浙江省奉化中学高二数学(人教A版)教案+选修4-5+第12课时+几个著名的不等式之——柯西不等式

课题： 第12课时几个著名的不等式之一：柯西不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：

除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则

22222)())((bd ac d c b a +≥++，

其中等号当且仅当bc ad =时成立。

证明：

几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=

α，22||d c +=β，

所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα•≥⋅，

其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：

231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-

分析：

思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？

4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意

实数，则：

21

1

2

1

2

)(∑∑∑===≥n

i i i n i i n

i i

b a b a ，其中等号当且仅当

n

n a b a b a b === 22

11时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

证明：构造二次函数：2

222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=

即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=n

i i n i i i n

i i

b x b a x a

x f 1

2

1

2

1

2)(2)(

)(

由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(

41

2

1

2

2

1

≤-=∆∑∑∑===n

i i n i i n i i i b a b a ，

即：))(()

(

1

2

1

2

2

1

∑∑∑===≤n

i i n i i n

i i i b a b a ，

等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，

即等号当且仅当

n

n a b a b a b === 22

11时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）

。 如果i a （n i ≤≤1）全为0，结论显然成立。 柯西不等式有两个很好的变式：

变式1 设),,,2,1(0,n i bi R a i =>∈∑∑∑≥=i i n

i i

i

b a b a 212

)( ，等号成立当且仅当 )1(n i a b i i ≤≤=λ

变式 2 设a i ，b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则：∑∑∑≥=i

i i n

i i i b a a b a 2

1)(，等号成立当且仅当n b b b === 21。

二、典型例题：

例1、已知12

2=+b a ，12

2=+y x ，求证：1||≤+by ax 。

例2、设R d c b a ∈,,,，求证：222222)()(d b c a d c b a +++≥+++。

例3、设γβα,,为平面上的向量，则||||||γαγββα-≥-+-。 例4、已知c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，求证：91

11≥++c

b a 。 方法1：

方法2：（应用柯西不等式）

例5：已知1a ，2a ，…，n a 为实数，求证：211

2)(1∑∑==≥n

i i n

i i a n a 。

分析：

推论：在n 个实数1a ，2a ，…，n a 的和为定值为S 时，它们的平方和不小于

2

1S n

，当且仅当n a a a === 21时，平方和取最小值21

S n

。

三、小结： 四、练习：

1、设x 1，x 2，…，x n >0, 则

1

11

1

-≥

-∑

∑

==n x x x n

i i

n

i i

i

2、设+

∈R x i （i=1，2，…，n ）且111=+∑=n

i i

i

x x 求证:

∑∑≤≤≤=≥n

j i j

i

n

i i

x

x x

11

2

．

3、设a 为实常数,试求函数)cos (sin )(x a x x f += (x ∈R )的最大值．

4、求函数x b x a x f cos sin )(+⋅=在)2

,0(π

上的最大值,其中a ，b 为正常数．

五、作业：

1、已知：122=+b a ，222=+n m ,证明：22≤+≤-bn am 。

提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。 2、若R z y x ∈,,，且z y x ++=a ，2

2

2

z y x ++=22

1a )0(>a ，求证：z y x ,, 都是不大于a 32

的

非负实数。

证明：由y x a z --= 代入2

2

2

z y x ++=

2

21a 可得 02

1

)()(22222=--+--a y a x y a x

∵R x ∈∴△≥0 即 021

)(8)(42

2

22

≥⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

--+--a y a y y a

化简可得 ：0232

≤-ay y ∵0>a ∴a y 3

20≤

≤ 同理可得：a x 320≤

≤ ，a z 3

20≤≤ 由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运