数理方程：复习

l ) 0
得C1 =C 2=0 从而 X ( x) 0 ， 0 无意义
（2）＝0，X ( x) C0 D0 x
由边值条件 X '(0) X '(l) 0 X ( x) C0
（3） 0，X ( x) C1 cos x C2 sin x
由边值条件
C2 0
C1sin
l 0
u M ,t |t0 f M .
➢泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态的，与时 间无关，所以不提初始条件。
注意：
➢ 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同; ➢ 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，
而非系统中个别点的初始状态。
u t0 ( x), ut t0 ( x)
➢叠加原理
设 L 是线性微分算子，若 ui 满足线性方程（或
C1 0 sin l 0 l n (n 1,2,...),
从而
n2
l2
2
X
(
x)
C1
cos
nx
l
特征值
n2
l2
2
n 0,1,2,
特征函数
X
(
x)
C1
cos
nx
l
n 0,1,
T 的方程 T '' a2T 0
其解为
T0'' 0
Tn''
n2 2a2
l2
Tn
0
n0
T0(t) A0 B0t
线性定解条件）
Lui fi, i 1,2, ,n,
则它们的线性组合 u ciui
i 1
必满足方程（或定解条件） Lu ci fi
i 1
第二章 分离变量法
要求：
1. 掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分 离变量解法；
2. 了解矩形域和圆域内拉普拉斯方程的分离变量 法解法；
3. 掌握使用特征函数法解非齐次方程的定解问题 4. 掌握用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条
件的定解问题。
分离变量法（I）
波动方程，热传导方程定解问题
例：两端自由的杆的自由纵振动问题.
uutxt
a2uxx x0 0
0 ux
xl
0
u t 0 ( x) ut t 0 ( x)
解：令 u( x, t) X ( x)T(t)
XT '' a2 X "T 0
X '(0)T (t) 0
2u t 2
a2
2u x 2
,
➢弦的强迫横振动方程：
2u t 2
a2
2u x 2
f (x,t)
➢均匀杆的纵向振动问题：以 u(x,t) 表示杆上各点 的纵向位移，则 u(x,t) 满足波方程。
二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程 （例如电磁波和声波的传播）：
utt a2 uxx uyy
l
n 1,2,
u0( x, t) A0 B0t
un
(
x,
t
)
(
An
cos
n
l
at
Bn
sin
n
l
at
)
cos
n
l
x
n 1,2,
故
u( x, t)
A0
B0t
( An
n1
cos
n at
l
Bn
sin
n at )cos
l
n
l
x
代入初始条件:
A0
n1
An
cos
n
l
x
(x)
B0
n1
n a
l
Bn
第一章 典型方程和定解条件的推导
1）了解概念:定解问题、初始条件、边界条件; 2）了解三类典型方程对初始条件、边界条件的要求： 波动方程，热传导方程，拉普拉斯方程； 3）根据问题的描述，要会写出定解问题。
波方程
2u( x,t ) t 2
- a2u( x,t)
f ( x,t),
x ,t 0
➢弦的自由横振动方程：
方向导数，即
u n S
f2
第三类边界条件是给出
u
以及
u n
的线性组合在
边界的值，即
u n
u
S
f3 ,
0.
初始条件
➢弦振动问题：设初始位移、初始速度为( x), ( x) ,
则波动方程的初值条件为
u t0 ( x), ut t0 ( x)
➢热传导问题：若 f(M) 表示 t = 0 时物体内一点M 的温度，则热传导问题的初始条件为
l
( )d
0
B0
0
2
1 l
l
( )d
0
An
n
2 l
0l
(Байду номын сангаас
)cos
n
l
d
Bn
2
n a
0l
(
)cos
n
l
d
f
(x)
a0 2
n1
an
cos
n
l
x
bn
sin
n
l
x
2 l
n x
an l
f ( x) cos
0
l
dx
bn
2 l
l
n x
f ( x)sin dx
0
l
例 求解定解问题：
uutt|x0
X '(l)T (t) 0
引入参数 得
T '' a 2T
X '' X
X ' (0) X ' (l) 0
分离变量： T '' a2T 0
X '' X 0
X
'(0)
X '(l )
0
（1） 0， X ( x) C1e x C2e x
由边值条件
(C1 C2 ) 0 (C1e l C2e
cos
n
l
x
(x)
把( x), ( x) 展开为傅立叶余弦级数，比较系数
( x)
0
2
n
n1
cos
n
l
x
n
2 l
l ( x)cos n x dx
0
l
A0
n1
An
cos
n
l
x
(x)
B0
n1
n a
l
Bn
cos
n
l
x
(x)
把( x), ( x) 展开为傅立叶余弦级数，比较系数
A0
0
2
1 l
Tn(t )
An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
n 1,2,
u0( x, t) A0 B0t
un
(
x,
t
)
(
An
cos
n
l
at
Bn
sin
n
l
at
)
cos
n
l
x
n 1,2,
特征函数
X
(
x)
C1
cos
nx
l
n 0,1,
T0(t) A0 B0t
Tn(t )
An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
u t
a
2
2u x2
2u y2
2u
z 2
f (x, y, z,t)
Laplace方程, 泊松方程
u( x) 0, x
稳定的热场
u( x) f ( x),
x
有源的稳定热场
第一类边界条件直接给出 u 在边界 S 上的值，即
u S
f1
.
第二类边界条件是给出 u 沿 S 的外法线方向的
utt a2 uxx uyy uzz
热方程
u( x,t ) - a2u( x,t ) f ( x,t ), x ,t 0 t
若物体内部有热源
u(x,y,z,t) ：物体在空间位置 x 以及时刻 t 的温度。
➢二维齐次热传导方程
u t
a2
2u x 2
2u y2
➢三维非齐次热传导方程
a2uxx， 0 x u |x1 0；
1，
t 0；
u |to sin 2 x，ut |t0 x(1 x).
解：方程有通解表达式（分离变量具体步骤省略） ：
u(x，t) (cn cos n at dn sin n at)sin n x
其中， cn 2