浙江省奉化中学高二数学(人教A版)教案+选修4-5+第12课时+几个著名的不等式之——柯西不等式

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高二数学人教A版选修4-5教案：1.1.2基本不等式 Word版含解析

1.1.2 基本不等式一、教学目标1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．2．理解定理1和定理2(基本不等式)．3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．二、课时安排1课时三、教学重点理解定理1和定理2(基本不等式)．四、教学难点掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．五、教学过程（一）导入新课已知lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为______．【解析】 ∵lg x ＋lg y ＝2，∴x ＞0，y ＞0，lg(xy )＝2，∴xy ＝102，∴1x ＋1y ≥21xy ＝15，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立．【答案】 15（二）讲授新课教材整理1 两个定理及算数平均与几何平均1．两个定理2.如果a ，b 都是正数，我们称为a ，b 的算术平均，为a ，b 的几何平均．教材整理2 利用基本不等式求最值已知x ，y 为正数，x ＋y ＝S ，xy ＝P ，则(1)如果P 是，那么当且仅当时，S 取得最小值；(2)如果S 是，那么当且仅当x ＝y 时，P 取得最大值.（三）重难点精讲题型一、利用基本不等式证明不等式例1已知a ，b ，c 都是正数，求证：a2b ＋b2c ＋c2a≥a ＋b ＋c . 【精彩点拨】观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0，∴a2b ＋b ≥2 a2b·b ＝2a ，同理：b2c ＋c ≥2b ，c2a＋a ≥2c . 三式相加得： a2b ＋b2c ＋c2a＋(b ＋c ＋a )≥2(a ＋b ＋c )， ∴a2b ＋b2c ＋c2a≥a ＋b ＋c . 规律总结：1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．2．当且仅当a ＝b ＝c 时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．[再练一题]1．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 【证明】 ∵x ，y ，z 都是正数，∴x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z. 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 题型二、利用基本不等式求最值例2设x ，y ，z 均是正数，x －2y ＋3z ＝0，则y2xz的最小值为________．【精彩点拨】由条件表示y ，代入到y2xz中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．【自主解答】由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，∴y2xz ＝x2＋9z2＋6xz 4xz ＝14⎝⎛⎭⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎫2x z ·9z x ＋6＝3. 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y2xz取得最小值3. 【答案】 3规律总结：1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y ，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．[再练一题]2．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，试求x ＋y 的最小值. 【解】 ∵x >0，y >0，且1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝y x ＋9x y ＋10≥2y x ·9x y ＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y，即y ＝3x 时等号成立．又1x ＋9y＝1，∴当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 题型三、基本不等式的实际应用例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【精彩点拨】 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由题意可设3－x ＝k t ＋1(k ＞0)，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润y ＝－t2＋98t ＋352t ＋1(t ≥0)． (2)y ＝－t2＋98t ＋352t ＋1＝50－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大．规律总结：设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――――→“＝”成立的条件结论[再练一题]3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60 m 2，问当a ，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?【解】法一设流出的水中杂质的质量分数为y ，由题意y ＝k ab，其中k 为比例系数(k >0)．根据题意，得 2×2b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)，∴b ＝30－a 2＋a(由a >0，b >0，可得a <30)．∴y ＝k ab ＝k 30a －a22＋a. 令t ＝a ＋2，则a ＝t －2.从而30a －a22＋a＝30(t －2)－(t －2)2t ＝34t －t2－64t ＝34－⎝⎛⎭⎫t ＋64t ， ∴y ＝k ab ≥k 34－2 t·64t＝k 18. 当且仅当t ＝64t ，即a ＋2＝64a ＋2时，取“＝”，∴a ＝6. 由a ＝6，可得b ＝3.综上所述：当a ＝6 m ，b ＝3 m 时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．法二设流出的水中杂质的质量分数为y ，依题意y ＝k ab，其中k 为比例系数(k >0)．要求y 的最小值必须先求出ab 的最大值．依题设4b ＋2ab ＋2a ＝60，即ab ＋a ＋2b ＝30(a >0，b >0)．∵a ＋2b ≥22ab(当且仅当a ＝2b 时取“＝”)，∴ab ＋22ab ≤30，可解得0<ab ≤18.由a ＝2b 及ab ＋a ＋2b ＝30，可得a ＝6，b ＝3，即a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值，从而y 的值最小．题型四、基本不等式的理解与判定例4命题：①任意x >0，lg x ＋1lg x ≥2；②任意x ∈R ，a x ＋1ax ≥2；③任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x ＋1tan x≥2；④任意x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2. 其中真命题有()A ．③B ．③④C ．②③D.①②③④【精彩点拨】按基本不等式成立的条件进行判定．【自主解答】在①④中，lg x ∈R ，sin x ∈[－1,1]，不能确定lg x >0与sin x >0.因此①④是假命题；在②中，a x >0，a x ＋1ax ≥2ax·1ax＝2，当且仅当x ＝0时，取等号，则②是真命题；在③中，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >0，有tan x ＋1tan x ≥2，且x ＝π4时取等号，∴③是真命题．【答案】 C规律总结：1．本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件．在定理1和定理2中，“a ＝b ”是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)a ＋b 2≥ab 是a 2＋b 2≥2ab 的特例，但二者适用范围不同，前者要求a ，b 均为正数，后者只要求a ，b ∈R ；(2)a ，b 大于0是a ＋b 2≥ab 的充分不必要条件；a ，b 为实数是a 2＋b 2≥2ab 的充要条件．2．当b ≥a >0时，有变形不等式a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a2＋b22≤b . [再练一题]4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是()A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 【解析】 A 选项中，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，则排除A ；当a <0，b <0时，a ＋b <0<2ab ，1a ＋1b <0<2ab，则排除B ，C 选项；D 选项中，由ab >0，则b a >0，a b >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当a ＝b 时取“＝”，所以选D. 【答案】 D（四）归纳小结基本不等式—⎪⎪⎪⎪ —定理的理解—证明不等式—求最值—实际应用（五）随堂检测1．下列结论中不正确的是()A ．a ＞0时，a ＋1a ≥2B.b a ＋a b≥2 C ．a 2＋b 2≥2ab D.a 2＋b 2≥(a ＋b )22 【解析】选项A ，C 显然正确；选项D 中，2(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22成立；而选项B 中，b a ＋a b≥2不成立，因为若ab ＜0，则不满足不等式成立的条件．【答案】 B 2．下列各式中，最小值等于2的是()A.x y ＋y xB.x2＋5x2＋4C ．tan θ＋1tan θD.2x ＋2－x【解析】 ∵2x ＞0,2－x ＞0，∴2x ＋2－x ≥22x·2－x ＝2，当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．故选D.【答案】 D3．已知5x ＋3y＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是() A ．15B ．6C ．60D.1【解析】 ∵5x ＋3y ≥215xy(当且仅当x ＝10，y ＝6时，取等号)， ∴215xy ≤1，∴xy ≥60，故xy 的最小值为60.【答案】 C六、板书设计1.1.2基本不等式教材整理1 两个定理及算数平均与几何平均1．两个定理2.算术平均与几何平均例1：例2：例3：例4：学生板演练习七、作业布置同步练习：1.1.2基本不等式八、教学反思。

【精品教学设计】高二数学(人教版)选修4-5教案：《第14课时几个著名的不等式之——平均不等式》教案

课题：第14课时几个著名的不等式之三：平均不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈, 强调取“=”的条件b a =。

2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++ 指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。

推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。

（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++abDBOAC⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式：①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数；②．基本不等式：na a a n +++ 21≥n n a a a 21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*）这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

浙江奉化中学高二数学(人教A版)优秀教案+选修45+第12课时+几个著名的不等式之——柯西不等式

i / 6个人收集整理仅供参考学习课题：第12课时几个著名地不等式之一：柯西不等式目地要求：重点难点：教学过程：一、引入：除了前面已经介绍地贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式•这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学地重要工具1、什么是柯西不等式：定理1 ：（柯西不等式地代数形式）设a,b, c,d均为实数，则2 2 2 2 2（a b ）（c d ）（ac bd），其中等号当且仅当ad bc时成立.证明：几何意义：设，为平面上以原点0为起点地两个非零向量，它们地终点分别为A（a,b），B （c,d ），那么它们地数量积为？ ac bd，而| |、a2b2，| | . c2d2，所以柯西不等式地几何意义就是：I I I I I ? I,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立2、定理2:（柯西不等式地向量形式）设，为平面上地两个向量，则III I I ? I，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立3、定理3：（三角形不等式）设X i,y i,X2, y2,X3,y3为任意实数，则：（X i X2）2（y i y2）2,（X2 X3）2（y2 y3）2. （X i X3）2（% yf 分析：个人收集整理仅供参考学习2 / 6思考：三角形不等式中等号成立地条件是什么? 4、定理4 ：(柯西不等式地推广形式)：设n 为大于1 地自然数, a i ,b i (i 1, 2，…，n )为任意实数，则: 2 , 2 a i i 1b i i 1 n(a i b i )2，其中等号当且仅当 i 1 b 1 b 2时成立(当a i 0时,约定 b i 0, i 1, 2，…, 证明：构造二次函数: f(x) (a i x 2 2bi) Ox b 2)即构造了一个二次函数： f(x)(na 「)x 2 2( a ib i )xi 1 由于对任意实数x , f(x) 0恒成立，则其即:n n n 4( a i b i )24( a i 2)( b 「)0i 1i 1 i 1(a n xb n )2a nnb i 2i 1n n2 2即: ( ab i )2( a i )( b ),i 1等号当且仅当 a 1x b 1 a 2xb 2a n Xb n即等号当且仅当bb n时成立(当 a na i 0时, 约定 b i 0 , i 1, 2,…，n )•如果a i (1 i n )全为o ,结论显然成立•柯西不等式有两个很好地变式:na i 2 变式 1 设 a i R,bi 0(i 1,2, ,n),i 1 bia i )2b i等号成立当且仅当b i a i (1 i n)变式2 设a i , b i 同号且不为 0 (i=1 , 2,…，n ),则:na i i 1 bi(一也，等号成立当且仅当a i b个人收集整理仅供参考学习3 / 6bl b 2b n .、典型例题1 1 1例4、已知a,b,c 均为正数，且a b c 1，求证：9a b c方法1：方法2：（应用柯西不等式）例 1、已知 a 2 b 2 1 , x 22y 1，求证：| ax by | 1.例 2、设 a, b, c, d R ，求证：■... a 2 b 2 c 2 d 2例3、设为平面上地向量，则|(b d)2 .n 2 1 n 2 例5:已知ai , a 2，…，a n 为实数，求证：a i ( aj .i in 「分析：1a 1 a 2 a n 时，平方和取最小值S 2. n三、小结：四、练习： n五、作业：1、已知：a 2 b 21, m 2 n 2 2,证明： 2 am bn 2.推论：在n 个实数a 1， a 2， a n 地和为定值为 S 时，它们地平方和不小于 I S2，当且仅当n1、设 X 1, nX 2,…，X n >0,则i 1X i 1 x iX ii 1n 12、设xiR (i=1, 2,…，n ) 且」i 11 X i 1求证:2提示: 本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明 2、若 x,y, zR ，且x2 2y z =a , x y2(a0)，求证：x, y,z 都是不大于一a 地3非负实数. 证明: 代入x 2 y 2 z可得2x 2 2(ay)x(ay)2 21=a21 2 a 24(ay)2 8 y 2(ay)2化简可得：3y 22ay •/ a 同理可得：0 x 由此可见，在平常地解题中，一些证明定理、公理、不等式地方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍地效果 3、设 b 为不相等地正數，试证：(a + b)(a 3+ b 3)>(a 2 + b 2)2. 4、设 x ,y , z 为正实数，且x+y+z=10，求4 -9地最小值.x y z5、设x , y , z R,求：2x y z地最大值.v'x 2 2y 2 z 2队三边长為屯h ® P为三角形內部一点P, P到三边的距离分別切知y f 求対尸咗的最小慎AABC面积■怕-巧=115 7 5 3 15^7X = X — X — =2 2 2 2 4边长.8、9、HAABC=APAB+APBC+APAC4 2 2由柯西不等式(4x+Sy+6z)r1^(jc:+y1tz a)(42+S1+62)2252 2 2 2 4 设三个正实数a,b,c满足(a b c ) 2(a求证n(n 3)个正实数a1, a2,…，a n满足(a ：2a2 a n2)2(n 41)(a1 4a2已知x,y,z ，且x2求证:—x10、设x, y,z2x-2 2y z yz4c )，求证:4a na, b, c 一定是某三角形地三2 2z x zx2z~2 2x y xy1.11、设x, y,z7 / 6个人收集整理仅供参考学习1 2 3R，且x+2y+3z=36，求地最小值.x y z。

高中数学人教A版选修选修4-5 1.2.1 绝对值三角不等式教案

1.2.1 绝对值三角不等式教学目标：1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。

2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。

教学过程：一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。

本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。

几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。

（2）2a a =，（3）b a b a ⋅=⋅，（4）)0(≠=b baba 那么?b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课：结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系?b a -baa b+已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）方法一：证明:10.当ab ≥0时, 20. 当ab <0时,综合10, 20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）定理1 如果,a b 是实数，则a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）（1）若把b a ,换为向量b a,情形又怎样呢？根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。

人教A版数学高二选修4-5教案绝对值不等式的解法

1.2.2 绝对值不等式的解法一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题．二、课时安排 1课时三、教学重点理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．四、教学难点会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .五、教学过程（一）导入新课解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R )．【解】若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|＜2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1＞0，即m ＞12，则－(2m －1)＜2x －1＜2m －1，所以1－m ＜x ＜m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m ＞12时，原不等式的解集为{x |1－m ＜x ＜m }．（二）讲授新课教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．（三）重难点精讲题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．【自主解答】 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6，即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. (2)∵3≤|x －2|＜4，∴3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3，即5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}． (3)法一由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6. ∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－5x －6＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －3)＞0，(x －6)(x ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞3，－1＜x ＜6. ∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．法二作函数y ＝x 2－5x 的图象，如图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x ′1＝2，x ′2＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．规律总结：1．形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a .2．形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇔－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . (2)当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔|f (x )|≠0.(3)当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义． [再练一题] 1．解不等式： (1)3＜|x ＋2|≤4； (2)|5x －x 2|≥6.【解】 (1)∵3＜|x ＋2|≤4，∴3＜x ＋2≤4或－4≤x ＋2＜－3，即1＜x ≤2或－6≤x ＜－5，所以原不等式的解集为{x |1＜x ≤2或－6≤x ＜－5}．(2)∵|5x －x 2|≥6，∴5x －x 2≥6或5x －x 2≤－6，由5x －x 2≥6，即x 2－5x ＋6≤0，∴2≤x ≤3，由5x －x 2≤－6，即x 2－5x －6≥0，∴x ≥6或x ≤－1，所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或2≤x ≤3或x ≥6}．题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题例2已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【精彩点拨】解f (x )≤3，由集合相等，求a →求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 的取值范围【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|，于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，知实数m 的取值范围是(－∞，5]．法二当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，5]．规律总结：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．[再练一题]2．关于x 的不等式lg(|x ＋3|－|x －7|)<m . (1)当m ＝1时，解此不等式；(2)设函数f (x )＝lg(|x ＋3|－|x －7|)，当m 为何值时，f (x )<m 恒成立？【解】 (1)当m ＝1时，原不等式可变为0<|x ＋3|－|x －7|<10，可得其解集为{x |2<x <7}． (2)设t ＝|x ＋3|－|x －7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t ≤10，因y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，则lg t ≤1，当t ＝10，x ≥7时，lg t ＝1，故只需m >1即可，即m >1时，f (x )<m 恒成立．题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x ＋2|＞|x －1|；(2)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】 (1)|x ＋2|＞|x －1|，可化为(x ＋2)2－(x －1)2＞0，即6x ＋3＞0，解得x ＞－12，∴|x ＋2|＞|x －1|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞－12. (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ，所以x －1＋x －(－1)＝3. 所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．[再练一题]3．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)解不等式f (x )>2. 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，12－2x ，4<x ≤8，－4，x >8.函数的图象如图所示．(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2. 由－2x ＋12＝2，得x ＝5，根据函数f (x )的图象可知，原不等式的解集为 (－∞，5)．（四）归纳小结绝对值不等式的解法—⎪⎪⎪⎪—绝对值的几何意义—|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c 型不等式—含两个绝对值的不等式的解法—含参数的绝对值不等式问题（五）随堂检测1．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 【答案】 B2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)【解析】由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32且x ≠－2六、板书设计七、作业布置同步练习1.2.2：绝对值不等式的解法八、教学反思。

一数学归纳法-人教A版选修4-5不等式选讲教案

数学归纳法-人教A版选修4-5 不等式选讲教案一、教学内容本次课程将主要讲解数学归纳法及其在不等式证明中的应用。

具体内容如下：1. 数学归纳法•介绍数学归纳法的思想和原理；•给出数学归纳法的三个步骤：基础步骤、归纳假设步骤和归纳步骤；•解释数学归纳法的证明过程；•练习数学归纳法的应用。

2. 不等式选讲•讲解不等式基本定义及常见不等式；•给出不等式证明的基本方法；•练习不等式证明的例题。

二、教学目标学生通过本次课程学习，将能够：1.掌握数学归纳法的思想和原理；2.熟练掌握数学归纳法的证明过程；3.能够运用数学归纳法证明一些数学结论；4.熟练掌握不等式基本定义及常见不等式；5.能够使用不等式证明的基本方法证明一些不等式。

三、教学过程1. 导入（5分钟）•介绍本次课程的主要内容；•引导学生回忆数学归纳法的定义和应用。

2. 讲解（25分钟）2.1 数学归纳法•介绍数学归纳法的定义和思想；•解释数学归纳法的证明过程；•给出一些使用数学归纳法证明的例题。

2.2 不等式选讲•介绍不等式的基本定义和常见不等式；•给出不等式证明的基本方法；•练习使用不等式证明法证明一些不等式。

3. 练习（25分钟）3.1 数学归纳法练习•练习使用数学归纳法证明一些数学结论；•班级分组练习，检查答案。

3.2 不等式证明练习•练习使用不等式证明法证明一些不等式；•班级分组练习，检查答案。

4. 总结（5分钟）•总结数学归纳法和不等式证明的重点；•引导学生思考，如何进一步提高数学归纳法和不等式证明的能力。

四、教学评价本次课程教学内容丰富，课程设计合理，注重理论联系实际，符合教学大纲和教学要求。

在教学中，我采用了多种教学方法，如导入、讲解、练习等。

通过多种教学方法的组合使用，能够有效提高学生的学习兴趣和参与度。

不过作为老师，我在教学中需要进一步提高自己的授课效率和能力，例如在课堂管理上需要更加严格，以确保学生专注于课堂内容的学习。

高二数学人教A版选修4-5教案4.2用数学归纳法证明不等式举例含解

高二数学人教A版选修4-5教案4.2用数学归纳法证明不等式举例含解人教A版高二数学选修4-5教案4.2用数学归纳法证明不等式举例一、教学目标1．会用数学归纳法证明简单的不等式．2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．二、课时安排 1课时三、教学重点会用数学归纳法证明简单的不等式．四、教学难点会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．五、教学过程（一）导入新课复习数学归纳法的基本思想。

（二）讲授新课教材整理用数学归纳法证明不等式 1．贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n> . 2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．（三）重难点精讲题型一、数学归纳法证明不等式111n例1已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋).23n2【精彩点拨】先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．111252【自主解答】 (1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，234122即n＝2时命题成立．111k(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋k>1＋.2322当n＝k＋1时，11111S2k＋1＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋12322＋12[来源学§科§网Z§X§X§K]1人教A版高二数学选修4-5教案k＋1k2kk1>1＋＋k＝1＋＋＝1＋. 22＋2k222故当n＝k＋1时，命题也成立．n由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．21规律总结：此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为k的后211111一项为k＋1，实际上应为k；二是k＋k＋…＋k＋1共有多少项之和，实际上 2k＋22＋12＋12＋221到2k＋1是自然数递增，项数为2k1－(2k＋1)＋1＝2k.＋[再练一题]11111．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1， 23n23nf(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．2213【解】数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为22nan＝，2n∴猜想：f(2n－1)>. 2下面用数学归纳法证明：1①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．2②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立， k即f(2k－1)>，2当n＝k＋1时，f(2k＋11111kkkkk1＋＋－1)＝f(2－1)＋2＋2＋1＋…＋2－2＋21－1>f(2－1)＋k∴当n＝k＋1时不等式也成立．据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．例2 证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．[来源学科网Z.X.X.K]2人教A版高二数学选修4-5教案【精彩点拨】验证n＝1，2，3时假设n＝k成立，n＝k＋1成立，??不等式成立推证n＝k＋1结论得证[来源学+科+网Z+X+X+K]【自主解答】 (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)．当n＝k＋1时，2k1＋2＝2・2k＋2＋[来源学#科#网]＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)，∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2，所以2k1＋2>(k＋1)2.＋故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．规律总结：1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．[再练一题]1＋??1＋?…?1＋2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式?2n－1＞?3??5???2n＋1均成立． 2145【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.332∵左边＞右边，∴不等式成立；(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立， 1?112k＋11＋??1＋?…?1＋即?＞. ?3??5??2k－1?2则当n＝k＋1时，3人教A版高二数学选修4-5教案?1?1＋1??1＋1?…?1＋1??1??3??5??2k－1??2(k?1)?1???2k＋12k＋22k＋24k2＋8k＋4＞・＝＝ 22k＋122k＋122k＋14k2＋8k＋32k＋32k＋1＞＝＝22k＋122k＋1∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立. 题型二、不等式中的探索、猜想、证明1111a例3 若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数an＋1n＋2n＋33n＋124的最大值，并证明你的结论．【精彩点拨】先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．【自主解答】当n＝1时，又a∈N＋，∴取a＝25.11125下面用数学归纳法证明＋＋…＋>.n＋1n＋23n＋124(1)n＝1时，已证．(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，＋＋…＋>，k＋1k＋23k＋124∴当n＝k＋1时，111a26a＋＋>，则>，∴a<26.24241＋11＋23×1＋1242(k?1)?1.2111111＋＋…＋＋＋＋3k＋13k＋23k＋33(k?1)?1(k?1)?1(k?1)?2111??11?＋＋…＋＋＋＝k＋1k＋23k＋1?＋?3k＋23k＋3?11?－3k＋4k＋1?12?25?1>＋?，???243k?23k?43(k?1)??∵26k＋111＋＝2>， 3k＋23k＋49k＋18k＋83(k?1)211＋－>0， 3k＋23k＋43(k?1)∴∴11125＋＋…＋>也成立．3(k?1)?124(k?1)?1(k?1)?2由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，4人教A版高二数学选修4-5教案11125都有＋＋…＋>，n＋1n＋23n＋124∴a的最大值为25. 规律总结：1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明． 2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是须清楚．[再练一题]1113．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…23n＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．【解】假设g(n)存在，那么当n＝2时，由a1＝g(2)(a2－1)，11＋－1?，∴g(2)＝2；即1＝g(2)??2?当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)， 1111＋?＝g(3)?1＋＋－1?，即1＋??2??23?∴g(3)＝3，当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)， 1111＋?＋?1＋＋? 即1＋??2??23?1111＋＋＋－1?，＝g(4)??234?∴g(4)＝4，由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N＋时，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立． (1)当n＝2时，a1＝1，1111＋＋－.这一点必3k＋23k＋33k＋4k＋1?1＋1－1?＝1， g(2)(a2－1)＝2×?2?结论成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak5感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中数学选修4 5教案

高中数学选修4 5教案
教学目标
本单元的教学目标是使学生理解并掌握选修4-5中的重点知识点，包括但不限于数列、极限与连续、导数与微分等概念。

通过实例分析和问题解决，引导学生建立数学模型，培养抽象思维和逻辑推理能力。

教学内容安排
1. 数列
- 定义与分类
- 等差数列与等比数列的性质
- 数列的收敛性
2. 极限与连续
- 极限的定义及计算方法
- 连续性的判定及其性质
3. 导数与微分
- 导数的概念及物理意义
- 微分运算法则及应用
教学方法
采取讲授与讨论相结合的方式，通过案例分析、小组合作和实际操作等多种教学手段，激发学生的学习兴趣，提高课堂互动性。

具体教学步骤
1. 导入：回顾先前学习的相关知识，为新课程内容打下基础。

2. 讲解：系统地讲解新知识点，结合实例加深理解。

3. 练习：布置针对性习题，让学生在实践中巩固新知识。

4. 互动：鼓励学生提问，及时解答疑惑，促进知识的消化吸收。

5. 小结：总结本次课程的核心内容，强化记忆。

评价方式
采用形成性评价与终结性评价相结合的方法，不仅关注学生的考试成绩，也重视学习过程中的表现和能力的提升。

辅助材料
- 教科书及参考书目
- 多媒体课件
- 在线资源和工具
注意事项
- 确保每个学生都能跟上进度，对有困难的学生给予适当的辅导。

- 强调数学思维的培养，鼓励学生进行探索性学习。

- 定期反馈，及时调整教学策略。

结语。

人教版选修4-5教案

选修4_5 不等式选讲课题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

人教版高中数学选修4-5《数学归纳法》教案(新人教选修4-5)

数学归纳法教课目的1．认识归纳法的意义，培育学生察看、归纳、发现的能力．2．认识数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．3．抽象思想和归纳能力进一步获取提升．教课要点与难点要点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的剖析．难点：数学归纳法中递推思想的理解．教课过程设计（一）引入师：从今日开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应当从认识什么是归纳法开始．（板书课题：数学归纳法）（二）什么是归纳法（板书）师：请看下边几个问题，并由此思虑什么是归纳法，归纳法有什么特色．问题 1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，仍是黑球，请问怎么办？（可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片预先准备好）生：把它倒出来看一看就能够了．师：方法是正确的，但操作上缺少次序性．次序操作怎么做？生：一个一个拿，拿一个看一个．师：对．问题的结果是什么呢？（演示操作过程）第一个白球，第二个白球，第三个白球，⋯⋯，第十二个白球，由此获取：一袋球都是白球．a2，a3，a4。

的，再推通a n的公式．（由小黑板或投影幻灯片出）：同学解决以上两个用的都是法，你能什么是法，法有什么特色？生：法是由一些特别案例推出一般的推理方法．特色是由特别→一般（板）．：很好！其在中学数学中，法我早就接触到了．比如，出数列的前四，求它的一个通公式用的是法，确立等差数列、等比数列通公式用的也是法，此后的学会看到法的运用．在生活和生中，法也有宽泛用．比如气象工作者、水文工作者依照累的史料作气象，水文，用的就是法．指出， 1 和 2 运用的法是有区的． 1 中，一共12个球，全看了，由此而获取了．种把研究象一一都考到了而推出的法称完整法．于 2，因为自然数有无数个，用完整法去推出就不可以能，它是由前 4体的律，行推，得出的，种法称不完整法．（三）法的（板）法分完整法和不完整法（板）．：用不完整法既然要推，推是要有点勇气的，大家鼓起勇气研究 3．3：于随意自然数 n，比 7n-3与 6（7n+9）的大小．（由小黑板或投影幻灯片出）（学生必定的算、思虑）生：算，我的是：随意n∈N+， 7n-3＜ 6（ 7n+9）．：你算了几个数获取的？生：4个．：你算了 n=1，n=2，n=3，n=4 4 个数，而获取的，是吧？生：．：有没有不一样意？生：我了 n=8，有 7n-3＞6（7n+9），而不是 7n-3＜ 6（ 7n+9）．他的不吧！：那你的是什么呢？（大家思虑，正）生：我的是：当 n=1，2，3，4， 5 ， 7n-3＜6（7n+9）；当 n=6，7，8，⋯， 7n-3＞ 6（ 7n+9）．：由以上的研究程，我什么呢？第一要仔地据有正确的资料，不可以随意算几个数，就作推．把你算果填入下表内：：依照数据作推，决不是乱猜．要注意数据作出慎地剖析．由上表可看到，当 n 依 1， 2， 3， 4，⋯，相的 7n-3的此后一个是前一个的 7 倍的速度在增添，而6（7n+9）相的增速度不到2 倍．完整有原由确，当n 取大，7n-3＞6（ 7n+9）会建立的．： 3 推有的同学完整不用于自，接受教就能够了．其在数学史上，一些世界的数学大在运用法，也曾有失．料 1（预先准好，由学生）（ Fermat）是 17 世法国有名的数学家，他是分析几何的明者之一，是微分的立作出献最多的人之一，是概率的始者之一，他数也有多献．可是，曾，当 n∈N ，22n+1 必定都是数，是他 n=0，1，2，3，4 作了后获取的．18 世大的瑞士科学家欧拉（Euler）却了然 225+1=4 294 967 297=6 700：有的同学，什么不再多算一个数呢？今日我是没法回答的．可是要告同学，失的关不在于多算一个上！再看数学史上的另一个料（仍由学生）：料 2f（ n） =n2+n+41，当 n∈ N ， f（n）能否都数？f（ 0） =41，f（ 1） =43，f （2） =47，f （3）=53，f （4）=61，f（ 5） =71，f（ 6） =83，f （7） =97，f （8）=113，f（ 9） =131，f（ 10）=151，⋯f（39）=1 601．可是 f（ 40）=1 681=412是合数：算了39 个数不算少了吧，但不可以！我介以上两个料，不是世界大出，我有就能够原，也不是法不可以，不去学了，而是要找出运用法出的原由，并研究出策来．：法什么会出呢？生：完整法不会出．：！但运用不完整法是不可以防止的，它什么会出呢？生：因为用不完整法，一般的得出有猜的成份．：完整赞同．那么怎么呢？生：予以明．：大家赞同吧？于生活、生中的，得出的的正确性，接受践的，因践是真谛的独一准．于数学，求数学明．（四）与明（板）：怎么明呢？合以上 1 思虑．生： 1 共 12 个球，都看了，它的正确性不用了然．：也能够个角度看， 12 个球，一一看了，一一看就能够看作明．数学上称种法法．它体了分的思想．：假如里不是 12 个球，而是无数个球，我用不完整法获取，袋球全部是白球，那么怎么明呢？（稍作，使学生把注意力更集中起来）：的明确不是一个简单的，在数学史上也了多年的．第一个正式研究此的是意大利科学家莫利科．他运用推的思想予以明．合 1 来，他第一确立第一次取出来的是白球．而后再结构一个命予以明．命的条件是：“ 某一次取出来的是白球” ，是“下一次取出来的也是白球”．个命不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的究竟能否是白球，而是研究若某一次是白球个条件能保下一次也是白球的必然性．大家看，能否了然上述两条，就使获取解决了呢？生：是．第一次取出的是白球已确，频频运用上述结构的命，可得第二次、第三次、第四次、⋯⋯取出的都是白球．：．它使一个本来没法作出一一的命，用一个推一个的推思想获取了明．生活上，体种推思想的例子也是许多的，你能出例子来？生：一排排放很近的自行，只需碰倒一，就会倒下一排．生：再比如多米骨牌游．（有条件可放一段此种游戏的录相）师：多米诺骨牌游戏要获得成功，一定靠两条：（1）骨牌的摆列，保证前一张牌倒则后一张牌也必然倒；（2）第一张牌被推倒．用这类思想设计出来的，用于证明不完整归纳法推断所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．（五）数学归纳法（板书）师：用数学归纳法证明以上问题 2 推断而得的命题，应当证明什么呢？生：先证 n=1 时，公式建立（第一步）；再证明：若对某个自然数（ n=k）公式建立，则对下一个自然数（ n=k+1）公式也建立（第二步）．师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步．（应追问各步计算推理的依照）师：再证明第二步．先明确要证明什么？：于是由上述两步，命获取了明．就是用数学法行明的基本要求．：小一下用数学法作明有的基本步．生：共两步（学生，教板）：（1）n=1 ，命建立；（2） n=k 命建立，当n=k+1 ，命也建立．：其第一步一般来，是明开者命建立．比如，于 3 推得的命：当 n=6，7， 8，⋯， 7n-3＞ 6（7n+9）．第一步明 n=6 ，不等式建立．（如有可此不等关系明的第二步，若无可部署学生下思考）（六）小：把本内容一下：（1）本的中心内容是法和数学法．（2）法是一种由特别到一般的推理方法．分完整法和不完整法二种．（3）因为不完整法中推所得可能不正确，因此必作出明，明可用数学法行．（4）数学法作一种明方法，它的基本思想是推（）思想，它的操作步必是二步．数学法在数学中有宽泛的用，将从下开始学．（七）外作（1）本 P112～ P115 的内容．（2）面作 P115 ： 1， 3．堂教课明1．数学法是一种用于明与自然数n 相关的命的正确性的明方法．它的操作步、明确，教课要点是方法的用．可是我不可以把教课程看作方法的灌，技术的操．方法作的灌，学生必然疑重重．为何一定是二步呢？于是教师频频举例，说明二步缺一不可以．你怎么知道 n=k 时命题建立呢？教师又不得不作出解说，可学生仍未完整接受．学完了数学归纳法的学生又常常有应当用时但想不起来的问题，等等．为此，我们假想增强数学归纳法产生过程的教课，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的剖析、认识中间，把数学归纳法的产生与不完整归纳法的完美联合起来．这样不单使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下优秀的基础，并且能够增强归纳思想的教课，这不单是对中学数学中以演绎思想为主的教课的重要增补，也是指引学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完整归纳法的认识，再到不完整归纳法靠谱性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要地点，必然对理解数学归纳法的本质带来指导意义，也是在教课过程中努力发掘、浸透隐含于教课内容中的数学思想的一种试试．2．在教课方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同议论、探究的方法．目的是在于增强学生对教课过程的参加程度．为了使这类参加有必定的智能度，教师应做好发动、组织、指引和点拨．学生的思想参加常常是从问题开始的，赶快提出适合的问题，并提出思想要求，让学生赶快投入到思想活动中来，是十分重要的．这就要讨教师把每节课的课题作出有条有理的分解，并选择适合的问题，把课题的研究内容落于问题中，在渐渐睁开中，指引学生用已学的知识、方法予以解决，并获取新的发展．本节课的教课方案也想在这方面作些研究．3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意此中第二步，证明 n=k+1 命题建即刻一定用到 n=k 时命题建立这个条件．即 n=k+1 时等式也建立．这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1 时命题究竟建立不建立，而是 n=k 时命题建立作为条件可否保证 n=k+1 时命题建立这个结论正确，即要求的这类逻辑关系能否建立．证明的主要部分应改为以上理解不单是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指了然正确的思想方向．。

高二数学人教A版选修4-5教案1.2.1绝对值三角不等式 Word版含解析

绝对值三角不等式一、教学目标．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．二、课时安排课时三、教学重点理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．四、教学难点会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．五、教学过程（一）导入新课＋＋－的最小值是.【解析】∵＋＋－≥(＋)＋(－)＝，当且仅当(＋)(－)≥，即－≤≤时，取等号．因此＋＋－的最小值为.【答案】（二）讲授新课教材整理绝对值的几何意义．实数的绝对值表示数轴上坐标为的点到的距离．．对于任意两个实数，，设它们在数轴上的对应点分别为，，那么－的几何意义是数轴上，两点之间的，即线段的教材整理绝对值三角不等式．定理如果，是实数，则＋≤，当且仅当时，等号成立．．在定理中，实数，替换为向量，，当向量，不共线时，有向量形式的不等式＋<＋，它的几何意义是．教材整理三个实数的绝对值不等式定理如果，，是实数，那么－≤＋－，当且仅当时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、运用绝对值不等式求最值与范围例对任意∈，求使不等式＋＋＋≥恒成立的的取值范围．【精彩点拨】令＝＋＋＋，只需≤.【自主解答】法一对∈，＋＋＋≥(＋)－(＋)＝，当且仅当(＋)(＋)≤时，即－≤≤－时取等号．∴＝＋＋＋的最小值为，故≤.∴实数的取值范围是(－∞，]．法二＝＋＋＋＝(23)2 121 231x xxx x-+<⎧⎪-≤≤-⎨⎪+>-⎩，，，∴≥，则＝＋＋＋的最小值为，故≤.因此实数的取值范围是(－∞，]．规律总结：。

高中数学第四讲数学归纳法证明不等式教案新人教A版选修4-5

第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。

数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。

本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。

例题精讲例1、用数学归纳法证明n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤证明：1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。

2︒假设当n=k 时，等式成立，即k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+-。

那么，当n=k+1时，221121211214131211+-++--++-+-k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )22111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21121213121+++++++++=k k k k k这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n 都成立。

点评：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确．要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。

高二数学人教A版选修4 5教案4.2用数学归纳法证明不等式举例含解

高二数学人教A版选修4 5教案4.2用数学归纳法证明不等式举例含解高二数学人教a版选修4-5教案4.2用数学归纳法证明不等式举例含解人民教育高二数学选修4-5教案a版4.2用数学归纳法证明不等式举例一、教学目标1．会用数学归纳法证明简单的不等式．2.能用数学归纳法证明伯努利不等式，了解伯努利不等式的应用条件。

2.班级安排1.三班。

教学重点会用数学归纳法证明简单的不等式．四、教学难点能够用数学归纳法证明伯努利不等式，了解伯努利不等式的应用条件。

五、教学过程（一）引入新课程复习数学归纳法的基本思想。

（二）讲授新课用数学归纳法证明不等式1。

伯努利不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>.2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．（三）重点和难点题型一、数学归纳法证明不等式111n例1已知sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈n＋)，求证：s2n>1＋(n≥2，n∈n＋).23n2【精彩点拨】先求sn再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．十一万一千二百五十二【自主解答】(1)当n＝2时，s22＝1＋＋＋＝>1＋，234122，也就是说，当n=2时，命题成立111k（2）假设n=K（K≥ 2，K∈ n+，命题成立，即S2K=1++…+k>1+2322当n＝k＋1时，一万一千一百一十一s2k＋1＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋12322＋12[来源科学§第§net Z§x§x§k节]1人民教育高二数学选修4-5教案a版k＋1k2kk1>1++k=1++=1+。

22+2k222，所以当n=K+1时，这个命题也是正确的n从（1）（2）可知，这对n是正确的∈ n+，n≥ 2，s2n>1+2一规律总结：此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为k的后二十一万一千一百一十一一项为k＋1，实际上应为k；二是k＋k＋…＋k＋1共有多少项之和，实际上2k＋22+12+12+221至2K＋1这是一个自然数增长，项目数为2K1-（2k+1）+1=2k＋[再练习一个问题]11111.如果在本例中，条件变为“Let f（n）=1++…++（n∈ n+，从F（1）=1>，F （3）>1，23n23nf（7）>，f（15）>2，…”。

人教版高中选修4-5二绝对值不等式课程设计

人教版高中选修4-5二绝对值不等式课程设计一、课程背景在高中数学中，绝对值不等式是一个重要的内容。

二绝对值不等式是继一元二次不等式、一元三次不等式后的内容，是高中数学中相对复杂的部分。

本次课程设计旨在通过注重实际问题的运用与练习，提高学生对绝对值不等式的理解与掌握程度。

二、课程目标1.掌握二绝对值不等式的概念与性质；2.理解二绝对值不等式的解法思路；3.学会将实际问题转化为二绝对值不等式的形式并解决问题。

三、教学内容及进度安排第一节课：二绝对值不等式初步1.引入：种花比赛问题2.概念及性质：二绝对值的定义、性质及图像、绝对值的基本性质、绝对值不等式的基本性质；3.案例：练习三种不等式的转化及题目练习。

第二节课：二绝对值不等式的练习与应用1.引入：应用题：沙漏的定价问题2.练习：解决不等式的一般步骤、否定绝对值不等式的写法以及其应用。

3.案例：练习解决不等式的方法并运用到实际问题中。

第三节课：期末考试模拟及总结1.模拟考试，强化考点；2.总结：强化理解绝对值不等式的概念、性质以及各种解决方法的总结。

四、教学方法1.课堂讲授；2.授课引导及互动；3.实际问题的引入及分组讨论；4.习题解析。

五、教学评价1.课堂参与度；2.练习、作业的完成情况；3.模拟考试的成绩。

六、教学资源准备1.选修4-5二教材；2.绝对值不等式相关习题集；3.多媒体教具设备。

七、反思及改进1.对于初学者来说，绝对值不等式的理解与解决过程是相对繁琐的，希望在后续教学中能够推出更多综合性案例，将理论知识与实践相结合；2.对于本次教学，课堂互动的比例还需要进一步提高，下一次开设这门课程时，应该加强这个环节；3.在考试中评价学生的时候，除了看出分高低，还应该更深入程度的拓展学生对不等式的理解和认识。

八、参考文献1.人民教育出版社. (2014). 高中数学选修4-5 M(必修) (第二版)[M].人民教育出版社.2.刘锡菊. (2014). 高一数学教程. 北京：高等教育出版社.。