含绝对值的函数问题处理
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含绝对值的函数问题处理
1.（2005年江苏卷）已知a ∈R ，函数f(x)=x 2|x-a|. (I)当a=2时，求使f(x)=x 成立的x 的集合； (II)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解析：(I)若a=2,则有：22
2(2),2()2(2),2x x x f x x
x x x x ìï- ï=-=í
ï--<ïî
, ①当x ≥2时，有x 2(x-2)=x,解得x=0或x 2-2x-1=0,
解得：1211x x =+=-
，
取11x =+
x<2时，有2
(2),:01x x x x x --===解得或．
综上所述，当ａ=2时能使ｆ(ｘ)=ｘ成立的ｘ的集合为｛0，1
，1+｝
(II)对函数式进行分解得：22
2(),()(),x x a x a
f x x
x a x x a x a ìï- ï=-=í
ï--<ïî
①当x ≥a 时，设f 1(x)=x 2(x-a),则2
12()32,0,3
a f x x ax x x ¢=-==
得极值点或 a. 当a<0时,函数f(x)在区间2a 2a
,
(0,),(,0)33
骣
÷ç-ト+ ÷ç÷ç桫
递增在区间递减,b.当a>0时, 函数f(x)在区间()
2a 2a ,0(,),(0,
)3
3
-ト+ 递增在区间递减.
②当x (x-a),则212()32,0,3 a f x x ax x x ¢=-+== 得极值点或 a.当a<0时,函数f(x)在区间2a 2a ,(0,),(,0)33 骣 ÷ç-ト+ ÷ç÷ç桫 递减在区间递增,b.当a>0时, 函数f(x)在区间() 2a 2a ,0(,),(0, )3 3 -ト+ 递减在区间递增. 由于所求区间为[1,2],故a 按所求区间进行讨论: ①若a ≤1,则 22,33 a £取f 1(x)图象在x>a 部分,因函数f1(x)在区间[1,2]部分单调递增,故当x=1 时取最小值,即m=f 1(1)=1-a; ②若1 224 [ ,],333 a Î当x>a 时,f 1(x)从0单调递增;当xa ≥2, 则242,33 a > 函数f 2(x)在区间为先增后减,当x= 23 a 时取最大值,则最小值为 m 1=f 2(1)=-1+a 或m 2=f 2(2)=-8+4a,下面讨论m 1与m 2的大小问题: a. 若2≤a< 73 ,则m 1>m 2,最小值为m 2=-8+4a;b.若 73 ≤a<3,则则m 2>m 1,最小值为m 1=-1+a. ④若a ≥3, 则 22,3 a ³函数f2(x)在区间为递增,则当x=1时取最小值,即m=f 2(1)=-1+a. 综上所述,函数f(x)在区间[1,2]的最小值 m=1,10,12784,2371,331,3a a a a a a a a a ìïï ï- ïï ï<<ïïïïï-+?íïïïï ï-+?ïïïï ï-+ ïî ,(其图象可通过几何画板演示得到). 2.(全品第二轮专题)已知函数f(x)=x 2 -1,g(x)=a|x-1|. （I ）若|f(x)|=g(x)有两个不同的解，求a 的值； （II ）若当x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a 的取值范围． 解析：（I ）方法一：(分解因式，避免讨论)由|f(x)|=g(x)有：｜x-1|(|x+1|-a)=0, 显然，1x =已是该方程的根，从而欲使原方程有两个不同的解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个不等于1的解或两个不同的解且有一个为１，结合图形得a=0或a=2. 方法二：（分类讨论）由于(1),1()(1),1 a x x g x a x x ì- ïï=íï--<ïî，当x ≥1时，有x 2-1=a(x-1),解得x=1或x=a-1;当-1 -1=-a(x-1),解得 x=1或x=-a-1,取x=-a-1.①若a=0，则方程有两根1与-1；②若2≥a>0，则-1 （II ）方法一：（分离变量法）由f(x)≥g(x)得：x 2-1≥a|x-1|⇒①当x=1时恒成立，此时ａ∈R ；②当x ≠1时，有 ()() 111 x x a x +-³-，设φ（x ）= ()() 1,111(1),11 x x x x x x x ì+>+-ïï=í ï-+<-ïî ,因为当x>1时，φ（x ）>2;当x<1时，φ（x ）>-2,所以φ(x)>-2,故此时ａ≤－２.综合①②得ａ≤－２. 方法二：（函数方程思想）略． 类似题： 已知函数1)(2 -=x x f ，|1|)(-=x a x g . (1)若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3)求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演算步骤．．．．．．．． ）. 解答:（1）方程|()|()f x g x =，即2|1 ||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1 x =已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <.