2019-2020年高中数学竞赛标准教材讲义 数列教案

2019-2020年高中数学竞赛标准教材讲义 数列教案

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …．其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项．

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1.

定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差．若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d.

定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：

S n =d n n na a a n n 2

)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为

零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .

定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比．

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q 1时，S n =；当q =1时，S n =na 1；3）

如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b 0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q ．

定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作

定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）．

定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立．

竞赛常用定理

定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立．

定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,

β:(1)若αβ，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则

x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定．

二、方法与例题

1．不完全归纳法．

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式．通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明．

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…．

【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n .

例2 已知数列{a n }满足a 1=,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n .

【解】 因为a 1=,又a 1+a 2=22·a 2,

所以a 2=，a 3=,猜想(n ≥1).

证明；1）当n =1时，a 1=，猜想正确．2）假设当n ≤k 时猜想成立．

当n =k +1时，由归纳假设及题设，a 1+ a 1+…+a 1=[(k +1)2-1] a k +1,， 所以

)

1(1231121+⨯++⨯+⨯k k =k (k +2)a k +1, 即1113121211+-++-+-k k =k (k +2)a k +1, 所以=k (k +2)a k +1,所以a k +1=

由数学归纳法可得猜想成立，所以

例3 设01.

【证明】 证明更强的结论：1

1)当n =1时，1

2)假设n =k 时，①式成立，即1

.11111111121=++>+++=++≥+=>++a a a a a a a a a a a k

k 由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证．

2．迭代法．

数列的通项a n 或前n 项和S n 中的n 通常是对任意n ∈N 成立，因此可将其中的n 换成n +1或n -1等，这种办法通常称迭代或递推．

例4 数列{a n }满足a n +pa n -1+qa n -2=0, n ≥3，q 0，求证：存在常数c ，使得·a n +

【证明】·a n+1+(pa n +1+a n +2)+=a n +2·(-qa n )+=

+a n (pq n +1+qa n )]=q ().

若=0，则对任意n , +=0，取c =0即可.

若0，则{+}是首项为，公式为q 的等比数列．

所以+=·q n .

取·即可.

综上，结论成立．

例5 已知a 1=0, a n +1=5a n +，求证：a n 都是整数，n ∈N +.

【证明】 因为a 1=0, a 2=1，所以由题设知当n ≥1时a n +1>a n .

又由a n +1=5a n +移项、平方得

.01102121=-+-++n n n n a a a a ①

当n ≥2时，把①式中的n 换成n -1得01102112=-+---n n n n a a a a ，即

.01102121=-+-++n n n n a a a a ②

因为a n -1

-10a n x +-1=0的两个不等根．由韦达定理得a n +1+ a n -1=10a n (n ≥2).

再由a 1=0, a 2=1及③式可知，当n ∈N +时，a n 都是整数．

3．数列求和法．

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等．

例6 已知a n =(n =1, 2, …)，求S 99=a 1+a 2+…+a 99. 【解】 因为a n +a 100-n =+=1001001001001001002

1)44(2244422=++⨯++⨯--n n n n ， 所以S 99=.2

9929921)(21101100991100=⨯=+∑=-n n n a a 例7 求和：+…+

【解】 一般地，)

2)(1(22)2)(1(1++-+=++k k k k k k k k ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-+=)2)(1(1)1(121k k k k ， 所以S n =

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=

)2)(1(1)1(143132132121121n n n n