一元二次方程-韦达定理的应用及答案

一元二次方程韦达定理的应用

知识点：

一元二次方程根的判别式 ：

当△>0 时________方程_____________，

当△=0 时_________方程有_______________ ，

当△<0 时_________方程___________ .

韦达定理的应用：

1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数

2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值

3.已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值

4.已知两数的和与积， 求这两个数

例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证： 当 m>2 时,原方程永远有两个实数根.

例 2.已知关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.

(1)求 k 的取值范围;

(2)是否存在实数 k ， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在， 说明理由.

例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=

(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;

例 4.已知关于 x 的一元二次方程21(2)302

x m x m +-+-= (1)求证： 无论m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。

(2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+， 求 m 的值。

例 5.当 m 为何值时， 方程2

8(1)70x m x m --+-=的两根：

(1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数， 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.

例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长， 且关于 x 的方程 22(1)2(1)0b x ax c x --+-=有两个相等的实

根，

求证： 这个三角形是直角三角形。

例 7.若 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn ---

=有两个相等的正的实数根， 求m n 的值。

课堂练习：

1.下列一元二次方程中， 没有实数根的是（ ）

A. 2210x x +-=

B. 220x ++=

C. 210x +=

D. 220x x ++=

2.已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个根，则12

11x x +的值是（ ） A.3 B.-3 C C.

13 D .1 3.关于 x 的二次方程22(1)230m x x m m -+++-=的一个根为 0， 则 m 的值为（ ）

A.1

B.-3

C.1 或－3

D.不等于 1 的实数

4.方程 22(25)(2)0x k x k --+-= 的两根互为相反数， k 的值为（ ）

A. k =5或 - 5

B. k =5

C. k = -5

D.以上都不对

5.若方程240x mx ++=的两根之差的平方为 48， 则 m 的值为（ ）

A.±8

B.8

C.-8

D.±4

6.已知关于 x 的方程210(3)70x m x m -++-=， 若有一个根为0， 则 m=________ ， 这时方程的另一个根是 ________； 若两根之和为35

-， 则 m=_______ ， 这时方程的两个根为____________

7.已知方程 210x px +-=

的一个根为2- 可求得 p=_______ 8.

若2-是关于 x 的方程2280x x k -+=的一个根， 则另一个根为 _____ ， k = _____ 。

9.方程22650x x --=两根为α，β， 则222______,()=______αβαβ+=-。

10.要使2469n n a -+与3n

a 是同类项， 则 n=______________ 11.解下列方程：

(1) 2

(21)16x -= (2) 2430x x -+= (3) 25320x x --= 12.关于 x 的方程2

(21)(3)0ax a x a --+-=有实数根， 求 a 的取值范围。

13.设12,x x 是方程22410x x -+=的两根， 利用根与系数关系求下列各式的值：

(1) 12(1)(1)x x ++； (2)

1221x x x x +； (3) 2212x x + . 14.关于 x 的方程2(21)(3)0x a x a ----=， 试说明无论 a 为任何实数， 方程总有两个不等实数根。

15.已知关于 x 的方程222(1)3110x m x m +-+-= ，

（ 1） m 为何值时， 方程有两个相等的实数根？

（ 2） 是否存在实数 m ， 使方程的两根

1221

+1x x x x =-?若存在， 求出方程的根； 若不存在， 请说明理由。

16.关于 x 一元二次方程 2()2()0c b x b a x a b -+-+-= 有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。

17.已知 Rt △ABC 中， 两直角边长为方程2(27)4(2)0x m x m m -++-=的两根， 且斜边长为 13， 求S ABC ∆的值.