(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档

1122,,

0,.

i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨

≠⎪⎩ ==()mn A O A A O

A B O B O B B O A A

A B B O B O

*==**=-1(1)2

1121

21

121

1

1

()n n n

n

n n n n n n n a O

a a a a a a a O

a O

---*

==- 1范德蒙德行列式：

()12

222

1211

1112n

i j n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏

111代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij

M A A M ++=-=-分块对角阵相乘：,11

112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

⇒1111

2222A B

AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122n

n n A A A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

分块矩阵的转置矩阵：T

T

T T

T A B A C C D B

D ⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，为中各个元素的代数余子式.

()

1121112222*

12n T

n ij

n n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫

⎪

⎪

== ⎪

⎪

⎝⎭

ij A A ,, .

**AA A A A E ==1*n A A -=1

1A A --=分块对角阵的伴随矩阵： *

*

*A BA B AB ⎛⎫

⎛⎫=

⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

1

11A B B

A

---⎛

⎫⎛⎫= ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭1

2

3111

1

2

13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

=

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

3

2

1

1

1

112

13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

矩阵的秩的性质：

① ≥; ;≤≤ ()A O r A ≠⇔1()0A O r A =⇔=0()m n r A ⨯min(,)m n ④ ()(),,

()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨

=⎩

若若0的列向量全部是的解

⑤ ≤()r AB {}

min (),()r A r B ⑥ 若、可逆，则； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

P Q ()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===⑦ 若；

()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪

=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧

⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩

⎩ 只有零解

在矩阵乘法中有左消去律 若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨

⎩

在矩阵乘法中有右消去律.

⑧ 等价标准型.

()r r E O E O r A r A A O O O

O ⎛⎫

⎛⎫=⇒ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

若与唯一的等价，称为矩阵的⑨ ≤, ≤≤()r A B ±()()r A r B +{}max (),()r A r B (,)r A B ()()

r A r B +矩阵转置的性质：()T T A A =()T T T AB B A =T A A

=11()()T T A A --=()()T T

A A **=矩阵可逆的性质：11()A A --=111()A

B B A ---=1

1A A

--=11()()k k k

A A A ---==伴随矩阵的性质：

2

()n A A

A -**=()A

B B A ***=1

n A A

-*=11()()A A

A A -**-==

()()k k

A A **= () () 1 ()1

0 () 1 n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪

==-⎨⎪<-⎩

若若若AB A B =k

k A A

=（无条件恒成立）

AA A A A E **==

⑩ , ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()

A C r r A r

B O B ⎛⎫

≠+ ⎪⎝⎭

① 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

n n ③ . 记为：αβ与正交(,)0αβ=αβ

⊥④ 向量的长度

(

)12,,,T

n a a a α= 21

n

i i a α====

∑⑤ 是单位向量

. 即长度为的向量.

α1α==1内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性

，称为矩阵的迹.

12n A λλλ= 1

n

i A λ=∑t r A t r A 特征值与特征向量的求法

(1) 写出矩阵A 的特征方程，求出特征值.0A E λ-=i λ (2) 根据得到 A 对应于特征值的特征向量.

()0i A E x λ-=i λ 设的基础解系为 其中.()0i A E x λ-=12,,,i n r ξξξ- ()i i r r A E λ=- 则A 对应于特征值的全部特征向量为 i λ1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++ 其中为任意不全为零的数.

12,,,i n r k k k - 3. ① 与相似 （为可逆矩阵）A B 1

P AP B -=P ② 与正交相似 （为正交矩阵）

A B 1

P AP B -=P ③ 可以相似对角化 与对角阵相似.（称是的相似标准形）A A ΛΛA 7. 矩阵对角化的判定方法

① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.P A 1

P AP -A 设为对应于的线性无关的特征向量,则有：

i αi λ