(完整版)高等代数知识点归纳,推荐文档
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数知识点总结
特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
高等代数知识点总结课件
二阶行列式计算较为简单，直接按照定义进行计算即可。三 阶行列式可以利用代数余子式展开，也可以利用对角线法则 进行计算。高阶行列式可以利用递推法或化简法进行计算。
矩阵的秩的定义与性质
总结词
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列） 向量的个数，具有一些重要的性质。
VS
详细描述
矩阵的秩具有一些重要的性质，如秩的传 递性、秩的唯一性、秩的性质等。矩阵的 秩可以用来判断线性方程组的解的情况， 如当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时， 线性方程组有解。
利用秩判断线性方程组解的情况
总结词
利用矩阵的秩可以判断线性方程组解的情况。
详细描述
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性 方程组有解；当系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩时，线性方程组无解；当系数矩阵的秩 大于增广矩阵的秩时，线性方程组有无穷多 解。此外，利用矩阵的秩还可以判断线性方 程组解的个数和类型。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的；逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵；逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。
逆矩阵的求法
高斯消元法、伴随矩阵法、初等变换法等。
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵转化为上三角矩阵，从而得到解。
回带求解
将得到的上三角矩阵的解回代到原方程组中， 得到未知数的值。
克拉默法则
当方程组系数行列式不为0时，可以用克拉默 法则求解唯一解。
准型有助于简化二次型的计算和性质研究。
二次型的正定性判断
总结词
正定性判断是确定二次型是否为正定的过程， 正定的二次型具有一些重要的性质。
详细描述
正定性判断是二次型研究中的一个重要问题。 一个二次型被称为正定的，如果它对应于一 个正定矩阵。正定的二次型具有一些重要的 性质，如存在唯一的极小值点，且该极小值 点是全局最小值点。此外，正定的二次型还 具有一些几何意义，如对应于一个凸多面体
高等代数知识点总结
分块三角矩阵的行列式
Cauchy-Binet 公式
Vandermonde 行列式
定义
性质
*
*
分块三角形行列式
Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开)
Cauchy-Binet公式 设U是m×n矩阵, V是n×m矩阵, m≥n, 则
*
*
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单击此处添加副标题
重要结论： 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
向量组等价：
S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
对于向量组S，T，下列条件等价
线性相关与线性表示： 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一
A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都等价于
矩阵等价
*
可逆矩阵vs列满秩矩阵
对于n阶矩阵A,下列条件等价 A是可逆矩阵 |A|0 秩A=n 有B使得AB=I或BA=I A是有限个初等矩阵之积 A(行或列)等价于I A的列(行)向量组线性无关 方程组Ax=0没有非零解 对任意b,Ax=b总有解 对某个b,Ax=b有唯一解 A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C) 对于m×r矩阵G,下列条件等价 G是列满秩矩阵, G有一个r阶的非零子式 秩G=列数 G有左逆,即有K使得KG=I 有矩阵H使得(G, H)可逆 G行等价于 G的列向量组线性无关 方程组Gx=0没有非零解 对任意b,若Gx=b有解则唯一 对某个b,Gx=b有唯一解 G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)
(完整版)高等代数知识点归纳
1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩L==()mn A O A A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K N N 1范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭LL M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 11A A --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩ 在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rr E O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤1α==. 即长度为1的向量.内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,in r k k k -L 为任意不全为零的数.3. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O .② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 正交矩阵 T AA E =③ 正交阵的行列式等于1或-1； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化 123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ=1. ① 二次型 11121121222212121112(,,,)(,,,)n n n n Tn ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑L L L L L L L L L L其中A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =L② A 与B 合同 TC AC B =. （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）求C (A I)→(B C^T) 这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换 最后 求得C 和C^T③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - ④ 两个矩阵合同⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数分别相等. ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B 等价 ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =2. 12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换可逆线性变换x Cy = 化为21ni i f d y =∑标准形.① 正交变换法② 配方法（1）若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换()1,2,,,i i j j i jkk x y y x y y k n k i j x y=-⎧⎪=+=≠⎨⎪=⎩L 且,3.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)n f x x x >L 0.正定二次型对应的矩阵.4. ()Tf x x Ax =为正定二次型⇔（之一成立）： （1） x ο∀≠ ，Tx Ax >0； （2）A 的特征值全大于0； （3）f 的正惯性指数为n ； （4）A 的所有顺序主子式全大于0；（5）A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得TC AC E =； （6）存在可逆矩阵P ，使得TA P P =；(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量。
知识点总结高等代数
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ij nn n nna a a a a a a a a a =1等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 2的代数和,这里12n j j j 是一个n 级排列;当12n j j j 是偶排列时,该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时,该项前面带负号,即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑;2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知,n 级行列式共有!n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;4、常见的行列式1上三角、下三角、对角行列式 2副对角方向的行列式 3范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等;2、互换行列式的两行列,行列式变号;3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;三、行列式的按行列展开1、子式1余子式：在n 级行列式ij D a =中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式,记作ij M ;2代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式;3k 级子式：在n 级行列式ij D a =中,任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 级行列式M,称为D 的一个k 级子式;当()k n <时,在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式;2、按一行列展开1行列式任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行k 列展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行k 列(11)k n ≤≤-,由这k 行k 列元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值; 4、其他性质1设A 为n 阶方阵,则A A '=； 2设A 为n 阶方阵,则n kA k A =；3设,A B 为n 阶方阵,则AB A B =,但A B A B ±≠±； 4设A 为m 阶方阵,设B 为n 阶方阵,则00A A AB BB*==*,但A B A B ±≠±;5行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等;具体计算时需要根据等到式中行或列元素的特点来选择相应的解题方法;方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法;用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ,依次从1234n D D D D D →→→→,逐级递推便可以求出n D 的值;方法二：数学归纳法;第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性;第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式;方法三：加边法;加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列或m 行m 列得到一个新的n+1或m+1级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1或m+1级行列式较易计算;其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn nn n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===;方法四：拆行列法;将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和,然后再求行列式的值;拆行列法有两种情况：一是行列式中有某行列是两项之和,可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行列没有两项和形式,这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和;方法五：析因子法;如果行列式D 中有一些元素是变数x 或某个参变数的多项式,那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ,然后对行列式()f x 实行某些变换,求出()f x 的互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c,根据多项式相等的定义,比较()f x 与的()g x 某一项系数,求出c 值,便可求得()D cg x =;2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式非零元分布在两条线上,例如,*等等;注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算,或用拉普拉斯定理展开,降阶后的行列式或为三角形行列式,或得到一个递推公式; 类型二：“三条线”行列式非零元分布在三条线上; 1“三对角”行列式,;注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解;首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+,然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式：先计算123,,D D D 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明;间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组,从而消去1n D -就可解得n D ;2“爪型”行列式;注：“爪型”行列式可以按行列提取公因子,然后化为上下三角形行列式进行求解;3Hessenerg型行列式;类型三：各行列元素之和相等或多数相等仅个别不相等的行列式; 注：行加法或列加法再化为三角形行列式进行求解;类型四：除主对角线外其余元素相同或成比例型行列式; 注：拆行列法或再结合其他方法进行求解; 类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式; 类型六：其他形式行列式;五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零,即111110nn n a a D a a =≠, 则方程组有唯一解： 其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式;2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。
高代数重难点归纳doc
高等代数重难点指导第一章多项式一、重难点归纳与分析(一)基本内容1．一元多项式的基本概念与基本性质：主要讨论数域的概念、一元多项式的定义与运算规律。
2．一元多项式的整除性理论：主要讨论带余除法与余数定理、整除的基本概念与基本性质、最大公因式和互素的基本概念与基本性质。
3．一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。
4．一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根的个数定理。
多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。
（二）重难点归纳教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k重因式与k重根的关系。
；教学难点：因式分解及唯一性定理，多项式根的理论，复（实）系数多项式分解定理，本原多项式，Eisenstein判别法。
二、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1．关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以确定多项式的次数及证明有关命题。
2．关于一元多项式整除性理论，通常有多项式整除性的检验、最大公因式的求法、互素的判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。
3．关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式的可约性判别、因式分解、重因式的判别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。
4．关于一元多项式的根与重根，通常有根的检验及重根的判别、根与系数的关系以及求多项式的根与重根等等，可利用辗转相除法、结式判别法、分离重因式法、艾森斯坦判别法等进行讨论，以及利用某些基本定理求解。
5．关于多元多项式，通常有对称多项式化初等对称多项式的化法与对称多项式的应用，其中化对称多项式为初等对称多项式的方法主要有公式法、首项消去法及待定系数法；应用对称多项式，可以对具有对称多项式形式的线性方程组求解、进行因式分解、进行恒等式的证明及求多元多项式的零点。
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数 知识点
第一章定义1 数域定义2 数域P上的一元多项式定义3 多项式相等定义4 一元多项式环带余除法定义5 整除定理1 r（x）=0定义 6 最大公因式定理 2 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g(x);(f(x),g(x))= u（x）f（x）+v（x）g(x)定义7 互素(f(x),g(x))=1定理 3 u（x）f（x）+v（x）g(x)=1定理4 f ，g互素且f|gh，则f|h推论f1|g，f2|g，且f1，f2互素，则f1f2|g，定义8 不可约多项式定理5 一个不可约多项式p，能够表达成P|fg，则p|f或者p|g因式分解及其唯一性定理数域P上的一个多项式f，都可以唯一的分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积。
第四章1 转轴----坐标系（x1，y1，z1）到（x2，y2，z2）的坐标变换矩阵是A，如果令X1=（x1，y1，z1）的转置，X2=（x2，y2，z2）的转置，则X1=AX2。
2单位矩阵E=[1⋯0⋮⋱⋮0⋯1]数量矩阵为kE=[k⋯0⋮⋱⋮0⋯k]如：AE=A，EA=A3矩阵的加法，乘法，减法，结合律，交换律，零矩阵4 秩（A+B）≤秩A+秩B5 如：A= (a11⋯a1n ⋮⋱⋮an1⋯ann)则矩阵的数量乘积kA=[ka11⋯ka1n ⋮⋱⋮kan1⋯kann]6 矩阵的转置记作A的转置为A’。
例如A= (a11⋯a1n ⋮⋱⋮an1⋯ann)则A’=(a11⋯an1⋮⋱⋮a1n⋯ann)注意：转置的性质(A’)’=A (A+B)’=A’+B’( AB)’=B’A’(kA)’=kA’定理1 假设A B是数域P上的两个n×n矩阵，那么|AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积推论1 |A1A2⋯An|=|A 1||A 2|⋯|An|定义6数域P上的一个n×n矩阵A，如果|A|≠0，称为非退化的，否则称为退化的推论2 假设A B是数域P上的两个n×n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的定理2 假设A是数域P上的n×m矩阵，B是数域P上的m×s 矩阵，于是秩（AB）≤min[秩A，秩B]。
高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
高等代数知识点总结
对于向量组S，T，下列条件等价 1. S和T等价，即S,T可以互相表示 2. S,T的极大无关组等价 3. S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
27
线性相关与线性表示：
• 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性 表示
• 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则 可由1,...,r线性表示,且表法唯一
=r(PAQ)
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转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
取逆
(A1) 1=A (A1)*＝(A*)1
转置 |AT|=|A|
r(AT)=r(A)
取逆 |A1|=|A|1
n, 若r(A)=n 伴随 |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n1
0, 若r(A)<n1
其它
定义 性质
若P, Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)
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性质
公式
；转置不变性 |AT| = |A|
个多项式在任意点的值相等,特别地,取x=0. 适用例子: 习题3.6.4; 3.7.7; 3.7.11:
24
特殊矩阵
三角
正规
可逆←对合
↗ ↖
Hermite 反Hermite 酉矩阵
对称 反对称 正交
幂等 幂零
↗ 对角
纯量
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(完整word版)高等代数知识结构.doc
高等代数知识结构一、高等代数知识结构图行列式的计算工具线性方程组中心课题线性典范型线性代数高等代数研究范围线性空间行列式行列式的性质矩阵的秩矩阵矩阵的运算与逆矩阵的初等变换线性方程组的解法及判别定理线性方程组线性方程组解的结构极大线性无关组向量相关性线性相关和线性无关化为标准型（配方法，线性方程组法，正交法）二次型对角化线性流形正定性，合同单线性函数线性函数对称双线性函数J矩阵若尔当典范性II-C 定理矩阵的可对角化线性空间的性质与同构，子空间的判定线性空间坐标变换与基变换线性变换特征值与特征向量可对角化及不变子空间欧式空间的性质欧式空间正交化与正交补的求法正交变换与正交矩阵酉空间的性质酉空间复数域上的正交变换最大公因式定理整除理论互素与同于因式分解唯一性因式分解理论重因式多项式理论复数域多项式根的理论实数域求法有理数域判定（爱绅斯坦因）多元多项式 /根的判别式对称多项式韦达定理二、高等代数知识结构内容（一）线性代数：工具：线性方程组1. 行列式：a11 a12a1n1 行列式的计算设有n2个数，排成 n 行 n 列的数表a21a22a2n ，即 n 阶行an1an 2ann列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积a1j1a2 j2anj n⑴的代数和，这里j1 j2j n是1，2，，n的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当 j1 j 2j n是偶排列时,⑴带正号；当j1j2j n是奇排列时,⑴带负号．即aa11a12a1n21a22 a2 n1 j 1j2 j na 1j 1a2 j 2anj n ，这里=表示j 1 j 2j nj 1 j 2 j nan1an 2ann对所有 n 级排列求和 .a. 行列式的性质：性质 1. 行列互换，行列式不变。
性质 2. 一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。
性质 3. 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
高等代数I知识点整理
高等代数I知识点整理●行列式●定义●归纳定义●余子式●代数余子式●定义为按第一列展开●组合定义●逆序数●定义●定理●改变任意两个位置会改变奇偶性●S_n排列中奇偶排列各占一半●行列式值●|A|=\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n\in S_n}(-1)^{N(k_1,k_2,\cdots,k_n)}a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}●性质●三角行列式为对角线乘积●某行(列)为0行列式为0●某行(列)乘以常数c，行列式为c|A|●对换任意两行，符号改变●两行成比例，|A|=0●|C|=|A|+|B|●一行乘以常数加到另一行行列式不变●|A’|=|A|●展开式●可按第一行展开●可按任意一列展开●Laplace 定理●任一k阶子式与其代数余子式之积的展开式中每一项都是|A|的展开式●任意k列(行)展开●|A|=\sum\limits_{1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n}A\left(\begin{matrix} i_1 &i_2 &\cdots & i_k \\ j_1 & j_2 &\cdots & j_k\end{matrix}\right)\hat{A}\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_k \\ j_1& j_2 &\cdots & j_k \end{matrix}\right)●计算●Vandermonde 行列式●矩阵●运算●加减法●数乘●矩阵乘法●方阵幂●转置运算●共轭运算●逆运算●可逆阵/非奇异阵●求逆运算规则●伴随阵A^*●定理●AA^*=A^*A=|A|I_n任意方阵成立●A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*|A|\ne 0●初等变换●初等矩阵●定义●第一类换行（列）●第二类加上常数倍某行(列)●第三类某行(列)乘以常数●性质●非异且逆阵为同类初等矩阵●不改变奇异性●相抵●相抵标准型可通过初等行列变换成●阶梯型可仅通过初等行变换成●分块矩阵●分块运算●加减●数乘●乘法●转置●共轭●分块初等变换●第三类行列式值不变●秩不变●降价公式●|D||A-BD^{-1}C|=|A||D-CA^{-1}B|当A和D可逆时●矩阵乘积行列式●n阶方阵●n阶可逆阵可初等行(列)变换为单位阵●非异阵可分解为有限个初等矩阵●|QA|=|Q||A|=|AQ|n阶方阵A，初等矩阵Q●n阶方阵A可逆\Leftrightarrow |A|\ne0●|AB|=|A||B|n阶方阵A,B●A\in M_{m\times n},B\in M_{n \times m}●Cauchy-Binet 公式●m>n，|AB|=0●|AB|=\sum\limits_{1\le j_1<j_2<\cdots<j_m\le n}A\left(\begin{matrix} 1 & 2&\cdots & m \\ j_1 & j_2 &\cdots & j_m\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix} j_1 & j_2 &\cdots & j_m \\ 1 & 2&\cdots & m \end{matrix}\right)●AB的r阶子式，r\le m●r>n,AB的任意r阶子式为0●AB\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_r \\j_1 & j_2 &\cdots & j_r\end{matrix}\right)=\sum\limits_{1\le k_1<k_2<\cdots<k_r\len}A\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_r \\ k_1 & k_2 &\cdots & k_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix} k_1 & k_2 &\cdots & k_r \\ j_1 &j_2 &\cdots & j_r \end{matrix}\right)●AA'\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_r \\i_1 & i_2 &\cdots & i_r\end{matrix}\right)=\sum\limits_{1\le k_1<k_2<\cdots<k_r\len}A\left(\begin{matrix} i_1 & i_2 &\cdots & i_r \\ k_1 & k_2 &\cdots & k_r\end{matrix}\right)^2\geq 0●Lagrange 恒等式●\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2}=\sum\limits_{1\leq i<j \leq n}\left(a_{i} b_{j}-a_{j} b_{i}\right)^{2}●Cauchy-Schwarz 不等式●\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\ge\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2}●线性空间●数域●定义●复数C的子集●至少两个不同元●加减乘除(除数不为0)封闭●定理●任意数域包含有理数域●向量●定义●(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in \mathbb{K}^n行向量●(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in \mathbb{K}^n列向量●运算●加法交换●加法结合●存在零元●存在负元●单位数乘●数乘分配●数乘结合●向量空间线性空间●定义●数域\mathbb{K},集合V●加法封闭，数乘封闭●满足运算●加法交换●加法结合●存在零元●存在负元●单位数乘●数乘分配k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha●数乘结合●命题●零向量唯一●负向量唯一●加法消去律成立●0\cdot \alpha=0●k\cdot0=0●(-1)\alpha=-\alpha●k\alpha=0\Rightarrow \alpha=0或k=0●线性关系●k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+\ k_n\alpha_n=0●线性相关存在k_i不为0●线性无关所有k_i=0●定理●包含一组线性相关的向量组线性相关●线性无关的向量组中任意一组子向量组线性无关●线性相关\Leftrightarrow组中至少有一个向量可被其他向量线性表示●\beta可被\{\alpha_i\}唯一表出\Leftrightarrow\{\alpha_i\}线性无关●A可被B线性表出，B可被C线性表出，则A可被C线性表出A,B,C为向量组●秩●极大线性无关组●定义●一个线性无关的子向量组●其余向量可被此无关组线性表出●命题●向量组S有非零向量，极大线性无关组一定存在●定理●向量个数关系A有r个向量，B有s个向量●A可被B表出，A线性无关，则r\leq s●A可被B表出，若r>s,则A线性相关●A,B线性无关且可互相表出，则r=s●A,B为S的极大线性无关组，向量个数相同●秩●定义●极大线性无关组的向量个数●r(S)或rank(S)●互相表出的向量组等价，有相同秩●n维线性空间●定义●秩为n●n个线性无关向量可表出空间任意向量，称为一组基●定理●超过n个向量的向量组一定线性相关●n个向量为基的等价条件●线性无关●空间任一向量可由此向量组唯一表出●基扩张定理●m个线性无关向量的向量组，可从一组基中选出(n-m)个元素使其成为一组基==●矩阵的秩●行秩和列秩在初等变换下不变●矩阵行秩等于列秩●行变换不改变列线性无关组的位置●阶梯阵秩等于非零行个数，阶梯点所在列向量为极大线性无关组●转置秩不变●矩阵与非异阵相乘秩不变●非异阵\Leftrightarrow满秩阵●矩阵等价\Leftrightarrow秩相同●r(A)=r\Leftrightarrow 任意r+1子式存在则为0，一定有r阶子式不为0●坐标向量●定义●确定一组基，任意向量一一对应一组坐标一组基表示向量方式唯一●线性空间同构●定义●两个线性空间，一个数域●存在一个线性双射●定理●数域上任一n维线性空间与n维行向量空间同构●同构是等价关系●映射不改变向量组的线性相关性●有限维线性空间同构\Leftrightarrow维数相同●任意向量组与其坐标向量组有相同的秩●基变换与坐标变换●过渡矩阵●定义● \{f_i \}和\{e_i\}为两组基●\left\{\begin{array}{c} f_{1}=a_{11} e_{1}+a_{12} e_{2}+\cdots+a_{1 n}e_{n}, \\ f_{2}=a_{21} e_{1}+a_{22} e_{2}+\cdots+a_{2 n} e_{n}, \\ \cdots\cdots+\cdots \\ f_{n}=a_{n 1} e_{1}+a_{n 2} e_{2}+\cdots+a_{n n} e_{n} .\end{array}\right.●过渡矩阵A为系数矩阵转置e_i到f_i的过渡矩阵●基变换F=(f_1,f_2,\cdots,f_n),E=(e_1,e_2,\cdots,e_n)●F=EA●坐标变换\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)',\mu=(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n)'●\alpha=E\lambda=F\mu●\lambda=A\mu●命题● \{e_i \}到\{f_i\}的过渡矩阵为A， \{f_i \}到\{e_i\}的过渡矩阵为A^{-1}● \{e_i \}到\{f_i\}的过渡矩阵为A， \{f_i \}到\{g_i\}的过渡矩阵为B, \{e_i \}到\{g_i\}的过渡矩阵为AB●子空间●定义●V的非空子集V_0●V_0加法与数乘封闭●子空间的交V_1\cap V_2●子空间的和V_1+V_2=\{\alpha+\beta|\alpha \in V_1,\beta \in V_2 \}●张成的子空间S\subseteq V,L(S)●L(S)为S所有可能的线性组合●直和●定义●如果V_i\cap(V_1+\cdots+V_{i-1}+V_{i+1}+\cdots+V_n)=0●和记为V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_n●命题●子空间为线性空间●子空间的交与和还是子空间●定理●L(S)是包含S的最小子空间●L(S)的维数等于S的极大无关组向量个数●L(V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_n)=V_1+V_2+\cdots+V_n●dim(V_1+V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)-dim(V_1\cap V_2)●直和等价命题V_0=V_1+V_{2}+\cdots+V_m●V_0=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m●V_i\cap(V_1+V_2+\cdots+V_{i-1})=02\leq i\leq m●dim(V_1+V_2+\cdots+V_{m})=dim(V_1)+dim(V_2)+\cdots +dim(V_m)●V_1,V_2,\cdots,V_{m}的一组基可以拼成V_0的一组基●V_0中零向量被表示为V_1,V_2,\cdots,V_{m}中的向量之和表示唯一●V_0中向量被表示为V_1,V_2,\cdots,V_{m}中的向量之和表示唯一●线性方程组●方程组形式●\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \\a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} . \end{array}\right.●向量形式●\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}●\boldsymbol{\widetilde{A}}=(\boldsymbol{A}\quad \boldsymbol{b})增广矩阵●\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}齐次方程组●Cramer 法则●x_{1}=\frac{\left|\boldsymbol{A}_{1}\right|}{|\boldsymbol{A}|},x_{2}=\frac{\left|\boldsymbol{A}_{2}\right|}{|\boldsymbol{A}|}, \cdots,x_{n}=\frac{\left|\boldsymbol{A}_{n}\right|}{|\boldsymbol{A}|}●定理●方程组有解\Leftrightarrow r(\boldsymbol{\widetilde{A}})=r(\boldsymbol{{A}})●r(\boldsymbol{\widetilde{A}})=r(\boldsymbol{{A}})=n，则方程组解唯一●解的结构定理●r(\boldsymbol{\widetilde{A}})=r(\boldsymbol{{A}})=r，齐次线性方程组基础解系\{\boldsymbol{\eta} _1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r}\}，任一特解\boldsymbol{\gamma}●则所有解可表示为k_1\boldsymbol{\eta}_1+k_2\boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\eta}_{n-r}+\boldsymbol{\gamma}k_i为任何数。
高等代数知识点复习资料整理
f
a
p n1 1
p nt t
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多
项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f
唯一确定.
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
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代数学基本定理：
下列陈述等价， 1. 复数域上次数≥1的多项式总有根 2. 复数域上的n次多项式恰有n个根 3. 复数域上的既约多项式恰为一次式 4. 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二
次式 6. 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次
式之积
6
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
标准分解
f
a ( x x1 ) n1 ( x x t ) nt
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
r(AB)≤r(A), r(B) r(AT)=r(A)
伴 随
n, 若r(A)=n
(A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
4
• 因式分解唯一定理
高等代数大一下知识点汇总
高等代数大一下知识点汇总高等代数是数学中的一门重要学科，它作为大学数学的核心课程之一，在大一下学期进行教授。
本文将对高等代数大一下的知识点进行汇总，以帮助学生们更好地理解和掌握这门学科。
一、向量与矩阵高等代数中的向量与矩阵是比较基础而重要的概念。
向量是指有大小和方向的量，通常用箭头表示，矩阵是指二维表格状的数学结构，由多个数值组成。
1.1 向量的定义与运算向量可以表示为 n 维的行向量或列向量，其中 n 表示向量的维数。
在高等代数中，常常遇到向量的加法、减法和标量乘法等运算。
1.2 矩阵的定义与运算矩阵是由 m 行 n 列的数值按一定顺序排列而成的数学结构。
在高等代数中，我们会讨论矩阵的加法、减法、乘法、转置以及逆矩阵等运算。
二、线性方程组线性方程组是高等代数中的另一个重要内容，它描述了多个线性方程的集合。
解线性方程组的过程可以帮助我们确定未知数的数值。
2.1 线性方程组的基本概念线性方程组由多个线性方程组成，方程中的未知数通常用 x1, x2, ..., xn 表示。
线性方程组可以写成增广矩阵的形式，其中系数矩阵代表了方程组的系数，常数矩阵代表了方程组的常数。
2.2 线性方程组的解法常见的线性方程组解法有高斯消元法、矩阵法和克拉默法则等。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组的系数矩阵化为阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
三、行列式行列式也是高等代数中的重要概念，它是对矩阵进行特殊运算得到的一个数值。
行列式不仅能判断矩阵是否可逆，还可以计算矩阵的特征值和特征向量等。
3.1 行列式的定义与性质行列式的定义是一个递归的过程，它可以用于计算方阵的数值。
行列式具有一些重要的性质，如交换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，两行（列）相同的行列式值为零等。
3.2 行列式的计算方法计算行列式的方法有很多，常见的有拉普拉斯展开法、三角形法则和性质法则等。
不同的计算方法适用于不同规模的矩阵。
四、特征向量与特征值特征向量与特征值是矩阵运算中的重要概念，在高等代数课程中也会进行详细学习。
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1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩ ==()mn A O A A OA B O B O B B O A AA B B O B O*==**=-1(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==- 1范德蒙德行列式：()1222212111112ni j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ijM A A M ++=-=-分块对角阵相乘：,11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A BAB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为中各个元素的代数余子式.()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭ij A A ,, .**AA A A A E ==1*n A A -=11A A --=分块对角阵的伴随矩阵： ***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵的秩的性质：① ≥; ;≤≤ ()A O r A ≠⇔1()0A O r A =⇔=0()m n r A ⨯min(,)m n ④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ≤()r AB {}min (),()r A r B ⑥ 若、可逆，则； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.P Q ()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===⑦ 若；()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律 若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧ 等价标准型.()r r E O E O r A r A A O O OO ⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的⑨ ≤, ≤≤()r A B ±()()r A r B +{}max (),()r A r B (,)r A B ()()r A r B +矩阵转置的性质：()T T A A =()T T T AB B A =T A A=11()()T T A A --=()()T TA A **=矩阵可逆的性质：11()A A --=111()AB B A ---=11A A--=11()()k k kA A A ---==伴随矩阵的性质：2()n A AA -**=()AB B A ***=1n A A-*=11()()A AA A -**-==()()k kA A **= () () 1 ()10 () 1 n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若若若AB A B =kk A A=（无条件恒成立）AA A A A E **==⑩ , ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()A C r r A rB O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭① 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.n n ③ . 记为：αβ与正交(,)0αβ=αβ⊥④ 向量的长度()12,,,Tn a a a α= 21ni i a α====∑⑤ 是单位向量. 即长度为的向量.α1α==1内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性，称为矩阵的迹.12n A λλλ= 1ni A λ=∑t r A t r A 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程，求出特征值.0A E λ-=i λ (2) 根据得到 A 对应于特征值的特征向量.()0i A E x λ-=i λ 设的基础解系为 其中.()0i A E x λ-=12,,,i n r ξξξ- ()i i r r A E λ=- 则A 对应于特征值的全部特征向量为 i λ1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++ 其中为任意不全为零的数.12,,,i n r k k k - 3. ① 与相似 （为可逆矩阵）A B 1P AP B -=P ② 与正交相似 （为正交矩阵）A B 1P AP B -=P ③ 可以相似对角化 与对角阵相似.（称是的相似标准形）A A ΛΛA 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.P A 1P AP -A 设为对应于的线性无关的特征向量,则有：i αi λ.121n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ② 可相似对角化，其中为的重数恰有个线性无关的特征向量.A ⇔()i i n r E A k λ--=i k i λ⇔A n ：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数基础解系的个数.○注iλ=0A A ⇔i λ()n r A =-=Ax ο= ③ 若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.n A n ⇒A 正交矩阵 TAA E=③ 正交阵的行列式等于1或-1；⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ 的行（列）向量都是单位正交向量组.A 施密特正交规范化 线性无关,123,,ααα112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化 单位化： 111βηβ=222βηβ=333βηβ=1. ① 二次型11121121222212121112(,,,)(,,,)n n n n T n ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 其中为对称矩阵，A 12(,,,)Tn x x x x = ② 与合同 . （）A B TC AC B =,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵求C (A I)→(B C^T) 这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换 最后 求得C 和C^T③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数二次型的规范形中负项项数p r p - ④ 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.⇔⇔ ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：与B 等价A ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =2. 经过 化为标准形.12(,,,)Tn f x x x x Ax = 正交变换合同变换可逆线性变换x Cy =21ni i f d y =∑ ① 正交变换法配方法（1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，i x i x 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2） 若二次型中不含有平方项，但是 (), 则先作可逆线性变换0ij a ≠i j ≠ ,()1,2,,,i i j j i jkk x y y x y y k n k i j x y=-⎧⎪=+=≠⎨⎪=⎩ 且3.正定二次型 不全为零，.12,,,n x x x 12(,,,)n f x x x > 0正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.4. 为正定二次型（之一成立）：()Tf x x Ax =⇔ （1） ，；x ο∀≠Tx Ax >0 （2）的特征值全大于； A 0 （3）的正惯性指数为；f n （4）的所有顺序主子式全大于；A 0 （5）与合同，即存在可逆矩阵使得；A E C TC AC E = （6）存在可逆矩阵，使得；P TA P P = (),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得或()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量。