第2章 时域离散信号和系统的频域分析(12上)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反变换表达式
1 (n) IDFS[ X (k )] x N
X (k )e
n 0
N 1
j
2 kn N
, n
具有明显的物理意义：它表示将周期序列分解为 N 次谐波，
2 第k次谐波的频率是 k 0 k k , k 0,1, 2, , N 1 N 1 X ( k ) ，相位为 arg[ X ( k )] 谐波的幅度为 N
N. N. U.
20
复指数序列的傅里叶变换（续）
X (e j ) DTFT(e j0n )
r
2 (
0
2 r )
是以 2 为周期的单位脉冲序列 上式为假设，如该假设成立，其傅里叶反变换应为
IDTFT[ X (e )] e
j
j0n
2013-8-8
FT(1) 2Baidu Nhomakorabea()
Xa ( j) FT(e j0t ) 2 ( 0 )
令：复指数序列
x(n) e j0n 的傅里叶变换为
r
X (e j ) DTFT(e j0n )
2 (
0
2 r )
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
…
0
X ( jk 0 )
… … …
0
T0
t
0
表明：
2 T0
时域连续周期信号
频域非周期离散序列；
任意周期信号 x(t) 可分解为许多不同频率的复指数
信号之和。X(jkΩ0) 是频率为 kΩ0 的分量的系数，
X(j0) 是直流分量。
2013-8-8 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 10
x( t )e jk0t dt, k 0, 1, 2,
x( t )
k
X ( jk 0 ) e jk0t
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
9
连续周期信号的傅里叶级数（续）
x( t )
第2章 时域离散信号和系统 的频域分析
Discrete-Time Signals and Systems in the Transform-Domain
本章主要内容
序列的傅里叶变换（DTFT） 离散傅里叶级数（DFS）
周期序列的傅里叶变换
序列的Z变换（ZT） 逆Z变换 时域离散时不变系统的变换域分析
2 kn N
1 ( n) IDFS[ X ( k )] x N
2013-8-8
X (k )e
n 0
N 1
j
, n
N. N. U. 13
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
周期序列的离散傅里叶级数（续）
x( n) X (k ) 均是以 N 为周期的周期序列。
(e (e
j k 2 j k 8
) )
e
j
sin sin
2
k k
8
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
15
得：
X (k ) e
j
3 k 8
sin sin
2
k k
sin sin
2
k k
8
8
周期信号的频谱是离散线状谱
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
14
例2.2.2 设 x(n) R4 (n) ，将 x ( n) 以 N=8 为周期进行周期延 拓，得到周期序列 x ( n) ，试求 x ( n) 的离散傅里叶级数
的系数 X (k )
切实理解四种FT之间的对应关系
2013-8-8 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 17
四种傅立叶变换
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
18
2.2.3 周期信号的傅里叶变换
序列的傅里叶变换（DTFT）的条件是序列必须绝对可和，
T0为序列周期，为采样时间间隔 T
为什么是有限项之和？
如何求 ak ？
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 11
2013-8-8
周期序列的离散傅里叶级数（续）
x(n)e
n 0 N 1 j 2 mn N 2 2 j kn j mn N 1 ak e N e N n 0 k 0 N 1
(n l )
sin ( n l ) 于是 右边 x( l ) x(l ) ( n l ) x(n) ＃ (n l ) l l
2013-8-8 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 7
1 e j 2 ( k m ) 1 e
j 2 (k m ) N
1 e
j 2 mn N
N k m 0 k m
x(n)e
n 0
N 1
ak N m k 0 mk
j 2 kn N
1 ak N
2013-8-8
x(n)e
n 0
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
8
2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数（DFS）
连续周期信号的傅里叶级数（FS）
周期为 T0
基频
2 0 2 f 0 T0
正变换 X ( jk ) 1 0 T0 反变换
T0 2 T 0 2
2013-8-8
j 0 t
] e j0t e jt dt 2 ( 0 )
-
N. N. U. 19
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
1. 复指数序列的傅里叶变换
复指数序列的傅里叶变换
连续信号
xa (t ) e j0t 的傅里叶变换
2 2 2 N 1 N 1 j ( k m )n j kn j mn N 1 a k e N e N ak e N k 0 n 0 n 0 k 0
N 1
e
n 0
N 1
j
2 ( k m )n N
1 e
j
2 (k m ) N N 2 j (k m ) N
N 1
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
12
周期序列的离散傅里叶级数（续）
1 ak N
x(n)e
n 0
j
N 1
j
2 kn N
仅有N个独立 的频率分量
k、n 均取整数； e 是周期函数，周期为N ak 是周期为N的周期序列，即 ak ak lN
DTFT举例
例2.2.1求矩形序列 RN (n) 的傅里叶变换
n
解：R(e j ) DTFT RN (n)
R
N
(n)e
j n
e j n
n 0
N 1
1 e j N e j N / 2 (e j N / 2 e j N / 2 ) j 1 e e j / 2 (e j / 2 e j / 2 ) j ( N 1) / 2 sin( N / 2) e sin( / 2)
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
2
2.1 引言
信号和系统的描述方法和分析工具
时域——信号序列、系统单位脉冲响应、差分方程
直观 求解难，分析困难 特征不易把握 设计难 频域——信号频谱、系统频率响应、离散时间傅里叶 变换（DTFT）、Z变换、 便于求解 分析、设计易
周期序列不满足绝对可和的条件，因此严格讲傅里叶变换 不存在。 但如果像连续信号那样，引入奇异函数（单位冲激函数）， 傅里叶变换的定义可以放松，可以用冲激函数表示其傅里
叶变换。
模拟信号 xa (t ) e
j 0 t
的傅里叶变换是在 0 处的一
个冲激，强度是2，即
X a ( j) FT[e
若信号的周期为 N，则 X (k ) 的周期亦为 N。
2013-8-8 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 16
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期
非周期连续 () FT
2. 连续周期
3. 离散非周期 4. 离散周期
非周期离散 () FS
周期连续 ( ) DTFT 周期离散 ( ) DFS
2 kn N
令
X (k ) Nak x(n)e
n 0
N 1
j
2 kn N
, k
则：离散傅里叶级数（DFS）对：
X ( k ) DFS[ x( n)] x( n)e
n 0 N 1 j 2 kn N
, k
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
周期信号不存在傅里叶变换 设 x( n) 为以 N 为周期的周期序列，则其可展开成 傅里叶级数：
x ( n) ak e
k 0 N 1 j 2 kn N
ak e j0kn
k 0
N 1
0 0T
2 2 2 T T T0 NT N
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
21
复指数序列的傅里叶变换（续）
求证：
IDTFT[ X (e j )] e j0n
1 2
X (e j )e j nd
j
)]
注意：求和上下限、变换的条件、n取整数、DTFT变换的结 果是连续的，且以2为周期。
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 6
2013-8-8
反变换（IDTFT）定义：
1 x ( n) 2
证明： 右边 1 2
X (e j )e j nd
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
3
2.2 时域离散信号的傅里 叶变换
连续信号的傅里叶变换（FT）
连续信号的傅里叶变换定义如下
正变换 反变换
X ( j) x(t )e jt dt
1 x( t ) 2
解： X ( k )
x(n)e
n 0
7
j
2 kn 8
e
n 0
3
j
2 kn 8
1 e
j k 4 4 j k 4
3 k 8
1 e
e e
j k 2 j k 8
1 e j k 1 e
j k 4
e e
j k 2 j k 8
n
x ( n)
正变换（DTFT）
X (e )
j
n
x(n)e j n
其中： T ，T是采样间隔。 X (e j ) 表示序列的频率特性。
X (e ) X (e ) e
幅频特性： X (e )
j
j
j
j arg[ X ( e j )]
相频特性： arg[ X ( e
X ( j ) e jt d
时域非周期绝对可积信号，在频域中为连续的频谱
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
5
2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义
若 序列 x ( n)绝对可和，或者说序列能量有限，即 则时域离散信号 x ( n) 的傅里叶变换(DTFT——离散时间傅立叶变换)为
j l j n l x(l )e e d
1 x( l ) 2 l
由于
e
j l
e
j n
sin ( n l ) d x( l ) (n l ) l
sin ( n l ) 1 n l (n l ) 0 n l
1 (n) IDFS[ X (k )] x N
X (k )e
n 0
N 1
j
2 kn N
, n
具有明显的物理意义：它表示将周期序列分解为 N 次谐波，
2 第k次谐波的频率是 k 0 k k , k 0,1, 2, , N 1 N 1 X ( k ) ，相位为 arg[ X ( k )] 谐波的幅度为 N
N. N. U.
20
复指数序列的傅里叶变换（续）
X (e j ) DTFT(e j0n )
r
2 (
0
2 r )
是以 2 为周期的单位脉冲序列 上式为假设，如该假设成立，其傅里叶反变换应为
IDTFT[ X (e )] e
j
j0n
2013-8-8
FT(1) 2Baidu Nhomakorabea()
Xa ( j) FT(e j0t ) 2 ( 0 )
令：复指数序列
x(n) e j0n 的傅里叶变换为
r
X (e j ) DTFT(e j0n )
2 (
0
2 r )
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
…
0
X ( jk 0 )
… … …
0
T0
t
0
表明：
2 T0
时域连续周期信号
频域非周期离散序列；
任意周期信号 x(t) 可分解为许多不同频率的复指数
信号之和。X(jkΩ0) 是频率为 kΩ0 的分量的系数，
X(j0) 是直流分量。
2013-8-8 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 10
x( t )e jk0t dt, k 0, 1, 2,
x( t )
k
X ( jk 0 ) e jk0t
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
9
连续周期信号的傅里叶级数（续）
x( t )
第2章 时域离散信号和系统 的频域分析
Discrete-Time Signals and Systems in the Transform-Domain
本章主要内容
序列的傅里叶变换（DTFT） 离散傅里叶级数（DFS）
周期序列的傅里叶变换
序列的Z变换（ZT） 逆Z变换 时域离散时不变系统的变换域分析
2 kn N
1 ( n) IDFS[ X ( k )] x N
2013-8-8
X (k )e
n 0
N 1
j
, n
N. N. U. 13
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
周期序列的离散傅里叶级数（续）
x( n) X (k ) 均是以 N 为周期的周期序列。
(e (e
j k 2 j k 8
) )
e
j
sin sin
2
k k
8
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
15
得：
X (k ) e
j
3 k 8
sin sin
2
k k
sin sin
2
k k
8
8
周期信号的频谱是离散线状谱
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
14
例2.2.2 设 x(n) R4 (n) ，将 x ( n) 以 N=8 为周期进行周期延 拓，得到周期序列 x ( n) ，试求 x ( n) 的离散傅里叶级数
的系数 X (k )
切实理解四种FT之间的对应关系
2013-8-8 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 17
四种傅立叶变换
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
18
2.2.3 周期信号的傅里叶变换
序列的傅里叶变换（DTFT）的条件是序列必须绝对可和，
T0为序列周期，为采样时间间隔 T
为什么是有限项之和？
如何求 ak ？
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 11
2013-8-8
周期序列的离散傅里叶级数（续）
x(n)e
n 0 N 1 j 2 mn N 2 2 j kn j mn N 1 ak e N e N n 0 k 0 N 1
(n l )
sin ( n l ) 于是 右边 x( l ) x(l ) ( n l ) x(n) ＃ (n l ) l l
2013-8-8 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 7
1 e j 2 ( k m ) 1 e
j 2 (k m ) N
1 e
j 2 mn N
N k m 0 k m
x(n)e
n 0
N 1
ak N m k 0 mk
j 2 kn N
1 ak N
2013-8-8
x(n)e
n 0
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
8
2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数（DFS）
连续周期信号的傅里叶级数（FS）
周期为 T0
基频
2 0 2 f 0 T0
正变换 X ( jk ) 1 0 T0 反变换
T0 2 T 0 2
2013-8-8
j 0 t
] e j0t e jt dt 2 ( 0 )
-
N. N. U. 19
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
1. 复指数序列的傅里叶变换
复指数序列的傅里叶变换
连续信号
xa (t ) e j0t 的傅里叶变换
2 2 2 N 1 N 1 j ( k m )n j kn j mn N 1 a k e N e N ak e N k 0 n 0 n 0 k 0
N 1
e
n 0
N 1
j
2 ( k m )n N
1 e
j
2 (k m ) N N 2 j (k m ) N
N 1
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
12
周期序列的离散傅里叶级数（续）
1 ak N
x(n)e
n 0
j
N 1
j
2 kn N
仅有N个独立 的频率分量
k、n 均取整数； e 是周期函数，周期为N ak 是周期为N的周期序列，即 ak ak lN
DTFT举例
例2.2.1求矩形序列 RN (n) 的傅里叶变换
n
解：R(e j ) DTFT RN (n)
R
N
(n)e
j n
e j n
n 0
N 1
1 e j N e j N / 2 (e j N / 2 e j N / 2 ) j 1 e e j / 2 (e j / 2 e j / 2 ) j ( N 1) / 2 sin( N / 2) e sin( / 2)
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
2
2.1 引言
信号和系统的描述方法和分析工具
时域——信号序列、系统单位脉冲响应、差分方程
直观 求解难，分析困难 特征不易把握 设计难 频域——信号频谱、系统频率响应、离散时间傅里叶 变换（DTFT）、Z变换、 便于求解 分析、设计易
周期序列不满足绝对可和的条件，因此严格讲傅里叶变换 不存在。 但如果像连续信号那样，引入奇异函数（单位冲激函数）， 傅里叶变换的定义可以放松，可以用冲激函数表示其傅里
叶变换。
模拟信号 xa (t ) e
j 0 t
的傅里叶变换是在 0 处的一
个冲激，强度是2，即
X a ( j) FT[e
若信号的周期为 N，则 X (k ) 的周期亦为 N。
2013-8-8 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 16
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期
非周期连续 () FT
2. 连续周期
3. 离散非周期 4. 离散周期
非周期离散 () FS
周期连续 ( ) DTFT 周期离散 ( ) DFS
2 kn N
令
X (k ) Nak x(n)e
n 0
N 1
j
2 kn N
, k
则：离散傅里叶级数（DFS）对：
X ( k ) DFS[ x( n)] x( n)e
n 0 N 1 j 2 kn N
, k
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
周期信号不存在傅里叶变换 设 x( n) 为以 N 为周期的周期序列，则其可展开成 傅里叶级数：
x ( n) ak e
k 0 N 1 j 2 kn N
ak e j0kn
k 0
N 1
0 0T
2 2 2 T T T0 NT N
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
21
复指数序列的傅里叶变换（续）
求证：
IDTFT[ X (e j )] e j0n
1 2
X (e j )e j nd
j
)]
注意：求和上下限、变换的条件、n取整数、DTFT变换的结 果是连续的，且以2为周期。
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 6
2013-8-8
反变换（IDTFT）定义：
1 x ( n) 2
证明： 右边 1 2
X (e j )e j nd
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
3
2.2 时域离散信号的傅里 叶变换
连续信号的傅里叶变换（FT）
连续信号的傅里叶变换定义如下
正变换 反变换
X ( j) x(t )e jt dt
1 x( t ) 2
解： X ( k )
x(n)e
n 0
7
j
2 kn 8
e
n 0
3
j
2 kn 8
1 e
j k 4 4 j k 4
3 k 8
1 e
e e
j k 2 j k 8
1 e j k 1 e
j k 4
e e
j k 2 j k 8
n
x ( n)
正变换（DTFT）
X (e )
j
n
x(n)e j n
其中： T ，T是采样间隔。 X (e j ) 表示序列的频率特性。
X (e ) X (e ) e
幅频特性： X (e )
j
j
j
j arg[ X ( e j )]
相频特性： arg[ X ( e
X ( j ) e jt d
时域非周期绝对可积信号，在频域中为连续的频谱
2013-8-8
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
5
2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义
若 序列 x ( n)绝对可和，或者说序列能量有限，即 则时域离散信号 x ( n) 的傅里叶变换(DTFT——离散时间傅立叶变换)为
j l j n l x(l )e e d
1 x( l ) 2 l
由于
e
j l
e
j n
sin ( n l ) d x( l ) (n l ) l
sin ( n l ) 1 n l (n l ) 0 n l