常用数论公式
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数论公式
费马小定理：a^p mod p=a (p为素数，且a不是p的倍数)
卡特兰数前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式：
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
Catalan数通项公式：Cn=C(2n-2,n-1)/n
递归式：Cn=∑Ci*C(n-i) (i=1..n-1,C1=C2=1)
特征数字
int main()
{
int i,j;
memset(ans,0,sizeof(ans));
ans[0] = 1;
for (i=2;i<=500;i++)
{
for (j=i;j<=500;j++)
{
ans[j] += ans[j-i];
ans[j]%= M;
}
}
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",ans[n]);
}
}
1 0 1 1
2 2 4 4 7 8 12 14 21 24 34 41 55 66 88 105 137
以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2
1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3
1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6
1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3
1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!
2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2
1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*... *(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/
(2*4*6*...*(2n+2))
1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))
1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2...
2^n >= n^2 , n=4, 5,...
2^n >= 2n + 1, n=3,4,...
r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0 1*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0 1/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1 (a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正数注:()用来标记下标 cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 0 1*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2)) 其中sin(x/2) != 0 5^n - 1能被4整除 7^n - 1能被6整除 11^n - 6能被5整除 6*7^n - 2*3^n能被4整除 3^n + 7^n - 2能被8整除 n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) / 2个区域 定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k 则 1 + n/ 2 <=H(2^n) <= 1 + n H(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n