一维量子谐振子的概率分布

一维量子谐振子的概率分布

摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。

关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布

1.引言：

谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。

通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。 2.经典一维谐振子：

首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子

作简谐振动，再根据牛顿第二定律：

kx dt

x d m -=2， 所以得运动微分方程为：

x x m

k

x 2''ω-=-

=， 在此中m

k

=

2

ω（决定于弹簧的劲度系数和滑块的质量），由此可以得到一个比较普遍的定义。比如质点运动的动力学方程为02

2

2=+x dt

x d ω的形式，也可以将它的解为)

cos(φω+=t A x 。相应的，质点的动量的表达式为

i t B i t mA i p i x m p x )sin()sin(φωφωω+-=+-=='=，这里出现的km A B = 。这个

质点的动量的方向为x 方向的分量。

还有一种典型的谐振子，那就是单摆，在研究单摆模型中，要用长度不可变的轻线悬挂一个小球，我们把小球看作为质点，质点所受的的合力为质点的重力和悬挂线拉力的合力，使得质点在竖直的平面内沿圆弧摆动，并且要求摆动相对于悬线竖直位置的夹角很小，把这个夹角记作θ 。现在分析质点在沿运动方向所受的力为弧线的切线方向，记作F 。质点的

质量为m ，切向力F 的大小为θsin mg ，且当

θ=0这个位置时，

-+

-

=!

5!

3sin 5

2

θθθθ··· ，所以当θ角很小时，就可以略去级数展开式中的高次项，即

θθ≈sin ，这样切向力就可写成θmg F -=

，从公式中就可以看出来，切向力和角位

移反号，使得质点总要返回平衡位置，已知F 力是线性回复力，所以会做简谐振动，可以得出单摆的动力学方程，假设线长为l ，所以：

θθmg dt l d m -=22)( ，θθl g dt

d -=2

2 ，令2

ω=l g

即，可得到：

02

2

2=+θωθdt

d 这样得到的结果和弹簧振子得到的结果是一样的，所以单摆得到的也是一个简谐振动。 3.量子谐振子

比如在一维的系统内粒子的势能

m 2

1

2ω2x ，其中ω是常量，这种形式的称为线性谐振子。例如，两原子势能与x 的关系，其中在两原子间距中有一个稳定平衡点，把这一点记作a ，在x=a 处，势能U 具有极小值，即

0=∂∂x U ，这样就可以写成U=2)(2

0a x k

U -+，式中的k 和U0是常数，这就是一维线性谐振子的势能，通常情况下，一个体系平衡位置附近的运动都可以用线性谐振子来表示。谐振子的势能为2221x m ω ，且坐标和时间可表示

为)sin(δω+=t a x ，我们把a 作为振幅，δ是初相。 我们选择适合的坐标系，领粒子势能为

222

1

x m ω ，为了更加方便，我们引入了无量纲的变量ξ来代替x ，所以该体系的 薛定谔方程为：

0)2

(22

222=-+ψωψx m E dx d m

其中的关系为x x m αω

ξ==

，其中

ω

αm =

。 令ω

λ E

2=

，以

ω

2

乘方程

0)2

(22

222=-+ψωψx m E dx d m ， 由 x x m αωξ== 和

ω

αm =

式， 薛定谔方程变化为：

0)(2

2

2=-+ψξλξ

ψd d 我们当ψ在±∞→ξ时的渐近时，也就是ξ非常大时，可得λ和2

ξ相比可略去， 所以在

±∞→ξ

时，方程可表示为：

0)(2

2

2=-+ψξλξ

ψd d