2018年高考数学一轮复习专题07二次函数与幂函数押题专练文!
2018年高考数学一轮复习专题07二次函数与幂函数教学案文!
07 二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )．零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质高频考点一 幂函数的图象和性质例1、(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2【解析】 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，【答案】 (1)C (2)D【方法规律】 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式探究】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1C ．2D ．1或2【解析】 (1)设f (x )＝x α(α∈R)，则4α＝2， ∴α＝12，因此f (x )＝x 12，根据图象的特征，C 正确．(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n 在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x－2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.【答案】(1)C(2)B高频考点二二次函数的图象与性质例2、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数；(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．其图象如图所示，又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．【变式探究】(1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．【解析】 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a >0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以x ＝－b2a <0，B 错误． (2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4， 故f (x )＝－2x 2＋4.【答案】 (1)D (2)－2x 2＋4 高频考点三 二次函数的应用例3、 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】 B【方法规律】(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化． 【变式探究】(1)(已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．(2)函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点可化为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 恰有4个交点，作函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，故m 的取值范围是(－1，0)． 【答案】 (1)⎝⎛⎭⎫－12，4 (2)(－1，0)高频考点四、分类讨论思想在二次函数最值中的应用 例4、已知f(x)＝ax2－2x(0≤x ≤1)，求f(x)的最小值． 解 (1)当a ＝0时，f(x)＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f(x)min ＝f(1)＝－2.[2分](2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .①当1a ≤1，即a ≥1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在[0，1a ]上递减，在[1a ，1]上递增．∴f(x)min ＝f(1a )＝1a －2a ＝－1a .②当1a >1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上递减． ∴f(x)min ＝f(1)＝a －2.[9分]【方法与技巧】 1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便． 2．研究二次函数的性质要注意： (1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论． 3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【失误与防范】1．对于函数y ＝ax2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．1.【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．1．（2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]2．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D【解析】只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.3．（2013·安徽卷）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C是必要的．4．（2013·湖南卷）函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为() A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选B.法二：也可以采用数值法：可知它们有2个交点，选B.5．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是() A． x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】C6．（2013·北京卷）函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f(x)＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －1【答案】D【解析】依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x －1)的图像，又y ＝e x 的图像关于y 轴对称的图像的【解析】式为y ＝e －x ，所以f(x －1)＝e －x ，所以f(x)＝e－x －1.1．已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( ) A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3【解析】 因为函数y ＝x α为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y ＝x －1的值域为{y |y ≠0}，函数y ＝x ，y ＝x 3的值域都为R .所以符合要求的α的值为1，3. 【答案】 A2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0【解析】 因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0. 【答案】 A3．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a 的图象可能是( )【解析】 若a <0，由y ＝x a 的图象知排除C ，D 选项，由y ＝ax ＋1a 的图象知应选B ；若a >0，y ＝x a 的图象知排除A ，B 选项，但y ＝ax ＋1a 的图象均不适合，综上选B.【答案】 B4．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f （x ）x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】 D5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)【解析】 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.【答案】 A6．函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( ) A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断 【解析】 依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015. ∴函数f (x )＝x 2 015在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.【答案】 A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______．【解析】 作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．【答案】 (0，1)8．已知P ＝2－32，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． 【解析】 P ＝2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝⎛⎭⎫123>⎝⎛⎭⎫253，即P >R >Q .【答案】 P >R >Q9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】 (0，1]10．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．【解析】 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1.【答案】 111．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴x ＝－32∈[－2，3]，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，故b的取值范围是[－2，0].。
黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一轮复习第7讲二次函数与幂函数学案(无答案)文(2021年整理)
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第七讲二次函数与幂函数学习目标1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．学习疑问学习建议【相关知识点回顾】1。
二次函数的解析式的三种形式（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；对称轴方程是x＝－错误!；顶点为(－错误!，错误!)．(2)两根式：y＝a(x－x1)（x－x2)；对称轴方程是x＝错误!；与x轴的交点为(x1,0),(x2，0)．（3）顶点式:y＝a(x－k)2＋h；对称轴方程是x＝k；顶点为（k，h) 2。
二次函数的单调性当a>0时，在(－错误!，＋∞)上为增函数;在（－∞，－错误!）上为减函数；当a<0时，与之相反．3。
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系（1）f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx ＋c＝0的实根．（2）若x1，x2为f(x)＝0的实根,则f(x）在x轴上截得的线段长应为｜x1－x2|＝错误!．(3)当错误!时，恒有f（x）〉0；当错误!时，恒有f(x)〈0。
4.设f(x)＝ax2＋bx＋c（a〉0）,则二次函数在闭区间［m，n]上的最大、最小值的分布情况(1）若－错误!∈[m，n］，则f（x）max＝max错误!，f（x)min＝f（－错误!）．(2)若－错误!∉［m，n]，则f（x)max＝max{f（m)，f（n)}，f（x)min＝min{f （m），f(n）｝．另外,当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越小．5。
高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习(含解析)
第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。
高考数学(理)一轮复习 专题07 二次函数与幂函数(押题专练) Word版含解析
专题二次函数与幂函数（押题专练）年高考数学（理）一轮复习精品资料．如果函数()＝－－在区间(－∞，]上单调递减，则实数满足的条件是( )．≤．≥．≥－．≥答案解析函数图象的对称轴为＝，由题意得≥，解得≥.．函数()＝(－－)是幂函数，且在∈(，＋∞)上为增函数，则实数的值是( )．－．．－或．答案解析()＝ (－－)是幂函数⇒－－＝⇒＝－或＝.又在∈(，＋∞)上是增函数，所以＝.．设函数()＝＋＋(>)，且()<，则( )．(＋)≤．(＋)≥．(＋)<．(＋)>答案．若函数()＝－－在区间上的最大值为，则实数等于( )．．－．．－答案．二次函数()的图象经过点，且′()＝－－，则不等式()>的解集为( )．(－)．(－)．(－∞，)答案解析由题意设()＝＋＋(≠)，则′()＝＋，∵′()＝－－，∴(\\(＝－，＝－，))∴(\\(＝－()，＝－，))∴()＝－－＋，令()>，得－<<，∵>，∴不等式()>可化为<<，∴<，故选.．对于任意实数，函数()＝(－)－＋＋恒为正值，则的取值范围是．答案(－)解析由题意得(\\(－>，－－((＋<，))解得－<<.．当<<时，函数()＝，()＝，()＝－的大小关系是．答案()>()>()解析如图所示为函数()，()，()在()上的图象，由此可知，()>()>()．．已知函数()＝－＋＋的定义域为，值域为时，()＝()－是单调函数，求实数的取值范围．。
2018年高考数学一轮总复习专题2.4二次函数与幂函数练习含解析文
专题2.4 二次函数与幂函数考点分析从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质. 融会贯通考点一 幂函数的图象和性质 【例1】幂函数（是常数）的图象（ ） A. 一定经过点 B. 一定经过点C. 一定经过点D. 一定经过点【答案】C考点：幂函数的性质. 【变式训练1】幂函数的图象经过点，则是（ ）A. 偶函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是减函数C. 奇函数，且在上是增函数D. 非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】C 【解析】设幂函数为，代入点，解得，所以，可知函数是奇函数，且在上是增函数，故选C.【变式训练2】【2017届云南曲靖一中高三上月考】已知幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ）A.13<<-aB.3-<a 或1>aC.1<aD.1>a 【答案】B【解析】因为幂函数n x x f =)(的图象过点)41,8(， 所以321282243nn n -=⇒=⇒=-，23()f x x-= 是偶函数，且在()0,+∞上递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，12,a +>解得3-<a 或1>a ，故选B.考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.【例2】【2017届福建福州外国语学校高三上学期期中数学】已知函数是幂函数25m 3f(x)=(m m 1)x －－－－且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 【答案】B【变式训练】【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（文）】已知p ：幂函数()21m y m m x =--在()0,+∞上单调递增； :21q m -<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 .0C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意，命题:p 幂函数()21my m m x =-- 在()0,+∞上单调递增，则211{,20m m m m --=∴=> ，又:2112113q m m m -<⇔-<-<⇔<<，故p 是q 的充分不必要条件，选A. 【知识链接】(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较函数 特征性质y ＝x y ＝x 2y ＝x 312y x =1y x -=定义域RR R[0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞) 时，减；x ∈(－∞，0)时，减【解题方法与技巧】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．考点二 二次函数的图象与性质 命题一：二次函数与不等式【例1】已知函数()()236f x x a a x c =-+-+.（1）当19c =时，解关于a 的不等式()10f >；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,3-，求实数a 、c 的值. 【答案】（1）()2,8-;（2）33a =±， 9c =.【变式训练】已知函数2)(2+-+=a bx ax x f .（1）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集是)3,1(-，求实数b a ,的值； （2）若2=b ，0>a ，解关于x 的不等式0)(>x f .【答案】（1）2,1=-=b a ，（2）当1≥a 时，解集为),2()1,(+∞---∞aa ； 当10<<a 时，解集为),1()2,(+∞---∞ aa . 【解析】（1）由题3,1-=x 是方程022=+-+a bx ax 的两根.代入有⎩⎨⎧=++=02382b a b ，∴⎩⎨⎧=-=21b a（2）当2=b 时，)1)(2(22)(2++-=+-+=x a ax a x ax x f ∵0>a ，∴0)(>x f 化为0)1)(2(>+--x aa x ①当12-≥-a a ，即1≥a 时，解集为1|{-<x x 或}2a a x -> ②当12-<-a a ，即10<<a 时，解集为aa x x 2|{-<或}1->x 综上，1≥a 时，解集为),2()1,(+∞---∞aa ； 10<<a 时，解集为),1()2,(+∞---∞ aa .【知识链接】1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;z.xxk当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞.命题二：二次函数的单调性【例1】【2017届福建连城县一中高三上期中数学（文）】已知函数()()2210f x ax ax a =-+<，若1212,0x x x x <+=，则()1f x 与()2f x 的大小关系是（ ） A.()()12f x f x = B.()()12f x f x > C.()()12f x f x < D.与a 的值无关【答案】C考点：二次函数图象与性质.【例2】如果函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．a≤3 B．a≥﹣3 C ．a≤5 D．a≥5 【答案】B【解析】∵抛物线函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2开口向上， 对称轴方程是x=1﹣a ，在区间[4，+∞）上递增， ∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3． 故选B ．【变式训练】已知函数2()2f x x ax b =-++且(2)3f =-．（1）若函数()f x 的图象关于直线1x =对称，求函数()f x 在区间[2,3]-上的值域； （2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上递减，求实数b 的取值范围． 【答案】(1)[]1,19--；(2)3-≥b .考点：1.二次函数的值域；2.二次函数的单调性..0【例3】【2017届江苏泰州中学高三上学期月考】函数()()2212f x x a x =--+在区间[]1,4-上为单调函数，则a 的取值范围是__________． 【答案】(][),05,-∞⋃+∞所以当11-≤-a 或41≥-a 时,即0≤a 或4≥a 时函数单调,故应填答案(][),05,-∞⋃+∞. 考点：二次函数的图象和性质及运用．【变式训练1】【江苏省张家港2016-2017学年高二期中数学（文】若函数()261f x x x =-+-在区间(),12a a +上不是单调函数,则实数a 的取值范围是____. 【答案】（1，3）【解析】因为函数()261f x x x =-+-的对称轴为3x = ，函数在(),12a a + 不单调，312a a ∴<<+ ，解得： 13a <<，故答案为 ()1,3 .命题三：二次函数根的分布【例1】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 . 【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【变式训练】已知关于x 的方程11()()2042x xa -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-【知识链接】设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理.【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042；【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042；【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af .推论1 210x x <<⇔0<ac . 推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a .【定理4】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】在区间(,)a b 内有且只有一根，则()()0f a f b ≤，且检验等号． 【解题方法与技巧】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 命题四：二次函数的最值【例1】【2016-2017学年江苏省泰州中学高二期中数学（文）】若函数24y x x =-的定义域为[]4,a -，值域为[]4,32-，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]2,8【变式训练1】已知函数432--=x x y 的定义域是[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围是（ ）A. (]4,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23【答案】C【解析】由题432--=x x y ，对称轴为：32x =.则325()24f =-，(0)4(3)f f =-=。
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标7 二次函数与幂函数 理
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标7二次函数与幂函数 理[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在中间靠前的位置，难度中等．一、选择题1．(2017·河南南阳模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x a的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋a ＝( C )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：因为f (x )＝k ·x a是幂函数，所以k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，所以a ＝12，所以k ＋a ＝1＋12＝32. 2．(2017·天津模拟)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 符号为( B )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0解析：由题意知，抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac <0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b2a>0，所以b >0.3．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，3] C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ，所以3－a ≤0，解得a ≥3，故选D ．4．对于幂函数f (x )＝x 45 ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22和fx 1＋f x 22的大小关系是( B )A ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22 D ．无法确定解析：根据幂函数的性质：当0<x <1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B 正确．5．(2016·陕西宝鸡模拟)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( C ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0解析：因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0，故选C ．6．(2017·安徽淮南模拟)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为( A )A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 的值有关解析：①当a ＝0时，由f (－1)＝f (3)可知b ＝0，此时f (x )＝5，所以f (2)＝5. ②当a ≠0时，因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象关于x ＝－1＋32＝1对称，则f (2)＝f (0)＝5，故选A ． 二、填空题7．(2017·甘肃兰州模拟)已知函数f (x )＝x 12，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 解析：f (x )＝x 12 在[0，＋∞)上是递增的，f (2x －1)<f (3x )，则0≤2x －1<3x ，所以x ≥12.8．(2017·安徽宿州模拟)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为f (x )＝12(x －2)2－1.解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，又其图象过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12，∴f (x )＝12(x －2)2－1.9．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是[－5，－2]．解析：由题意得函数f (x )在[－2,2]上的值域A 为函数g (x )在[－2,2]上的值域B 的子集，又当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1∈(0,3]，所以当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3,0)，而f (0)＝0，因此A ＝[－3,3]．由二次函数性质知B ＝[m －1,8＋m ]，从而⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤－3，8＋m ≥3，解得－5≤m ≤－2.三、解答题10．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．解析：∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2， ∴可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b . ∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4， ∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)． 又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，2a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴f (x )＝12(x ＋2)2－2.11．(2017·山东德州月考)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 取值范围． 解析：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝5，f ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．12．(2017·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的单调增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解析：(1)f (x )的单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(2)设x >0，则－x <0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ，x 2＋2xx(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值； 当1<a ＋1≤2，即0<a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1>2，即a >1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a ≤0，－a 2－2a ＋1，0<a ≤1，2－4a ，a >1.。
2018届高考数学(文)总复习跟踪检测(八)二次函数与幂函数含解析
课时跟踪检测(八) 二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝x 13的图象是( )解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ，又其图象上凸，则排除C ，故选B.2．函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－5]B ．(－∞，5]C ．[－5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C ∵y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞上是增函数，由题意得－a 2≤52.∴a ≥－5，故选C.3．(2016·贵州适应性考试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．4．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， ∵图象过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.答案：f (x )＝12(x －2)2－15．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上， 所以f (2)＝t ＋4＝0， 所以t ＝－4. 答案：－4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·吉林东北二模)已知幂函数f (x )＝x n，n ∈{－2，－1，1,3}的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是( )A ．f (－2)>f (1)B ．f (－2)<f (1)C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1)解析：选B 由于幂函数f (x )＝x n的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (1)．2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)， ∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故选C.4．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 由A 、C 、D 知，f (0)＝c <0. ∵abc >0，∴ab <0，∴对称轴x ＝－b2a >0，知A 、C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c >0， ∴ab >0， ∴x ＝－b2a<0，B 错误．故选D. 5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：选D 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.6．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，Δ＝36－－a a ＋＜0，解得－4＜a ＜4. 答案：(－4,4)7．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7. 答案：[7，＋∞)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.解析：因为函数f (x )是奇函数， 所以当x <0时，－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ， 而f (－x )＝－f (x )， 即－x 2－x ＝ax 2－bx ，所以a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0. 答案：09．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a . 因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0. 所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －24.由g (x )的图象知，要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)． 10．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．(2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12.又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R)的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R)的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解：(1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x >0，则－x <0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2＋2x ，x ≤0.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1<a ＋1≤2，即0<a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1>2，即a >1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a ≤0，－a 2－2a ＋1，0<a ≤1，2－4a ，a >1.。
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 二次函数与幂函数
K12课件
13
9.(2017课标全国Ⅲ文,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐 标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
K12课件
14
解析 (1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:
6.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是
.
答案
1 2
,1
K12课件
10
解析 解法一:由题意知,y=1-x,
∵y≥0,x≥0,∴0≤x≤1,
则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2
x
1 2
2
+ 1 .
由题意知H1(x)的最小值是f(a+2),
H2(x)的最大值为g(a-2),
故A-B=f(a+2)-g(a-2)
=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16K. 12课件
9
评析 本题考查了二次函数图象、最大及最小值,考查了数形结合思想,利用图象是直观的、简 捷的方法.
由题意知,2a2-4a+2=8,解得a=-1或a=3(舍).
(2)当a>2时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2.
由题意知,a2-2=8,解得a= 1或0 a=- (舍10). 综上知,a=-1或 1.0
评析 本题考查两点间距离公式,考查分类讨论思想及换元意识,考查运算求解能力.
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第2章 第4节 二次函数与幂函数 Word版含解析
第四节二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．()(4)当n＞0时，幂函数y＝x n在(0，＋∞)上是增函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m 的值为()A.3B.±3C．±9 D.9D[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝1 2.所以f(x)＝x＝x，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.]4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R )零点的个数是( )A ．0 B.1 C.2D.4C [因为判别式Δ＝b 2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.] 5．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________.【导学号：01772037】y ＝－x 2＋2x ＋8 [设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1， 当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8.]求二次函数的解析式f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【导学号：01772038】[解] 法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). 2分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 12分 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. 3分∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 8分∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 12分法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，2分 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 6分又函数的最大值是8，即4a(－2a－1)－(－a)24a＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 12分[规律方法]用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下[变式训练1]已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．[解]∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2. 2分又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3. 6分设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1. 10分∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 12分二次函数的图象与性质☞角度(1)设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()A B C D(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错误．(2)作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0.]☞角度2 二次函数的最值问题(1)(2017·广西一模)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4 B.－3 C ．－1D.0(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( )【导学号：01772039】A ．2 B.－1或－3 C ．2或－3D.－1或2(1)A (2)D [(1)x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 55－1⇒2x ≥15， 令t ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，当t ＝1≥15，即x ＝0时，f (x )取得最小值－4.故选A.(2)函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0＜a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52.∵0＜a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a ＞1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.] ☞角度3 二次函数中的恒成立问题已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．[解] 由题意知2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3＜0，适合； 当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16. 4分因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12. 10分 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 12分[规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .幂函数的图象与性质(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )A B C D(2)已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m 的值为________．(1)C (2)1 [(1)令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.又m ∈N *，∴m ＝1或m ＝2. 由于f (x )的图象关于y 轴对称． ∴m 2－2m －3的值应为偶数， 又当m ＝2时，m 2－2m －3为奇数， ∴m ＝2舍去．因此m ＝1.][规律方法] 1.幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.[变式训练2] (1)设a ＝0.5，b ＝0.9，c ＝log 50.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞b B.c ＞a ＞b C ．a ＞b ＞cD.b ＞a ＞c(2)若(a ＋1) ＜(3－2a ) ，则实数a 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [(1)a ＝0.5＝0.25，b ＝0.9，所以根据幂函数的性质知b ＞a ＞0，而c ＝log 50.3＜0，所以b ＞a ＞c .(2)易知函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.][思想与方法]1．二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．研究二次函数的性质要注意(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．4．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．[易错与防范]1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0，a≠0两种情况讨论．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．。
高三一轮复习精题组二次函数与幂函数(有详细答案)
§2.4二次函数与幕函数基础知识・自主学习I要点梳理i. 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a 丰 0).②顶点式：f(x)= a(x—m)2+ n(a^ 0).③零点式：f(x) = a(x—x i)(x—X2)(a^ 0).(2) 二次函数的图象和性质解析式f(x) = ax2+ bx+ c(a>0)f(x)= ax2+ bx+ c(a<0)♦V 1\ ；j图象Im^l定义域(— 8,+8 )(— 8,+8 )Hac—b2\2( 4ac—b"|值域.4a，1-亠，4a J在x€ ] —g,—g"上单调递在x€ —上，+s上单调递k 2a_-2a )单调性减；在x€ —2a，+s」上单减在x€ j—g,—"2a上单调调递增递增对称性函数的图象关于x= —士对称2•幕函数(1)定义：形如y=x：( a R)的函数称为幕函数，其中x是自变量，a是常数.⑵幕函数的图象比较I 夯基释疑1 •判断下面结论是否正确(请在括号中打或“X”2⑴二次函数y = ax + bx + c , x € [a , b]的最值一定是⑵二次函数y = ax 2 + bx + c , x € R ，不可能是偶函数. ⑶幕函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0). ⑷当n>0时，幕函数y = x n 是定义域上的增函数.(5) 若函数 f(x)= (k 2— 1)x 2+ 2x — 3 在(一汽 2)上单调递增，则 k = ±22. (6)已知 f(x)= x —4x + 5, x € [0,3)，则 f(x)max = f(0) = 5, f (X )min = f (3) = 22. (2013 重庆).3— a a + 6 (— 6< a < 3)的最大值为9 3/2C . 3 D~2答案 B _______________ ____________ 解析 因为' 3 — a a + 6 = 18— 3a — a 2=7-,所以当a = — 2时，打3—a a +6的值最大，最大值为 |3 .函数f(x)= (m — 1)x 2+ 2mx + 3为偶函数，则f(x)在区间(一5,— 3)上C .单调递减D •单调递增答案 D解析 由f(x)为偶函数可得 m = 0, ••• f(x) = — x 2 + 3, ••• f(x)在区间(一5,— 3)上单调递增. 4.已知函数 y = x 2— 2x + 3在闭区间［0, m ］上有最大值 3,最小值2，贝V m 的取值范围为)24ac — b4aA •先减后增B •先增后减答案［1,2］2解析y = x —2x+ 3的对称轴为x= 1.当m<1时，y= f(x)在［0, m］上为减函数.2…y max =f(0) = 3,ymin= f(m)= m—2m+ 3= 2・•m = 1,无解.当 1 w m W 2 时，y min = f(1) = 12—2X 1 + 3 = 2,y max= f(0) = 3.当m>2 时，y max = f(m) = m —2m+ 3= 3,•m = 0 或m= 2，无解.•1 w m w 2.5. 若幕函数y= (m2—3m+ 3)xm2—m —2的图象不经过原点，则实数m的值为__________ .答案1或2厂2m —3m+ 3=1解析由$ ，解得m= 1或2.m2—m—2w 0经检验m= 1或2都适合.题型一二次函数的图象和性质例 1 已知函数f(x) = x2+ 2ax + 3, x€ ［—4,6］.(1) 当a= —2时，求f(x)的最值；⑵求实数a的取值范围，使y= f(x)在区间［—4,6］上是单调函数；(3)当a= 1时，求f(|x|)的单调区间.思维启迪对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.解(1)当a=— 2 时，f(x)= x2—4x+ 3= (x—2)2—1，由于x€ ［—4,6］,•f(x)在［—4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，•f(x)的最小值是f(2) = —1，又f(—4)= 35, f(6) = 15,故f(x)的最大值是35.(2) 由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x=—a，所以要使f(x)在［—4,6］上是单调函数, 应有一a w —4 或一a> 6，即a w —6 或a > 4.2(3) 当a= 1 时，f(x)= x + 2x+ 3,•f(|x|)= x2+ 2|x| + 3,此时定义域为x€ ［—6,6］,f x + 2x+ 3, x€ 0, 6］且f(x) = 2,X2- 2x+ 3, x€ ［—6, 0］••• f(|x|)的单调递增区间是(0,6］,单调递减区间是［一6,0］.思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.跟踪训练1 (1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x= 2,最小值为一1,则它的解析式是1 2答案y=5(x—2) —1⑵若函数f(x) = 2x2+ mx —1在区间［—1 ,+^ )上递增，则f( —1)的取值范围是_答案(一3—3］解析•••抛物线开口向上，对称轴为x=—m,•- m< —1, m>4.又f(—1) = 1 —m W—3, • f( —1)€ (—3,—3］.题型二二次函数的应用例 2 已知函数f(x) = ax2+ bx + 1(a, b € R), x € R.(1) 若函数f(x)的最小值为f(—1) = 0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下，f(x)>x+ k在区间［—3,—1］上恒成立，试求k的范围.思维启迪利用f(x)的最小值为f(—1) = 0可列两个方程求出a、b;恒成立问题可以通过求函数最值解决.解(1)由题意有f(—1)= a—b+ 1 = 0,口b且一2a=—1, •a= 1, b= 2.•f(x)= x2+ 2x+ 1,单调减区间为(一a,—1］,单调增区间为［—1 ,+ ^).(2)f(x)>x+ k在区间［—3,—1］上恒成立，转化为x2+ x+ 1>k在区间［—3,—1］上恒成立.设g(x) = x2+ x+ 1, x€ ［—3,—1］,贝U g(x)在［—3,—1］上递减. …g(x)min = g( - 1)=•k<1，即k的取值范围为(一3,1).1解2m +1 > 0，得m》—^;思维升华有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法. 用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.&【养;丨％：二已知函数f(x)= x1 2+ 2ax+ 2, x€ [ —5,5].(1) 当a=—1时，求函数f(x)的最大值和最小值；⑵求实数a的取值范围，使y= f(x)在区间[—5,5]上是单调函数.解(1)当a=— 1 时，f(x)= x2—2x+ 2= (x—1)2+ 1 , x€ [ —5,5],所以当x= 1时，f(x)取得最小值1；当x=—5时，f(x)取得最大值37.⑵函数f(x)= (x+ a)2+ 2 —a2的图象的对称轴为直线x=—a,因为y= f(x)在区间[—5,5]上是单调函数，所以一a< — 5 或一a> 5，即a< — 5 或 a > 5.故a的取值范围是(一5] U [5 ,+^).题型三幕函数的图象和性质例3 (1)已知幕函数f(x)= (n2+ 2n —2)xn2—3n(n € Z)的图象关于y轴对称，且在(0,+^ )上是减函数，则n的值为()A . —3B . 1C . 2D . 1 或21 1⑵若(2m+ 1)2 >(m2+ m—1) 2，则实数m的取值范围是()-亚-12C. (—1,2)D. ，2思维启迪(1)由幕函数的定义可得n2+ 2n —2= 1,再利用f(x)的单调性、对称性求n；⑵1构造函数y= x2，利用函数单调性求m范围.答案(1)B (2)D解析(1)由于f(x)为幕函数，所以n2+2n— 2 = 1,解得n= 1或n =—3,经检验只有n= 1适合题意，故选 B.1(2) 因为函数y= x2的定义域为[0,+^), 且在定义域内为增函数，2m+ 1 > 0,所以不等式等价于m2+ m —1 > 0,| 22m+ 1>m + m—1.2解m + m—1 > 0, mW —,5 — 12或m》躬—1综上一^< m<2.思维升华⑴幕函数解析式一定要设为y= x a(a为常数的形式)；(2)可以借助幕函数的图象理解函数的对称性、单调性.乐金叮％：S 已知幕函数f(x)= x(m2+ m)—1(m€ N*)(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；⑵若该函数还经过点(2, .2)，试确定m的值，并求满足条件f(2 —a)>f(a—1)的实数a的取值范围.解(1)m2+ m= m(m+ 1), m€ N*,而m与m + 1中必有一个为偶数，••• m(m+ 1)为偶数.•••函数f(x) = x(m2+ m)—1(m€ N*)的定义域为［0,+ )，并且在定义域上为增函数.(2) •/ 函数f(x)经过点(2, ,2),1• 2 = 2(m2+ m)—1，即22= 2(m2+ m)—1.•m2+ m= 2.解得m= 1 或m=— 2.1_ * 石又T m€ N , •m= 1.「. f(x)= x2 .［2— a > 0,由f(2—a)>f(a—1)得| a—1》02—a>a—1.3 3解得1< a<夕•••a的取值范围为［1 ,刁.思想与方法系列2分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f(x)= ax2—|x|+ 2a—1(a为实常数).(1)若a= 1，作出函数f(x)的图象；⑵设f(x)在区间［1,2］上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.思维启迪(1)因f(x)的表达式中含|x|,故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式,然后作图.⑵因a€ R，而a的取值决定f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决.规范解答解(1)当 a = 1 时，2f(x)= x -凶 + 1广2x + x + 1, x<0 i 2.［3 分］x -x +1, x >0作图(如右图所示)［5分］⑵当 x € ［1,2］时，f(x)= ax - x + 2a - 1.［6 分］ 若a = 0,则f(x) = - x - 1在区间［1,2］上是减函数, g(a) = f(2) = - 3.［7 分］ 若a 工0,则 f (x )=a ［x -2a ― 4a -1，1f(x)图象的对称轴是直线 x =当a<0时，f(x)在区间［1,2］上是减函数,g(a) = f(2) = 6a - 3.1 1当0< <1，即a>;时，f(x)在区间［1,2］上是增函数,2a 2 g(a) = f(1) = 3a - 2. 1 1 1当 1 < < 2,即；w aw ：时，2a 4 2 f 1、 1g (a )=f 旁=2a -扃―j 1 1当2a>2，即0<a<4时，f(x)在区间［1,2］上是减函数, g(a) = f(2) = 6a - 3.［11 分］1 a<43a - 2, a>2温馨提醒本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论， 二是要对对称轴进行讨论. 在分类讨论时要遵循分类 的原则：一是分类的标准要一致， 二是分类时要做到不重不漏， 三是能不分类的要尽量避 免分类，绝不无原则的分类讨论 •思想方法・感悟提高方法与技巧_ 1综上可得，g(a) = 2a -扃―1,1 1 1 w a w［12 分］1. 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律:(1) 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般 从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.(2) 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解. 2 •幕函数y = x a (a€ R )图象的特征o>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； a <0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立. 失误与防范1 •对于函数y = ax2 + bx + c ,要认为它是二次函数，就必须满足a 丰0,当题目条件中未说明0时，就要讨论 a = 0和0两种情况.2.幕函数的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性； 幕函数的图象最多只能同时出现在两个象限内； 如果幕函 数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点练出高分A 组专项基础训练一、选择题 1.若f (x) = x 2— ax + 1有负值，则实数a 的取值范围是 A. a <— 2 C . a>2 或 a<— 2 答案 C解析 ■/ f(x)= x 2— ax + 1有负值， ••• △= a 2 — 4>0,贝U a>2 或 a< — 2.答案 C解析 若a>0,则一次函数y = ax + b 为增函数，二次函数 y = ax 2 + bx + c 的开口向上，故 可排除A ；若a<0，一次函数y = ax + b 为减函数，二次函数 y = ax 2 + bx + c 开口向下，故可排除 D ； 对于—2<a<2 1<a<32 .一次函数y =ax + b 与二次函数y = ax 2 + bx + c 在同一坐标系中的图象大致是()D选项B，看直线可知a>0, b>0,从而—f<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，2a故应排除B，因此选C.3. 如果函数f(x)= x2+ bx+ c对任意的实数x,都有f(1 + x)= f(—x)，那么()A . f(—2)<f(0)<f(2)B. f(0)< f( —2)<f(2)C. f(2)<f(0)<f( —2)D . f(0)<f(2)<f( —2)答案D解析由f(1 + x)= f( —x)知f(x)的图象关于x=舟对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f(0)<f(2)<f( —2).4 .设二次函数f(x)= ax2—2ax+ c在区间[0,1]上单调递减，且f(m) < f(0)，则实数m的取值范围是()A .(―汽0]B . [2 ,+^ )C.(―汽0] U [2 ,+ s) D . [0,2]答案 D解析二次函数f(x) = ax2—2ax+ c在区间[0,1]上单调递减，则a^ 0, f' (x) = 2a(x—1)<0, x€ [0,1],所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x= 1.所以f(0) = f(2)，则当f(m)w f(0)时，有0< m W 2.15.已知f(x)= x2，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()1 1A. f(a)<f(b)<f(a)<f(b)B. f(a)<f(b)<f(b)<f(a)1 1C. f(a)<f(b)<f(b)<fq1 1D. f(a)<f(a)<f(b)<f(b)答案C1解析因为函数f(x) = x 2在(0, + s)上是增函数，1 1又0<a<b<；<-,故选 C.b a、填空题6 .若函数y= mx2+ x+ 5在［—2 ,+s )上是增函数，则m的取值范围是 ______________1答案0W m<-4解析m=0时，函数在给定区间上是增函数；1 m z 0时，函数是二次函数，对称轴为x=—2,1 1由题意知 m>0, • 0<mw ：综上0w m W ；.4 47 .若方程x 2— 11x + 30 + a = 0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是1答案 0<a W 14解析令 f(x)= x — 11x + 30 + a. 01i , • 0<a W 4.f 5 >0 41的图象经过第一、三象限；当a=㊁时，y = 乂“的图象经过第一象限. 三、解答题9 .已知二次函数f(x)的二次项系数为=0有两个相等的根，求 f(x)的单调区间. 解•/ f(x) + 2x>0 的解集为(1,3), 设 f(x) + 2x = a(x — 1)(x — 3)，且 a<0,••• f(x)= a(x — 1)(x — 3) — 2x = ax 2 — (2 + 4a)x + 3a.① 由方程 f(x) + 6a = 0 得 ax 2— (2 + 4a)x + 9a = 0•②•••方程②有两个相等的根， •- △=[ — (2 + 4a)]2— 4a 9a = 0,1解得a = 1或a =—匚.由于a<0，舍去a = 1.51将a = — 1代入①式得5 1 26 3 1 2 6f(x)=—5x— 5x— 5=—尹+ 3)+5，•函数f(x)的单调增区间是(—8, — 3],单调减区间是[一 3, + m.10.已知函数f(x) = — x 2 + 2ax +1 — a 在x € [0,1]时有最大值2,求a 的值. 解函数 f(x)=— x 2+ 2ax +1 — a2 2=—(x — a) + a — a + 1, 对称轴方程为x = a.(1)当 a<0 时，f(x) max = f (0) = 1 一a,结合图象有 8 .当a€ 1 1 1匸 1 ? 2? 1 ，幕函数 y = x a 的图象不可能经过第象限.答案 二、四解析当％=— 1、1、3时，y = x a ,且不等式f(x)> — 2x 的解集为(1,3) •若方程f(x) + 6a--1 一a= 2, - - a = —1.2⑵当0W a W 1 时，f(x)max= a — a +1,2 9…a — a + 1 = 2, a — a — 1 = 0, •a=丄±先舍).⑶当 a>1 时，f(x)max = f ⑴=a , a = 2. 综上可知，a =— 1或a = 2.即 2— <2 ,a> — 3,二—3<a<0. 当 a > 0 时，_ a<1 , O w a<1.故—3<a<1. 2.已知函数 f(x)= ax 2 + bx + c ,且 a>b>c , a + b + c = 0，集合 A = {m|f(m)<0}，则()A. ? m € A ,都有 f(m + 3)>0B. ? m € A ,都有 f(m + 3)<0C. ? m °€ A ，使得 f(m °+ 3) = 0D. ? m °€ A ,使得 f(m °+ 3)<0 答案 A解析 由 a>b>c , a + b + c = 0 可知 a>0, c<0, 且 f(1) = 0, f(0) = c<0,即1是方程ax 2 + bx + c = 0的一个根， 当 x>1 时，f(x)>0. 由 a>b ，得 1>a设方程ax 2 + bx + c = 0的另一个根为 治,b贝y X 1 + 1 = — b >— 1, 即卩 X 1>— 2,a 由 f(m)<0 可得—2<m<1, 所以 1<m + 3<4,由抛物线的图象可知，f(m + 3)>0，选A. 3.已知函数f(x) = x 2— 2ax + 2a + 4的定义域为 R ，值域为［1 ,),则a 的值域为 _________答案 —1或3解析 由于函数f(x)的值域为［1 , + s ),1 •设函数 f(x)=!(2X—W x , x >0,7, x<0,B 组专项能力提升若f(a)<1，则实数a 的取值范围是A.(―汽一3)C . (— 3,1) 答案 C解析当a<0时， (2)「7<1 ,B . (1 ,+^ )D . (— s,— 3) U (1 ,+^ )所以f(x)min = 1 且A<0. •• —v'5+ 1<a<.；;5+ 1.2 2又f(x) = (x—a) — a + 2a + 4,当x€ R 时，f(x)min = f(a) = —a?+ 2a+4 = 1,即 a —2a—3= 0,解得a= 3或a =— 1.4 .已知函数f(x)= 3ax + 2bx+ c, a + b+ c= 0，且f(0) f(1)>0. b(1)求证：一2<b< —1 ;a⑵若X1、X2是方程f(x) = 0的两个实根，求x1 —X2|的取值范围.(1)证明当a= 0 时，f(0) = c, f(1) = 2b+ c,又b+ c= 0, 则f(0) f(1) = c(2b+ c)=—c2<0 与已知矛盾，因而0,则f(0) f(1) = c(3a+ 2b+ c)=—(a + b)(2a+ b)>0 b b b即(匚 + 1)(匚 + 2)<0，从而-2<;<— 1.a a a(2)解X1、X2是方程f(x) = 0的两个实根，2b a+ b则X1 + X2=—3a, X1X2=—3a ,那么(X1 —X2) = (X1 + X2) —4X1X22b 2 a+ b 4=(—刃 + 4% 右=44, b丄3、2丄1=9(a+ 2)+ 3 二2<a<-1••• 3=(x1—X2)2<9,二jw |x1 —X2|<|,x/3 2(1)若函数f(x)的最小值是f(—1) = 0，且c= 1,F(x) =即|X1 —X2I的取值范围是［g, 3). 55 .已知函数f(x)= ax2+ bx+ c(a>0, b € R, c€ R).f(x , x>0,八‘求F(2) + F(—2)的值;、—f(x), x<0,⑵若a= 1, c= 0,且|f(x)|w 1在区间(0,1］上恒成立，试求b的取值范围.解(1)由已知c= 1, a—b+ c= 0,且一2^ =—1,解得a= 1, b= 2.••• f(x)= (x+ 1)2.1(x+ 1 2, X>0 ,•F(x) = 2I —(x+12, x<0.•F(2)+ F(—2) = (2 + 1)2+ ［—(— 2 + 1)2］= 8.(2)f(x) = x2+ bx,原命题等价于—1w x2+ bx w 1在(0,1］上恒成立,1 1即b三-―x且b> —-― x在(0,1］上恒成立.1 1又-一x的最小值为0,—- —x的最大值为一2. x x ••• — 2< bw 0.故b的取值范围是[—2,0].X X。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题2.5二次函数与幂函数(讲)
第05节二次函数与幂函数【考纲解读】【知识清单】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质对点练习【2017山东济南诊断】已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32D.2【答案】32【解析】由幂函数的定义知1k =.又1()22f =，所以1()22α=，解得12a =，从而32k α+=. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质对点练习【2017浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈若存在实数[]1,2a ∈，对任意[]1,2x ∈，都有()1f x ≤，则75b c +的最大值是__________． 【答案】-6【解析】因为[]1,2x ∈，所以21ax bx c ++≤等价于21bx ca x--≤，题意为存在[]1,2a ∈，使得不等式21bx c a x --≤成立，所以211bx cx--≥，即210x bx c ++-≤对[]1,2x ∈成立，所以110{4210b c b c ++-≤++-≤，即0{23b c b c +≤+≤-，所以()()753226b c b c b c +=+++≤-，即75b c +的最大值为－6．【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，二次函数图象和性质的应用、最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.【重点难点突破】考点1 二次函数的解析式【1-1】【2017湖北武汉模拟】若函数()()(2)f x x a bx a ＝＋＋ (常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式()f x ＝________. 【答案】224x －＋【解析】由()f x 是偶函数知()f x 图象关于y 轴对称，∴2b ＝－，∴()2222f x x a ＝－＋，又()f x 的值域为(－∞，4]，∴224a =，故()224f x x ＝－＋.【1-2】已知：抛物线与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过点为（1，-29），则函数解析式为______． 【答案】2142y x x =-- 【解析】设二次函数解析式为()()12y a x x x x =--，因为二次函数图象交x 轴于（-2，0），（4，0）两点，且过点（1，-29），设()()24y a x x =+-，∴()()9 12142a -=+-， ∴12a =．∴ 所求函数解析式为：()()1242y x x =+-, 2142y x x =--． 【领悟技法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【触类旁通】【变式一】已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x R ∈，都有()2)2(f x f x －＝＋，求f (x )的解析式． 【答案】()243f x x x ＝－＋【解析】∵()2)2(f x f x －＝＋对x R ∈恒成立，∴()f x 的对称轴为2x ＝. 又∵()f x 图象被x 轴截得的线段长为2，∴()0f x =的两根为1和3. 设()f x 的解析式为()()()30(1)f x a x x a ≠＝－－． 又∵()f x 的图象过点()4,3，∴331a a ＝，＝.∴所求()f x 的解析式为()f x ＝(x-1)(x-3)，即()243f x x x ＝－＋. 【变式二】已知二次函数f (x )同时满足以下条件：(1)()1)1(f x f x ＋＝－； (2)()f x 的最大值为15；(3)()f x ＝0的两根的立方和等于17. 求()f x 的解析式．【答案】()26129f x x x ＝－＋＋【解析】依条件，设()()2()1150f x a x a <＝－＋，即()2215f x ax ax a ＝－＋＋.令()f x ＝0，即22150ax ax a =－＋＋，则1212152,1x x x x a+==+. 而33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+333121590232(1)2x x a a=+=-⨯⨯+=-．即90217a-=，则6a ＝－.故()26129f x x x ＝－＋＋. 考点2 二次函数的图象和性质【2-1】设二次函数()22f x ax ax c ＝－＋在区间[]0,1上单调递减，且()()0f m f ≤，则实数m 的取值范围是 （ ）( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]【答案】 D【解析】 二次函数()22f x ax ax c ＝－＋在区间[]0,1上单调递减，则0a ≠，()(1)20f x a x '<＝－，所以0a >，即函数图象的开口向上，对称轴是直线1x ＝．所以f(0)＝f(2)，则当()()0f m f ≤时，有02m ≤≤．【2-2】【2017浙江，5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B ．【2-3】已知函数()2f x x x c ＝＋＋，若()()000f f p ＞，＜，则必有( )A ．1()0f p ＋＞B ．1()0f p ＋< C ．1()0f p ＋= D ．()1f p ＋的符号不能确定 【答案】A【解析】函数()2f x x x c ＝＋＋的对称轴为12x =-，又因为()()000f f p ＞，＜，故10p －＜＜，10p ＋＞，所以1()0f p ＋＞.【领悟技法】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 【触类旁通】【变式一】【2017湖南岳阳县第一中学模拟】若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为( )A. （0,4]B. （0,8）C. （2,5）D.【答案】B 【解析】当时，显然不成立当 时，若=≥0，即 时结论显然成立；若=＜0，时只要 即可，即则 ,选B【变式二】若关于x 的不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a <-B. 2a >-C. 6a >-D. 6a <- 【答案】A【解析】试题分析：不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解等价于()2max42a x x <--，令()242g x x x =--， ()1,4x ∈，所以()()42g x g ≤=-，所以2a <-. 考点3 二次函数的综合应用【3-1】【2017湖南衡阳三次联考】《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()(),a f a ， ()(),b f b ，()(),c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）A. []0,1 B. ⎡⎢⎣⎭ C. ⎛ ⎝⎦D. ⎣ 【答案】A【解析】由题意可知，∵()222f x x x =-+，∴0x =或2， 22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A.【3-2】【2017湖北九江模拟】已知()2(2)24f x x a x ＝＋－＋，如果对()31[]0x f x ∈－，，＞恒成立，则实数a 的取值范围为________. 【答案】1(,4)2-【解析】因为()2(2)24f x x a x ＝＋－＋，对称轴()2x a ＝－－，对()31[]0x f x ∈－，，＞恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩解得a ∈∅或14a ≤＜或12a -<＜1，所以a 的取值范围为1(,4)2-. 【3-3】已知函数()22f x x x =-，()2g x ax =+（0a >），对任意的[]11,2x ∈-，存在[]01,2x ∈-，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)3,+∞D ．(]0,3【答案】A【解析】[,]12x ∈-时，函数()22f x x x =-的值域为[,]13A =-，[,]12x ∈-时，()()20g x ax a =+>的值域为[,]222B a a =-+，由题意B A ⊆，则有21223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，又0a >，故解得102a <≤．故选A ． 【领悟技法】二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )和对称轴方程x ＝m ，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值． 【触类旁通】【变式一】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围. 【答案】(－∞，1). 【解析】(1)由题意知12(1)10ba f ab ⎧-=-⎪⎨⎪-=-+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩ 所以()221f x x x ＝＋＋，由()21()f x x ＝＋知，函数()f x 的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，221x x x k >＋＋＋在区间[－3，－1]上恒成立，即21k x x <＋＋在区间[－3，－1]上恒成立，令()21g x x x ＝＋＋，x ∈[－3，－1]，()g x 在区间[－3，－1]上是减函数，则()()11min g x g ＝－＝，所以1k <， 故k 的取值范围是(－∞，1).【变式二】【2017上海南洋模范中学质检】定义在R 上的函数()f x ，当(]1,1x ∈- 时， ()2f x x x =- ，且对任意的x 满足()()2f x af x -=（常数0a >），则函数f (x )在区间(]5,7上的最小值是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】当(]()(]1,3,21,1x x ∈-∈-，；当(]()(]5,7,23,5x x ∈-∈，考点4 二次函数根的分布【4-1】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 . 【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【4-2】已知关于x 的方程11()()2042x xa -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x-+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =.当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点.当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合.因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点.当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立.因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-.所以此时10a -≤< 综上可得，10a -≤≤.【4-3】若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是 . 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ,这样可以解得m 的范围5(2,)2. 【领悟技法】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 【触类旁通】【变式一】【2017贵州遵义第四中学模拟】已知关于x 的方程()2110x a x a b +++++=的两个根分别为,,αβ其中()0,1,α∈()1,β∈+∞，则） A. ()2,0- B. ()0,2 C. ()1,0- D. ()0,1 【答案】A【解析】设()()211f x x a x a b =+++++函数，则问题转化为函数()f x 的零点在()()0,1,1,+∞内，由二次函数()()211f x x a x a b =+++++的根的分布得出不等式组()()10230{{0010f a b f a b <++<⇒>++>，在平面直角坐标系aOb 中画出不等式组230{ 10a b a b ++<++>表示的平面区域如图，则问题转化为求动点(),P a b 与定点()1,1M -连线的斜率取值范围问题，因为0MB k =，所以20MP k -<<，应填答案A.【变式二】【2017上海市普陀区高三二模】设0a <，若不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤-【解析】因为不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，所以不等式()22cos 1cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，令cos t x =，即()2210t a t a ---≤对于任意的[]1,1t ∈-恒成立，因为0a <，所以()2110a a ---≤，即220a a +-≥，解得2a ≤-或1a ≥（舍）；故答案为2a ≤-. 考点5 幂函数的图象与性质【5-1】图中曲线是幂函数ny x ＝在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12【答案】B【解析】当n 大于0时，幂函数为单调递增函数，当n 小于0时，幂函数为单调递减函数，并且在x ＝1的右侧幂指数n 自下而上依次增大，故选B.【5-2】【2017·郑州外国语学校期中】已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y x α＝的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( ) A.1，3 B.－1，1 C.－1，3D.－1，1，3【答案】A【解析】因为函数y x α＝为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又1y x －＝的值域为{}0|y y ≠，函数y x ＝，3y x ＝的值域都为R .所以符合要求的α的值为1，3.【5-3】已知幂函数()21*()()f x x m m m N ∈－＝＋，经过点(2，试确定m 的值，并求满足条件()2()1f a f a >－－的实数a 的取值范围．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵幂函数()f x经过点21()2m m －＋，即12122()m m －2＝＋.∴22m m =＋.解得1m ＝或2m ＝－.又∵*m N ∈，∴1m ＝.∴()12f x x ＝，则函数的定义域为[0)∞，＋，并且在定义域上为增函数．由()2()1f a f a >－－，得201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪->-⎩，解得312a ≤<.∴a 的取值范围为31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【领悟技法】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【触类旁通】【变式一】已知函数f (x )＝22++-k kx (k ∈Z )满足()()23f f <．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()2f x x ＝ ；（2）存在2q ＝．【解析】(1)∵()()23f f <，∴()f x 在第一象限是增函数．故220k k >－＋＋，解得12k <<－．又∵k Z ∈，∴0k ＝或1k ＝．∴()2f x x ＝． (2)假设存在0q >满足题设，由(1)知()2()2111,2[]g x qx q x x ∈＝－＋－＋，－．∵()21g ＝－，∴两个最值点只能在端点((1))1g －，－和顶点22141(,)24q q q q-+处取得． 而222414141-g(-1)=-(2-3q)=0444q q q q q q ++(-)≥，∴2max 4117g(x)=48q q +=，()1()234min g x g q ＝－＝－＝－，解得2q ＝∴存在2q ＝满足题意．【变式二】【2017______________． 【答案】[)1,1- ．【解析】由2230x x --+>，解得31x -<<，令()223g x x x =--+，则外函数为()223g x x x =--+的减区间，函数()g x 在[)1,1-上为减函数，则原函数的增区间为[)1,1-，故答案为[)1,1-.易错试题常警惕易错典例1：若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 易错分析：忽视0m =．正确解析：0m =时，函数在给定区间上是增函数；0m ≠时，函数是二次函数，对称轴为122x m=-≤-， 由题意知0m >，∴10<m 4≤，综上10m 4≤≤． 温馨提示：首先是函数类型的确定，其次对于二次函数来说，单调性与开口及对称轴有关系． 易错典例2：设()0,1x ∈时，函数p y x ＝的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．易错分析：考虑幂函数y ＝x α的图象时比较片面没有考虑到α>0尤其是易丢α＝0时的情况． 正确解析：(1)当0p >时，根据题意1p <，∴01p <<．(2)0p ＝时，函数为0)1(y x ≠＝，符合题意． (3)0p <时，在(0)∞，＋上过(1,1)点，函数为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围(1)∞－，． 温馨提示：幂函数()y x R αα∈＝当指数α在不同范围内时其图象也会随着变化，注意分类讨论思想的运用．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第7讲二次函数与幂函数课件理
• 4．二次函数的图象与性质 • 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的
对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是： • (1)对称轴：x＝__－__2ba_________；
• (2)顶点坐标：_－__2b_a，__4_ac_4－a__b2_ ______；
(3)开口方向：a>0 时，开口___向__上___，a<0 时，开口___向__下___； (4)值域：a>0 时，y∈___4_a_c4_－a__b_2_，__＋__∞__，a<0 时，y∈___－__∞__，__4_a_c4_－a__b_2__； (5)单调性：a>0 时，f(x)在___－__∞__，__－__2b_a_ _上是减函数，在___－__2b_a_，__＋__∞___上是 增函数；a<0 时，f(x)在－∞，－2ba上是增___函___数__，在－2ba，＋∞上是__减___函__数_．
•一 幂函数的图象和性质
• 幂函数y＝xα的性质和图象由于α的取值不同 而比较复杂，一般可从三个方面考查：
• (1)α的正负：α>0时图象经过点(0,0)和点(1,1)， 在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不 过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分 “下降”；
• (2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下 凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；
• 5．二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系
• 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐 标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的_____根___，也是一 元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的 _端__点__值___．
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第二篇函数、导数
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.幂函数与指数函数有何不同?y=(x+1)3,y=x3-1,y= x 是幂函数吗? 提示:幂函数与指数函数的本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变 量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置.在所给的三个函数中只有
y= x 是幂函数.
2.幂函数的图象能否经过第四象限? 提示:由y=xα知,当自变量x取值为正数时,y的值一定为正数,所以函数图
(2)常见幂函数的图象与性质
函数 特征 图象 或性质 图象 y=x y=x2 y=x3 y= x
1 2
y=x-1
定义域 值域 奇偶性 单调性
R R 奇 增 (1,1) (0,0) (-1,-1)
R [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞) 时,增; x∈(-∞,0] 时,减 (1,1) (0,0) (-1,1)
1 1 4. 导学号 49612049 当 0<x< 时,若函数 y=x(1-ax)的最大值为 ,则 a 12
a=
.
2
1 1 解析:函数 y=x(1-ax)=-ax2+x=-a x + , 2a 4a
因为 0<x< 所以当 x=
1 1 1 ,所以 ∈ 0, , 2a a a
R R
[0,+∞)
[0,+∞)
(-∞,0)∪ (0,+∞)
(-∞,0)∪ (0,+∞)
奇
增 (1,1) (0,0) (-1,-1)非奇非偶增 Nhomakorabea奇
x∈(0,+∞) 时,减; x∈(-∞,0) 时,减 (1,1) (-1,-1)
2018高考一轮通用人教A版数学文练习第2章 第4节 二次函数与幂函数 含答案 精品
第四节 二次函数与幂函数———————————————————————————————— [考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a .( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.3 B ．±3 C ．±9D ．9D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝12.所以f (x )＝x 12＝x ， 故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 C [由题意知⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0，即⎩⎨⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.]4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R)零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4C [因为判别式Δ＝b 2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.] 5．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________. 【导学号：31222037】y ＝－x 2＋2x ＋8 [设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1， 当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8.]的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【导学号：31222038】[解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).2分 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，8分解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.12分法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.3分 ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.8分∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.12分法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，2分 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.6分又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.12分[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下[变式训练1] 已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．[解] ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.2分又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.6分设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1.10分∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.12分☞角度1 二次函数图象的识别及应用(1)设abc ＞0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )A B C D(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错误．(2)作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎨⎧f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎨⎧m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0.] ☞角度2 二次函数的最值问题(1)(2017·广西一模)若x log52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( ) 【导学号：31222039】A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2(1)A (2)D [(1)x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 55－1⇒2x ≥15， 令t ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4， 当t ＝1≥15，即x ＝0时，f (x )取得最小值－4.故选A.(2)函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0＜a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1， 由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52.∵0＜a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a ＞1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.] ☞角度3 二次函数中的恒成立问题已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [由题意知2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合； 当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16.因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12. 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.][规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )A B C D(2)已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m 的值为________．(1)C (2)1 [(1)令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12， ∴f (x )＝x 12.(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. 又m ∈N *，∴m ＝1或m ＝2. 由于f (x )的图象关于y 轴对称． ∴m 2－2m －3的值应为偶数， 又当m ＝2时，m 2－2m －3为奇数， ∴m ＝2舍去．因此m ＝1.][规律方法] 1.幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.[变式训练2] (1)设a ＝0.5，b ＝0.9，c ＝log 50.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c(2)若(a ＋1) ＜(3－2a ) ，则实数a 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [(1)a ＝0.5＝0.25，b ＝0.9，所以根据幂函数的性质知b ＞a ＞0，而c ＝log 50.3＜0，所以b ＞a ＞c .(2)易知函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.][思想与方法]1．二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．研究二次函数的性质要注意(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．4．幂函数y ＝x α(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． [易错与防范]1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要分a ＝0，a ≠0两种情况讨论．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：31222040】A.12 B ．1 C.32D ．2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( ) 【导学号：31222041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：31222042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．(－4,4) [由题意可得⎩⎨⎧5－a >0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a <4.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m2＋m )－1，即2＝2(m2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分 ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( ) 【导学号：31222043】A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断 A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分。
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第7讲 二次函数与幂函数实战演练 理
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第7讲 二次函数与幂函数实战演练 理1．(2015·四川卷)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2单调递减，那么mn 的最大值为( B )A ．16B ．18C ．25D ．812解析：当m ＝2时，要使f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，需n －8<0⇒n <8，于是mn <16，则mn 无最大值．当m ∈[0,2)时，f (x )的图象开口向下，要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，又n ≥0， 则mn ≤m ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－m 2＝－12m 2＋9m . 而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，∴m ∈[0,2)时，g (m )<g (2)＝16，故m ∈[0,2)时，mn 无最大值．当m >2时，f (x )的图象开口向上，要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥22m ·n ，所以mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，取“＝”，此时满足m >2，故(mn )max ＝18.故选B ．2．(2015·陕西卷)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( A )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A ，B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a .由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A ，B 中有一个错误，C ，D 都正确．若A ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b 24a ＝3， ③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错．若B ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A ．3．(2015·福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q ＝9.解析：依题意有a ，b 是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，则a ＋b ＝p ，ab ＝q ，由p >0，q >0可知a >0，b >0.由题意可知ab ＝(－2)2＝4＝q ，a －2＝2b 或b －2＝2a ，将a －2＝2b 代入ab ＝4可解得a ＝4，b ＝1，此时a ＋b ＝5，将b －2＝2a 代入ab ＝4可解得a ＝1，b ＝4，此时a ＋b ＝5，则p ＝5，故p ＋q ＝9.4．(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1,1]上的最大值．(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值．解析：(1)证明：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a 2.由|a |≥2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2≥1，故f (x )在[－1,1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}．当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4，得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4， 得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2，故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3，由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab <0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，|f (x )|＝|x 2＋2x －1|， 此时易知|f (x )|在[－1,1]上的最大值为2，即M (2，－1)＝2. 所以|a |＋|b |的最大值为3.。
2018年高考数学文一轮复习资料 专题07 二次函数与幂函
1．如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4 D ．a ≥－4答案 A解析 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.2．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3 D ．－1或2答案 B解析 f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数⇒m 2－m －1＝1⇒m ＝－1或m ＝2.又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.3．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，且f (m )<0，则( ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0 D ．f (m ＋1)<0答案 C4．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.5．二次函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，且f ′(x )＝－x －1，则不等式f (10x)>0的解集为( )A ．(－3,1)B ．(－lg3,0) C.⎝⎛⎭⎪⎫11000，1D ．(－∞，0)答案 D6．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a ) x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，36－4 5－a a ＋5 <0，解得－4<a <4.7．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________________． 答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )．(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在．(2)当－a2∈，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0， 得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4， 综上得－7≤a ≤2.11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 答案 B解析 函数的对称轴为x ＝－1， 设x 0＝x 1＋x 22，由0<a <3得到－1<1－a 2<12.又x 1<x 2，用单调性和离对称轴的远近作判断得f (x 1)<f (x 2)．12．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意．13．已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________. 答案 －1914．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合二次函数图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝(x ＋1)2.。
专题2-5 二次函数与幂函数讲-2018年高考数学文一轮复习讲练测 含解析 精品
2018年高考数学讲练测【新课标版文】【讲】第二章函数与基本初等函数Ⅰ第05节二次函数与幂函数【考纲解读】【知识清单】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质对点练习【2017·济南诊断测试】已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32D.2【答案】错误！未找到引用源。
【解析】由幂函数的定义知错误！未找到引用源。
.又错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，从而错误！未找到引用源。
.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质对点练习(2017·武汉模拟)若函数错误！未找到引用源。
(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式错误！未找到引用源。
＝________. 【答案】错误！未找到引用源。
【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.【重点难点突破】 考点1 二次函数的解析式【1-1】已知二次函数的图象经过三点错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
那么这个二次函数的解析式为______．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】设二次函数是错误！未找到引用源。
【推荐】专题07+二次函数与幂函数(押题专练)-2018年高考数学(文)一轮复习精品资料
专题07+二次函数与幂函数1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2【解析】 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝⎛⎭⎫4，12，代入【解析】式得：α＝－12，∴f (2)＝2－12＝22. 【答案】C2．若函数f (x )是幂函数，且满足f4f 2＝3，则f (12)的值为( ) A ．－3 B ．－13 C ．3D.13【解析】 设f (x )＝x α，则由f4f2＝3，得4α2α＝3. ∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝13.【答案】D3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)【答案】 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 【答案】 A5 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【解析】 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2.而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b 2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642. 【答案】 D6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】 C7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________．【解析】 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 【答案】 ①②⑤⑥8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.【答案】 a >0，ac ＝49．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝⎛⎭⎫2，52.【答案】 ⎝⎛⎭⎫2，52 10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x － 2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________．零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0，2m <－m ＋3，2m <－4，－m ＋3<1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－m ＋3<2m ，2m <1，－m ＋3<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．【答案】 (－4，－2)11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝⎛⎭⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝⎛⎭⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )． 12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 解(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 由于x ∈[－4,6]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围． 解 不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2x 2， 设g (x )＝2x －2x 2，x ∈(1,4)，则 g ′(x )＝2x 2－2x －22xx 4＝－2x 2＋4x x 4＝－2x x －2x 4， 当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0， g (x )≤g (2)＝12， 由已知条件a >12，因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的【解析】式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q－g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝4q －124q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4. 解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．。
河南省高考数学一轮专题：第7讲 二次函数与幂函数
河南省高考数学一轮专题：第7讲二次函数与幂函数姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·通许期末) 若曲线上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数（）A . -2B . 0C . 1D . -12. （2分）幂函数y=xn的图象（）A . 一定经过点（0，0）B . 一定经过点（﹣1，﹣1）C . 一定经过点（﹣1，1）D . 一定经过点（1，1）3. （2分） (2017高二上·南昌月考) 抛物线上的点到直线距离的最小值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·蒙山月考) 幂函数的图象经过点，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）函数在区间上是单调函数的条件是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·长春月考) 设，函数在区间上是增函数，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·江门模拟) 若函数f(x)是幂函数，且满足，则的值为（）A . －3B .C . 3D .8. （2分） (2015高三上·潍坊期末) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一上·和平期中) 已知为奇函数，且当时，，若当时，恒成立，则的最小值为A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）A .B .C .D .11. （2分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A . m=﹣1或m=2B . m=2C . m=﹣1D . m=﹣212. （2分）已知，若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值集合是（）A . {c|c≤﹣5或c=﹣1或c=3}B . {c|c＜﹣5或c=﹣1或c=3}C . {c|2＜c＜3或c＞4}D . {c|2＜c≤3或c≥4}二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数f（x）=xα的图象过点（2，4），则f（﹣1）=________14. （1分） (2019高三上·攀枝花月考) 已知幂函数的图象经过点，则________．15. （1分） (2019高一上·利辛月考) 与在上都是减函数，则的取值范围是________．16. （1分）已知函数y=（m∈N*）的图象与坐标轴无交点，则m的值是________ ．三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分） (2018高一上·南昌月考) 已知二次函数 = ,满足条件和= .（1）求函数的解析式.（2）若函数 ,当时,求函数的最小值.18. （10分） (2018高一上·舒兰期中) 已知函数，且x∈ ，求的最大值及最小值．19. （5分）已知f（x）=ax2﹣（a+1）x+1﹣b（a，b∈R）．（1）若a=1，不等式f（x）≥x﹣1在b∈[6，17]上有解，求x的取值范围；（2）若b=0，函数g（x）=是奇函数，判断并证明y=g（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若f（﹣1）=0，且|a﹣b|≤t（t＞0），求a2+b2+b的最小值．20. （5分） (2019高一上·鲁山月考) 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上为增函数.（1）求不等式的解集.（2）设，是否存在实数a，使在区间上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.21. （10分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、。
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专题07 二次函数与幂函数
1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.1
4 B ．4 C.22
D. 2
【解析】 设f (x )＝x α
，因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，代入【解析】式得：α＝－12，∴f (2)＝2－12＝
2
2
. 【答案】C
2．若函数f (x )是幂函数，且满足f f ＝3，则f (1
2
)的值为( )
A ．－3
B ．－13
C ．3
D.13
【解析】 设f (x )＝x α，则由
f
f
＝3，得4
α
2
α＝3.
∴2α
＝3，∴f (12)＝(12)α＝12＝13.
【答案】D
3．已知函数f (x )＝e x
－1，g (x )＝－x 2
＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]
D ．(1,3)
【答案】 B
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ，x >0，
x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
【解析】 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >0，
2a ＋2＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≤0，
a ＋1＋2＝0，解得a ＝
－3. 【答案】 A
5 .函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b
2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2
＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}
【解析】 设关于f (x )的方程m [f (x )]2
＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b
2a
对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝
－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642
. 【答案】 D
6．二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是
( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】 C
7．对于函数y ＝x 2
，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________．
【解析】 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 【答案】 ①②⑤⑥
8．若二次函数f (x )＝ax 2
－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．
【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，4ac －16
4a
＝0⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >0，
ac －4＝0.
【答案】 a >0，ac ＝4
9．方程x 2
－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．
【解析】 ∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
α＋β＝m ，
α·β＝1，∴m ＝β＋1
β
.
∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋
1
β
在(1,2)上是增函数， ∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，52.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，52 10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x
－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________．
零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，2m <－m ＋
，
2m <－4，
－m
＋
或
⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，
－m ＋
m ，
2m <1，－m ＋
－4，
解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m
的取值范围是(－4，－2)．
【答案】 (－4，－2)
11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式
是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式． 解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n
，由点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.
令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3
.又f (x )周期为2，
∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3
.即f (x )＝(x －2k )3
(k ∈Z )． 12．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 解(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2
－4x ＋3＝(x －2)2
－1， 由于x ∈[－4,6]，
∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．
13．设函数f (x )＝ax 2
－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．
解 不等式ax 2
－2x ＋2>0等价于a >2x －2x
2，
设g (x )＝2x －2
x
2，x ∈(1,4)，则
g ′(x )＝
2x 2
－
x －x
x 4
＝－2x 2
＋4x x
4＝－2x x －x
4
，
当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，
g (x )≤g (2)＝12
，
由已知条件a >1
2
，
因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x －k 2
＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的【解析】式；
(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．
∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2
＋14q 处取得．
而4q 2
＋14q －g (－1)＝4q 2
＋14q －(2－3q )＝
4q －2
4q
≥0，∴g (x )max ＝4q 2
＋14q ＝17
8
，
g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.
解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．。