经济数学基础综合练习及参考答案50468

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《经济数学基础12》综合练习及参考答案概要

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《经济数学基础12》综合练习及参考答案第一部分 微分学一、单项选择题1.函数()1lg +=x xy 的定义域是( ).A .1->xB .0≠xC .0>xD .1->x 且0≠x2.若函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)2(x f 的定义域是( ).A .1],0[B .)1,(-∞C .]0,(-∞D )0,(-∞ 3.下列各函数对中,()中的两个函数相等.A .2)()(x x f =,x x g =)( B .11)(2--=x x x f ,x x g =)(+ 1C .2ln x y =,x x g ln 2)(=D .x x x f 22cos sin )(+=,1)(=x g4.设11)(+=xx f ,则))((x f f =( ).A .11++x xB .x x +1C .111++xD .x+11 5.下列函数中为奇函数的是( ).A .x x y -=2B .x x y -+=e eC .11ln+-=x x y D .x x y sin = 6.下列函数中,()不是基本初等函数.A .102=y B .xy )21(= C .)1ln(-=x y D .31xy = 7.下列结论中,( )是正确的. A .基本初等函数都是单调函数 B .偶函数的图形关于坐标原点对称 C .奇函数的图形关于坐标原点对称 D .周期函数都是有界函数8. 当x →0时,下列变量中( )是无穷大量.A .001.0x B . x x 21+ C . x D . x-29. 已知1tan )(-=xxx f ,当( )时,)(x f 为无穷小量. A . x →0 B . 1→x C . -∞→x D . +∞→x10.函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ( ).A .-2B .-1C .1D .211. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处( ).A . 左连续B . 右连续C . 连续D . 左右皆不连续 12.曲线11+=x y 在点(0, 1)处的切线斜率为( ).A .21-B .21C .3)1(21+x D .3)1(21+-x13. 曲线y = sin x 在点(0, 0)处的切线方程为( ). A . y = x B . y = 2x C . y = 21x D . y = -x 14.若函数x xf =)1(,则)(x f '=( ).A .21x B .-21x C .x 1 D .-x 115.若x x x f cos )(=,则='')(x f ( ).A .x x x sin cos +B .x x x sin cos -C .x x x cos sin 2+D .x x x cos sin 2-- 16.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是( ).A .sin xB .e xC .x 2D .3 - x 17.下列结论正确的有( ).A .x 0是f (x )的极值点,且f '(x 0)存在,则必有f '(x 0) = 0B .x 0是f (x )的极值点,则x 0必是f (x )的驻点C .若f '(x 0) = 0,则x 0必是f (x )的极值点D .使)(x f '不存在的点x 0,一定是f (x )的极值点18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=,则需求弹性为E p =( ).A .p p32- B .--pp32 C .32-ppD .--32pp二、填空题1.函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是. 2.函数x x x f --+=21)5ln()(的定义域是.3.若函数52)1(2-+=+x x x f ,则=)(x f. 4.设函数1)(2-=u u f ,xx u 1)(=,则=))2((u f.5.设21010)(xx x f -+=,则函数的图形关于对称.6.已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ,则当产量q = 50时,该产品的平均成本为 .7.已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ,其中p 为该商品的价格,则该商品的收入函数R (q ) = .8. =+∞→xxx x sin lim.9.已知xxx f sin 1)(-=,当 时,)(x f 为无穷小量.10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ,若f x ()在),(∞+-∞内连续,则=a .11. 函数1()1exf x =-的间断点是 . 12.函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是 .13.曲线y 在点)1,1(处的切线斜率是.14.函数y = x 2 + 1的单调增加区间为.15.已知x x f 2ln )(=,则])2(['f = . 16.函数y x =-312()的驻点是 . 17.需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -⨯=,则需求弹性为E p =.18.已知需求函数为p q 32320-=,其中p 为价格,则需求弹性E p = .三、计算题1.423lim 222-+-→x x x x 2.231lim 21+--→x x x x 3.0x → 4.2343lim sin(3)x x x x →-+-5.113lim21-+--→x xx x 6.2)1tan(lim 21-+-→x x x x ; 7. ))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 8.20sin e lim()1x x x x x →++ 9.已知y xx x--=1cos 2,求)(x y ' .10.已知)(x f xx x x+-+=11ln sin 2,求)(x f ' .11.已知2cos ln x y =,求)4(πy ';12.已知y =32ln 1x +,求d y . 13.设 y x x x x ln +=,求d y .14.设x x y 22e 2cos -+=,求y d . 15.由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '.16.由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '.17.设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定,求0d d =x x y.18.由方程x y x y=++e )cos(确定y 是x 的隐函数,求y d .四、应用题1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为:x x x C 625.0100)(2++=(万元), 求:(1)当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当产量x 为多少时,平均成本最小?2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q p =-100010(q 为需求量,p 为价格).试求:(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数p q 42000-=,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的,问价格为多少时利润最大?并求最大利润.4.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2(元),单位销售价格为p = 14-0.01q (元/件),问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少.5.某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C (元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?6.已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++25020102(万元).问:要使平均成本最少,应生产多少件产品?试题答案一、 单项选择题1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.C 8. B 9. A 10. C 11. B 12.A 13. A 14. B 15. D 16. B 17. A 18. B 二、填空题1.[-5,2]2. (-5, 2 )3. 62-x 4.43-5. y 轴6.3.67. 45q – 0.25q 28. 19. 0→x 10. 2 11.0x = 12.)1,(--∞,)2,1(-,),2(∞+ 13.(1)0.5y '= 14.(0, +∞) 15. 0 16.x =1 17.2p - 18. 10-p p三、极限与微分计算题1.解 423lim 222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim 2+---→x x x x x = )2(1lim 2+-→x x x = 412.解:231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim1+---→x x x x x =21)1)(2(1lim1-=+-→x x x3.解0l i x →=x →=xxx x x 2sin lim )11(lim 00→→++=2⨯2 = 44.解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---= 333lim lim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 25.解 )13)(1()13)(13(lim 113lim2121x x x x x x x x x x x x ++--++-+--=-+--→→ )13)(1()1(2lim )13)(1())1(3(lim 2121x x x x x x x x x x x ++----=++--+--=→→ )13)(1(2lim 1x x x x ++-+-=→221-=6.解 )1)(2()1tan(lim 2)1tan(lim 121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim 21lim 11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯=7.解:))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x x x --++-∞→ =2323)2(65-=⨯-8.解 20s i n e l i m ()1x x x x x →++=000sin e lim limsin lim 1xx x x x x x x →→→++ =0+ 1 = 19.解 y '(x )=)1cos 2('--x x x=2)1(cos )1(sin )1(2ln 2x x x x x ------ =2)1(sin )1(cos 2ln 2x xx x x----10.解 因为)1ln()1ln(sin 2)(x x x x f x +--+= 所以 x x x x x f xx+---+⋅='1111cos 2sin 2ln 2)( 212]cos sin 2[ln 2xx x x --+⋅= 11.解 因为 2222tan 22)sin (cos 1)cos (ln x x x x xx y -=-='=' 所以 )4(πy '=ππππ-=⨯-=-1)4tan(42212.解 因为 )ln 1()ln 1(312322'++='-x x y=x x x ln 2)ln 1(31322-+ =x x x ln )ln 1(32322-+所以 x x x xy d ln )ln 1(32d 322-+=13.解 因为 y x x ln 47+=xx y 14743-='所以 d y = (xx 14743-)d x14.解:因为 xx x y 222e 2)2(2s i n --'-='x x x 22e 22s i n ---=所以 y d x x x xd )e 22s i n (22---=15.解 在方程等号两边对x 求导,得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xyx y 0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xyx y xy xy xyy xyy x x e 1]e )1[ln(-+-='++ 故 ]e )1)[ln(1(e )1(xy xyx x x y x y y +++++-='16.解 对方程两边同时求导,得 0e e cos ='++'y x y y yyyyy x y e )e (cos -='+)(x y '=yyx y ecos e +-. 17.解:方程两边对x 求导,得 y x y y y '+='e e yy x y e 1e -='当0=x 时,1=y所以,d d =x xye e01e 11=⨯-=18.解 在方程等号两边对x 求导,得 )()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y )sin(1)]sin(e [y x y y x y ++='+- )sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故 x y x y x y yd )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题1.解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ,65.0)(+='x x C所以,1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=C , 116105.0)10(=+⨯='C(2)令 025.0100)(2=+-='xx C ,得20=x (20-=x 舍去)因为20=x 是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当=x 20时,平均成本最小.2.解 (1)成本函数C q ()= 60q +2000.因为 q p =-100010,即p q =-100110, 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -. (2)因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且 'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0,即40- 0.2q = 0,得q = 200,它是L q ()在其定义域内的唯一驻点. 所以,q = 200是利润函数L q ()的最大值点,即当产量为200吨时利润最大.3.解 C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2 利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000,且令 )(p L '=2400 – 8p = 0得p =300,该问题确实存在最大值. 所以,当价格为p =300元时,利润最大. 最大利润 1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L (元). 4.解 由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-=',令004.010=-='q L ,解出唯一驻点250=q . 因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大, 且最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L (元) 5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++ (q >0) q ()=(.)05369800q q ++'=0598002.-q令'C q ()=0,即0598002.-q =0,得q 1=140,q 2= -140(舍去). q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值.所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=0514*******140.⨯++=176 (元/件)6.解 (1) 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q++'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q 令'C q ()=0,即-+=25011002q ,得q 1=50,q 2=-50(舍去),q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点.所以,q 1=50是C q ()的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50件产品.。

经济数学基础练习题与答案

经济数学基础练习题与答案

经济数学基础练习题与答案习题一一.单项选择题。

1.y = )。

(A )33x -≤≤ (B )33x -∠∠ (C )99x -≤≤ (D )99x -∠∠ 2.下列选项中是相同的函数的是( )。

(A )()()21,1;1x f x g x x x -==-+ (B )()();f x g x x ==(C )2()ln ,()2ln ;f x x g x x == (D)()cos ,()f x x g x == 3.下列函数中既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).1)(11)(11)(1)(22+=+=+==x x y D x y C x y B xy A4. 数列{}n x 与{}n y 的极限分别为A 与B ,且A B ≠,则数列112233,,,,,,......x y x y x y 的极限为( ).(A )A (B ) B (C )A+B (D )不存在 5. 极限0lim ()x x f x A→=成立的充分必要条件是( )。

(A )00lim ()lim ()x x x x f x f x A-+→→== (B )0lim ()x x f x A+→=(C )0lim ()x x f x A-→= (D )lim ()lim ()x x x x f x f x A+→→==6. 下列变量在给定变化过程中是无穷小的是( )。

(A) ()x →+∞ (B )lg x()0x +→ (C )lg x()x →+∞ (D )x e ()0x -→7.()f x 在点0x x =处有定义,是当0x x →时,()f x 有极限的( )。

(A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关的条件 8.()f x 在点0x x =处有定义,是()f x 在0x x =处连续的( )。

(A )必要条件 (B )充分条件(C )充分必要条件 (D )无关的条件9. 函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ()。

《经济数学基础》答案

《经济数学基础》答案

第17题: 下面哪一个可以用泊松分布来衡量( B)。

A一个班学生们的身高B一段道路上碰到坑的次数C投掷硬币时遇到正面朝上的概率D某稀有金属的半衰期长短第18题: 线性回归方法是做出这样一条直线,使得它与坐标系中具有一定线性关系的各点的( C)为最小。

A水平距离的平方和B垂直距离的和C垂直距离的平方和D垂直距离的平方第19题: 当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时,表示这两个随机变量之间( B)。

A几乎没有什么相关性B近乎完全负相关C近乎完全正相关D可以直接用一个变量代替另一个第20题: 关于概率,下列说法正确的是( ABC)。

A是度量某一事件发生的可能性的方法B概率分布是不确定事件发生的可能性的一种数学模型C值介于0和1之间D所有未发生的事件的概率值一定比1小第21题: 下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性( ABC )。

A外汇走势B不良贷款率预测C证卷走势D税收确认第22题: 什么样的情况下,可以应用古典概率或先验概率方法( BD )。

A不确定有什么样的结果空间B不确定结果的范围是已知的C不确定结果发生的概率不一样D不确定结果具有等可能性第23题: 关于协方差,下列说法正确的有( ABD )。

A协方差体现的两个随机变量随机变动时的相关程度B如果P=1,则I 和n有完全的正线性相关关系C方差越大,协方差越大D Cov(x,η)=E(X-EX)( η-Eη)第24题: 关于中位数,下列理解错误的有( BC )。

A当所获得的数据资料呈偏态分布时,中位数的代表性优于算术平均数B当观测值个数为偶数时,(n+1)/2位置的观测值,即X(n+1)/2为中位数C当观测值个数为偶数时,(n+1)/2位置的观测值,X(n+1)/2为中位数D将资料内所有观测值从小到大一次排列,位于中间的那个观测值,称为中位数第25题: 线性回归时,在各点的坐标为已知的前提下,要获得回归直线的方程就是要确定该直线的( BD )。

大学经济数学基础考试题及答案

大学经济数学基础考试题及答案

大学经济数学基础考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 经济学中的边际成本是指:A. 总成本除以产量B. 增加一单位产量所带来的成本增加C. 固定成本D. 总成本答案:B2. 在完全竞争市场中,企业面临的需求曲线是:A. 水平的B. 垂直的C. 向右下倾斜的D. 向右上倾斜的答案:A3. 下列哪项不是宏观经济学的研究内容?A. 通货膨胀B. 失业率C. 个人收入D. 经济增长答案:C4. 边际效用递减原理指的是:A. 随着商品数量的增加,其边际效用递增B. 随着商品数量的增加,其边际效用递减C. 商品价格越高,边际效用越大D. 商品价格越低,边际效用越大答案:B5. 如果一个企业处于垄断地位,它将:A. 总是生产最少的产品以最大化利润B. 总是生产最多的产品以最大化利润C. 选择一个产量水平,使得边际收入等于边际成本D. 选择一个价格水平,使得消费者剩余最大答案:C6. 在下列哪种情况下,消费者剩余最大?A. 完全竞争市场B. 垄断市场C. 垄断竞争市场D. 寡头市场答案:A7. 机会成本是指:A. 放弃的下一个最佳选择的价值B. 放弃的总成本C. 放弃的固定成本D. 放弃的可变成本答案:A8. 如果两种商品是互补品,那么其中一种商品价格上升将导致:A. 另一种商品的需求量增加B. 另一种商品的需求量减少C. 互补商品的供应量增加D. 互补商品的供应量减少答案:B9. 根据科斯定理,如果产权界定清晰,并且交易成本为零,则:A. 资源配置将达到社会最优B. 资源配置将达到个人最优C. 资源配置将达到政府最优D. 资源配置将达到企业最优答案:A10. 在下列哪种情况下,政府可能会实施价格上限?A. 商品供应过剩B. 商品需求过剩C. 商品供应不足D. 商品需求不足答案:B二、简答题(每题10分,共30分)11. 简述边际分析在经济学中的应用。

答案:边际分析是经济学中一种重要的分析方法,它通过比较额外一单位的投入(边际成本)与额外一单位的产出(边际收益)来帮助企业或个人做出决策。

经济数学基础综合练习及参考答案

经济数学基础综合练习及参考答案

9.已知 y
52 cos x ,求
y
π ()

2
10.已知
3
y=
ln 2
x ,求
dy

11.设 y esin x cos5 x ,求 dy .
12.设 y tan x3 2 x ,求 dy .
13.已知 y cos2x sin x2 ,求 y ( x) .
14.已知 y
ln 3 x
e
5x
,求
y ( x)
17.需求量 q 对价格 p 的函数为 q( p) 100
. . .
.
p
e 2 ,则需求弹性为 E p

20 2
18.已知需求函数为 q
p ,其中 p 为价格,则需求弹性 Ep =
.
33
三、计算题
2
1. lim x x2
3x x2 4
2
sin 2x 3. lim
x0 x 1 1
5.
lim
x1
tan( x x2 x
D ( , 0)
3.下列各函数对中,(
)中的两个函数相等.
A . f (x) ( x )2 , g ( x) x
B. f ( x)
x2 1 , g( x)
x1
x+ 1
C. y ln x 2 , g (x) 2ln x
D. f ( x) sin 2 x cos2 x , g(x) 1
1
4.设 f (x)

15.由方程 yln(1 x) exy e2 确定 y 是 x 的隐函数,求 y ( x) .
16.由方程 sin y xe y 0 确定 y 是 x 的隐函数,求 y ( x) .

《经济数学基础12》综合练习.doc

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《经济数学基础12》综合练习一、单项选择题 1.函数()1lg +=x xy 的定义域是( ).A .1->xB .0≠xC .0>xD .1->x 且0≠x2.若函数xxx f -=1)(, ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( ). A .-2 B .-1 C .-1.5 D .1.53.设xx f 1)(=,则=))((x f f ( ). A .x 1 B .21xC .xD .2x4.下列结论中正确的是( ).A.周期函数都是有界函数B.基本初等函数都是单调函数C.奇函数的图形关于坐标原点对称D.偶函数的图形关于坐标原点对称 5.下列函数中为偶函数的是( ). A .x x y -=2B .xx y --=eeC .11ln+-=x x y D .x x y sin = 6.下列函数中为偶函数的是( ).A. x x y sin =B.x x y +=2C.xxy --=22 D. x x y cos =7.下列函数中为奇函数的是( ).A . x x y sin =B . x x y -=3C . xxy -+=e e D . x x y +=28.下列函数中为奇函数的是( ). A.x x y -=2B. x xy -+=ee C.11ln+-=x x y D.x x y sin = 9.下列各函数对中,( )中的两个函数相等.A .2)()(x x f =,x x g =)( B .11)(2--=x x x f ,x x g =)(+ 1C .2ln )(x x f =,x x g ln 2)(= D .x x x f 22cos sin )(+=,1)(=x g10.下列各函数对中,( )中的两个函数相等.A.2)()(x x f =,x x g =)( B. 11)(2--=x x x f ,x x g =)(+ 1C.2ln x y =,x x g ln 2)(= D. x x x f 22cos sin )(+=,1)(=x g11.下列各函数对中,( )中的两个函数相等.A. x x g x x f ==)(,)()(2B. 1)(,11)(2+=--=x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f12.已知1sin )(-=xxx f ,当( )时,)(x f 为无穷小量. A. 0→x B. 1→x C. -∞→x D. +∞→x 13.当+∞→x 时,下列变量为无穷小量的是( ).A .xxsin B . 12+x x C .21e x - D .)1ln(x +14.函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ( ).A .-2B .-1C .1D .2 15.已知1sin )(-=xxx f ,当( )时,)(x f 为无穷小量. A .x →0 B .1→x C .-∞→x D .+∞→x 16.函数)1ln(1-=x y 的连续区间是( ).A .),(),(∞+⋃221B .),(),∞+⋃221[C .),(∞+1D .),∞+1[ 17.曲线x y sin =在点)0,π((处的切线斜率是( ). A.1 B. 2 C.21D. 1- 18.曲线11+=x y 在点(0, 1)处的切线斜率为( ). A .21 B .21- C .3)1(21+x D .3)1(21+-x19.下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是( ). A.x cos B. x -2 C.x 2 D. 2x20.设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=,则需求弹性为=p E ( ). A.p p32- B.32-ppC.--32ppD.pp23--21.下列结论中正确的是( ).A.使)(x f '不存在的点0x ,一定是)(x f 的极值点B. 若f '(x 0) = 0,则0x 必是)(x f 的极值点C. 0x 是)(x f 的极值点,则0x 必是)(x f 的驻点D. 0x 是)(x f 的极值点,且f '(x 0)存在,则必有f '(x 0) = 0 22.下列等式成立的是( ). A.x x xd d 1= B. )1d(d ln x x x = C. )d(e d e x x x --= D.)d(cos d sin x x x =-23. 在切线斜率为2x 的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为( ).A. 32+=x y B.42+=x y C.22+=x y D.x y 4=24.若)(x f 是可导函数,则下列等式成立的是( ). A. )(d )(d x f x x f =⎰B.)()(d x f x f =⎰ C.)(d )(d dx f x x f x=⎰ D. )(d )(x f x x f ='⎰25.设c xxx x f +=⎰ln d )(,则)(x f =( ). A .x ln ln B .x x ln C .2ln 1x x - D .x 2ln 26.若c x x f xx+-=⎰11e d e)(,则f (x ) =( ). A .x 1 B .-x 1 C .21x D .-21x27.下列不定积分中,常用分部积分法计算的是( ).A .⎰+x x 1)d cos(2B .⎰-x x x d 12C .⎰x x x d 2sin D .⎰+x x xd 1228. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数,则下列等式成立的是( ). A .)(d )(x F x x f xa =⎰B .)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C .)()(d )(a f b f x x F ba-=⎰D .)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰29.下列积分值为0的是( ).A .⎰ππ-d sin x x xB .⎰-+11-d 2e e x xx C .⎰--11-d 2e e x xx D .⎰-+ππx x x d )(cos 30.下列无穷积分中收敛的是( ). A.⎰∞+1d e x x B. ⎰∞+12d 1x x C. ⎰∞+13d 1x xD. ⎰∞+1d 1x x 31.下列无穷积分中收敛的是( ). A.⎰∞+0d e x xB.⎰∞+12d 1x x B.⎰∞+13d 1x xD. ⎰∞+1d ln x x 32.⎰∞+13d 1x x ( ). A. 0 B. 21- C. 21 D. ∞+33. 设B A ,为同阶方阵,则下列命题正确的是( ).A.若O AB =,则必有O A =或O B =B.若O AB ≠,则必有O A ≠,O B ≠C.若秩O A ≠)(,秩O B ≠)(,则秩O AB ≠)(D. 111)(---=B A AB34.设)21(=A ,)31(-=B ,I 是单位矩阵,则I B A -T=( ).A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 35.设A 是可逆矩阵,且A AB I +=,则A -=1( ).A .B B .1+BC .I B +D .()I AB --136.设A 是n m ⨯矩阵,B 是t s ⨯矩阵,且B AC T有意义,则C 是( )矩阵. A. n s ⨯ B. s n ⨯ C. m t ⨯ D. t m ⨯37.设A 为23⨯矩阵,B 为32⨯矩阵,则下列运算中( )可以进行. A .AB B .AB TC .A +BD .BAT38.设A 为23⨯矩阵,B 为32⨯矩阵,则下列运算中( )可以进行. A. AB B. A +B C. AB TD. BA T39.设A 为23⨯矩阵,B 为32⨯矩阵,则下列运算中有意义的是( ). A.AB B.T AB C.T BA D. B A + 40.以下结论或等式正确的是( ).A .若B A ,均为零矩阵,则有B A = B .若AC AB =,且O A ≠,则C B = C .对角矩阵是对称矩阵D .若O B O A ≠≠,,则O AB ≠41.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222111000A ,则=)(A r ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 342.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=600321540A ,则=)(A r ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 343.设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00000010*******30101,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 444.设线性方程组b AX =的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------124220621106211041231,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D. 445.若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=06211λA ,则当λ=( )时线性方程组无解. A. 3 B.3- C. 1 D.1-46.若n 元线性方程组AX =0满足秩n A =)(,则该线性方程组( ). A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 有非0解 D. 无解 47.线性方程组⎩⎨⎧=+=+3212121x x x x 解的情况是( ).A.有无穷多解B. 只有0解C. 无解D.有惟一解48.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是( ).A. 有无穷多解B. 只有0解C. 有唯一解D. 无解 49. 当条件( )成立时,n 元线性方程组b AX =有解.A. r A n ()<B. r A n ()=C. n A r =)(D. O b = 50.设线性方程组b AX =有惟一解,则相应的齐次方程组O AX =( ). A .无解 B .只有0解 C .有非0解 D .解不能确定 51.设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是( ). A .m A r A r <=)()( B .n A r A r <=)()( C .n m < D .n A r <)(二、填空题 1.函数24)(2--=x x x f 的定义域是 .2.函数1142++-=x x y 的定义域是 . 3.函数)1ln(42+-=x x y 的定义域是 .4.函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是 .5.设函数52)1(2++=+x x x f ,则____________)(=x f . 6.若函数62)1(2+-=-x x x f ,则=)(x f.7.如果函数)(x f y =对任意x 1, x 2,当x 1 < x 2时,有 ,则称)(x f y =是单调减少的.8.设21010)(xx x f -+=,则函数的图形关于 对称.9.已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ,其中p 为该商品的价格,则该商品的收入函数R (q ) = .10.已知xxx f tan 1)(-=,当 时,)(x f 为无穷小量. 11.函数1()1exf x =-的间断点是 . 12.已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ,若f x ()在x =1处连续,则=a .13.已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0011)(2x a x x x x f ,若)(x f 在),(∞+-∞内连续,则=a .14.若函数x x f +=11)(,则=-+hx f h x f )()( . 15.过曲线x y 2e -=上的一点(0,1)的切线方程为 . 16.曲线y =)1,1(处的切线斜率是 .17.曲线1)(2+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 . 18.设某商品的需求函数为2e10)(pp q -=,则需求弹性=p E .19.需求量q 对价格p 的函数为2e80)(p p q -⨯=,则需求弹性为E p = .20.函数3)2(-=x y 的驻点是 . 21.函数2)1(3-=x y 的驻点是________.22.若c x F x x f +=⎰)(d )(,则x f x x )de (e --⎰= .23.函数x x f 2cos )(=的全体原函数是 .24.设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ,且R (0) = 0,则平均收入函数为.25. =⎰-x x d ed 2.26.若)(x f '存在且连续,则⎰='])(d [x f . 27.=+⎰x x x d )1ln(d d e 12. 28.积分=+⎰-1122d )1(x x x.29.0e )(33='+'''y y x是 阶微分方程. 30.微分方程3x y ='的通解是 . .31.x x d e 03⎰∞-= .32.若方阵A 满足 ,则A 是对称矩阵.33.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ,当a = 时,A 是对称矩阵. 34.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=03152321a A ,当a = 时,A 是对称矩阵. 35.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ,I 为单位矩阵,则T)(A I -= . 36. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵,其中C B ,可逆,则矩阵方程D BXC A =+的解=X .37.设B A ,均为n 阶矩阵,)(B I -可逆,则矩阵方程X BX A =+的解X = . 38.设A 为n 阶可逆矩阵,则r (A )= .39. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵,则≤)(A r .40.已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵,且该方程组有非零解,则≤)(A r .41.设齐次线性方程组11⨯⨯⨯=m n n m O X A ,且)(A r = r < n ,则其一般解中的自由未知量的个数等于 .42.齐次线性方程组0=AX (A 是n m ⨯)只有零解的充分必要条件是 . 43.线性方程组AX b =有解的充分必要条件是 .44.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-03022121x x x x λ有非零解,则=λ .45.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-02121x x x x λ有非零解,则=λ .46.齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .47.线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A ,则当d = 时,方程组AX b =有无穷多解.48.设线性方程组b AX =,且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ,则__________t 时,方程组有唯一解.49.若5)(=A r ,4)(=A r ,则线性方程组b AX = .三、微积分计算题 1.设xx y 32eln -+=,求y '.2.已知2sin 2x x=,求y '.3.设x y xtan e5-=-,求y '.4.设x y x5cos 3+=,求y d . 5.设2ecos x x y --=,求y d .6.设x x y x+=cos e,求y d . 7.设x y x5sin cos e +=,求y d .8.设x y xtan esin +=,求y d .9.设2sin 2cos x y x-=,求y '. 10.设x x y 2e ln -+=,求y d .11.设xx y --+=1)1ln(1,求)0(y '.12.设)1ln(2++=x x y ,求)3(y '13.x x x d )2sin (ln +⎰.14.计算积分⎰x x x d 1sin2.15.计算⎰xx x d e .16.计算x x xd e2121⎰17.x xx d ln 112e 0⎰+18.计算积分⎰e1d ln x x x .19.计算x x x d cos 22π0⎰.20.计算积分⎰202d sin πx x x .21.计算定积分⎰2π0d sin x x x .四、代数计算题1.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=6351A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11B ,求B I A 1)(--.2.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112,322121011B A ,求B A 1-.3.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=521,322121011B A ,求B A 1-.4.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=321201A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=212213B ,计算1)(-AB .5.设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201,B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136,计算1)(-AB .6.设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ,计算)(T C BA r +.7.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311,计算 1)(-+A I .8.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=843722310A ,I 是3阶单位矩阵,求1)(--A I .9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ,求1T )(-A B .设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ,求1T )(-A B .10.求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解.11.求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=--1261423623352321321321x x x x x x x x x 的一般解.12.求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+-+-=---=---262124204831234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解.13.求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x 的一般解.14. 设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ,λ为何值时,方程组有非零解?在有非零解时求其一般解.15.求当λ取何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++-=--+1479637222432143214321λx x x x x x x x x x x x 有解,在有解的情况下求方程组的一般解.16.当λ取何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解?并求一般解.17.求当λ取何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-λ432143214321114724212x x x x x x x x x x x x 有解,并求出一般解.18.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ,求解矩阵方程B XA =. 19.讨论当a ,b 为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+b ax x x x x x x x 321321312022无解,有唯一解,有无穷多解.20. 已知B AX =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=108532,1085753321B A ,求X .五、应用题1.已知某产品的销售价格p (单位:元/件)是销量q (单位:件)的函数p q =-4002,而总成本为C q q ()=+1001500(单位:元),假设生产的产品全部售出,求产量为多少时,利润最大?最大利润是多少?2. 某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C (元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?3.设生产某种产品q 个单位时的成本函数为:q q q C 625.0100)(2++=(万元),求:(1)当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当产量q 为多少时,平均成本最小?4.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为:x x x C 6100)(2++=(万元),求:⑴当10=x 时的总成本和平均成本;⑵当产量x 为多少时,平均成本最小?5.设某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为402)(+='x x C (万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.6.已知某产品的边际成本34)(-='q q C (万元/百台),q 为产量(百台),固定成本为18(万元),求⑴该产品的平均成本.⑵最低平均成本.7.生产某产品的边际成本为x x C 5)(=' (万元/百台),边际收入为x x R -='120)((万元/百台),其中x 为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?8.生产某产品的边际成本为C '(q )=8q (万元/百台),边际收入为R '(q )=100-2q (万元/百台),其中q 为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?9.设生产某产品的总成本函数为 x x C +=5)((万元),其中x 为产量,单位:百吨.销售x 百吨时的边际收入为x x R 211)(-='(万元/百吨),求:⑴利润最大时的产量;⑵在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?10.设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元),其中x 为产量,单位:百吨.销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='(万元/百吨),求:(1) 利润最大时的产量;(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?。

《经济数学基础》习题答案及试卷(附答案)

《经济数学基础》习题答案及试卷(附答案)

习题解答第一章 经济活动中的函数关系分析实训一(A )1.填空题:(1)(,2][2,)-∞-+∞ ; (2)()3,5; (3)1x; (4)2x e ;2x e ; (5)473x -,提示:由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦,所以()473x g x -=.2.(1)tan(2)y x =;(2)(3)y=;(4)y=lg(sin 2)x .3.(1)cos y u =,1xu e =-; (2)ln y u =,222u x x =-+;(3)y =1u x =+;(4)y lg u v =,v =实训一(B )1.由已知可知2110x -<-<,得到201x <<,即定义域为()()1,00,1- .2.由()21f x x -=,可得()()2111f x x -=-+,所以()()21f x x =+.也可令1x t -=.3.(1)u y e =,sin u v =,2v x =;(2)log uv ay =,21u x =+,sin v w =,2w x =. 4. ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==;()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭. 实训二 (A )1.填空题:(1)y =(2)[]1,3-; (3)2π-,4π; (4)12,π. 2.(1)⨯;(2)⨯;(3)⨯;(4)√.3.(1)由()cos 21y x =+,解得21arccos x y +=,()1arccos 12x y =-, 所以,()()11arccos 12fx x -=-.定义域:[]1,1x ∈-;值域:11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(2)由()1ln 2y x =++,解得12y x e -+=,12y x e -=-,所以,()112x fx e --=-定义域:(),x ∈-∞+∞;值域:()2,y ∈-+∞ 4.【水面波纹的面积】设面积为S (2cm ),时间为t (s ),则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈.实训二(B )1.由()x a f x x b +=+,解得反函数为()11a bx f x x --=-. 由已知()1x a f x x b -+=+,可得1a bx x a x x b-+=-+,相比较,可得a 为任意实数,1b =-.2.由()ln x x ϕ=,()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦,可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以,()213x g x e+=.实训三【商品进货费用】 设批次为x ,由题意: 库存费:11250030000242C x x=⋅⋅=; 订货费:2100C x =. 【原料采购费用】设批量为x ,库存费用为1C ,进货费用为2C ,进货总费用为12C C C =+.1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为:12640000C C C x x=+=+. 【商品销售问题】设需求函数关系式为:d Q ap b =+,其中p 为定价. 由已知可得:1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩,解得1000a =-,80000b =,所以100080000d Q p =-+; 供给函数为:1003000s Q p =+平衡状态下:价格70p =;需求量10000d Q =. 【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-.()6001000L =; 无盈亏产量:()0L x =,解得400x =. 【供给函数】答案:1052PQ =+⋅. 【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+,[]0,100Q ∈. 平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+,[]0,100Q ∈.第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、(1)22log , 1y u u x ==+(2)1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、(1) 6 , 8P Q == (2) 3.5 , 3P Q == (3) 6.5 , 7P Q ==2、(1)()10200C x x =+,()200()10C x C x x x==+ (2)()15R x x =(3)()()()5200L x R x C x x =-=-,无盈亏点:40x =五、证明题(略)第二章 极限与变化趋势分析实训一(A )1.(1)×;(2)√;(3)×;(4)×;(5)√. 2.(1)收敛,且lim 0n n x →∞=;(2)发散,lim n n x →∞=∞;(3)收敛,且lim 2n n x →∞=;(4)发散.3.(1)收敛,且lim 2x y →∞=;(2)收敛,且0lim 1x y →=;(3)收敛,且lim 1x y →+∞=;(4)发散.【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==.实训一(B )(1)无穷大;(2)无穷大;(3)无穷大;(4)无穷大. 【人影长度】越靠近路灯,影子长度越短,越趋向于0.实训二 (A )1.填空题(1)5;(2)2;(3)1;(4)13;(5)∞;(6)∞;(7)2. 2.(1)()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++; (2)(222211lim2x x x x x x →→→===--;(3)()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---; (4)()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭. 3.(1)222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭; (2)()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【污染治理问题】由题意可知,该问题为等比级数问题,首项为a ,公比为45,则设n 周后所剩污染物为n a ,则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以,可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净.【谣言传播】 (1)1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+;(2)121(t)0.8110t P e-==+,可解得2ln 407.38t =≈.实训二(B )1.填空题(1)32π-; (2)0;0.(无穷小与有界函数的乘积为无穷小)(3)0a =,2b =-.2.(1)()3320lim3h x h x x h→+-=;(2)442x x x →→→===.3.由()3lim 30x x →-=,且232lim 43x x x kx →-+=-,可得()23lim 20x x x k →-+=,解得3k =-.4.由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--,可得7a =-,6b =.实训三 (A )1.填空题(1)1e -;(2)3e -;(3)e ;(4)e ;(5)3k =;(6)5050.1230⨯⨯=万元,()55010.125038.1⨯+-=万元,50.125041.1e ⨯=万元. 2.(1)6e -;(2)1e -;(3)2e -;(4)01e =. 3.(1)0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元; 2.25o P =万元.(2)24.38t p =万元;24.43t p =万元.实训三(B )1.(1)(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦;(2)()15lim 15xx x x e →→∞=+=;(3)()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=;(4)()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==.2.322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以3c =. 实训四 (A )1.填空题 (1)(]0,3;(2)()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩;(3)()0lim 1x f x -→=-,()0lim 0x f x +→=,()0lim x f x →不存在; (4)()(),22,-∞--+∞ ; (5)1x =,2x =;(6)1k =.2.图略,()0lim 1x f x -→=,()0lim 0x f x +→=,()0lim x f x →不存在. 3.()()1lim 11x f x f -→==,()1lim 2x f x +→=,因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠,所以()f x 在1x =处不连续.【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元.850035005000-=,50000.2555455⨯-=;1200035008500-=,85000.25551145⨯-=.【出租车费用】图略,()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩.实训四 (B )1.图略,()()0lim 10x f x f -→=-=,()0lim 0x f x +→=,因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠,所以()f x 在0x =处不连续.2.由连续的定义可知:()()220lim 1xx k f x e →==+=.3.因为()01f =,()01lim sin00x x f x→=≠(无穷小与有界函数的乘积), 所以0x =为第一类的可去间断点.第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、(1)原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+(2)原式=lim lim x x=1lim2x==-(3)设1xe t-=,则ln(1)x t=+,0x→时,0t→,原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+(4)原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续,从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一(A )1.填空题(1)45x ; (2)2313x -; (3)23x ; (4)5232x --;(5)2ln 2x ; (6)1ln10x ; (7)0; (8)0.2.2log y x =,1ln 2y x '=.212ln 2x y ='=,122ln 2x y ='=.3.(1)()141y x -=-,即43y x =-; (2)()222y x +=--,即22y x =-+; (3)cos y x '=,312x k y π='==,切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即126y x π=-. 实训一(B )1.()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-.2.()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--. 其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=,()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 3.因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上,不是切点.设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为:()2312Y X a a a -=--,有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上,带入可得1a =,所以切线方程为:()121y x -=--,即23y x =-+.实训二 (A )1.(1)223146y x x x '=+-; (2)11'ln n n y nx x x --=+; (3)21'41y x x =++; (4)2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+. 2.(1)22'1xy x =+; (2)22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+; (3)'y = (4)22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====.3.(1)''2y =; (2)''2x x y e xe --=-+(3)222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--; (4)2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++. 4.(1)2212dy x xdx y y --+==;(2)x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--. 【水箱注水】由24r h =,12r h =,22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,两边求导得214v h h π''=,由已知2v '=,3h =,带入可得: 1294h π'=,89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分.【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=,两边求导可得:220dx dy xy dt dt +=,即dx y dy dt x dt=-, 将8y =,6x =,0.5dy dt =带入可得:820.563dy dt =-⨯=-.所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒.负号表示运动方向. 实训二 (B )1.(1)11(1ln )e x e x y x x x e -=+++; (2)()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭. 2.()()cos sin x x y e x f e x ''=++. 3.将1y y xe -=两边对x 求导可得:0y y dy dy e xe dx dx --=,即1y ydy e dx xe =-.…………(1) 将0,1x y ==带入(1)可得:y e '=. 对(1)继续求导,()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-.4.(1)22x z z xy x ∂'==∂, 22y zz yx y ∂'==∂; (2)2xy x z z ye xy x ∂'==+∂,2xy y z z xe x y∂'==+∂. 实训三 (A )1.填空题(1)单调递增区间,(),0-∞;单调递减区间()0,+∞. (2)6a =-.(3)驻点. (4)()00f x ''<.2.()()3444110y x x x x x '=-=-+=,得驻点1230,1,1x x x ==-=,单调递增区间:()()1.0 1.-+∞ ,单调递减区间:()().10.1-∞- .3.()()23693310y x x x x '=--=-+=,得驻点121,3x x =-=.又由于:66y x ''=-,()1120y ''-=-<,所以11x =-为极大点,极大值为0; ()360y ''=>,所以23x =为极小点,极小值为32-.【定价问题】21200080R PQ P P ==-,25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-, 224000160T Q P ==-,21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=,解得:101P =, 167080L =.【售价与最大利润】1100200Q p =-,21100200R PQ P P ==-;220019004400L R C P P =-=+-,40019000L P '=-+=,解得 4.75P =此时:150Q =,112.5L =. 【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++;21000010c x '=-+=,解得100x =.【最大收入】315x R px xe -==,33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=,解得:3x =,此时115p e -=,145R e -=.实训三 (B )1.(1)设()1xf x e x =--,()10xf x e '=->(0x >),说明()f x 在0x >时单调递增,又()00f =,所以,当0x >时,()()00f x f >=,所以不等式成立. (2)设()()ln 1f x x x =-+,()1101f x x'=->+(0x >),说明()f x 在0x >时单调递增,又()00f =,所以,当0x >时,()()00f x f >=,所以不等式成立. 2.()cos cos3f x a x x '=+,没有不可导点,所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭,得2a =.又()2sin 3sin3f x x x ''=--,03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭,所以3x π=为极大值点,极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】 设批量为x ,采购费:132********200C x x =⨯=; 库存费:222xC x =⨯=;总费用:12640000C C C x x=+=+; 264000010C x'=-+=,解得800x =唯一驻点, 所以采购分4次,每次800吨,总费用最小.第三章自测题一、填空题 1. 2 2. 12-3. 21x -4. 1-5. 212c o s x xx+ 6. 17. 2l n3x + 8. 2 ; 09. 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10. 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、(1)([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==(2)222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导,得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得:22y xy y x-'=-,将0,1x y ==代入,得切线斜率12k =,所以,切线方程为:11(0)2y x -=-,即:220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=,得驻点120,2x x ==递增区间:(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间:(0,2)极大值:(0)7f = 极小值:(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以,两船间的距离增加的速度为50千米/小时. 2、第四章 边际与弹性分析实训一(A )1.填空题(1)0.2x ∆=, 2.448y ∆=, 2.2dy =. (2)1x dy edx ==. (3)12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (4)cos(21)x +,2cos(21)x +. (5)[]()f g x ',[]()()f g x g x ''.2.(1)(12)dy x dx =+; (2)221dy dx x =+; (3)222(22)x x dy xe x e dx --=-; (4)322(1)dy x x dx -=-+; (5)23(1)1dy dx x =-+; (6)1dx dy x nx=. 3.()ln 11x y x x '=+++,11ln 22x y ='=+,所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【金属圆管截面积】2s r π=,2200.05ds r r πππ=∆=⨯=.实训一(B )1.(1)2sec x ;(2)1sin 5x 5;(3)2x ;(4)232x ;(5)21x +;(6)arctan x . 2.将x yxy e+=两边对x 求导,()1x yy xy ey +''+=+,解得:x y x ye yy x e ++-'=-,所以x y x ye ydy dx x e++-=-.3.(1110.001 1.00052≈+⨯=;(20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭; (3)()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈; (4)0.0510.05 1.05e ≈+=. 【圆盘面积的相对误差】2s r π=,0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆(1)()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==; (2)2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈. 实训二 (A )1.(1)()2'2x f x xe =;(2)[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++.2.(1)()21900110090017751200C =+⨯=;17757190036C ==. (2)()39002C '=,表示第901件产品的成本为32个单位;()51000 1.673C '=≈,表示第1001件产品的成本为53个单位. 3.(1)(50)9975R =;9975199.550R ==. (2)()502000.0250199R '=-⨯=,表示第51件产品的收入为199个单位. 4.22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--,50.020L x '=-=,解得唯一驻点250x =,所以当每批生产250个单位产品时,利润达到最大.实训二(B )1.()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩, 即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩,求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩,令()0L x '=解得3x =百台(唯一驻点) 所以每年生产300台时,利润达到最大.()()430.5L L -=-万元,在最大利润的基础上再生产1百台,利润将减少0.5万元.2.()0.50.25C a a =+(万元)()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=,解得 4.75a =(百台)又()10L a ''=-<,有极值的第二充分条件,可知当 4.75a =为最大值(唯一驻点) 所以该产品每年生产475台时,利润最大.实训三 (A )1.填空题 (1)1axy=;(2)21x Ey Ex ==;(3)1ln()4p η=-;(4)()334η=,()41η=,()554η=. 2.(1)15x η=; (2)3(3)5η=,价格为3时,价格上涨1%,需求下降0.6%,缺乏弹性;(5)1η=,价格为5时,价格上涨1%,需求下降1%,单位灵敏性; 6(6)5η=,价格为6时,价格上涨1%,需求下降1.2%. 3.(1)500P =元时,100000Q =张. (2)18002ppη=-.(3)1η=时,18002600p p p =-⇒=所以:当0600p ≤<时,1η<;当600900p <≤时,1η>.实训三 (B )1.(1)224202EQ x x Q Ex Q x '==--,243x EQ Ex ==-,所以价格增长5%,需求量减少6.7%;(2)()()3220R x xQ x x x ==--,x =403Q =.2.(1)2Q P '=-,48P Q ='=-,经济意义:在价格4P =的基础上,增加一个单位,需求量减少8个单位.(2)22275P P Q Q P η'=-=-,4320.542359P η===,经济意义,在4P =的基础上涨1%,需求减少0.54%.(3)375R PQ p p ==-,3375375p p p pη-=-,(4)0.46η=,经济意义,在4P =的基础上,若价格上涨1%,收入上涨0.46%.(4)198(6)0.46234η-=≈-,经济意义,在6P =的基础上,若价格上涨1%,收入减少0.46%. (5)375R p p =-,275305R p p '=-=⇒=,又6R p ''=-,()5300R ''=-<,所以由极值的第二充分条件,可知5P =时,总收入最大.第四章自测题一、填空题 1. 22 ; 2xxe e2.212x 3. arctan x4. 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5. 45 ; 11 ; 456.10 ; 10% ; 变动富有弹性 7. 15%20% 8. 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、(1)2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ (2)222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导,得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得,3221dy x y dx y =-,3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、(1)()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++(2)2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=,得Q = (3)2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =,得Q =2、 4Q P '=-(1)(6)24Q '=-,6P =时,价格上升1个单位,需求量减少24个单位.(2)22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时,价格变动1%,需求量变动2413% (3)23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时,若价格下降2%,总收入将增加2213%第五章 经济总量问题分析实训一(A )1.填空题(1)3x ,3x C +; (2)3x ,3x C +; (3)cos x -,cos x C -+;(4C ; (5)arctan x ,arctan x C +.2.(1)B ; (2)C ; (3)D ; (4)A .3.(1)5322225x x C -+;(2)31cos 3xx e x C --+;(3)21x x C x-++; (4)(2)ln 2xe C e+. 4.(1)1arctan x C x--+;(2)sin cos x x C ++. 【曲线方程】由题意()21f x x '=+,所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰,又过点()0,1带入,得到1C =,所以曲线方程为:()3113f x x x =++. 【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++,又固定成本为2000元,所以 ()220.012000C x x x =++. 【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰,由()000R C =⇒=,所以总收入函数为()2780.6R x x x =-.实训一(B )1.填空题(1)sin 2ln x x x +;(2)223cos3x e x +;(3)ln x x C +. 2.(1)D ; (2)B .3.(1)322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++; (2))32332333I dx x x C ===-+⎰;(3)()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰; (4)()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰.实训二 (A )1.填空题 (1)212x ; (2)x e --; (3)ln x ; (4)arctan x ; (5)23x x +; (6)arcsin x . 2.(1)B ; (2)B .3.(1)()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰; (2)()()3212313139I x x C =+=++;(3)()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰;(4)111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰.4.(1)sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰; (2)()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰;(3)()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰;(4)22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+. 5.(1)()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰;(2)()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++. 【需求函数】由已知,()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时,1000Q =,代入上式,得到0C =.所以,()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【资本存量】由已知,32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时,2500498y C C =+=⇒= 所以,322(1)498y t =++.实训二 (B )1.填空题(1)ln ()f x C +;(2)arctan(())f x C +;(3)'()()xf x f x C -+. 2.(1)()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰;(2)()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+;(3)()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰;(4)()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++. 【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度,由冷却定律可得:0()dTk T T dt=-, 分离变量0dT kdt T T =-,两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰,可得:()0ln ln T T kt c -=+,0()kt T t T ce =+.由已知()0100T =,()160T =,020T =,带入得到:80c =,ln 2k =-, 所以ln2()2080t T t e -⋅=+, 当ln 23020803te t -⋅=+⇒=.实训三 (A )1.填空题 (1)122lim(1)nn i i n n→∞=+∑;(2)2)x dx -;(3)2π;(4)0. 2.(1)12010(3)3S x dx =+=⎰; (2)12218(2)3S x x dx -=--=⎰;(3)1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰.实训三 (B )1.(1)分割:将[]0,4n 等分,每份长度为4n ;(2)近似代替:2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦;(3)求和:()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑; (4)取极限:()2211282lim16n n n n A n→∞++==. 2.1sin xdx π⎰.3.22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.实训四 (A )1.填空题(1)64;(2)1;(3)2π;(4)3;(5)1. 2.(1)()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰; (2)()()44223328I x dx xx =+=+=⎰;(几何上为直角三角形的面积)(3)22242200111222x x e I e dx e -===⎰; (4)2112111xx I e d e e x =-=-=⎰(5)01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰; (6)0;(利用当积分区间为对称区间,被积函数为奇函数时定积分的性质) (7)121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰;(8)02sin 4I xdx π==⎰.(利用定积分的周期性)【资本存量问题】 (1)434211214I t ===⎰(万元);(4)33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰.【投资问题】01000P =,200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =,0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<,所以,此项投资不恰当.实训四 (B )1.因为()1229214x dx --+=-⎰,()1129214x dx -+=⎰,()20216x dx +=⎰,()21214x dx +=⎰, ()3222213x dx +=⎰, 所以应该分两种情况: (1)因为()3403kf x dx =⎰,()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以,0k =; (2)因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰,由对称性可知1k =-.2.对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=(切记:定积分的换元要换限,积分值不变),则有:()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰,所以,()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰. 3.()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=.因为()()222x x f x e xe --'==-,()f x 为奇函数,所以()()110f f +-=.【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1.sin x x e c ++2.5314453x x x c -++ 3.ln xdx4.21ln 2x c +5.196.327.94π8.21200 ;200Q Q - 9.二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、(1)原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ (2)原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、(1)222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰(2)222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、(1)32412)2(24S x x dx x x =-=-=(2)1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、(1)2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ,9000c ∴=, 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- (2)令()()R Q C Q ''=,得60Q = 最大利润(60)99000L =(元) 3、.期末考试(90分钟)一、选择题(每题3分,共9分)1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续,问k =( )。

2022年经济数学基础期末综合练习解答

2022年经济数学基础期末综合练习解答

《经济数学基本》期末综合练习解答一、填空题1. ),3()3,2(+∞⋃2. ]1,0()0,1[⋃-3.11+-x x 4. 4)180(xx - 5. –36. ),5()5,3()3,(+∞⋃-⋃--∞7. 08. )0,(-∞(或 ]0,(-∞) 9。

0< 10。

q 1.05- 11. 1 12. 0 13.1313-+x x 14. n 15. n = s 16.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2240 17. 3二、单选题1. B2. A3. C4. A5. C6. D7. C8. A9. D 10. C 11. C 12. C 13. C 14。

A 15. B 16.D 17. A 18. C 19. C 20. C 21. B 22. D 23.C 24. C 25. B 26. B三、计算题 1. 解:xx x +-→42lim=)42)(42()42(limx x x x x +++-++→xx x x -++=→)42(lim4)42(lim 0-=++-=→x x2. 解 112sin lim-+→x x x xxx x x x x x x 22sin )11(2lim )11)(11(2sin )11(lim00++=++-+++=→→= 43. 解 )3sin(34lim23-+-→x x x x 2)1()3sin()3(lim )3sin()1)(3(lim33=-⋅--=---=→→x x x x x x x x4. 解 )1sin sin (lim x x x x x +∞→111sinlim01sin lim sin lim =+=+=∞→∞→∞→xx xx x x x x x5. 解x x x x y x x x x 2cos 2ln 22sin )(cos )2(2sin 222⋅-⋅-='⋅-'⋅-='6. 解 33233333sin cos 3)(cos sin 1)(sin sin 1xx x x x x x x y ='⋅='='32cot 3x x = dx x x dx y dy 32cot 3='=7. 解:x x x y 3sin 3cos sin 32-=',32='=πx y2π=x dydx 3=8. 解 )(sin 1sin 2sin 3)1(sin 1sin 213233'+='++='x x x x x y 1sin 2cos sin 332+=x x x9. 解2125-+-=x x x y='y 232321125---x x10. 解:在方程等号两边分别对x 求导,得yx y y x y +'+='+1 解出y ',得 2211xxy xy y dx dy ---+= 11. 解 在方程两边同步对x 求导,得0))(ln())(sin(='+-'y x xy0)(1))(cos(='++-'y x yx xy xy 0)1(1))(cos(='++-'+y yx y x y xy 整顿,得)cos(1]1)cos([xy y yx y y x xy x -+='+-解出y ',得1)cos()()cos()(11)cos()cos(1-++-=+--+='xy x y x xy y y x yx xy x xy y yx y12.解 在方程两边同步对x 求导,得22sin 1ln )(⋅-=⋅+'+'+x xy x y y x y e xy xy ye x y x xe xy xy ---='+2sin 2)ln ( xx e x y xye x x xxe x yye x y xy xyxy xy ln 2sin 2ln 2sin 22+++-=+++-='13. 解⎰dx e x x22⎰⎰⋅-==xdx e e x de x xx x 221212122222 ⎰⎰+-=-=dx e xe e x xde e x x x x x x 22222222121212121 C e x x x ++-=22)21(2114.解⎰dx x x 2cos c x x x dx x x x x xd ++=-==⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 2)2(sin 215. 解:⎰-dx x x 132⎰--=)1(113133x d x c x +-=1323 16. 解⎰--dx x e e x xx)3(⎰⎰-=dx x dx e x1)3(C x e e x +-=23ln )3(17.解dx xex⎰4)1(2222404-===⎰e e x d e xx18. 解 原式⎰⋅-⋅=e edx x x x x 123123132ln 32 (+)x ln →xdx x e e ⎰-=121233232 (-) x 1 → 2332x=⋅-=e x e 12323323232949223+e 19. 解⎰+5231dx x x ⎰⎰+-=+=502250222)()111(21)(121x d x x d x x ⎰++-=5022502)1(112121x d x x )26ln 25(2126ln 21225)1ln(2122552-=-=+-=x 20. 解:⎰+21ln 11e dx xx ⎰++=21)1(ln ln 11e x d x)13(2ln 1221-=+=e x21.解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=6040402022A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=302020101AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200340015⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6210680215=-AB A 2-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--604040202⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---6210680215⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=0266120013T AB A )2(-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=060212160322.解 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-7352IA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-1121015210730152],[I I A⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--231057012310112101521121 因此,1)(--I A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2357 B I A 1)(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12112357 23. 解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=013110AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021011⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2312 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1023113110230112,I AB⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡----→727310113123701131 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→727310717201,于是 1)(-AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=72737172 24. 解 =TBA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=042006C BA T +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210 25. 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=344103441011111344100112311111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→000003441023301000003441011111故方程组旳一般解为:⎩⎨⎧---=-+=344233432431x x x x x x 其中3x ,4x 是自由未知量。

经济数学基础综合练习及参考答案----第一部分微积分

经济数学基础综合练习及参考答案----第一部分微积分

1经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学一、单项选择题 1.函数()1lg +=x xy 的定义域是(1->x 且0≠x). .2.若函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)2(xf 的定义域是(]0,(-∞ ).3.下列各函数对中,( x x x f 22cos sin )(+=,1)(=x g )中的两个函数相等.4.设11)(+=xx f ,则))((x f f =(11++xx).5.下列函数中为奇函数的是( 11ln+-=x x y).6.下列函数中,()1ln(-=x y )不是基本初等函数.7.下列结论中,( 奇函数的图形关于坐标原点对 )是正确的. 8. 当x →0时,下列变量中(xx 21+ )是无穷大量. 9. 已知1tan )(-=xxx f ,当( x →0 )时,)(x f 为无穷小量.10.函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ( 1).11. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处(右连续 ).12.曲线11+=x y 在点(0, 1)处的切线斜率为( 21- ).13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为(y =x ).14.若函数x x f =)1(,则)(x f '=(-21x ).15.若xx x f c o s )(=,则='')(x f ( x x x cos s i n 2-- ).16.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是(e x).17.下列结论正确的有( x 0是f (x )的极值点,且f '(x 0)存在,则必有f '(x 0) = 0 ).18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=,则需求弹性为E p =(--pp32 ).二、填空题1.函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5,2]2.函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )3.若函数52)1(2-+=+x x x f ,则=)(x f 62-x .4.设函数1)(2-=u u f ,xx u 1)(=,则=))2((u f 43-.5.设21010)(x x x f -+=,则函数的图形关于 y 轴对称.6.已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ,则当产量q = 50时,该产品的平均成本为3.6 .7.已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ,其中p 为该商品的价格,则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 . 8. =+∞→xx x x sin lim1 .9.已知x x x f sin 1)(-=,当0→x 时,)(x f 为无穷小量.10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ,若f x ()在),(∞+-∞内连续,则=a 2 .11. 函数1()1e xf x =-的间断点是0x =.12.函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是)1,(--∞),2(∞+.)1处的切线斜率是(1)0.5y '=14.函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)15.已知x x f 2ln )(=,则[f =0 .16.函数y x =-312()的驻点是x =1.17.需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=,则需求弹性为E p =2p-.18.已知需求函数为pq 32320-=,其中p 为价格,则需求弹性E p =10-p p.三、计算题(答案在后面)1.423lim222-+-→x x x x 2.231lim21+--→x x x x 3.x → 4.2343limsin(3)x x x x →-+- 52)1tan(lim 21-+-→x x x x 6.))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 7.已知y xxx cos 2-=,求)(x y ' . 8.已知)(x f x x x ln sin 2+=,求)(x f ' . 9.已知x y cos 25=,求)2π(y ';10.已知y =32ln x ,求y d . 11.设x y x5sin cos e +=,求y d .12.设xx y -+=2tan 3,求y d .13.已知2sin 2cos x y x -=,求)(x y ' .14.已知xx y 53e ln -+=,求)(x y ' . 15.由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '.16.由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '.17.设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定,求0d d =x xy.18.由方程x y x y =++e )cos(确定y是x 的隐函数,求y d .四、应用题(答案在后面) 1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为:x x x C 625.0100)(2++=(万元),求:(1)当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当产量x为多少时,平均成本最小?2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q p =-100010(q 为需求量,p 为价格).试求:(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数p q 42000-=,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的,试求:(1)价格为多少时利润最大?(2)最大利润是多少? 4.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2(元),单位销售价格为p = 14-0.01q (元/件),试求:(1)产量为多少时可使利润达到最大?(2)最大利润是多少?5.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C (元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少? 6.已知某厂生产q件产品的成本为C q q q ()=++25020102(万元).问:要使平均成本最少,应生产多少件产品? 三、极限与微分计算题(答案) 1.解423lim222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim2+---→x x x x x =)2(1lim2+-→x x x = 412.解:231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x=21)1)(2(1lim1-=+-→x x x3.解l ix →0x → =xx x x x 2sin lim)11(lim 00→→++=2⨯2 = 44.解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---=333limlim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 25.解)1)(2()1tan(lim2)1tan(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim21lim11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯= 6.解))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x xx --++-∞→=2323)2(65-=⨯-7.解:2y '(x )=)cos 2('-xx x =2cos sin 2ln 2x xx x x --- =2cos sin 2ln 2x xx x x ++8.解xx x x f x x 1cos 2s i n 2ln 2)(++⋅=' 9.解 因为5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y10.解 因为 )(ln )(ln 3231'='-x x y331ln 32)(ln 32xx x x ==- 所以x xx y d ln 32d 3=11.解 因为)(cos cos 5)(sin e4sin '+'='x x x y xx x x xsin cos 5cos e4sin -=所以x x x x y xd )sin cos 5cos e(d 4sin -=12.解 因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x xx--=所以 x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=13.解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x2cos 22ln 2sin 2x x x x --=14.解:)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--=15.解 在方程等号两边对x 求导,得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xyx y xyxy xyy xyy x x e 1]e )1[ln(-+-='++故]e )1)[ln(1(e )1(xyxyx x x y x y y +++++-='16.解 对方程两边同时求导,得0e e cos ='++'y x y y yyyyy x y e)e (cos -='+)(x y '=yyx y e cos e +-.17.解:方程两边对x 求导,得 y x y yy '+='e eyy x y e1e-='当0=x 时,1=y所以,d d =x xye e 01e 11=⨯-=18.解 在方程等号两边对x 求导,得)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin (1)]sin(e [y x y y x y++='+-)sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故x y x y x y yd )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题(答案)1.解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ,65.0)(+='x x C所以,1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=, 116105.0)10(=+⨯='C(2)令25.0100)(2=+-='xx ,得20=x (20-=x 舍去)因为20=x 是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当=x 20时,平均成本最小.2.解 (1)成本函数C q ()= 60q +2000.因为 qp =-100010,即p q =-100110, 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -. (2)因为利润函数L q ()=R q ()-C q ()=1001102qq --(60q +2000)= 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40-0.2q令'L q ()= 0,即40- 0.2q = 0,得q = 200,它是L q ()在其定义域内的唯一驻点. 所以,q = 200是利润函数L q ()的最大值点,即当产量为200吨时利润最大.3.解 (1)C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000,且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300,该问题确实存在最大值. 所以,当价格为p =300元时,利润最大.(2)最大利润1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L (元).4.解 (1)由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-=',令004.010=-='q L ,解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大,(2)最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L (元)5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++(q >0)'C q ()=(.)05369800q q++'=0598002.-q令'C q ()=0,即0598002.-q =0,得q 1=140,q 2=-140(舍去).q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=05140369800140.⨯++=176 (元/件) 6.解 (1) 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++'C q ()=()2502010qq ++'=-+2501102q令'C q ()=0,即-+=2501100q ,得q 1=50,q 2=-50(舍去),q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点.所以,q 1=50是q ()的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50件产品.。

经济数学基础综合练习及参考答案

经济数学基础综合练习及参考答案

经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学我们的课程考试时间:08年7月12日下午14:00-15:30 方式:闭卷笔试,90分钟题型:单项选择题,填空题,计算题和应用题。

第1章函数一、单项选择题1.函数()1lg +=x xy 的定义域是( ).A .1->xB .0≠xC .0>xD .1->x 且0≠x2.函数x x x f -+-=4)1ln(1)(的定义域是( )。

A .],1(+∞ B .)4,(-∞ C .]4,2()2,1(⋃ D )4,2()2,1(⋃ 答案:C3.下列各函数对中,( )中的两个函数相等.A .2)()(x x f =,x x g =)( B .11)(2--=x x x f ,x x g =)(+ 1C .2ln )(x x f =,x x g ln 2)(=D .x x x f 22cos sin )(+=,1)(=x g 答案:D4.设xx f 1)(=,则))((x f f =( ).A .x 1B .21x C .x D .2x答案:C5.下列函数中为奇函数的是( ).A .x x y -=2B .x x y -+=e eC .)1ln(2x x y ++=D .x x y sin = 答案:C6.下列函数中为偶函数的是( ).A .x x y --=22B .x x cosC .2sin x x +D .x x sin 3 答案:D练习册:不是基本初等函数的( ) 二、填空题1.函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是 .答案:(-5, 2 )2.若函数52)1(2-+=+x x x f ,则=)(x f . 答案:62-x3.设21010)(xx x f -+=,则函数的图形关于 对称.答案:y 轴第2章,极限、导数与微分一、单项选择题1. 已知1sin )(-=xxx f ,当( )时,)(x f 为无穷小量. A . x →0 B . 1→x C . -∞→x D . +∞→x答案:A2.函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ( ).A .-2B .-1C .1D .23. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,1sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续,则=k ( ). A . 1 B . 0 C . 2 D .1-答案:A4.曲线11+=x y 在点(0, 1)处的切线斜率为( ).A .21- B .21 C .2 D .2-答案:A5. 曲线1+=x y 在点(1, 2)处的切线方程为( ).A .2121+=x yB . 2321+=x yC . 2121-=x yD . 2321-=x y答案:B6.若函数x xf =)1(,则)(x f '=( ).A .21xB .-21xC .x 1D .-x 1二、填空题1.已知xxx f sin 1)(-=,当 时,)(x f 为无穷小量.答案:0→x2.已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ,若f x ()在),(∞+-∞内连续,则=a .答案23.函数3212--+=x x x y 的间断点是 .答案:3,1=-=x x4. 函数233)(2+--=x x x x f 的连续区间是.答案:),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞5.曲线y =)1,1(处的切线斜率是.答案:21.6. 已知x x f 2ln )(=,则])2(['f = . 答案:0 三、计算题1.已知y x x x 2cos -=,求)(x y ' .解: x x x y 2sin )2(ln 22321+='2.已知)(x f x x sin 2=,求)(x f '解:)(x f 'xxx x x 21cos 2sin 2ln 2+=.3.已知x xe x y -=2cos ,求)(x y '; 解:)()2(sin 2x x xe e x x y +--='4.已知223sin x e x y -+=,求d y . 解: )4()(cos sin 3222x e x x y x -+='- d y=dx xe x x x )4)(cos sin 3(222--5.设 y x x x ln 2++=,求d y . 解:xxx y 12123+-='-dx xxxdy )121(23+-=- 6.设2e 2sin x x y -+=,求y d . 解:2e 22cos 2x x x y --='x x x y x d )e 22cos 2(d 2--=第3章,导数应用一、单项选择题1.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是( ).A .sin xB .e xC .x 2D .3 – x答案:D2.下列结论正确的有( ).A .x 0是f (x )的极值点,且f '(x 0)存在,则必有f '(x 0) = 0B .x 0是f (x )的极值点,则x 0必是f (x )的驻点C .若f '(x 0) = 0,则x 0必是f (x )的极值点D .使)(x f '不存在的点x 0,一定是f (x )的极值点 答案:A3. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=,则需求弹性为E p =( ).A .p p 32-B .--pp 32 C .32-p pD .--32pp 答案:B 二、填空题1.函数2)1(+=x y 的单调增加区间为 . 答案:(),1+∞-2. 函数y x =-312()的驻点是 . 答案:1=x3.需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -⨯=,则需求弹性为E p =。

经济数学基础线性代数部分综合练习及答案

经济数学基础线性代数部分综合练习及答案

经济数学基础线性代数部分综合练习及答案一、单项选择题1.设A 为23⨯矩阵,B 为32⨯矩阵,则下列运算中( A )可以进行.A .AB B .AB TC .A +BD .BA T2.设B A ,为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(B )A . T T T )(B A AB =B .T T T )(A B AB =C .1T 11T )()(---=B A ABD .T 111T )()(---=B A AB3.以下结论或等式正确的是( C ).A .若B A ,均为零矩阵,则有B A =B .若AC AB =,且O A ≠,则C B =C .对角矩阵是对称矩阵D .若O B O A ≠≠,,则O AB ≠4.设A 是可逆矩阵,且A AB I +=,则A -=1( C ).A .B B .1+BC .I B +D .()I AB --15.设)21(=A ,)31(-=B ,I 是单位矩阵,则I B A -T =( D ). A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 6.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ,则r (A ) =(C ). A .4 B .3C .2D .17.设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为(A ).A .1B .2C .3D .48.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是( A ). A . 无解 B . 只有0解 C . 有唯一解 D . 有无穷多解9.若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ,则当λ=( B )时线性方程组无解.A .0B .12C .1D .2 10. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是( D ).A .m A r A r <=)()(B .n A r <)(C .n m <D .n A r A r <=)()(11.设线性方程组AX=b 中,若r (A , b ) = 4,r (A ) = 3,则该线性方程组(B ).A .有唯一解B .无解C .有非零解D .有无穷多解12.设线性方程组b AX =有唯一解,则相应的齐次方程组O AX =(C ).A .无解B .有非零解C .只有零解D .解不能确定二、填空题1.若矩阵A = []21-,B = []132-,则A T2.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ,I 为单位矩阵,则T )(A I - 3.设B A ,均为n 阶矩阵,则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ,当a A 是对称矩阵. 5.设B A ,均为n 阶矩阵,且)(B I -可逆,则矩阵X BX A =+的解X =. 应该填写:A B I 1)(--6.设A 为n 阶可逆矩阵,则r (A )=.应该填写:n7.若r (A , b ) = 4,r (A ) = 3,则线性方程组AX = b .应该填写:无解8.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解,则λ9.设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ,且秩(A ) = r < n ,则其一般解中的自由未知量的个数等于10.O AX =中A 为53⨯矩阵,且该方程组有非0解,则)(A r11.齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一其中43,x x 是自由未知量)12.设线性方程组b AX =,且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010*********t A ,则有唯一解.三、计算题1.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210,求逆矩阵1-A . 解 因为(AI ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311,求逆矩阵1)(-+A I .解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 3.设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011,B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321,计算(BA )-1. 解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以(BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--252231 4.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ,求解矩阵方程B XA =. 解:因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以,X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 5.设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ,求其系数矩阵和增广矩阵的秩,并判断其解的情况.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2,r (A ) = 3.又因为r (A )≠r (A ),所以方程组无解.6.求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解.解 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x (其中3x ,4x 是自由未知量) 7.求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解.解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000194101101 所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x (其中3x 是自由未知量) 8.设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解,并求一般解.解 因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 所以当λ = 5时,方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x x x (其中3x 是自由未知量) 9.当λ取何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ有解?并求一般解.解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时,线性方程组有无穷多解,且一般解为:⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕。

经济数学基础试题及答案

经济数学基础试题及答案

经济数学基础试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 以下哪个选项是微分的定义?A. 函数在某一点的极限B. 函数在某一点的导数C. 函数在某一点的切线斜率D. 函数在某一点的切线方程答案:B2. 已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1,求f'(x)。

A. 6x - 2B. 6x^2 - 2C. 3x^2 - 2D. 3x + 1答案:A3. 以下哪个选项是积分的定义?A. 函数在某一点的极限B. 函数在某一段区间的面积C. 函数在某一点的导数D. 函数在某一段区间的切线斜率答案:B4. 已知曲线y = x^3 + 2x^2 - 5x + 1,求其在x=1处的切线斜率。

A. 7B. 9C. 11D. 13答案:B5. 以下哪个选项是泰勒级数的定义?A. 函数在某一点的极限B. 函数在某一点的导数C. 函数在某一点的切线方程D. 函数在某一点的展开式答案:D二、填空题(每题3分,共15分)1. 函数f(x) = sin(x)的导数是_________。

答案:cos(x)2. 函数f(x) = e^x的不定积分是_________。

答案:e^x + C3. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是_________。

答案:x * ln(x) - x + C4. 函数f(x) = x^3的二阶导数是_________。

答案:6x5. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的极值点是_________。

答案:-3/2三、解答题(每题10分,共30分)1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。

答案:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11,令f'(x) = 0,解得x = 1 或 x = 11/3。

检查二阶导数f''(x) = 6x - 12,当x = 1时,f''(1) = -6 < 0,所以x = 1是极大值点;当x = 11/3时,f''(11/3) = 2 > 0,所以x = 11/3是极小值点。

经济数学基础综合练习及答案之 函数

经济数学基础综合练习及答案之 函数
2.解:方法一:设 ,则 ,得
即 ,由此得 .
方法二:
将 看作新的变量,得 ,故
.
3.解:⑴方法一:对任意 有
可知 是奇函数.
方法二: 偶函数, 是奇函数, 是函数;
又 是函数,而奇函数或偶函数乘以非零常数后其奇偶性不变,
⑵对任意 有
可知 是奇函数.
4.证:因为
所以 是奇函数.
5.解设销售量为 吨,销售总收入为 元,那么销售量不超过1000吨的部分按每吨定价为150元出售,销售总收入为 ;超过1000吨的部分按9折出售,销售总收入为 .
5.某厂产品日产量为1500吨,每吨定价为150元,销售量不超过1000吨的部分按原价出售,超过1000吨的部分按9折出售,若将销售总收入看作销售量的函数,试写出函数表达式.
答案及解答:
一、填空题
⒈ ⒉ ⒊ ⒋15.
二、单项选择题
⒈A⒉C⒊D⒋C 5.B
三、解答题
1.答:(1) 的的定义域为 ;
(2) , ,
经济数学基础综合练习之一
第1章函数
一、填空题1.函数ຫໍສະໝຸດ 的定义域是.2.若 ,则 .
3.若 ,则 .
4.若 ,则 .
5.某产品的成本函数为 ,
那么该产品的平均成本函数 .
二、单项选择题
1.下列各对函数中,()中的两个函数相等.
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
2.若函数 的定义域是[0,1],则 的定义域是( ).
A. B. C. D.
3.函数 的值域是( ).
A. B. C. D.
4.若函数 ,则 = ( ).
A. B. C. D.
5.下列函数中 ( )是偶函数.
A. B. C. D.

经济数学基础参考答案

经济数学基础参考答案

经济数学基础参考答案经济数学基础参考答案经济数学作为经济学的基础学科,是一门研究经济现象和经济问题的数学方法和工具的学科。

它主要包括微观经济学中的边际分析、优化理论、均衡分析等内容,以及宏观经济学中的增长理论、稳定性分析等内容。

下面将对一些经济数学基础问题给出参考答案。

1. 边际分析边际分析是微观经济学中的重要工具,用于研究经济主体在面临选择时的决策行为。

边际效用是指消费者对于某种商品消费量的微小变动所带来的满足程度的变化。

边际成本是指生产者在生产过程中增加或减少一单位产品所需要的额外成本。

2. 优化理论优化理论是经济数学中的核心内容之一,用于研究经济主体在面临有限资源时如何做出最优决策。

最优化问题可以通过建立数学模型,并运用微积分方法求解。

例如,消费者的最优消费组合可以通过构建效用函数和预算约束条件,利用拉格朗日乘数法求解。

3. 均衡分析均衡分析是经济学中的一个重要概念,用于研究市场中供求关系的平衡状态。

市场均衡是指市场上商品的供给量与需求量相等的状态。

通过建立供求函数,可以求解市场均衡价格和数量。

当市场价格高于均衡价格时,供大于求,市场会出现过剩;当市场价格低于均衡价格时,求大于供,市场会出现短缺。

4. 增长理论增长理论是宏观经济学中的一个重要领域,研究经济增长的原因和机制。

经济增长可以通过生产函数来描述,其中包括劳动力、资本和技术进步等要素。

经济增长模型可以分为新古典增长模型、内生增长模型等。

新古典增长模型强调资本积累对经济增长的作用,内生增长模型则将技术进步视为经济增长的内生因素。

5. 稳定性分析稳定性分析是宏观经济学中的一个重要内容,研究经济系统的稳定性和动态行为。

稳定性分析可以通过线性化和稳定性条件来进行。

线性化是将非线性模型在均衡点附近进行线性近似,从而简化分析。

稳定性条件是指系统在均衡点附近的特征根的实部小于零,即稳定性矩阵的特征值为负。

以上是对经济数学基础问题的一些参考答案。

经济数学作为经济学的基础学科,对于理解和分析经济现象和经济问题具有重要意义。

经济数学基础08春期末复习综合练习题及参考答案

经济数学基础08春期末复习综合练习题及参考答案

经济数学基础08春期末复习综合练习题及参考答案微分学部分第一章 函数考试要求:(1) 理解函数概念,掌握求函数定义域的方法,会求初等函数的定义域和函数值;(2) 了解复合函数概念,会对复合函数进行分解;(3) 了解分段函数概念,掌握求分段函数定义域和函数值的方法;(4) 知道初等函数的概念,理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数(正弦、余弦、正切和余切)的解析表达式、定义域、主要性质及图形;(5) 了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念; 重点:定义域确定,对应关系确定和奇偶性的判别典型例题:一、单项选择题1.函数()1lg +=x xy 的定义域是( ).A .1->xB .0≠xC .0>xD .1->x 且0≠x2.函数x x x f -+-=4)1ln(1)(的定义域是( )。

A .],1(+∞ B .)4,(-∞ C .]4,2()2,1(⋃ D )4,2()2,1(⋃ 答案:C3.下列各函数对中,( )中的两个函数相等.A .2)()(x x f =,x x g =)( B .11)(2--=x x x f ,x x g =)(+ 1C .2ln x y =,x x g ln 2)(=D .x x x f 22cos sin )(+=,1)(=x g 答案:D4.设xx f 1)(=,则))((x f f =( ).A .x 1B .21x C .x D .2x答案:C5.下列函数中为奇函数的是( ). A .x x y -=2 B .x x y -+=e eC .)1ln(2x x y ++=D .x x y sin = 答案:C6.下列函数中为偶函数的是( ).A .x x y --=22B .x x cosC .2sin x x +D .x x sin 3 答案:D 二、填空题1.函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是 .答案:(-5, 2 )2.若函数52)1(2-+=+x x x f ,则=)(x f . 答案:62-x3.设21010)(xx x f -+=,则函数的图形关于 对称.答案:y 轴第二章 极限、导数与微分考核要求:⑴ 了解极限概念,知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等;⑵ 了解无穷小量的概念,了解无穷小量与无穷大量的关系,知道无穷小量的性质;⑶ 掌握极限的四则运算法则,掌握两个重要极限,掌握求简单极限的常用方法;⑷ 了解函数在某点连续的概念,知道左连续和右连续的概念,知道连续与极限;会判断函数在某点的连续性;⑸ 理解导数定义,会求曲线的切线方程,知道可导与连续的关系;⑹ 熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则,掌握求简单的隐函数导数的方法;⑺ 知道微分的概念,会求函数的微分;⑻ 知道高阶导数概念,会求函数的二阶导数.重点:无穷小量,函数连续,导数,微分的概念,极限,导数的计算典型例题:一、单项选择题1. 已知1sin )(-=xxx f ,当( )时,)(x f 为无穷小量. A . x →0 B . 1→x C . -∞→x D . +∞→x答案:A2.函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ( ).A .-2B .-1C .1D .23. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,1sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续,则=k ( ).A . 1B . 0C . 2D .1- 答案:A4.曲线11+=x y 在点(0, 1)处的切线斜率为( ).A .21- B .21C .2D .2-答案:A5. 曲线1+=x y 在点(1, 2)处的切线方程为( ).A .2121+=x yB . 2321+=x yC . 2121-=x yD . 2321-=x y答案:B6.若函数x xf =)1(,则)(x f '=( ).A .21xB .-21xC .x 1D .-x 1二、填空题1.已知xxx f sin 1)(-=,当 时,)(x f 为无穷小量.答案:0→x2.已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ,若f x ()在),(∞+-∞内连续,则=a .答案23.函数3212--+=x x x y 的间断点是 .答案:3,1=-=x x4. 函数233)(2+--=x x x x f 的连续区间是 .答案:),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞5.曲线y 在点)1,1(处的切线斜率是.答案:21.6. 已知x x f 2ln )(=,则])2(['f = . 答案:0 三、计算题1.已知y x x x 2cos -=,求)(x y ' .解: x x x y 2sin )2(ln 22321+='2.已知)(x f x x sin 2=,求)(x f '解:)(x f 'xxx x x 21cos 2sin 2ln 2+=.3.已知x xe x y -=2cos ,求)(x y '; 解:)()2(sin 2x x xe e x x y +--='4.已知223sin x e x y -+=,求d y .解: )4()(c o s s i n 3222x e x x y x -+='-d y=dx xe x x x )4)(cos sin 3(222--5.设 y x x x ln 2++=,求d y . 解:xxx y 12123+-='-dx xxxdy )121(23+-=- 6.设2e 2sin x x y -+=,求y d . 解:2e 22cos 2x x x y --='x x x y x d )e 22cos 2(d 2--=第三章 导数应用考核要求:⑴ 掌握函数单调性的判别方法,会求函数的单调区间;⑵ 了解函数极值的概念,知道函数极值存在的必要条件,掌握极值点的判别方法,知道函数的极值点与驻点的区别与联系,会求函数的极值; ⑶ 了解边际概念和需求弹性概念,掌握求边际函数的方法;⑷ 熟练掌握求经济分析中的应用问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等)重点:单调性判别,极值的概念及求法,导数在经济分析中的应用典型例题:一、单项选择题1.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是( ).A .sin xB .e xC .x 2D .3 – x答案:D2.下列结论正确的有( ).A .x 0是f (x )的极值点,且f '(x 0)存在,则必有f '(x 0) = 0B .x 0是f (x )的极值点,则x 0必是f (x )的驻点C .若f '(x 0) = 0,则x 0必是f (x )的极值点D .使)(x f '不存在的点x 0,一定是f (x )的极值点 答案:A3. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=,则需求弹性为E p =( ).A .p p 32-B .--p p 32C .32-p pD .--32pp答案:B 二、填空题1.函数2)1(+=x y 的单调增加区间为 .答案:(),1+∞-2. 函数y x =-312()的驻点是 . 答案:1=x3.需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -⨯=,则需求弹性为E p =。

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经济数学基础综合练习及参考答案第二部分 积分学一、单项选择题1.在切线斜率为2x 的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为( ). A .y = x 2 + 3 B .y = x 2 + 4 C .y = 2x + 2 D .y = 4x 2. 若⎰+1d )2(x k x = 2,则k =( ).A .1B .-1C .0D .21 3.下列等式不成立的是().A .)d(e d e xxx = B .)d(cos d sin x x x =- C .x x x d d 21= D .)1d(d ln x x x =4.若c x x f x +-=-⎰2ed )(,则)(x f '=( ).A . 2e x-- B . 2e 21x- C . 2e 41x- D . 2e 41x--5. =-⎰)d(e x x ( ).A .c x x+-e B .c x x x ++--e eC .c x x+--eD .c x x x +---e e6. 若c x x f xx+-=⎰11e d e)(,则f (x ) =( ).A .x 1 B .-x 1 C .21x D .-21x7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数,则下列等式成立的是( ).A .)(d )(x F x x f xa =⎰ B .)()(d )(a F x F x x f xa -=⎰C .)()(d )(a f b f x x F ba-=⎰D .)()(d )(a F b F x x f b a-='⎰8.下列定积分中积分值为0的是( ).A .x xx d 2e e 11⎰--- B .x x x d 2e e 11⎰--+ C .x x x d )cos (3⎰-+ππD .x x x d )sin (2⎰-+ππ9.下列无穷积分中收敛的是( ).A .⎰∞+1d ln x x B .⎰∞+0d e x xC .⎰∞+12d 1x x D .⎰∞+13d 1x x10.设R '(q )=100-4q ,若销售量由10单位减少到5单位,则收入R 的改变量是( ).A .-550B .-350C .350D .以上都不对 11.下列微分方程中,( )是线性微分方程. A .y y yx '=+ln 2B .xxy y y e 2=+'C .yy x y e ='+'' D .x y y x y xln e sin ='-''12.微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是( ).A . 4B . 3C . 2D . 1 二、填空题1.=⎰-x x d e d 2. 2.函数x x f 2sin )(=的原函数是.3.若c x x x f ++=⎰2)1(d )(,则=)(x f .4.若c x F x x f +=⎰)(d )(,则x f xx)d e (e --⎰= .5.=+⎰e12dx )1ln(d dx x. 6.=+⎰-1122d )1(x x x. 7.无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是.(判别其敛散性)8.设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ,且R (0) = 0,则平均收入函数为.9. 0e)(23='+''-y y x是 阶微分方程.10.微分方程2x y ='的通解是.三、计算题⒈⎰x x x d 1sin22.⎰x x xd 23.⎰x x x d sin 4.⎰+x x x d 1)ln ( 5.x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+ 6.x xx d ln e 1⎰7.2e 1x ⎰8.x x x d 2cos 2π0⎰9.x x d )1ln(1e 0⎰-+10.求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解. 11.求微分方程0e 32=+'+y y xy 满足初始条件3)1(=-y 的特解.12.求微分方程x xyy ln =-'满足 11==x y 的特解.13.求微分方程y y x y ln tan ='的通解.14.求微分方程xxy y x ln =-'的通解.15.求微分方程y x y -='2的通解.16.求微分方程x x y y x sin =+'的通解.四、应用题1.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.2.已知某产品的边际成本C '(x )=2(元/件),固定成本为0,边际收益R '(x )=12-0.02x ,问产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化?3.生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台),边际收入为R '(x )=100-2x (万元/百台),其中x 为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?4.已知某产品的边际成本为34)(-='x x C (万元/百台),x 为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本.5.设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元),其中x 为产量,单位:百吨.销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='(万元/百吨),求:(1) 利润最大时的产量;(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?试题答案一、单项选择题1. A 2.A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. C 二、填空题1. x x d e2- 2. -21cos2x + c (c 是任意常数) 3. )1(2+x 4. c F x+--)e ( 5. 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + q 239. 2 10. c x y +=33 三、计算题⒈ 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin22.解 c x xx x x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 23.解c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cosd cos cos d sin4.解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(2122 5.解x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+=⎰++3ln 02)e d(1)e 1(xx =3ln 03)e 1(31x +=356 6.解)(ln d 2ln 2)2(d ln d ln e 1e1e1e 1x x x x x x x xx ⎰⎰⎰-==e1e 14e 2d 2e 2x x x -=-=⎰e 24d 2e 2e 1-=-=⎰x x7.解x xx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x+=)13(2-8.解x x x d 2cos 2⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21- 9.解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+---=1e 0)]1ln([1e -+---x x =e ln =1解法二 令1+=x u ,则u uu u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e 1e 11e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e1=+-=-u10.解 因为 x x P 1)(=,1)(2+=x x Q 用公式 ]d 1)e([ed 12d 1c x x y xx xx +⎰+⎰=⎰-]d 1)e ([e ln 2ln c x x x x ++=⎰-x cx x c x x x ++=++=24]24[1324 由 4712141)1(3=++=c y , 得 1=c 所以,特解为 xx x y 1243++=11.解 将方程分离变量:x y y x y d e d e 32-=- 等式两端积分得 c x y +-=--3e 31e 212 将初始条件3)1(=-y 代入,得 c +-=---33e 31e 21,c =3e 61--所以,特解为:33e e 2e32--+=x y12.解:方程两端乘以x1,得 x xx y x y ln 2=-' 即x xxy ln )(=' 两边求积分,得c x x x x x x x y +===⎰⎰2ln )(lnd ln d ln 2 通解为: cx xx y +=2ln 2 由11==x y ,得1=c所以,满足初始条件的特解为:x xx y +=2ln 2 13.解 将原方程分离变量x x yy yd cot ln d =两端积分得 lnln y = ln C sin x 通解为 y = e C sin x14. 解 将原方程化为:xy x y ln 11=-',它是一阶线性微分方程, x x P 1)(-=,xx Q ln 1)(=用公式 ()d ()d e[()e d ]P x x P x x y Q x x c -⎰⎰=+⎰]d e ln 1[e d 1d 1c x xx x x x +⎰⎰=⎰- ]d e ln 1[e ln ln c x x x x+=⎰- ]d ln 1[c x xx x +=⎰)ln (ln c x x +=15.解 在微分方程y x y -='2中,x x Q x P 2)(,1)(==由通解公式)d e 2(e )d e 2(e d d c x x c x x y xx x x +=+⎰⎰=⎰⎰--)e 2e 2(e )d e 2e 2(e c x c x x x x x x x x +-=+-=--⎰)e 22(x c x -+-=16.解:因为xx P 1)(=,x x Q sin )(=,由通解公式得)d esin (e d 1d 1c x x y xx x x +⎰⎰=⎰-=)d e sin (eln ln c x x x x+⎰- =)d sin (1c x x x x+⎰=)sin cos (1c x x x x++-四、应用题1.解 当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为 ⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x+= 100(万元)又 xc x x C x C x ⎰+'=d )()(=x x x 36402++ =xx 3640++令 0361)(2=-='xx C , 解得6=x .x = 6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2.解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0,得x = 500x = 500是惟一驻点,而该问题确实存在最大值. 所以,当产量为500件时,利润最大. 当产量由500件增加至550件时,利润改变量为 5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰=500 - 525 = - 25 (元)即利润将减少25元.3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x令L '(x )=0, 得 x = 10(百台)又x = 10是L (x )的唯一驻点,该问题确实存在最大值,故x = 10是L (x )的最大值点,即当产量为10(百台)时,利润最大. 又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台,利润将减少20万元.4.解:因为总成本函数为⎰-=x x x C d )34()(=c x x +-322当x = 0时,C (0) = 18,得 c =18 即 C (x )=18322+-x x 又平均成本函数为 xx x x C x A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='xx A , 解得x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时,平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 5.解:(1) 因为边际成本为 1)(='x C ,边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ,得x = 7由该题实际意义可知,x = 7为利润函数L (x )的极大值点,也是最大值点. 因此,当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为 87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰=112 – 64 – 98 + 49 = - 1 (万元)即利润将减少1万元.经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学一、单项选择题1.函数()1lg +=x xy 的定义域是( ).A .1->xB .0≠xC .0>xD .1->x 且0≠x2.若函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)2(x f 的定义域是( ). A .1],0[ B .)1,(-∞ C .]0,(-∞ D )0,(-∞3.下列各函数对中,()中的两个函数相等.A .2)()(x x f =,x x g =)( B .11)(2--=x x x f ,x x g =)(+ 1C .2ln x y =,x x g ln 2)(= D .x x x f 22cos sin )(+=,1)(=x g4.设11)(+=xx f ,则))((x f f =( ).A .11++x xB .x x +1C .111++xD .x+11 5.下列函数中为奇函数的是( ).A .x x y -=2B .xxy -+=e e C .11ln+-=x x y D .x x y sin = 6.下列函数中,()不是基本初等函数.A .102=y B .x y )21(= C .)1ln(-=x y D .31xy = 7.下列结论中,( )是正确的. A .基本初等函数都是单调函数 B .偶函数的图形关于坐标原点对称 C .奇函数的图形关于坐标原点对称 D .周期函数都是有界函数8. 当x →0时,下列变量中( )是无穷大量.A .001.0xB . x x 21+C . xD . x -29. 已知1tan )(-=xxx f ,当( )时,)(x f 为无穷小量.A . x →0B . 1→xC . -∞→xD . +∞→x10.函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ( ).A .-2B .-1C .1D .211. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处( ).A . 左连续B . 右连续C . 连续D . 左右皆不连续12.曲线11+=x y 在点(0, 1)处的切线斜率为( ). A .21- B .21 C .3)1(21+x D .3)1(21+-x13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为( ).A . y = xB . y = 2xC . y = 21x D . y = -x14.若函数x xf =)1(,则)(x f '=( ).A .21xB .-21xC .x 1D .-x 115.若x x x f cos )(=,则='')(x f ( ).A .x x x sin cos +B .x x x sin cos -C .x x x cos sin 2+D .x x x cos sin 2-- 16.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是( ).A .sin xB .e xC .x 2D .3 - x 17.下列结论正确的有( ).A .x 0是f (x )的极值点,且f '(x 0)存在,则必有f '(x 0) = 0B .x 0是f (x )的极值点,则x 0必是f (x )的驻点C .若f '(x 0) = 0,则x 0必是f (x )的极值点D .使)(x f '不存在的点x 0,一定是f (x )的极值点18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=,则需求弹性为E p =( ).A .p p32- B .--pp32 C .32-ppD .--32pp二、填空题1.函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是 . 2.函数x x x f --+=21)5ln()(的定义域是. 3.若函数52)1(2-+=+x x x f ,则=)(x f. 4.设函数1)(2-=u u f ,xx u 1)(=,则=))2((u f.5.设21010)(xx x f -+=,则函数的图形关于 对称.6.已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ,则当产量q = 50时,该产品的平均成本为 .7.已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ,其中p 为该商品的价格,则该商品的收入函数R (q ) =. 8. =+∞→xxx x sin lim.9.已知x xx f sin 1)(-=,当 时,)(x f 为无穷小量.10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ,若f x ()在),(∞+-∞内连续,则=a .11. 函数1()1e xf x =-的间断点是 .12.函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是 .13.曲线y =)1,1(处的切线斜率是.14.函数y = x 2 + 1的单调增加区间为.15.已知x x f 2ln )(=,则])2(['f = . 16.函数y x =-312()的驻点是 . 17.需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -⨯=,则需求弹性为E p =.18.已知需求函数为p q 32320-=,其中p 为价格,则需求弹性E p = .三、计算题1.423lim 222-+-→x x x x 2.231lim 21+--→x x x x 3.0x → 4.2343lim sin(3)x x x x →-+-5.2)1tan(lim 21-+-→x x x x 6.))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 7.已知y x x xcos 2-=,求)(x y ' .8.已知)(x f x x xln sin 2+=,求)(x f ' .9.已知xy cos 25=,求)2π(y ';10.已知y =32ln x ,求y d . 11.设x y x5sin cos e+=,求y d .12.设xx y -+=2tan 3,求y d .13.已知2sin 2cos x y x-=,求)(x y ' . 14.已知xx y 53eln -+=,求)(x y ' .15.由方程2e e)1ln(=++xyx y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '. 16.由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数,求)(x y '.17.设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定,求0d d =x x y.18.由方程x y x y=++e )cos(确定y 是x 的隐函数,求y d .四、应用题1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为:x x x C 625.0100)(2++=(万元),求:(1)当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当产量x 为多少时,平均成本最小?2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q p =-100010(q 为需求量,p 为价格).试求:(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数p q 42000-=,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的,试求:(1)价格为多少时利润最大?(2)最大利润是多少?4.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2(元),单位销售价格为p = 14-0.01q (元/件),试求:(1)产量为多少时可使利润达到最大?(2)最大利润是多少?5.某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C (元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?6.已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++25020102(万元).问:要使平均成本最少,应生产多少件产品?试题答案二、单项选择题1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.C 8. B 9. A 10. C 11. B 12.A 13. A 14. B 15. D 16. B 17. A 18. B 二、填空题1.[-5,2]2. (-5, 2 )3. 62-x 4.43-5. y 轴6.3.67. 45q – 0.25q 28. 19. 0→x 10. 2 11.0x = 12.)1,(--∞,)2,1(-,),2(∞+ 13. (1)0.5y '= 14.(0, +∞) 15. 0 16.x =1 17.2p- 18. 10-p p三、极限与微分计算题1.解 423lim 222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim 2+---→x x x x x = )2(1lim 2+-→x x x = 412.解:231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x =21)1)(2(1lim1-=+-→x x x 3.解x →=0x →=xxx x x 2sin lim )11(lim 00→→++=2⨯2 = 44.解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---= 333limlim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 2 5.解 )1)(2()1tan(lim 2)1tan(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim 21lim11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯=6.解 ))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x x x --++-∞→ =2323)2(65-=⨯-7.解:y '(x )=)cos 2('-x x x=2cos sin 2ln 2xx x x x --- =2cos sin 2ln 2x xx x x++8.解 xx x x f xx 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅='9.解 因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x xx x y -='='='所以 5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos 2-=⋅-='y 10.解 因为 )(ln )(ln 3231'='-x x y331ln 32)(ln 32xx x x ==-所以 x xxy d ln 32d 3=11.解 因为 )(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y xx x x xsin cos 5cos e 4sin -=所以 x x x x y x d )sin cos 5cos e (d 4sin -= 12.解 因为 )(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x2ln 2cos 3322x x x --=所以 x x x y x d )2ln 2cos 3(d 322--=13.解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x2cos 22ln 2sin 2x x x x --=14.解:)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx x x525e ln 3--=15.解 在方程等号两边对x 求导,得)e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y x yx y xyxyxy y x y y x x e 1]e )1[ln(-+-='++故 ]e )1)[ln(1(e )1(xy xyx x x y x y y +++++-='16.解 对方程两边同时求导,得0e e cos ='++'y x y y y yy y y x y e )e (cos -='+)(x y '=y yx y e cos e +-.17.解:方程两边对x 求导,得 y x y y y '+='e ey yx y e 1e -='当0=x 时,1=y所以,0d d =x x ye e 01e 11=⨯-=18.解 在方程等号两边对x 求导,得)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin(1)]sin(e [y x y y x y ++='+-)sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故 x y x y x y y d )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题 1.解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ,65.0)(+='x x C 所以,1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=C , 116105.0)10(=+⨯='C(2)令 025.0100)(2=+-='xx C ,得20=x (20-=x 舍去) 因为20=x 是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当=x 20时,平均成本最小.2.解 (1)成本函数C q ()= 60q +2000.因为 q p =-100010,即p q =-100110, 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -. (2)因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且 'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0,即40- 0.2q = 0,得q = 200,它是L q ()在其定义域内的唯一驻点.所以,q = 200是利润函数L q ()的最大值点,即当产量为200吨时利润最大.3.解 (1)C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p )=250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000,且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300,该问题确实存在最大值. 所以,当价格为p =300元时,利润最大.(2)最大利润 1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L (元).4.解 (1)由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-=',令004.010=-='q L ,解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大,(2)最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L (元)5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++ (q >0) 'C q ()=(.)05369800q q ++'=0598002.-q令'C q ()=0,即0598002.-q=0,得q 1=140,q 2= -140(舍去). q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140件. 此时的平均成本为 C ()140=05140369800140.⨯++=176 (元/件) 6.解 (1) 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++ 'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q 令'C q ()=0,即-+=25011002q ,得q 1=50,q 2=-50(舍去), q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点.所以,q 1=50是C q ()的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50件产品.。

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