常用数论公式
常用函数公式运用
常用函数公式运用介绍常用函数公式及其运用是一个很广泛的话题。
由于篇幅有限，我将介绍一些常见的函数公式及其在数学、物理、工程和经济等领域的应用。
1.三角函数公式：- sin²x + cos²x = 1：这个简单的三角恒等式是很多三角函数相关公式的基础。
它在几何学、物理学和工程学中经常被用来证明三角形的恒等关系，以及计算角度间的关系。
- 三角函数的和差化积公式：例如sin(x+x) = sin x cos x +cos x sin x，这个公式在解决角度和方向问题时非常有用。
2.指数函数公式：-指数函数的性质e^(x+x)=e^x*e^x：这个公式在解决复利问题和连续增长模型时非常有用。
它被广泛应用于经济学中的复利计算和人口增长模型中。
- 牛顿冷却定律：温度变化率与温度差成正比，即dT/dt = -k(T-T_a)，其中k为比例常数，T为物体温度，T_a为环境温度。
这个公式描述了物体的温度随时间的变化，从而可以用来研究随时间变化的物理系统。
3.对数函数公式：- 对数函数的性质log(x * x) = log x + log x：这个公式在解决乘法问题时非常有用。
它在经济学、物理学和计算机科学中的各种模型中经常被应用。
-高斯分布公式：x=x^−((x−x)^2/2x^2)/(x√(2x))，其中x 为均值，x为标准差。
这个公式描述了一种常见的概率分布模型，广泛应用于统计学、金融学和工程学中。
4.多项式函数公式：-迪利克雷公式：x(x)=∑(x，x)x(x)=x，其中x(x)表示正整数x的因数个数，x(x)表示小于或等于x且与x互质的数的个数。
这个公式在数论中有重要的应用。
-贝塞尔函数公式：贝塞尔函数是一类特殊函数，用来解决边界值问题。
它们在物理学和工程学中广泛应用于波动现象、傅里叶分析和信号处理等领域。
5.微积分公式：-牛顿-莱布尼茨公式：∫(x,x)x'(x)xx=x(x)−x(x)，其中x'(x)表示函数x(x)的导数。
初数数学中的数论公式解析
初数数学中的数论公式解析数论作为数学的一个重要分支，研究整数的性质和相互关系。
在初等数论中，有许多重要的数论公式，它们能够帮助我们解决一些关于整数的问题。
本文将对一些常见的数论公式进行解析，帮助读者更好地理解和掌握数论知识。
一、欧拉函数公式欧拉函数是一个十分重要的数论函数，通常表示为φ(n)，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
欧拉函数有一个重要的性质，即对于任意的正整数n，都有以下公式成立：φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × ... × (1 - 1/pₙ)其中p₁, p₂, ..., pₙ是n的所有不同的素因子。
这个公式的解析非常简单明了：首先我们将n进行素因数分解，得到n的所有不同的素因子。
然后，对于每个素因子p，将1减去1/p的值，再将这些结果相乘，最后再乘以n，即可得到欧拉函数的值φ(n)。
二、费马小定理费马小定理是一个重要的数论定理，它表明如果p是一个素数，a 是一个整数且不被p整除，那么a的p-1次方除以p的余数等于1：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)这个公式的解析也比较简单：根据费马小定理，我们可以利用这个公式来进行模幂运算。
首先，将指数p-1进行二进制拆分，然后利用模运算的性质求取每一位的幂运算结果，最后再将这些结果相乘，再进行一次模运算，即可得到最终结果。
三、威尔逊定理威尔逊定理是另一个与素数相关的重要数论定理，它表明如果p是一个素数，那么(p-1)!除以p的余数等于p-1：(p-1)! ≡ -1 (mod p)这个公式的解析稍微复杂一些。
首先，我们可以利用质数的定义以及基本的数论知识来证明威尔逊定理。
然后，我们可以通过数学归纳法来证明(p-1)! ≡ -1 (mod p)成立。
最后，利用模运算的性质，我们可以证明(p-1)!除以p的余数等于p-1。
四、高斯二项式定理高斯二项式定理是一个经典的数论定理，它可以用于计算组合数的模运算结果。
数学九大最美公式
数学九大最美公式1.欧拉公式：e^πi+1=02. 素数定理：π(x) ~ x/log(x)素数定理描述了随着自然数x的增长，不大于x的素数个数π(x)的增长趋势。
这个公式简洁地表达了素数在自然数中的分布规律，对于研究数论和密码学等领域有重要意义。
3.费马定理：a^n+b^n=c^n无整数解，其中a、b、c和n都是大于1的整数。
费马定理是数论中的一个著名问题，该定理在17世纪由费马提出，直到1995年才被安德鲁·怀尔斯证明。
这个公式承载着许多数学家长期追求的目标，它具有简单而优雅的形式，但困扰了数学界多年。
4.黎曼假设：ζ(s)=0，其中ζ(s)是黎曼ζ函数。
5. 傅里叶变换：F(x) = ∫f(t)e^(−2πixt)dt6.二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n−1)b^1+...+C(n,n−1)a^1b^(n−1)+C(n ,n)a^0b^n二项式定理描述了一个二次方的多项式的展开形式，并给出了各项系数的计算方法。
这个公式在组合学和概率论中广泛应用，也是高中数学中的常见内容。
7.爱因斯坦场方程：R_(μν)−1/2Rg_(μν)=8πGT_μν8. 熵的定义：S = −k∑P(i)logP(i)9.黑-斯科尔公式：V−E+F=2黑-斯科尔公式描述了欧几里得空间中的三维多面体的拓扑性质，它表明了顶点数、边数和面数之间的关系。
这个公式是数学中的一个经典结果，对于几何形状的分类和研究有重要意义。
这些数学公式代表了数学中的重要概念和原理，它们的美感在于它们的简洁性和丰富性。
这些公式饱含数学家们多年来的智慧和努力，推动着数学领域的发展。
通过研究和理解这些公式，我们可以更好地认识数学，并探索数学在自然科学、工程技术和社会科学中的应用。
数学公式大全 全套
数学公式大全全套
很抱歉，但由于数学公式实在太多，无法一一列举。
数学公式的
种类繁多，涵盖了代数、几何、微积分、概率统计、数论等多个领域。
以下将针对一些常见的数学公式进行简单的介绍：
1.代数方面的公式：
-二次方程的求根公式：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，解为
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
-四则运算公式：加法a + b、减法a - b、乘法a * b、除法a / b。
-指数和对数公式：例如指数函数a^x和自然对数函数ln(x)。
2.几何方面的公式：
-三角函数公式：例如正弦、余弦、正切函数等。
-勾股定理：对于直角三角形，a^2 + b^2 = c^2，其中c表示斜边，a和b表示两条边的长度。
-各种图形的面积和周长公式：例如矩形、三角形、圆等。
3.微积分方面的公式：
-导数和微分公式：例如常见函数的导数求法和微分规则。
-积分公式：例如不定积分和定积分的计算方法，包括牛顿—莱布尼兹公式等。
4.概率统计方面的公式：
-概率公式：例如基本概率公式、条件概率、贝叶斯公式等。
-统计量的计算公式：例如均值、方差、标准差等。
5.数论方面的公式：
-质数相关公式：例如素数定理、埃拉托色尼筛法等。
-数字分解定理：任何一个大于1的正整数，都可以唯一地分解成质数的乘积。
以上只是数学公式的部分示例。
在实际应用中，会有更多的数学公式被用于解决各种问题。
如果有具体的数学公式需要了解，可以提供具体的公式名称，我可以为您提供相应的详细解答。
小学数学分类公式大全
小学公式大全一、计算板块公式1、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数2、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数3、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数4、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数5、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
——a b b a +=+6、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
——)()(c b a c b a ++=++7、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
——a b b a ⨯=⨯8、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
——)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯9、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
——c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)(10、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
O 除以任何不是O 的数都得O 。
——b a b a b a 20201010÷=÷=÷11、乘法简便运算：被乘数、乘数末尾有O 的乘法，可以先把O 前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。
12、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。
（通分用最小公倍数）13、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（约分用最大公约数）14、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
——ac b a c a b ±=± 15、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
——cb a bc a ⨯=⨯ 16、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
常用数学知识
常用数学知识重要定理和公式一、常见递推关系1.Fibonacci 数列A(1)=1; A(2)=1;A(n)=A(n-1) + A(n-2);2.Catalan数：前16个:1 12 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 58786 208012 742900 2674440 9694845 (在处理数据的过程中应该用到高精度）考虑具有n个结点不同形态的二叉树的个数H(n)H (0) = 1;H (n) = H (0) H (n-1) + H (1) H (n-2) + H (2) H (n-3) … + H (n-2) H (1) + H (n-1) H (0) ;通项公式为：H (n) = (1/ (n+1)) * C (n, 2n)可推导出：1．长度为n的0-1串中最多含k个1的例长度为N (N<=31)的01串中1的个数小于等于L的串组成的集合中找出按大小排序后的第I个01串。
2给定序列入栈出栈后可形成的情况总数为C(2n, n) –C(2n,n+1).例fjoi2000在一个列车调度站中，2条轨道连接到2条侧轨处，形成2个铁路转轨站，如下图所示。
其中左边轨道为车皮入口，右边轨道为出口。
编号为1，2，……，n的N个车皮从入口依次进入转轨站，由调度室安排车皮进出栈次序，并对车皮按其出栈次序重新编序a1,a2,……,an。
给定正整数N（1<=n<=300），编程计算右边轨道最多可以得到多少个不同的车皮编序方案。
例如当n=3时，最多得到5组不同的编序方案。
3. 第二类Stirling数：s(n,k)表示含n个元素的集合划分为k个集合的情况数A.分类：集合{An}存在，则有s(n-1,k-1); 不存在则An和放入k个集合中的任意一个，共k*s(n-1,k)种。
s(n,k)={ s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k) (n>k>=1) }*:求一个集合总的划分数即为sigema(k=1..n) s(n,k) .4．数字划分模型*NOIP2001数的划分将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。
常用数论公式
数论公式费马小定理：a^p mod p=a (p为素数，且a不是p的倍数)卡特兰数前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)另类递归式：h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)Catalan数通项公式：Cn=C(2n-2,n-1)/n递归式：Cn=∑Ci*C(n-i) (i=1..n-1,C1=C2=1)特征数字int main(){int i,j;memset(ans,0,sizeof(ans));ans[0] = 1;for (i=2;i<=500;i++){for (j=i;j<=500;j++){ans[j] += ans[j-i];ans[j]%= M;}}scanf("%d",&T);while (T--){scanf("%d",&n);printf("%d\n",ans[n]);}}1 0 1 12 2 4 4 7 8 12 14 21 24 34 41 55 66 88 105 137以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^21*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 31*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 11^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 61^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 31/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^21/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*... *(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/(2*4*6*...*(2n+2))1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2...2^n >= n^2 , n=4, 5,...2^n >= 2n + 1, n=3,4,...r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0<r<11*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0<r<11/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正数注:()用来标记下标cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 01*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))其中sin(x/2) != 05^n - 1能被4整除7^n - 1能被6整除11^n - 6能被5整除6*7^n - 2*3^n能被4整除3^n + 7^n - 2能被8整除n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) / 2个区域定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k则1 + n/2 <=H(2^n) <= 1 + nH(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);若N>2, 欧拉函数E(N)必定是偶数若gcd(a,b) = 1,则有E(a * b) = E(a) * E(b)若一个数N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，那么E(N) = p1^(a1 - 1) * (p1 - 1) * ... * pn^(an - 1) * (pn - 1)若N>1,不大于N且与N互素的所有正整数的和是1/2 * N * E(N)因子和: 若k=p1^a1*p2^a2...*pi^ai F(k) = (p1^0+...+p1^a1)*(p2^0+...+p2^a2)*...*(pi^0 + ... + pi^ai)没有一个平方数是以2,3,7,8结尾的max{a, b, c} - min{a, b, c} = (|a - b| + |b - c| + |a - c|) / 2ac % m = bc % m 可以得到 a % m' = b % m' m' = m / gcd(m, c)如果a % mi = b % mi (i=1,2,...,n) 并且 l = lcm(m1, m2, ..., mn) 则可以得到 a % l = b % lEuler 定理若gcd(a,m)==1, 则a^(phi(m)) % m = 1 % mFermat小定理p为素数，对任意的a有 a^p % p = a % pp为素数，对任意的a(a<p), a^(p-1) % p = 1 % pp为素数，对任意的a，若gcd(p,a)==1, a^(p-1) % p = 1 % p一个奇数a的平方减1都是8的倍数任意4个连续整数的乘积再加上1 一定是完全平方数当a是整数时，a(a-1)(2a-1)是6的倍数当a是奇数时, a(a^2 - 1)是24的倍数n次代数方程 x^n + a1 * x^(n-1) + ... + an-1*x + an = 0 的系数都是a1, a2, ... , an都是整数。
高中数学公式总结与知识点归纳
高中数学公式总结与知识点归纳高中数学是一门逻辑性强、应用性广泛的学科，公式是数学学习中不可缺少的一部分。
下面是高中数学常用公式总结与知识点归纳。
一、函数与方程1.直线方程：一般式、点斜式、两点式、截距式2.二次函数：顶点式、轴对称式、一般式3.分式函数：定义域、值域、图像性质4.指数函数：指数函数的性质、常用公式5.对数函数：对数函数的性质、常用公式6.幂函数：幂函数的性质、常用公式7.三角函数：正弦、余弦、正切等的定义、性质、常用公式二、数列与数学推理1.数列的概念：通项公式、递推公式、求和公式2.等差数列：常用公式、等差数列的性质3.等比数列：常用公式、等比数列的性质4.递归数列：斐波那契数列、倒数数列等的定义与性质5.数学推理：数学归纳法、逻辑推理等方法三、平面几何与立体几何1.二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线等的定义、性质、常用公式2.三角形：三角形的性质、重要定理（如海伦公式、三角形内切圆、外接圆性质等）3.圆：圆的定义、性质、弦、弧、切线公式4.立体几何：立体图形的面积与体积计算公式四、概率与统计1.概率：事件的概率计算、事件的并、交、补等运算2.统计：频率、频数、均值、中位数、众数的计算与应用五、解析几何1.点、直线、平面、坐标系等基本概念2.直线的位置关系：平行、垂直、相交等3.抛物线、椭圆、双曲线等的解析方程六、数论与离散数学1.数论基本概念：素数、公倍数、最大公约数、最小公倍数等2.基本性质：同余、模运算等3.离散数学：排列、组合、概率论等的基本概念与计算公式以上只是高中数学公式和知识点的简单总结与归纳，实际上高中数学知识非常广泛深入，需要详细学习和掌握。
在学习过程中，积极总结公式与知识点，将其应用于解题，深化对数学知识的理解与掌握。
考研数学公式总结
考研数学公式总结考研数学是考研数学专业课中的重要一科，掌握好数学公式是考研数学的关键。
下面是考研数学常用的一些公式总结。
1.代数与数论1.1二项式定理：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n1.2二次方程求根公式：x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a1.3勾股定理：a^2+b^2=c^21.4平方差公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^21.5一元二次不等式求解方法：ax^2 + bx + c > 0 或 < 0当a>0,则解集为(-∞,x1)∪(x2,+∞)当a<0,则解集为(x1,x2)1.6等差数列求和公式：S = n(a1 + an) / 21.7等比数列求和公式：S = (a1 - an*q) / (1 - q)，当，q， < 12.数学分析2.1极限相关公式：x，<1时,1/(1-x)的幂级数展开为1+x+x^2+x^3+..sin(x) 的幂级数展开为 x - x^3/3! + x^5/5! - ...cos(x) 的幂级数展开为 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...e^x的幂级数展开为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...2.2微积分相关公式：微分公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)积分公式：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx 2.3泰勒展开公式：函数f(x)在x=a处的泰勒展开公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n3.概率论与数理统计3.1排列组合：排列公式：P(n,m)=n!/(n-m)!组合公式：C(n,m)=n!/[(n-m)!*m!]3.2二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，其中q=1-p3.3正态分布：P(a < X < b) = ∫[a, b] (1/sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) dx3.4样本均值：样本均值的期望：E(¯X)=μ样本均值的方差：Var(¯X) = σ^2 / n3.5方差：总体方差的估计量：s^2 = Σ(xi - x_bar)^2 / (n - 1)以上是考研数学中较为常见的一些公式总结，这些公式涵盖了代数与数论、数学分析、概率论与数理统计等知识点。
常用数学公式
常用数学公式数学是一门基础学科，它涉及到了很多的公式和定理。
在数学的各个分支中，有一些公式是非常常用的，几乎在每个数学问题中都会用到。
下面是一些常用的数学公式：1. 二次方程的根：对于二次方程ax²+bx+c=0，它的根可以通过求根公式来得到。
对于实数根，公式为：x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
对于复数根，公式为：x=(-b±i√(4ac-b²))/2a。
2. 同余定理：如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相同，那么称a与b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
同余定理包括加法同余定理、乘法同余定理和幂同余定理。
3.欧拉公式：对于任何一个凸多面体，它的面数F、顶点数V和边数E之间有着如下关系：F+V=E+2、这个公式被称为欧拉公式，是立体几何中非常重要的公式。
4.边界值定理：对于连续函数f(x)和定义在[a,b]上的连续函数g(x)，如果在(a,b)内f(x)≤g(x)，那么必然存在一些点c∈(a,b)，使得f(c)=g(c)。
5.泰勒展开：如果函数f(x)在x=a处存在各阶导数，则对于任意整数n，函数f(x)在x=a处的n阶泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)，其中R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)为余项。
6. 复数的欧拉公式：对于任意一个复数z，它可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
这个公式被称为复数的欧拉公式。
7.向量叉乘的模长：对于二维向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，它们的叉乘的模长为，a×b，=，a₁b₂-a₂b₁。
8. 三角函数的和差公式：sin(a±b)=sinacosb±cosasinb，cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb，tan(a±b)=(tana±tanb)/(1∓tana*tanb)。
数学实用的公式
数学实用的公式1. 二次方程公式： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a这个公式用于求解任何形式的二次方程的解，其中a、b、c都是已知的实数常数，而x则是未知数。
2. 欧拉公式： e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个公式将复数与三角函数联系起来，其中i是虚数单位。
这个公式有许多用途，例如在电路分析和信号处理中，以及在图形绘制中。
3. 马莱定理：在任何简单图中，边数减去节点数加2的差值等于回路数与割边数之和。
这个公式是图论中非常基础和常用的一条规律，可以在许多问题中帮助理解和解决问题。
4. 泰勒公式： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2 + ...这个公式是一种将函数表示为无穷项级数的方法。
它可以用于数值逼近、微积分、对函数的近似和分析等许多领域。
5. 费马小定理：如果p是素数，a是整数，那么a^p ≡ a (mod p)这个公式是数论中非常基础的定理，可以用于许多加密算法和编码技巧中。
6. 矩阵乘法公式：(AB)_ij = ∑(把k从1到n求和a_ikb_kj)这个公式将两个矩阵相乘，其中A和B是已知的矩阵，而_AB_是它们的积。
7. 帕斯卡三角形公式： C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)这个公式用于计算帕斯卡三角形中的系数，其中C(n, k)表示从n 个不同元素中取出k个元素的组合数。
8. 黎曼和公式： lim(把n趋近于无穷大时Δx趋于0求和f(xi)Δx) = ∫f(x)dx这个公式用于将一个函数的积分转化为一个极限求和的形式。
它在微积分和数值逼近中都有很多应用。
小学奥数数论十大公式
小学奥数数论十大公式小学奥数数论十大公式，经常被用来帮助小学生学习数论，在数论的学习过程中，这些公式可以帮助小学生更好地理解数论的知识点，从而更好地掌握数论的知识。
那么，小学奥数数论十大公式是什么呢？一、抽象公式：1. 抽象公式：抽象公式指的是用数字来代表一个抽象的概念，它可以帮助小学生把一个复杂的概念归结为一个简单的公式，从而更好地理解数论的概念。
2. 抽象公式：抽象公式指的是用数字和符号来表示一个抽象的概念，它可以帮助小学生把一个复杂的概念归结为一个简单的公式，从而更好地理解数论的概念。
二、代数公式：1. 二次公式：二次公式是一个二元一次方程，它可以帮助小学生计算二元一次方程的解，并且可以帮助小学生更好地理解方程的概念。
2. 三次公式：三次公式是一个三元一次方程，它可以帮助小学生计算三元一次方程的解，并且可以帮助小学生更好地理解方程的概念。
三、几何公式：1. 三角形公式：三角形公式可以帮助小学生计算三角形的面积，周长，以及内角和外角等等，并且可以帮助小学生更好地理解几何的概念。
2. 圆形公式：圆形公式可以帮助小学生计算圆形的面积，周长，以及圆心角等等，并且可以帮助小学生更好地理解几何的概念。
四、数列公式：1. 等差数列公式：等差数列公式可以帮助小学生计算等差数列的前n项和，并且可以帮助小学生更好地理解数列的概念。
2. 等比数列公式：等比数列公式可以帮助小学生计算等比数列的前n项和，并且可以帮助小学生更好地理解数列的概念。
五、概率公式：1. 概率公式：概率公式可以帮助小学生计算概率，并且可以帮助小学生更好地理解概率的概念。
2. 条件概率公式：条件概率公式可以帮助小学生计算条件概率，并且可以帮助小学生更好地理解条件概率的概念。
六、函数公式：1. 一元函数公式：一元函数公式可以帮助小学生计算一元函数的值，并且可以帮助小学生更好地理解函数的概念。
2. 二元函数公式：二元函数公式可以帮助小学生计算二元函数的值，并且可以帮助小学生更好地理解函数的概念。
高中数学公式大全数论与整数
高中数学公式大全数论与整数高中数学公式大全：数论与整数一、整数的定义与性质整数，即正整数、负整数与零的集合。
在数论中，我们研究整数的性质和规律，灵活运用各种数论定理和公式解决问题。
1. 整数的定义整数由正整数、负整数及零组成，并用Z表示。
2. 整数的性质（1）整数集合Z是一个无穷集。
（2）整数集合Z中的元素可以做加法、减法和乘法运算，并保持封闭性。
（3）加法运算满足交换律、结合律和存在单位元素0。
（4）减法不满足交换律和结合律，但存在多个单位元素，分别是0和-0。
（5）乘法满足交换律、结合律和存在单位元素1。
（6）整数集合Z中的乘法分解定理：对于任意的整数a和b，若a 能整除b，则存在唯一的整数c使得b=ac。
二、数论基本概念与定理1. 整除与除尽（1）整除：如果a能被b整除，即a/b的余数为0，则称a能整除b，记作a|b。
（2）除尽：如果a能被b整除，且a的绝对值小于b的绝对值，则称a能除尽b。
（3）除法算法：对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
2. 质数与合数（1）质数：大于1的整数，除了1和自身之外没有其他正因数，称为质数。
（2）合数：大于1的整数，除了1和自身之外还有其他正因数，称为合数。
（3）整数的唯一因数分解定理：每个大于1的整数都可以表示为一系列质数的乘积，并且这个分解是唯一的。
3. 素数与互质（1）素数：大于1的整数，除了1和自身之外没有其他正因数的质数称为素数。
（2）互质：若两个整数a和b的最大公因数为1，则称a和b互质。
4. 最大公因数与最小公倍数（1）最大公因数：对于整数a和b，能同时整除a和b的最大正整数，称为a和b的最大公因数，记作gcd(a, b)。
（2）最小公倍数：对于整数a和b，能同时被a和b整除的最小正整数，称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。
三、整除性质与定理1. 整除性质（1）若a|b且a|c，则a|(b ± c)。
高一数学公式知识点大全
高一数学公式知识点大全一、初等数论公式：1. 两个整数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积：a *b = gcd(a, b) * lcm(a, b)2. 费马小定理：如果 p 是一个质数，a 是任意整数且 a 不是 p 的倍数，那么：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)3. 埃拉托斯特尼筛法：利用筛法可以快速求解小于等于 n 的所有质数。
首先创建一个长度为 n+1 的布尔数组，然后将数组中的所有元素初始化为 true。
从 2 开始，如果该数为质数，则将其所有倍数标记为非质数。
最后，遍历布尔数组，所有仍然标记为 true 的数字即为质数。
二、代数公式：1. 二次方程求根公式：对于 ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2. 二次根式的乘法公式：(√a + √b)(√a - √b) = a - b3. 二次根式的加减法公式：(√a ± √b)^2 = a± 2√ab + b4. 二项式的展开公式：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n-1)a b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
三、三角函数公式：1. 三角函数的和差化简公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))2. 三角函数的平方和差化简公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1sin^2(x) - cos^2(x) = sin(2x)cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)3. 三角函数的倍角化简公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))四、几何公式：1. 圆的面积公式：S = πr^22. 球的体积公式：V = (4/3)πr^33. 直角三角形的勾股定理：a^2 + b^2 = c^2其中，c 表示直角边长，a 和 b 表示另外两个边长。
公式知识点
公式知识点在数学和科学领域中，公式是表达特定关系或计算过程的符号表示。
公式的使用使得我们能够更好地理解和解决复杂的问题。
本文将介绍一些常见的公式知识点，以及它们在不同领域中的应用。
一、牛顿第二定律牛顿第二定律是经典力学中的一个基本定律，用来描述物体的运动状态。
它的数学表达式为：F = ma，其中F代表物体所受的力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
根据这个公式，我们可以计算物体在给定力下的加速度，或者根据已知的加速度和质量来计算物体所受的力。
牛顿第二定律在物理学中有着广泛的应用，例如在机械工程中用于设计弹簧和减震器，以及计算物体的速度和位移等。
二、欧拉公式欧拉公式是数学中一条重要的等式，连接了五个基本数学常数：e（自然对数的底数）、π（圆周率）、i（虚数单位）、1（单位向量）和0（零向量）。
欧拉公式的数学表达式为：e^iπ + 1 = 0。
欧拉公式在数学分析、复变函数等领域中有着重要的应用，它将三个看似不相关的数学常数联系在一起，为研究复数和指数函数提供了基础。
三、波恩公式波恩公式是数论中的一个重要公式，它描述了素数的分布规律。
波恩公式的数学表达式为：π(x) ≈ x / ln(x)，其中π(x)表示不超过x的素数个数，ln(x)表示x的自然对数。
波恩公式在数论研究中发挥着重要的作用，它提供了估计素数个数的近似方法，并且对于素数分布的研究具有深远的影响。
四、费马大定理费马大定理是数论中的一个著名定理，由法国数学家费马在17世纪提出。
它的数学表达式为：对于任何大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
费马大定理是数论领域最具挑战性和深远影响的问题之一，它的证明经历了几个世纪的艰辛努力，直到1994年才由安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出了完整的证明。
五、高斯公式高斯公式是微积分中的一个重要公式，用于计算曲线上某一区域的面积。
高斯公式的数学表达式为：∮C Pdx + Qdy = ∬D (Qx’ - Py’)dA，其中C表示闭合曲线，P和Q表示与曲线相切的两个向量函数，D表示曲线所围成的区域，x’和y’表示该区域内点的坐标。
经典的数学公式
经典的数学公式经典的数学公式是数学领域中的重要工具，用于描述和解决各种问题。
下面列举了一些常见的数学公式，介绍其含义和应用。
一、勾股定理勾股定理是数学中最著名的公式之一，表达了直角三角形的边长关系。
公式为：a^2 + b^2 = c^2。
其中，a、b为直角三角形的两条直角边的长度，c为斜边的长度。
二、欧拉公式欧拉公式是数学分析中一个重要的公式，描述了复数的指数表示和三角函数之间的关系。
公式为：e^(iπ) + 1 = 0。
其中，e是自然对数的底数，i是虚数单位，π是圆周率。
三、费马小定理费马小定理是数论中的重要定理，用于判断一个数是否为素数。
公式为：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
其中，a是整数，p是素数。
四、斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的数列，每个数都是前两个数的和。
数列的递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
其中，F(n)表示第n个斐波那契数。
五、调和级数调和级数是数学分析中的一个级数，表达了正整数的倒数之和。
级数的公式为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n。
调和级数是一个发散的级数。
六、泰勒级数泰勒级数是数学分析中的一个重要工具，用于将函数表示为无穷级数的形式。
泰勒级数的公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... 。
其中，f(x)是函数在点x处的值，a是近似点，f'(a)、f''(a)等表示函数在点a处的导数。
七、二项式定理二项式定理是代数中的一个重要定理，描述了二项式的展开形式。
二项式定理的公式为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n。
其中，a、b为实数，n为非负整数，C(n,m)表示组合数。
八、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，用于计算定积分。
数论基础知识
一些基本的数论知识：1、整除与同余a∣b,b∣a⇒a=bp∣a⇔a≡0(mod p)带余除法a=bp+r(0≤r<b)⇔a≡r(mod p)2、完全平方数（以下a∈Z+）a2≡0or1(mod4)a2≡0or1or4(mod8)a2≡0or1(mod3)a2≡0or±1(mod5)3、完全立方数a3≡0or±1(mod7)a3≡0or±1(mod9)整数集合可以按模n的余数来分类，每一个这样的类称为模n的同余类，若该同余类中的数与n互素，则称这样的同余类为模n的缩同余类。
4、完全剩余系在n个同余类中各任取一个数作为代表，这样的n个数称为模n 的一个完全剩余系（完系）c1,c2,…,cn是模n的一个完系⇔c1,c2,…,cn模n互不同余若c1,c2,…,cn是模n的一个完系，(a,n)=1，b∈Z，则ac1+b,ac2+b,…,acn+b也是模n的一个完系5、欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互素的正整数的个数(a,b)=1⇒φ(ab)=φ(a)φ(b)（积性函数）p为素数⇒φ(pl)=pl−pl−16、简约剩余系在模n的φ(n)个缩同余类中各任取一个数作为代表，这样的φ(n)个数称为模n的一个简约剩余系（缩系）c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系⇔c1,c2,…,cφ(n)模n互不同余且均与n互素若c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系，(a,n)=1，则ac1,ac2,…,ac φ(n)也是模n的一个缩系7、最大公约数与最小公倍数(a,b)[a,b]=ab(a,b)=d⇒(ad,bd)=1（将非互素情况转为互素情况）d∣a,d∣b⇒d∣(a,b)d∣ab,(d,b)=1⇒d∣a8、裴蜀定理：a,b不全为0，则存在整数x,y，使得ax+by=(a,b)a,b互素⇔存在整数x,y，使得ax+by=19、唯一分解定理每个大于1的正整数n可唯一表示成n=p1α1p2α2…pkαk，其中p1,p2,…,pk是互不相同的素数，α1,α2…,αk是正整数，这称为n的标准分解正约数个数τ(n)=(α1+1)(α2+1)…(αk+1)正约数之和σ(n)=1−p1α1+11−p1⋅1−p2α2+11−p2⋅ (1)pkαk+11−pkn的标准分解中p的幂次vp(n)=∑l=1∞[npl]=[np]+[np2]+…10、升幂定理（LTE引理）（1）n为正整数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x−y，则vp(xn−yn)=vp(x−y)+vp(n)（2）n为正奇数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x+y，则vp(xn+yn)=vp(x+y)+vp(n)（3）n为正整数，x,y为奇整数，4∣x−y，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(n)（4）n为正偶数，x,y为奇整数，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(x+y)+v2(n)−111、威尔逊定理：p为素数⇔(p−1)!≡−1(mod p)12、欧拉定理：设n>1为整数，a是与n互素的任一整数，则aφ(n)≡1(mod n)13、费马小定理：设p是素数，a是与p互素的任一整数，则ap−1≡1(mod p)14、中国剩余定理：设m1,m2,…,mk是k个两两互素的正整数，b1,b2,…,bk为任意整数，则同余方程组{x≡b1(mod m1)x≡b2(mod m2)……x≡bk(mod mk)在模m1m2…mk意义下有唯一解x。
小学奥数知识点梳理1——数论
数论：1、奇偶；2、整除；3、余数；4、质数合数‘5、约数倍数；6、平方；7、进制；8、位值。
一、奇偶：一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。
奇偶数有如下运算性质：（1）奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±奇数=奇数（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
（3）奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。
（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。
上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。
二、整除：掌握能被30以下质数整除的数的特征。
被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。
被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。
被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。
有一关键性式子：7×11×13=1001。
判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
例：N=987654321.判定N是否被11整除。
因为654不能被11整除，所以N不能被11整除。
例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。
由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。
数学公式大全
数学公式大全标题：数学公式大全：探索数学世界的奇妙之旅数学是一门精确而抽象的科学，它以符号和公式为基础，通过推理和推导，解决实际问题、揭示自然规律以及构建数学体系。
本文将为读者提供一个数学公式大全，带领大家一同探索数学世界的奇妙之旅。
一、基础数学公式1. 一元二次方程公式：对于形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，它的解为 x = (-b ± √(b^2-4ac)) / 2a。
解一元二次方程公式的方法对于解决许多实际问题尤为重要。
2. 欧拉公式：数学中最伟大的公式之一，它将五个最基本的数学常数e、i、π、0和1联系了起来，表达了数学中的美妙和神奇。
3. 傅里叶级数：将一个周期函数分解为多个基本频率的叠加，它在信号处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。
4. 三角函数公式：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们通过角度与长度之间的关系，描述了许多几何和物理现象。
5. 对数函数公式：以底为b的对数函数可以表示为 y =log_b(x)，它在数值计算、信号处理、化学等领域起到了重要作用。
二、微积分公式1. 导数和微分公式：导数描述了函数在某一点的变化速率，微分则描述了函数的局部线性逼近，它们是微积分的基本概念。
2. 积分公式：积分可以看作是导数的逆运算，它在计算曲线下面积、求解方程和表示概率密度等方面具有重要作用。
3. 泰勒级数：将函数表示为无穷级数的形式，通过截断级数可以近似计算函数的值，它在数值计算和近似解析计算中具有广泛应用。
4. 幂级数：将函数表示为x的多项式级数形式，它可以用来近似计算复杂函数或解决特殊方程。
5. 极限公式：极限是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点无限接近某个特定值的性质。
三、线性代数公式1. 矩阵运算公式：包括矩阵的加减、乘法和转置等运算，它们在线性代数和向量空间的研究中至关重要。
2. 特征值与特征向量公式：描述了一个矩阵所具有的特征和变换性质，在物理、工程和计算机图形学等领域广泛应用。
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数论公式费马小定理：a^p mod p=a (p为素数，且a不是p的倍数)卡特兰数前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)另类递归式：h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)Catalan数通项公式：Cn=C(2n-2,n-1)/n递归式：Cn=∑Ci*C(n-i) (i=1..n-1,C1=C2=1)特征数字int main(){int i,j;memset(ans,0,sizeof(ans));ans[0] = 1;for (i=2;i<=500;i++){for (j=i;j<=500;j++){ans[j] += ans[j-i];ans[j]%= M;}}scanf("%d",&T);while (T--){scanf("%d",&n);printf("%d\n",ans[n]);}}1 0 1 12 2 4 4 7 8 12 14 21 24 34 41 55 66 88 105 137以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^21*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 31*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 11^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 61^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 31/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^21/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*... *(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/(2*4*6*...*(2n+2))1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2...2^n >= n^2 , n=4, 5,...2^n >= 2n + 1, n=3,4,...r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0<r<11*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0<r<11/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正数注:()用来标记下标cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 01*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))其中sin(x/2) != 05^n - 1能被4整除7^n - 1能被6整除11^n - 6能被5整除6*7^n - 2*3^n能被4整除3^n + 7^n - 2能被8整除n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) / 2个区域定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k则1 + n/2 <=H(2^n) <= 1 + nH(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);若N>2, 欧拉函数E(N)必定是偶数若gcd(a,b) = 1,则有E(a * b) = E(a) * E(b)若一个数N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，那么E(N) = p1^(a1 - 1) * (p1 - 1) * ... * pn^(an - 1) * (pn - 1)若N>1,不大于N且与N互素的所有正整数的和是1/2 * N * E(N)因子和: 若k=p1^a1*p2^a2...*pi^ai F(k) = (p1^0+...+p1^a1)*(p2^0+...+p2^a2)*...*(pi^0 + ... + pi^ai)没有一个平方数是以2,3,7,8结尾的max{a, b, c} - min{a, b, c} = (|a - b| + |b - c| + |a - c|) / 2ac % m = bc % m 可以得到 a % m' = b % m' m' = m / gcd(m, c)如果a % mi = b % mi (i=1,2,...,n) 并且 l = lcm(m1, m2, ..., mn) 则可以得到 a % l = b % lEuler 定理若gcd(a,m)==1, 则a^(phi(m)) % m = 1 % mFermat小定理p为素数，对任意的a有 a^p % p = a % pp为素数，对任意的a(a<p), a^(p-1) % p = 1 % pp为素数，对任意的a，若gcd(p,a)==1, a^(p-1) % p = 1 % p一个奇数a的平方减1都是8的倍数任意4个连续整数的乘积再加上1 一定是完全平方数当a是整数时，a(a-1)(2a-1)是6的倍数当a是奇数时, a(a^2 - 1)是24的倍数n次代数方程 x^n + a1 * x^(n-1) + ... + an-1*x + an = 0 的系数都是a1, a2, ... , an都是整数。
如果它有有理数的根，证明这个根一定是整数，而且这个数一定是an的因子。
如果不是整数，就一定是无理数。
设a,b都是正整数，a<b而gcd(a,b) = 1 ,如果存在一个素数p，它能够整除b，但是不能够整除10，则a/b一定不能够化成有限小数。
如果b=2^a * 5^b，其中a,b都是非负整数，则a/b能化成有限小数。
设0<a<b, 且gcd(a,b) = 1, 如果a/b能表示成纯循环小数，则我们有gcd(b, 10) = 1。
设0<a<b, 且gcd(a,b) = 1, 令h是一个最小的正整数，使得10^h 与1 关于b 同余，那么a/b可以表示成纯循环小数0.d1d2d3...dh。
设b是一个正整数且gcd(10, b) = 1，令h是一个最小的正整数，能使得10^h 与1 关于b同余，则h能够整除Euler(b)设a, b, b1都是正整数，a < b, gcd(a, b) = 1, b1 > 1, gcd(b1, 10) = 1。
b = 2^c * 5^d * b1, 其中c， d都是非负整数，且不同时为0，令h是一个最小的正整数，使得 10^h 与 1 关于b1同余, 则当c>=d时，我们有a/b = 0.a1a2...aca'(c+1)...a'(c + h) ，而当 c < d时，我们有a/b = 0.a1a2...ada'(d+1)...a'(d + h)设0.a1a2...an...不能换成有限小数，也不能化成循环小数，则它不能化成分数。
设p是一个素数，m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。
令a=p^m, 当b=0的时候，a的开n次方是一个整数，当1<= b <= n - 1时，a的开n次方不能表示为分数。
设p是一个素数，m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。