1a ＋b.6分(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12. 故a ＝2e 2，b ＝12.12分17．(12分)若函数f(x)＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间及极值． 解：(1)f ′(x)＝2ax ＋2－43x ， 由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.4分 (2)f(x)＝－13x 2＋2x －43ln x(x>0)．f ′(x)＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x 由f ′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.8分 ①当f ′(x)>0时1<x<2； ②当f ′(x)<0时0<x<1或x>2.当x 变化时f ′(x)，f(x)的变化情况如下：↘↘∞)．函数的极小值为f(1)＝53，极大值为f(2)＝83－43ln 2.12分 18．(14分)已知两个函数f(x)＝7x 2－28x －c ，g(x)＝2x 3＋4x 2－40x.(1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f(x 1)≤g(x 2)成立，求实数c 的取值范围．解：(1)∵f(x)≤g(x)恒成立， ∴c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x)max .令F(x)＝－2x 3＋3x 2＋12x ，x ∈[－3,3]， ∴F ′(x)＝－6x 2＋6x ＋12，x ∈[－3,3]，令F′(x)＝0得x＝－1或x＝2.∴当x∈[－1,2]，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈[－3，－1)或x∈(2,3]，f′(x)<0，f(x)单调递减，4分又∵F(2)＝20，F(－3)＝45，∴F(x)max＝F(－3)＝45，∴c≥45.7分(2)∵f(x1)＝7(x1－2)2－28－c，x1∈[－3,3]，∴f(x1)max＝f(－3)＝147－c，∵g(x)＝2x3＋4x2－40x，∴g′(x)＝6x2＋8x－40.∵x∈[－3,3]，∴当x∈[－3,2]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减；x∈(2,3)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．∴x2∈[－3,3]时，g(x2)min＝g(2)＝－48.10分又∵f(x1)≤g(x2)对任意x1，x2∈[－3,3]都成立，∴147－c≤－48，即c≥195，即实数c的取值范围为[195，＋∞).14分。
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（含答案）
新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。
高中数学选修2-2《导数及其简单应用》一堂练试题
《导数及其简单应用》一堂练一、选择题：每小题10分，共50分1、30(),'()6,f x x f x ==则0x = （ ）AB、 C、D 、1± 2、设连续函数()0f x >，则当a b <时，定积分()ba f x dx ⎰的符号是 ( )A 、必为正数B 、必为负数C 、0a b <<时为正数，0a b <<时为负数D 、不确定 3、若20(23)0kx x dx -=⎰，则k = ( )A 、1B 、0C 、1或0D 、以上都不对4、设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为 ( )A 、单调递增B 、有增有减C 、单调递减D 、不确定5、若函数()f x 在区间(,)a b 内的导数为正，且()0f b ≤，则函数()f x 在(,)a b 内有 ( )A 、()0f x >B 、()0f x <C 、()0f x =D 、无法确定 二、填空题：每小题10分，共30分6、抛物线2(12)y x =-在32x =处的切线方程是 7、用定积分的几何意义，则3-=⎰8、若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是三、解答题：任选一题解答，满分20分9、计算下列积分：（1）220(3sin )x x dx π+⎰ （2）220|1|x dx -⎰ （3）321(2)y y dy -⎰ （1） （2） （3）10、求抛物线2y x =与直线20x y +-=所围成的图形的面积班级 姓名 座号 得分。
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题
【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题数学选修2-2第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是( )A.134 B.54 C ．8D ．43．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A ．[0，π2]B ．[0，π2]∪[34π，π)x＝1的对称点B也在函数f(x)的图像上．19．(12分)设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋1－x1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．参考答案 1.答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5.答案 A解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D 7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B. 10.答案 D 11.答案 C解析 数形结合，如图．⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x ＝ ⎪⎪⎪13x 310⎪⎪⎪＋(2x －12x 2)21＝13＋(4－2－2＋12) ＝56，故选C . 12.答案 A解析 f ′(x)＝x cos x －sin xx 2，令g(x)＝x cos x －sin x ，则g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .13.答案 23解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.14.答案 c<a<b解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.15.答案 f(x)＝23x ＋83解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01 (ax ＋4－2a)d x＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1.∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.16.答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)d x ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k 0＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12，∴k ＝1－342.18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎨⎧12－4a ＋b ＝0，48＋8a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－24.或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)，由f′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]，得x＝0.(1)当a＞0时，列表：x (－1,0) 0 (0,2)f′(x) ＋0 －f(x) 增极大值b 减由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,2]上是减函数．则当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，∵a＞0，∴f(－1)＞f(2)．从而f(2)＝－16a＋3＝－29，得a＝2.(2)当a＜0时，用类似的方法可判断当x＝0时f(x)有最小值．当x＝2时，f(x)有最大值．从而f(0)＝b＝－29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.21.解析(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．解析 (1)f ′(x )＝aax ＋1－2(1＋x )2＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2， ∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，即a ·12＋a －2＝0，解得a ＝1. (2)f ′(x )＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当0<a<2时，由f′(x)>0，解得x> 2－a a.由f′(x)<0，解得x< 2－a a.∴f(x)的单调减区间为(0, 2－aa)，单调增区间为(2－aa，＋∞)．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－aa处取得最小值，且f(2－aa)<f(0)＝1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．。
高中数学选修2-2第1章《导数及其应用》单元测试题[1](可编辑修改word版)
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25 yyO xOx选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题一、选择题：(每小题有且只有一个答案正确，每小题 5 分，共 50 分) 1. 下列结论中正确的是（ ）A. 导数为零的点一定是极值点B. 如果在 x 0 附近的左侧 f '(x ) > 0 ，右侧 f '(x ) < 0 ，那么 f (x 0 ) 是极大值C. 如果在 x 0 附近的左侧 f '(x ) > 0 ，右侧 f '(x ) < 0 ，那么 f (x 0 ) 是极小值D. 如果在 x 0 附近的左侧 f '(x ) < 0 ，右侧 f '(x ) > 0 ，那么 f (x 0 ) 是极大值2. 已知函数 f (x ) = ax 2 + c ,且 f '(1) =2,则 a 的值为（）A ．1B ．C ．－1D ．03.f (x ) 与g (x ) 是定义在 R 上的两个可导函数，若 f (x ) 与 g (x ) 满足 f '(x ) = g '(x ) ，则 f (x ) 与 g (x ) 满足()A.f (x ) =g (x )B ． f (x ) - g (x ) 为常数函数C ． f (x ) = g (x ) = 0D ． f (x ) + g (x ) 为常数函数4. 函数 y = x 3 - 3x 在[－1，2]上的最小值为（）A ．2B ．－2C ．0D ．－45. 设函数 y =f (x ) 在定义域内可导， y = f (x ) 的图象如图 1 所示，则导函数 y = f '(x ) 可能为（）图 1ABC D6．方程 x 3 - 6x 2 + 9x - 10 = 0 的实根个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．07. 曲线 y = ln(2x -1) 上的点到直线2x - y + 8 = 0 的最短距离是 （）A.B ． 2 3C ． 3D ．0 8.曲线 y = cos x (0 ≤ x ≤ 2 5) 与坐标轴围成的面积是（） A ．4B ．C ．3D ．229.设 p : f (x ) = e x + ln x + 2x 2 + mx + 1在(0,+∞) 内单调递增， q : m ≥ -5 ，则 p 是 q 的（）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件5 5yOxyOxyOxn 1 2 n 0-1C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 设曲线 y = xn +1(n ∈ N *) 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x ,则 x ⋅ x⋅ ⋅ x的值为（ ）1 A.B ．n1 n +1nC ．n +1D ．1二、填空题：(每小题 5 分，共 25 分)11．若 f (x ) = e - 1 x，则lim t →0 f (1- 2t ) - f (1)t=.12． ⎰2(3x 2+ k )dx = 10,则k =；⎰83xdx =.13. 由曲线 y = x 2 + 2 与 y = 3x ， x = 0 ， x = 2 所围成的平面图形的面积为.14. 已 知 R 上 可 导 函 数 f (x ) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 不 等 式(x 2 - 2x - 3) f '(x ) > 0 的 解集.15. 已知二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c 的导数为 f '(x ) ， f '(0) > 0 ，对于任意实数 x ，有 f (x ) ≥ 0 ，则f (1) f '(0)最小值为 .三、解答题：(共 75 分) 16．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 11（1） 写出函数 f (x ) 的递减区间；（2） 讨论函数 f (x ) 的极大值或极小值，如有试写出极值；17．（本小题满分 12 分）当 x > 0 时，证明不等式e x > 1 + x + 1x 2 成立.218．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 在 x = -2 处取得极值,并且它的图象与直线 y = -3x + 3在点( 1 , 0 ) 处相切, 求 a , b , c 的值.19．（本小题满分 12 分）如图所示，等腰三角形△ABC的底边 AB= 6 ，高CD=3，点 E 是线段 BD 上异于 B、D 的动点，点 F 在BC 边上，且EF⊥AB，现沿 EF 将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记 BE=x，V（x）表示四棱锥 P-ACEF的体积。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
最新人教A版高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用 综合检测习题(含答案解析)
第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3) ∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1极大极小故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2) ＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23. ②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23， 当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。
高中数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用章末综合检测5
第一章导数及其应用(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝(2πx )2的导数是( )A ．f ′(x )＝4πxB ．f ′(x )＝4π2xC ．f ′(x )＝8π2xD ．f ′(x )＝16πx解析：选C ．f (x )＝(2πx )2＝4π2x 2，∴f ′(x )＝8π2x .2．已知物体的运动方程是s ＝13t 3－4t 2＋12t (t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或6秒B ．2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．2秒或6秒解析：选D ．s ′＝t 2－8t ＋12＝0⇒t ＝2或t ＝6.3．若曲线f (x )＝x 4－2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(－1，－1)解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3－2，设P (x 0，y 0)，由题意得f ′(x 0)＝4x 30－2＝2，∴x 0＝1，y 0＝－1.故P 点坐标为(1，－1)．4．下列积分等于2的是( )A.2x d xB.(12x ＋1)d x C ．1d x D ．12xd x 解析：选C ．⎠⎛021d x ＝x |20＝2. 5．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ．∵f (x )＝2x ＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0， 即－2x 2＋1x ＝x －2x 2＝0，解得x ＝2.当x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．6．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．0≤a ≤21B ．a ＝0或a ＝7C ．a ＜0或a ＞21D ．a ＝0或a ＝21解析：选A.f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点．7. 已知f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )解析：选A.∵x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．8．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50解析：选C ．设内接矩形的长为x ，则宽为 25－x 24， ∴S 2＝x 2·(25－x 24)＝y ， ∴y ′＝50x －x 3.令y ′＝0，得x 2＝50，x ＝0(舍去)，∴S 2max ＝625，即S max ＝25.9．若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜1解析：选A.依题意y ′＝a (3x 2－1)＞0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)， 故a ＞0.10．若函数f (x )在(0，＋∞)上可导，且满足f (x )＞－xf ′(x )，则一定有( )A ．函数F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为增函数B ．函数F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数C ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数D ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为减函数解析：选C ．设y ＝xf (x )，则y ′＝xf ′(x )＋f (x )＞0，故y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增，故选C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋4＝－2a 3－2×4＝b 3⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－24. ∴a －b ＝－3＋24＝21.答案：2112．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (v 单位：m/s ，t 单位：s)，则列车刹车后至停车时的位移为________．解析：停车时v (t )＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30 s ，s ＝∫300v(t)d t ＝∫300(27－0.9t)d t＝(27t －0.45t 2)300＝405(m )．答案：405 m13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，所以L ＝27R 2.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，令S ′表＝2πR －54πR2＝0，得R ＝3，即当R ＝3时，S 表最小． 答案：314．已知函数g(x)＝x 3－x 2(x>0)，h(x)＝e x －x ，p(x)＝cos 2x(0<x<π)的导函数分别为g ′(x)，h ′(x)，p ′(x)，其零点依次为x 1，x 2，x 3，则将x 1，x 2，x 3按从小到大的顺序用“<”连接起来为________．解析：由g ′(x)＝3x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝23，∵x>0，∴x ＝23；由h ′(x)＝e x －1＝0，得x ＝0；由p ′(x)＝－2sin 2x ＝0，得2x ＝k π(k ∈Z)，∴x ＝k π2(k ∈Z)，∵0<x <π，∴x ＝π2.∴x 1＝23，x 2＝0，x 3＝π2，故有x 2<x 1<x 3. 答案：x 2<x 1<x 3三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R.已知f (x )在x ＝3处取得极值．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．解：(1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a .∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3.∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8.(2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为y ＝16.16．已知实数a ＞0，求函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R)的单调区间．解：∵f (x )＝ax (x －2)2＝ax 3－4ax 2＋4ax ，∴f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a＝a (3x 2－8x ＋4)＝a (3x －2)(x －2)．令f ′(x )＞0，则x ＜23或x ＞2， ∴函数f (x )的增区间是(－∞，23)和(2，＋∞)； 令f ′(x )＜0，则23＜x ＜2， ∴函数f (x )的减区间是(23，2)． 17．若函数f (x )＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间及极值．解：(1)f ′(x )＝2ax ＋2－43x， 由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13. (2)f (x )＝－13x 2＋2x －43ln x (x ＞0)． f ′(x )＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x. 由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2.①当f ′(x )＞0时1＜x ＜2；②当f ′(x )＜0时0＜x ＜1或x ＞2.函数的极小值为f (1)＝53， 极大值为f (2)＝83－43ln 2. 18．某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大．(注：收益＝销售额－收入)解：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，由此获得收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)， 所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0；当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0.所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大．19．已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1(k ＞0)，若f (x )的单调递减区间是(0,4)．(1)求k 的值；(2)当x ＞k 时，求证：2x ＞3－1x .解：(1)f ′(x )＝3kx 2－6(k ＋1)x ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2k ＋2k ，∵f (x )的单调递减区间是(0,4)，∴2k＋2k＝4，∴k＝1.(2)证明：设g(x)＝2x＋1 x，g′(x)＝1x－1x2.当x＞1时，1＜x＜x2，∴1x＞1x2，∴g′(x)＞0，∴g(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增．∴x＞1时，g(x)＞g(1)，即2x＋1x＞3，∴2x＞3－1 x.20．给定函数f(x)＝x33－ax2＋(a2－1)x和g(x)＝x＋a2x.(1)求证：f(x)总有两个极值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求a的值．解：(1)证明：因为f′(x)＝x2－2ax＋(a2－1)＝[x－(a＋1)]·[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝a＋1，x2＝a－1.当x＜a－1时，f′(x)＞0；当a－1＜x＜a＋1时，f′(x)＜0；当x＞a＋1时，f′(x)＞0，所以x＝a－1为f(x)的极大值点，x＝a＋1为f(x)的极小值点．所以f(x)总有两个极值点．(2)因为g′(x)＝1－a2x2＝(x－a)(x＋a)x2.令g′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－a.因为f(x)和g(x)有相同的极值点，且x1＝a和a＋1，a－1不可能相等，所以当－a＝a＋1时，a＝－1 2；当－a＝a－1时，a＝1 2.经检验，当a＝－12和a＝12时，x1＝a，x2＝－a都是g(x)的极值点．。
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《数学选修2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为( )A.0()f x 'B.02()f x 'C.02()f x '-D.02、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒 3、曲线x x y 43-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( )A.34πB.2πC.4πD.6π 4、曲线3()2f x xx 在0p 处的切线平行于直线41y x ,则0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)-- 5、若()sin cos f x x α=-,则()f α'等于( ) A.cos α B.sin α C.sin cos αα+D.2sin α6、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( ) A.430x y --= B.450x y +-= C.430x y -+= D.430x y ++= 7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是( ) A.2n B.22n - C.12n + D.122n +-8、已知32()967,f x ax x x =++-若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.103 D.1339、二次函数()y f x =的图象过原点,且它的导函数()y f x '=的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数()y f x =的图象的顶点所在象限是( )A.第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+的值等于( )A.1B.52C.3D.0 11、下列式子不．正确的是( ) A.()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+- B.23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C. ()sin 22cos2x x '=D.2sin cos sin x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭12、设a ∈R ,函数()e exxf x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为 ( )A.ln 2B.ln 2-C.ln 22D.ln 22-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. 14、曲线32242y x x x =--+在点(1,一3)处的切线方程是___________15、在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3:103C y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 .16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'xx f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆41:22=+y x C 相切,求a 的值.设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,且()()f x f x '+为奇函数. (1)求ϕ的值;(2)求()'()f x f x +的最值.19、(12分)已知a ∈R ,函数2()()f x x x a =-,若(1)1f '=.(1)求a 的值并求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程()y g x =; (2)设()()()h x f x g x '=+,求()h x 在[0,1]上的最大值与最小值.20、(12分)设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最小值.21、(12分) 设函数()bf x ax x=-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. (1)求()f x 的解析式;(2)证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.已知关于x 的方程sin ((0,1))xk k x=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .(1)求证:44tan x x =;(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.参考答案1.B 000000()()()()limlim 2[]2h h f x h f x h f x h f x h h h →→+--+--=0000()()2lim 2()2h f x h f x h f x h→+--'==.2.C ()21,(3)2315s t t s ''=-=⨯-=.3.A 21334,|1,tan 1,4x y x k y αα=''=-==-=-=π. 4.D 设切点为0(,)P a b ,22()31,()314,1f x x k f a a a ''=+==+==±,把1a =-, 代入到3()2f x x x 得4b =-;把1a =,代入到3()2f x x x 得0b =,所以0(1,0)P 和(1,4)--.5.B ()sin ,()sin f x x f αα''==.6.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=. 7.D ()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为,令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+,所以21n n a n =+,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--8.B2()3186f x ax x '=++,由(1)4,f '-=得31864a -+=,即163a =. 9.C 设2(),()2f x ax bx f x ax b '=+=+,()f x '的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故20,0a b >>,又22()24b b f x a x a a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,即项点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限. 10.C 由已知切点在切线上,所以f (1)=25221=+,切点处的导数为切线斜率,所以1(1)2f '＝,所以(1)(1)f f '+＝311.D 2sin cos sin x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭12.A '()xxf x e ae-=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x xf x e e-=-,设切点为00(,)x y ,则0003'()2xx f x e e -=-=,得02x e =或012xe =-(舍去),∴0ln 2x =. 13.3x -∆22(1)(1)y x x -+∆=--+∆+-+∆∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 14.520x y +-= 易判断点(1,-3)在曲线32242y x x x =--+上,故切线的斜率()211|344|5x x k y x x =='==--=-,∴切线方程为()351y x +=--,即520x y +-=15.(-2,15) 231022y x x '=-=⇒=±,又点P 在第二象限内,∴2x =-,得点P 的坐标为(-2,15)16.),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时, ()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞.17.解:依题意有:)2(222)(,)1(<-+='=x x ax x f a f , l ∴的方程为02)1(2=-+--a y x a l 与圆相切,811211)1(4|2|2=⇒=+--∴a a a ∴a 的值为118. 18.解:(1)()'()f x f x+))ϕϕ=+-+5)6πϕ=++,又0ϕ<<π,()'()f x f x+是奇函数,∴=ϕ6π.(2)由(1)得()'()f x f x+)=+π=-.∴()'()f x f x+的最大值为2,最小值为2-.19、解:(1)2()32f x x ax'=-,由(1)1f'=得321a-=,所以1a=;当1a=时,32()f x x x=-,(1)0f=,又(1)1f'=,所以曲线()y f x=在(1,(1))f处的切线方程为01(1)y x-=⨯-,即()1g x x=-;(2)由(1)得22113()313()612h x x x x=--=--,又(0)1h=-,(1)1h=,113()612h=-,∴()h x在[0,1]上有最大值1,有最小值1312.20.解:(1)∵()f x为奇函数,∴()()f x f x-=-,即33ax bx c ax bx c--+=---,∴0c=,又∵2'()3f x ax b=+的最小值为12,∴12b=;又直线1870x y+-=的斜率为118-,因此,'(1)318f a b=+=,∴2a=,∴2a=,12b=,0c=为所求.(2)由(1)得3()212f x x x=+,∴当0x>时,2()()f xg xx=62()2xx=+≥⋅=,∴()g x的最小值为.21.解:(1)方程74120x y--=可化为734y x=-.当2x=时,12y=. 又2()bf x ax'=+,于是1222744baba⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得13ab=⎧⎨=⎩,故3()f x xx=-.(2)设00(,)P x y为曲线上任一点,由231yx'=+知曲线在点00()P x y，处的切线方程为002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭,即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令0x =得06y x =-,从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 令y x =得02y x x ==,从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，. 所以点00(,)P x y 处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形面积为016262x x-=. 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =,y x =所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x =,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =在5(2,)2ππ内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线. 由'()cos f x x =,∴4cos k x =,又∵44sin x kx =,于是44tan x x =. (2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴3413x x =. 由33sin x kx =,得4411sin 33x kx =,即441sin 3sin 3x x =. 由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336x ππ∈,∴41sin(,322x ∈,有433sin (,)322x ∈,即43sin (,)22x ∈,与4sin 1x <矛盾!故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列。