中考数学压轴系列--二次函数含参问题

二次函数含参问题

1．（2016•温州）如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．

（1）用含m的代数式表示BE的长．

（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．

（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．

①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．

②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值

是．

2．（2016•广州）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B

（1）求m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；

（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．

3．（2016•福州）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．

（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；

（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；

（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．

4．（2016•吉林）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点

（1）当m=2时，a= ，当m=3时，a= ；

（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ 的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为；（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．

5．（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b 与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求

a的值；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

6．（2015•润州区二模）如图，抛物线y=x2﹣2mx﹣3m2（m为常数，m＞0），与x 轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，

（1）用m的代数式表示：点C坐标为，AB的长度

为；

（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，将△ACD沿x轴翻折得到△AEM，延长AM交抛物线于点N，

的值；

①求AM

AN

②若AB=4，直线x=t交线段AN于点P，交抛物线于点Q，连接AQ、NQ，是否存在实数t，使△AQN的面积最大？如果存在，求t的值；如果不存在，请说明理由．

7．（2015•苏州）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC

（1）∠ABC的度数为；

（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

8．（2015•广元）如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交

于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，解答下列问题：

①求出△ABC的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

9．（2015•南通）已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x﹣1

（1）求证：点P在直线l上；

（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l 的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；

（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．

10．（2014•成都）如图，已知抛物线y=k

（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）

8

与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣

√3

x+b与抛物线的另一交点为D．

3

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与

△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

11．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线

y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．