人教课标版高中数学必修5《正余弦定理应用举例》教学设计

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《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计

《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计正弦定理和余弦定理的实际运用举例教学设计简介本教学设计旨在教授正弦定理和余弦定理的实际运用方法。

通过实例演示和练题的形式，帮助学生理解和掌握这两个几何定理的应用场景。

教学目标- 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理- 掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用方法- 进一步发展解决几何问题的能力教学内容正弦定理- 介绍正弦定理的概念和公式（a/sinA = b/sinB = c/sinC）- 解释正弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用正弦定理求解未知变量余弦定理- 介绍余弦定理的概念和公式（c² = a² + b² - 2abcosC）- 解释余弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用余弦定理求解未知变量实际运用举例- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分步引导学生运用正弦定理和余弦定理解决这些问题- 给予学生充足的练机会，以加深对定理应用的理解和熟练度教学步骤1. 引入：复三角形的基本概念和知识点2. 正弦定理：- 介绍正弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用正弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题3. 余弦定理：- 介绍余弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用余弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题4. 实际运用举例：- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分组或个人完成案例分析和解决过程- 学生通过小组或个人报告展示解决思路和结果5. 总结与讨论：- 综合讨论学生的解决思路和方法的优劣- 引导学生总结出正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的重要性和应用价值教学评估1. 参与度评估：观察学生在课堂中的积极参与程度和问题解答能力2. 练成绩评估：通过练题的完成情况和准确度，进行学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用评估3. 案例分析评估：评估学生在实际问题解决中的思考能力和解决方法的合理性参考资源1. 《高中数学教材》2. 互动教学软件和课件3. 个人和小组练习题。

高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案

高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【一】教学准备教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化?②用如下图示分析解的情况. (A为锐角时)② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化?→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦，由符号进行判断③ 出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角? →再思考：又如何将角化为边?3. 小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3. 作业：教材P11 B组1、2题.高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

(2)重点、难点。

重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。

正余弦定理的应用举例教案

正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及其在几何中的应用。

2. 学会运用正余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 正余弦定理的定义及公式。

2. 正余弦定理在直角三角形中的应用。

3. 正余弦定理在非直角三角形中的应用。

4. 正余弦定理解决实际问题举例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的定义及公式，正余弦定理在几何中的应用。

2. 教学难点：正余弦定理在非直角三角形中的应用，解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解正余弦定理的定义及公式。

2. 利用案例分析法讲解正余弦定理在直角三角形和非直角三角形中的应用。

3. 利用小组讨论法解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：通过讲解正弦、余弦的概念，引导学生理解正余弦定理的背景。

2. 讲解：详细讲解正余弦定理的定义及公式，结合实际例子，让学生理解并掌握定理的应用。

3. 练习：布置练习题，让学生运用正余弦定理解决直角三角形和非直角三角形的问题。

4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正余弦定理进行解决，培养学生的解决问题的能力。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法，培养学生的团队协作能力。

6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正余弦定理在几何中的应用及其重要性。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对正余弦定理的理解和应用情况。

2. 课后作业：布置有关正余弦定理应用的作业，收集并批改，分析学生的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。

七、教学反思1. 教师应根据学生的反馈，及时调整教学方法和进度。

2. 对于学生的共性问题，应加强讲解和辅导。

3. 鼓励学生积极参与课堂和课后实践，提高他们的实际应用能力。

八、拓展与延伸1. 引导学生思考正余弦定理在其他领域的应用。

人教课标版高中数学必修五《正余弦定理应用举例》教案-新版

第一章解三角形1.2正余弦定理应用举例一、教学目标1.核心素养通过学习正余弦定理应用举例，初步形成基本的数学抽象、逻辑推理与运算能力2.学习目标应用正余弦定理解决三角形相应问题、解决实际问题 .3.学习重点综合运用正余弦定理解三角形问题和实际问题 .4.学习难点正余弦定理与三角函数知识的综合运用.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务任务阅读教材P11-P16.思考:正余弦定理的内容是什么？利用正余弦定理求解实际问题的基本步骤是什么?题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？2.预习自测1.在△ ABC 中，若Z A= 60" B= 45°,BC= 3也，则AC =()A.4 3B.2 .3C.33D.方答案:B.2.已知AABC中,a、b、c分别为A,B,C的对边,a =4,b =4启,N A = 30：则£B等丁A.30B.30 '或150 ：C.60D.60 '或120 =答案:D.3.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点测出AC的距离为50m,Z ACB=45〉,Z CAB =105。

后,就可以计算出A、B两点的距离为（）A.50、.2mB.50 ,3mC.25、、2mD.E2答案:A.（二）课堂设计1.知识回顾（1）正弦定理和余弦定理(2)在AABC中，已知a、b和角A时，角的情况如下:2.问题探究问题探究一正弦定理与余弦定理•活动一回顾正弦定理任意三角形中，都有= 上=工.sin A sin B sin C■活动二回顾正弦定理能解决的问题类型一般地，我们把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？(1)已知三角形的两个角(也就知道了第三个角)与一边，求解三角形；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求解三角形.■活动三余弦定理及其所能求解的问题类型利用余弦定理可以求解如下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的火角，求第三边和其他两个角.问题探究二掌握以下几个常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平■方向的火角.仰角:视线方向向上时与水平■线的火角.(反之为俯角).方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平■转角.问题探究三利用正余弦定理解决实际问题|重点、难点知识■活动一初步运用正余弦定理测量建筑物高度例1:AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.解析：【知识点：正余弦定理，解三角形；数学思想：数形结合】详解:选择基线HG,使H、G、B三点共线，欲求AB,先求AE,在MCE中，可测得角a，只需求出AC就可得到AE,在MCD中，可测得角8，线段DC,乂有立，故可求得AC.•活动二设计求解有一个不可到达或两点都不可到达的点之间的距离例2:如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧, 在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m^ BA^ 60°^ AC^ 7S5.#A、B两点的距离.B解析：【知识点：正余弦定理，解三角形;数学思想:数形结合】详解:在三角形ABC中,N B =45\由正弦定理可知55 55( 3 1)AB = -------- sin 75 = ------ m.sin 45 2例3:如图,A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.B解析：【知识点：正余弦定理，解三角形;数学思想:数形结合】详解:这是例2的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.在所在的河岸边选定点C、D,测出ma四个角的大小和C、D问的距离，根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离.3.课堂总结【知识梳理】(1)正弦定理:在△ ABC中,具=—'=—、=2R (R^AABC的外接圆直径).sin A sin B sinC(2)余弦定理:对丁任意的一个三角形，都有a2=b2c2-2bccos A ,b2=c2a2-2accosB ,c2= a2b2-2abcosC .b2c2-a2c2a2-b2a2b2-c2公式还可以变形为：cos A ,cosB ,cosC .2bc 2ca 2ab(3)几个测量中常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平■方向的火角.仰角:视线方向向上时与水平■线的火角.(反之为俯角).方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平■转角.【重难点突破】(1)运用正余弦定理时，要厘活定理能解决的问题类型，要理活题目条件，合理选择定理求解问题.(2)常见实际问题中的一组已知条件，常隐含着对丁这类测量问题在某一种特定情境和条件限制下的一个测量方案，在这种情境与条件限制下，别的方案中的量可能无法测量出来，因而不能实施别的测量方案.4.随堂检测11.在AABC 中，内角A, B,C 的对边分力U 为a, b,c,右asm B cosC+csin B cos A = b, 2且 a Ab,则Z B=( ). _ - 2二_ 5二A" g B. g C. D. ~-【知识点：正弦定理、解的个数的判断；数学思想:数形结合】解:A2.在锐角AABC中,角A,B所对的边长分另U为a,b.若2asinB = V3b,则角A等丁( )n n Ji KA.我B.g C- D.-【知识点：正弦定理】解:D3.在△ ABC 中，N ABC =^,AB =握,BC =3，贝U sin/BAC =( )4A.J0B.MC.世D.^10 5 10 5【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C2、24.如图在AABC中,已知点D在BC边上,ADAC, sin N BAC = ——,3AB=^2,AD =3,则BD 的长为B D C【知识点：正余弦定理；数学思想:数形结合】解：、、35.设△ ABC中角A, B, C所对的边分别为,b ,,若bcosC+ccosB = asin A,则^ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点：正弦定理、余弦定理】解:B6.在MBC 中，若(a + b + c)(a + b — c) = 3ab ,且sin C = 2sin AcosB ,则AABC 是()A.等边三角形B.等腰三角形，但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形【知识点：余弦定理】解:A(三)课后作业基础型自王突破1.如图，某人为了测量某建筑物两侧A.B问的距离(在A,B处相互看不到对方)，选定了一个可看到A、B两点的C点进行测量，你认为测量时应测量的数据是【知识点：实际问题，解三角形】解:a，b，了2.如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙AC上,£ABC = 60°，若AB滑动至DE 位置，且AD=(V3-V2)米,问木棒AB中点O所经过的路程为米.【知识点：正余弦定理】解:一.123.在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位丁P点,一分钟后，其位置在Q点,且ZPOQ =9。

高中数学《正余弦定理应用举例》公开课优秀教学设计

高中数学《正余弦定理应用举例》公开课优秀教学设计本节课是一节实际应用课，主要研究正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算。

通过解决实际问题，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。

二、教学目标设置根据学生的认知水平，确定本节课的教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义。

在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系。

过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

通过解三角形的应用的研究，提高解决实际问题的能力，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用。

情感、态度、价值观：激发学生研究数学的兴趣，并体会数学的应用价值。

培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

进一步培养学生研究数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。

三、学生学情分析本节课的教学对象是XXX高二年级的学生。

学生已经研究了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，但在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题，构造模型的能力有待提高。

难点：1.实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

2.根据题意建立数学模型，画出示意图。

突破策略：1.在探索概念阶段，让学生和老师共同完成例1，让学生体会实际问题建立数学模型，解答数学模型，再得到实际问题解的过程。

2.在应用概念阶段，通过对解答过程的分析，帮助学生掌握在实际问题中找寻可解三角形的实际过程。

3.教师启发引导，组织学生交流研讨，展现思维过程。

五、教学过程设计教学过程】一、创设情境，明确目标。

在古代，天文学家没有先进的仪器，却能够估算出地球和月亮之间的距离。

人教版高中数学必修⑤《正、余弦定理的应用》教学设计精品文档13页

课题：必修⑤正、余弦定理的应用三维目标：1．知识与技能（1）能够运用正弦定理、余弦定理以及相关的三角知识和方法解决一些有关测量距离、底部不可到达的物体高度测量、有关计算角度等实际问题，并了解常用的测量相关术语；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的较为综合的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；（3）提高分析问题、解决问题的能力，增强应用意识，并加强动手操作能力。

2．过程与方法（1）结合学生的实际情况，充分运用【合作探究、分层推进教学法】，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

对于例1这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。

（2）引导学生运用运用正、余弦定理、面积公式及相关的三角知识，通过合作探究、争辩、交流，解决各类关于三角形的各类实际问题，不但进一步认清刚学的两个定理的本质，还能复习巩固前面所学习的三角知识和基本方法；（3）在体验知识的运用过程和合作探究过程的同时，不断认识三角知识的工具性作用及所带来的转化思想及数形结合思想，锻炼抽象思维能力和推理论证能力；（4）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。

3．情态与价值观（1）通过三角知识的进一步拓展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗；（2）通过对三角知识的进一步学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神，并进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。

《余弦定理、正弦定理应用举例》教案、导学案、课后作业

《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第3课时余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．【教学重点和难点】重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)．在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033 m. 题型二测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB，即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB＝＝＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， 3)sin 45sin1055(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ，则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝ACBC ·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC 和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC 中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。

高中数学人教A版必修5《正弦定理、余弦定理的应用》教学设计

正弦定理、余弦定理的应用教学设计一、教材分析：（一）教材的地位和作用本课内容为人教A 版本必修5，§1.1.1正弦定理、§1.1.2余弦定理后的一节复习课.正弦定理、余弦定理是必修四第一章《三角函数》和第三章《三角恒等变换》的后续学习，是对三角形边角关系的探索和运用，具有较强的应用性．本节课是在学生初步掌握两个定理的基础上，对知识的综合运用，从解三角形的角度认识两个定理，根据三角形的已知元素运用方程思想判断应用哪个定理求解，从宏观角度把握两个定理，起到总结、提升作用的同时也为§1.2应用举例（正弦定理、余弦定理的实际应用）奠定了一定的基础．（二）教学目标：1．掌握正弦、余弦定理的结构，能根据实际问题合理选择定理，能正确判断三角形两解问题，体会数形结合思想.2．通过解三角形的一些应用，总结解三角形的一般方法，体会两个定理在解任意三角形问题时的应用特点，提高分析、归纳能力.3．能够利用正弦、余弦定理解决解三角形的综合问题，增强运用定理解决实际问题的能力和数学建模意识.（三）教学重点、难点：重点：掌握正、余弦定理的适用范围；根据题设会选择利用正弦定理、余弦定理来解三角形.难点：根据题设会选择利用正弦定理、余弦定理来化解三角形，在应用过程中体会、总结正、余弦定理的应用价值. 二、学情分析学生具备了一定的解三角形的知识，知道正弦定理和余弦定理的内容，并能简单应用.但是对于复杂的解三角形问题，还不能准确判断如何选择定理.从学生的思维特点和认知水平来看，具有一定的等式变换的基础但是方程思想的运用还有待提高. 三、教学导图四、教学过程：（一）问题情境休渔期内，在海岸A 处发现北偏东︒45方向，距A 处13-海里的B 处，有一艘偷捕船.在A 处北偏西︒75方向，距A 处2海里的C 处有一搜执法船奉命以310海里/小时的速度追截偷捕船.此时偷捕船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东︒30的方向逃窜，问执问题情境方法探究小结反思三边两边及一边对角两边及夹角一边两角总结提升问题情境解决 }法船沿什么方向能最快追上偷捕船，并求出所需时间.动画演示后提出问题：问题1：如何在几何图形中表示“执法船追上走私船”你能否根据题目情境描述画出船航行的方位示意图？问题2：你判断应该用什么知识解决这个问题？【设计意图】引出课题：正弦定理、余弦定理的应用（二）方法探究 1.知识回顾（1）正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径）（2）余弦定理及推论A bc c b a cos 2222-+= bca cb A 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+= acb c a B 2cos 222-+=⇒C ab b a c cos 2222-+= abc b a C 2cos 222-+=问题3：用正弦定理和余弦定理解决情境中的问题，需要构造怎样的图形？问题4：在上面图形中的两个三角形，哪一个可以直接求解？生：ABC ∆.DD师：我们把这个问题抽象为一个数学问题.例1：在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为c b a ,,，已知132-==c b ,，︒=∠120A ，解这个三角形.问题5：本题已知怎样的边、角？满足条件的三角形是唯一的吗？依据是什么？根据已知条件可知此三角形已知两边及夹角，有三角形全等的判定方法可知此三角形是确定的.问题6：你选择用哪个定理解这个三角形？已知两边及夹角，应用余弦定理.问题7：已知哪些元素，三角形是唯一确定的？问题8：需要构造怎样的条件，才能应用两个定理解三角形？【设计意图】引发学生对三角形中元素进行思考，从定性角度思考确定三角形的条件. 下面我们变化已知条件，继续研究.变式1：在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为c b a ,,，若︒=∠==4523B b a ,,，求.A ∠【设计意图】学生展示解答过程，能够通过大边对大角判断三角形两解问题.变式2：在ABC ∆中，若.,,,c b a B 求2326===π【设计意图】通过两种解法的对比，感受已知两边及一边的对角解三角形时既可以应用正弦定理也可以应用余弦定理.体会方程思想在解三角形中的应用.变式3：在ABC ∆中，若.,2,4,127a b B C 求===ππ 【设计意图】利用三角形内角和解出角A ，再应用正弦定理建立方程，强化三角形边角关系.（三）总结提升问题9：已知哪些元素三角形可解？选择哪个定理求解？你还能补充吗？请同桌之间互相讨论，补充、总结.【设计意图】通过小组讨论，总结正弦定理和余弦定理可以解决哪几类解三角形问题，学会选择定理，提升对两个定理的认识，提高总结概括能力.(1) 已知三边A bc c b a cos 2222-+=CcB b A a sin sin sin == ABC13-2︒120通过方程结构发现：应用正弦定理无法求解.根据余弦定理已知三边可以建立任意一角的方程，所以此种情况选择应用余弦定理求解.(2) 已知两边及夹角A bc c b a cos 2222-+=结合三角形内角和为π，再应用正弦定理虽然可求解，但是运算繁琐，直接应用余弦定理建立方程可求得第三边.此种类型选择余弦定理求解.(3) 已知两边及一边的对角A bc c b a cos 2222-+=应用正弦定理可以直接求角，应用余弦定理可以直接建立关于第三边的一元二次方程求边.但此种情况三角形不唯一，涉及到两解问题，应用正弦定理可以通过“大边对大角”的结论判定，应用余弦定理求边，可以通过“两边之和大于第三边”求解.（4）已知一边两角A bc c ba cos 2222-+=无论是两角及一角的对边还是两角及第三边都可以通过正弦定理直接建立方程求解，而无法应用余弦定理建立可求解的方程，此种类型选择正弦定理求解.余弦定理至少需要已知两边，正弦定理至少需要已知一角. （四）解决情境问题问题10：通过前面的学习，你能继续解决本课开始时的问题吗？我们还要构造哪些条件才能继续解三角形？【设计意图】应用定理解决实际问题，提升两个定理的应用意识.CcB b A a sin sin sin ==CcB b A a sin sin sin ==C cB b A a sin sin sin ==CcB b A a sin sin sin == D的求解，可解出执法船行驶的方向和时间.通过对BCD(五) 小结反思1．本节课学习了哪些主要内容？（两个定理的应用）2．你如何来判别使用哪个定理？（能否建立方程）3．如何应用两个定理来解决实际的距离、角度问题？（分析实际问题，建立数学模型→解决数学问题→检验、解释实际问题）(六) 作业布置习题1.1A组1、2。

高中数学必修五《正余弦定理实际应用》优秀教学设计

正余弦定理实际应用教学目标（一）知识与能力目标1．通过对正余弦定理的应用，加深对正余弦定理的理解．会用正余弦定理解实际应用问题．(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角．（3）已知三边，用余弦定理，必有唯一解；2．理解掌握已知两边和其中一边的对角解三角形时，有一解或两解或无解三种情况，并会判断哪些条件使解三角形时出现一解、两解、无解．（二）过程与方法目标能够利用正余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题。

（三）情感态度与价值观感受正余弦定理与其他知识间的紧密联系，体会万事万物间也存在着千丝万缕的关系。

教学重点和难点重点：1、正余弦定理的应用，用正余弦定理解三角形，特别是在已知实际应用问题能够抽象为解三角形的数学模型。

2、利用正余弦定理解决实际应用问题，提高用数学方法解决实际问题的能力。

难点：在具体的实际问题抽象概括伟数学模型。

教学设计：由复习引入到本节主要三个环节，分环节进行，典例剖析，讲练结合，层层递进，环环相扣。

教学过程设计一、复习正余弦定理1、正弦定理：正弦定理精确地表达了三角形中各边和它所对角的正弦成正比．a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ． 2、余弦定理：二、引入新课．．测量距离和高度的问题。

用到的工具经纬仪和钢卷尺。

（一）距离例一：设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边先定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=51°，∠ACB=75°，求A 、B 两点间的距离（精确到0.1m ），2bca cb cosA 222-+=2R sinCc 2R，sinB b 2R，sinA a ===)(2sin sin sin 外接圆的半径表示ABC R R Cc B b A a ∆===，2cab ac cosB 222-+=。

2ab c b a cosC 222-+=2Rc ，sinC 2R b ，sinB 2R a sinA ===解：已知两角和一边，可以用正弘定理解三角形B答：A 、B 两点间距离为65.7m. A 55 C例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。

人教版高中数学必修5《正、余弦定理的应用举例》教案

人教版高中数学必修5《正、余弦定理的应用举例》教案1、正、金抵定理的疹用举例要测量对岸A、B两点Z间的距离，选取相距的仙7?的C、D两点并测得ZACB=75,ZBCD二45。

，ZADC=30,ZADB=45,求A、B之间的距离.參2沿一条小路前进，从A到B,方位角〔从正北方向顺时针转到AB方向所成的角〕是50。

，距离是3km,从B到C,方位角是110,距离是3km,从C到D,方位角是140,距离是〔9+3巧〕km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离〔结果保辭根号〕.Wr3如下图，已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上，BC=1,点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD,且点D与圆心0分别在PC的两侧，求四边2、形OPDC面积的最大值.^4某观测站C在A城的南偏西20。

的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40,在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少「米才能到达A城?C如下图，测量河对岸的塔高AB时，可以选打塔底B在同一水平面内的两个测点C」jD,现测得ZBCDn,ZBDC二0,CD 二s,并在点C测得塔顶A的仰角为0,求塔高AB.A/繆匕为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如下图，要求ZACB=60,BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越3、好，求AC最短为多少米？且当AC最短吋，BC长度为多少米？7在Z^ABC 中，、b、c分别为角A、B、C的对边，设f(x)=a2x2~(a2—b2)x—4c2.(1)/(1)=0且B—C二彳，求角C的大小；(2)若/(2)=0,求角C的取值范围.*、8在厶ABC 中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知gl,b=2,cosC=-.4(1)求c的值;⑵求sin(C-A)的值.@9如下图，扇形AOB,圆心角AOB等于60。

正余弦定理地应用举例教案设计

天津职业技术师范大学人教A版数学必修51.2正弦定理余弦定理的应用举例理学院数学0701田承恩一、教材分析本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。

因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。

本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。

同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。

这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。

(一)重点1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。

2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。

(二)难点1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。

2.用应用数学的思想解决实际问题。

(三)关键让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。

并具备解决一些基本实际问题的能力。

二、学情分析学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。

因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。

让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。

三、学习目标(一)知识与技能1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤(二)过程与方法1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维品质2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程(三)情感、态度与价值观让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。

四、教学手段计算机，ppt，黑板板书。

五、教学过程（设计）65.7()m ≈新课讲解答：A、B两点间的距离为65.7m。

（值得注意的是在解决实际问题中某些角度和长度我们是可以通过测角仪器和米尺测量的，这些条件通常默认为是已知条件）例二：如图,A.B点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A,B两点间距离的方法。

高中数学必修5《余弦定理应用举例》教学设计

1.2 应用举例(第1课时有关测量距离的问题)一、教学目标●知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。

●过程与方法1.通过“大禹治水的真相”和《海岛算经》两则材料的介绍，顺利地导入新课，为以后的几节课做良好铺垫，同时也将中国传统“数学文化”融入到课堂教学中来。

2.结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．3.通过“正、余弦定理”的在实际中应用的学习, 让学生学会将具体问题可以转化为数学问题，提高学生转换和化归、分析问题解决问题的能力。

●情感态度与价值观1.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.2.课堂引入过程中使用的两则材料，让学生了解古代中国数学在解决测量问题中取得的重大成就，培养学生的民族自信和文化自信。

二、教学重、难点●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点引导学生根据题意建立数学模型，画出图形，根据两个定理解三角形教学过程引入课题：材料1：大禹治水的历史传说，以及大禹治水的真相：居外十三年，过家门不敢入左准绳，右规矩，载四时，行山表木，定高山大川根据文献记载，禹在治水过程中，根据水的流势，进行了原始的测量，以确定河道的流向。

大禹“左准绳，右规矩，载四时”，“行山表木，定高山大川”。

“准绳”和“规矩”大概就是类似于今天的铅垂线、角尺和圆规之类的测量工具，“行山表木”或“随山刊木”可能是原始的水准测量，它反映了当时大禹肩扛手握测量工具，跋山涉水，率领人们勘测河道，根据水的流势确定河道走向的情景。

《淮南子·原道训》记载：“禹之决渎也，因水以为师。

”大禹治水之所以成功，在于他采取了科学的治水方法。

人教版高中必修51.1正弦定理和余弦定理课程设计

人教版高中必修5-1.1 正弦定理和余弦定理课程设计一、引言正弦定理和余弦定理是高中数学中的基础概念，在解决三角形相关问题时经常会用到。

本课程设计将围绕正弦定理和余弦定理展开，旨在通过讲解和丰富的实例，帮助学生深入理解这两个概念，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学目标本课程设计主要的教学目标包括：1.理解正弦定理和余弦定理的定义和含义，并能运用正确公式计算相关量；2.能解决使用正弦定理和余弦定理求解三角形中各角度和边长的问题，并能熟练运用所学知识解决类似问题；3.培养学生对数学概念的深刻理解，提高数学分析、解题和推理的能力。

三、教学重点和难点1. 教学重点•正弦定理和余弦定理的定义和含义；•正弦定理和余弦定理的公式和运用；•求解三角形相关问题的思路和方法。

2. 教学难点•正弦定理和余弦定理的理解与运用；•正弦定理和余弦定理的推导过程说明；•如何分析实际问题，确定合适的求解方法。

四、教学内容和方法1. 教学内容1) 正弦定理•正弦定理的概念和含义；•正弦定理的公式和运用；•正弦定理的推导过程说明；•正弦定理的实际应用。

2) 余弦定理•余弦定理的概念和含义；•余弦定理的公式和运用；•余弦定理的推导过程说明；•余弦定理的实际应用。

2. 教学方法本课程设计将采用以下教学方法：•讲授法：通过对正弦定理和余弦定理的原理、公式和运用的讲解，向学生阐述相关概念并理解其原理；•实例分析法：通过较为典型的实例分析、讨论问题，帮助学生理解正弦定理和余弦定理的实际应用；•独立思考法：通过举例让学生通过自己的思考和分析实际问题，确定求解方法解决问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。

五、教学评价教学评价主要从以下方面进行：•学生课堂发言和问题讨论表现；•学生课后作业完成情况；•学生课后课程练习题完成情况以及参与竞赛、奥数活动表现；•学生在考试中的表现。

六、教学资源为了更好地实行授课过程中，需要准备以下资源：•课程讲义；•课件尠存储设备：如电脑、U盘等；•相关参考资料：如教材、习题集等。

正余弦定理的应用举例教案

正余弦定理的应用举例教案章节一：正弦定理的应用1.1 导入：通过复习正弦定理的定义和公式，引导学生理解正弦定理在几何中的应用。

1.2 实例讲解：以一个等腰三角形为例，利用正弦定理求解三角形的角度和边长。

1.3 练习：给出几个应用正弦定理的例题，让学生独立解答。

章节二：余弦定理的应用2.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在几何中的应用。

2.2 实例讲解：以一个直角三角形为例，利用余弦定理求解三角形的角度和边长。

2.3 练习：给出几个应用余弦定理的例题，让学生独立解答。

章节三：正弦定理和余弦定理的综合应用3.1 导入：介绍正弦定理和余弦定理的综合应用，引导学生理解两者之间的关系。

3.2 实例讲解：以一个复杂的三角形为例，利用正弦定理和余弦定理相互验证，求解三角形的角度和边长。

3.3 练习：给出几个综合应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。

章节四：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用4.1 导入：引导学生思考正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用，如测量学和工程学。

4.2 实例讲解：以一个实际问题为例，如测量一个未知角度的三角形，利用正弦定理和余弦定理求解。

4.3 练习：给出几个实际问题应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。

章节五：总结与拓展5.1 总结：回顾本节课学习的正弦定理和余弦定理的应用，让学生总结关键点和注意事项。

5.2 拓展：引导学生思考正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理学和天文学。

5.3 练习：给出一个拓展性问题，让学生独立解答，激发学生的思考和创造力。

正余弦定理的应用举例教案章节六：正弦定理在三角形判定中的应用6.1 导入：引导学生思考正弦定理在三角形判定中的应用，如判断三角形的类型。

6.2 实例讲解：以一个给定角度的三角形为例，利用正弦定理判断三角形的类型。

6.3 练习：给出几个利用正弦定理判断三角形类型的例题，让学生独立解答。

章节七：余弦定理在三角形判定中的应用7.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在三角形判定中的应用。

正弦定理和余弦定理在几何实际问题中的应用举例》教学设计

正弦定理和余弦定理在几何实际问题中的应用举例》教学设计正弦定理和余弦定理在几何实际问题中的应用举例教学设计一、引言本教学设计旨在向学生介绍正弦定理和余弦定理在几何实际问题中的应用，并通过具体的例子帮助学生理解和应用这两个重要的定理。

二、教学目标通过本教学设计，学生将能够：1.理解正弦定理和余弦定理的定义和原理；2.能够应用正弦定理和余弦定理解决实际几何问题；3.掌握正确使用正弦定理和余弦定理的方法。

三、教学内容1.正弦定理和余弦定理的定义和原理；2.正弦定理在三角形中的应用举例；3.余弦定理在三角形中的应用举例。

四、教学步骤步骤一：引入通过引入实际的几何问题，引发学生对正弦定理和余弦定理的思考。

例如，船从一个点出发，沿特定航线行驶一段距离后改变航向，我们如何求得船相对起始点的位置？步骤二：讲解正弦定理和余弦定理详细讲解正弦定理和余弦定理的定义和原理。

通过简洁明了的语言和示意图，帮助学生理解这两个定理的数学表达形式和几何意义。

步骤三：应用举例1.正弦定理的应用举例：给出一个具体的三角形，已知其中两个角和对边的长度，要求求解第三边的长度。

引导学生运用正弦定理解决这个问题，并通过计算验证答案的正确性。

2.余弦定理的应用举例：给出一个具体的三角形，已知其中两边和夹角的大小，要求求解第三边的长度。

引导学生运用余弦定理解决这个问题，并通过计算验证答案的正确性。

步骤四：总结和巩固总结正弦定理和余弦定理的应用方法和注意事项，并通过一些练题巩固学生的研究成果。

五、教学评价方法1.教师观察学生在课堂上对正弦定理和余弦定理的理解和应用情况；2.对学生完成的应用题进行评分和反馈。

六、教学资源1.教材：包含正弦定理和余弦定理的相关知识点；2.示例：几何实际问题的应用示例；3.计算工具：如计算器、计算机等。

七、延伸拓展1.学生可以自主选择其他几何实际问题，并尝试运用正弦定理和余弦定理求解；2.在实际生活中，鼓励学生观察和应用正弦定理和余弦定理解决实际问题，培养其数学思维和应用能力。

人教课标版高中数学必修五《正弦定理和余弦定理(第1课时)》教案(1)-新版

第一章解三角形1.1.1正弦定理一、教学目标1.核心素养通过学习正弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）通过特殊三角形,了解三角形的边与角的对应关系.（2）能证明正弦定理.（3）应用正弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解正弦定理,会用正弦定理解两类三角形问题.4.学习难点正弦定理的证明与三角形解的个数的判断.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P1－P4.思考:正弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明正弦定理?正弦定理有哪些应用?任务2默写正弦定理的具体内容,查阅三角形面积的计算公式并进行整理.2.预习自测1.在一个三角形中,各边和它对角的（）的比相等.A.正弦B.余弦C.正切D.角度答案:A.解析:考查正弦定理的定义: 一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径长度.2.下列各式可以表示△ABC 的面积的是（） A.12ab sin A B.12ab sin B C.12ab sin C D.ab sin C 答案:C.3.在正弦定理中asin A 的值表示△ABC 的（） A.内切圆半径 B.内切圆直径 C.外接圆半径 D.外接圆直径答案:D.解析:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径长度. （二）课堂设计 1.知识回顾（1）三角形内角和为180o .（2）三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. （3）在三角形中大边对大角.（4）三角形的面积:S ＝111222a b c ah bh ch ==（其中h a ,h b ,h c 分别为边a ,b ,c 上的高）. （5）我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明呢? 2.问题探究问题探究一直角三角形的边角有哪些关系? ●活动一回顾旧知,回忆边角关系在初中,我们已经学习过如何解直角三角形,那么在直角三角形中的边角关系有哪些呢?通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系. 在直角三角形中,若C 为直角,锐角A 的正弦sin A ＝=ac对边斜边.同理,sin B ＝b c .●活动二整合旧知,探求边角新关系结合三角函数,你有哪些与众不同的发现? 在以上直角△ABC 中,根据正弦函数的定义有:sin a A c =,sin b B c =,sin 1C =,即sin a c A =,sin b c B =,sin c c C=. ∴sin sin sin a b cA B C==.问题探究二上述边角关系对任意三角形都成立吗?试证明. ●活动一大胆猜想,几何画板来帮忙我们猜想在任意三角形中,都有sin a A ＝sin bB ＝sin c C. 为提高直观认识,我们先利用几何画板先作出一个三角形,度量出三个内角大小及三边的长度, 分别计算,,sin sin sin a b cA B C的值,并观察三个值的关系. 然后,再改变三角形形状,再观察三个比值的变化情况. 可以看到,不论三角形如何变化,sin a A ＝sin bB ＝sin c C. ●活动二集思广益,证明正弦定理你能在一般的三角形中证明sin a A ＝sin b B ＝sin c C这个结论吗? 在锐角△ABC 中,你能找出a sin B ,b sin A 表示的具体线段吗?它们的几何意义是什么?在锐角△ABC 中,sin ,sin a B b A 表示的线段都是AB 边上的高CD . 因而,有a sin B ＝b sin A ,则sin sin a b A B=,同理,我们可以得到sin a A ＝sin bB ＝sin cC . 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,()sin 180sin CD a B b A =-=o ,因而,有sin sin a B b A =,则sin aA ＝sin b B, 同理,我们可以得到sin a A ＝sin bB ＝sin c C. 正弦定理:对于任意的一个三角形,都有sin a A ＝sin bB ＝sin c C. ●活动三反思过程,发现面积新公式结合a sin B ,b sin A 的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另外一种形式? 由以上探究活动,a sin B ,b sin A 的几何意义为AB 边上的高CD ,则由三角形面积111222a b c S ah bh ch ===, 有11sin 22c S ch ac B ==,或11sin 22c S ch bc A ==,以此类推,还有1sin 2S ab C =.所以111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===.●活动四利用外接圆,重新认识正弦定理结合△ABC 的外接圆,试探究sin aA的几何意义.设⊙O 为△ABC 的外接圆,连接CO 并延长交⊙O 于点A ′,连接A ′B ,则∠A ＝∠A ′, 在△A ′BC 中,A ′C 为直径,则∠A ′BC 为直角,2sin a A C R A '==',故2sin aR A=,其中R 为三角形外接圆的半径.通过转化与化归的思想,将∠A 转化为∠A ′,最关键的是将一般三角形中a 与∠A 的关系转化为直角三角形中的a 与∠A ′的关系,不难得到sin aA＝2R ,则2sin sin sin a b cR A B C===. 以上过程也是证明正弦定理的另一种方法,你还能想出哪些证明正弦定理的方法?结合活动三得到的三角形的面积公式,我们还可以哪些形式多样的面积公式? 我们可以得到21sin 2sin sin sin 24abc S ab C R A B C R===等形式. 问题探究三利用正弦定理能解决哪些三角形的问题?●活动一初步运用,运用定理解三角形一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? 例1 在△ABC 中,已知A ＝30°,B ＝45°,a ＝2,解此三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】详解:根据三角形内角和定理,C ＝180°－(A ＋B )＝105°,根据正弦定理,b ＝sin sin a B A ＝c ＝sin sin a CA. 点拨:正弦定理是对边对角的关系,在已知一内角的条件下,找出该角的对边,或知道一边的情况下,寻求该边的对角,注意三角形内角和为180°这个条件的运用.在解三角形时,我们在知道三角形的三个元素（至少有一边）时,可以求出另三个元素,称“知三求三”.例2 在△ABC 中,已知A ＝60°,a ＝3,b 解三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】详解:根据正弦定理,sin sin b A B a ==,且b ＜a ,则B ＜A ,故B ＝45°,所以C ＝75°,sin sin a C c A ==. 点拨:在已知一角和两边（其中一边为该角的对边）的条件下,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,一般可以运用大边对大角或三角形内角和定理对结果进行筛选或排除,当然可以两者结合使用.例3在△ABC 中,已知A ＝45°,a ＝2,b 解三角形.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论、数形结合】详解:根据正弦定理,sin B ＝sin b Aa,且b ＞a ,则B ＞A ,故B ＝60°或120°,当B ＝60°时,C ＝75°,解得sin c=1sin a CA；当B ＝120°时,C ＝15°,解得sinc=1sin a CA. 点拨:和例2类似,已知两边和其中一边的对角,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,此时这个角有锐角和钝角两种情况,注意分类讨论,切不可先入为主的认为B ＝60°而造成漏解.●活动二对比提升,判断三角形解的个数比较例2和例3,对于任意给定两边和其中一边的对角,三角形唯一确定吗?如何讨论满足条件的三角形的解的个数?在△ABC 中,已知a ,b ,A ,结合例2、例3分析,在求出sin B 后,B 的解的个数决定了三角形解的个数.不难看到,当A 为直角或钝角时,a ＞b ,B 必为锐角,有唯一解；a ≤b ,无解. 当A 为锐角时,我们可以用以下方法判断解的个数.A以C 为圆心,a 为半径作圆弧,观察该圆弧能否与c 边相交,(1)当a ＜b sin A 时,无解； (2)当a ＝b sin A 时,一解； (3)当b sin A ＜a ＜b 时,两解； (4)当a≥b 时,一解.通过这个方法,我们进一步可以验证当A 为直角或钝角时的情形,(1)当a ≤b 时,无解； (2)当a ＞b 时,一解.●活动三归纳提升,综合应用新知识利用正弦定理,我们可以解哪些已知条件下的三角形? 1.已知两角和任意一边,求其他的边和角； 2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.例4 在△ABC 中,已知A＝60°,b ＝2,c ＝3,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理】详解:1sin 2S bc A ==. 点拨:直接应用三角形的面积公式即可.例5在△ABC 中,已知A ＝120°,a ＝3,b 判断三角形的解的个数,如有解,求△ABC 的面积S .【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】详解:由A 为钝角,且a ＞b ,故此三角形有唯一解.根据正弦定理,sin 1sin 2b A B a ==,则B ＝30°,C ＝180°－(A ＋B )＝30°,所以1sin 2S ab C ==. 点拨:三角形的面积求解需要两边及夹角,因此要先通过正弦定理求B ,再用内角和定理求C ,再用公式即可.例6 已知△ABC 的外接圆半径为1,41sin ,cos 53A B ==-,求△ABC 的面积S . 【知识点:正弦定理,两角和的正弦公式；数学思想:转化与化归】详解:由()113sin sin sin cos cos sin 535C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⋅-+= ⎪⎝⎭则242sin sin sin 25S R A B C ==⋅=点拨:在已知三角形外接圆半径时,通过正弦定理转化面积公式显得更快一些,当然也可以利用a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B 求出C 的两条夹边再求面积,是一样的道理. 3.课堂总结【知识梳理】 (1)在△ABC 中,2sin sin sin a b c R A B C===（R 为△ABC 的外接圆半径）. (2)在△ABC 中,111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===. (3)设A 为△ABC 的最大角,已知a ,b ,A ,解三角形时解的个数判定为:若A 为锐角,①a ＜b sin A ,无解；②a ＝b sin A ,一解；③b sin A ＜a ＜b ,两解；④a ≥b ,一解.若A 为直角或钝角,①a ≤b ,无解；②a ＞b ,一解. 【重难点突破】(1)运用正弦定理时,有时需对它进行变形,如::sin :sin :sin a b c A B C =等,不论怎么变形,最终都需要将2R 约去.(2)运用正弦定理求解三角形时,若已知条件是两边和其中一边的对角,则可能无解、一解或两解,判断方法是三角形中大角对大边,大边对大角.(3)用正弦定理来解边角关系问题时,基本思路是统一角或统一边,这是三角形的变形问题常用的方法. 4.随堂检测1.在△ABC 中,A ＝45°,a ＝则sin sin sin a b cA B C++++等于（）A.1C.2D.4【知识点:正弦定理；数学思想:数形结合】解:D 根据s i n a A ＝sin b B ＝sin cC＝2R ,a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C ,则sin sin sin a b c A B C ++++＝2R ＝sin aA＝4,故选D.2.在△ABC 中,已知b c ＝1,B ＝45°,则a ＝（）11【知识点:正弦定理；数学思想:数形结合】解:B 根据正弦定理,sin C ＝sin c B b ＝12,因为c ＜b ,则C ＜B ,故C ＝30°,则A ＝105°,所以a ＝sin sin c AC,故选B.3.在△ABC 中,已知b cos A ＝a cos B ,则△ABC 的形状为（） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形【知识点:正弦定理的应用,两角差的正弦公式；数学思想:数形结合】解:B 根据sin a A ＝sin b B＝2R ,a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,则2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ,即sin(A －B )＝0,得A ＝B ,故△ABC 为等腰三角形,故选B.4.在△ABC 中,A ＝30°,B ＝105°,c ＝4,则△ABC 的外接圆的面积为（） A.4πB.8πC.16πD.32π【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】解:B 由C ＝180°－(A ＋B )＝45°,得2R ＝sin cC＝R ＝圆面积S ＝πR 2＝8π,故选B.5.在△ABC 中,若a ＝C ＝13,S △ABC ＝则b ＝_________ . 【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】解由cos C ＝13,得sin C ,根据S ＝12ab sin C ＝得b ＝（三）课后作业基础型自主突破1.已知在10,45,30,,ABC c A C a b B ∆==︒=︒中，求和. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:由A a sin =B b sin =sin cC,180()105B A C =︒-+=︒,解得210=a ,2565+=b .2.在60,1,ABC b B c a ∆=︒=中，求.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:由B b sin =sin cC,得sin C ＝12,因为c ＜b ,所以C ＜B ,则C ＝30°,则A ＝90°,故△ABC 为直角三角形,所以222=+=c b a .3.45,2,,ABC c A a b B C ∆==︒=中，求和.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:sin ,sin sin sin a c c A C A C a =∴===Qsin ,60c A a c C <<∴=︒Q 或120︒.sin6075,1sin c BC B b C ∴=︒=︒===当时，,sin12015,1sin c B C B b C ∴=︒=︒===当时，，1,75,60b B C ∴==︒=︒或1,15,120b B C =︒=︒.4.ABC ∆中,222sin sin sin A B C =+,则ABC ∆为( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形【知识点:正弦定理；数学思想:转化与化归】解:A 由正弦定理得a 2＝b 2＋c 2,则故△ABC 为直角三角形,故选A.5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a cos A ＝b sin B ,则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A.－12B.12C.－1D.1【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:D 由正弦定理及a cos A ＝b sin B ,得sin A cos A ＝sin 2B .则sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.6.在△ABC 中,C ＝120°,c 2－c 2cos 2A ＝3,则a ＝________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:2 由c 2－c 2cos 2A ＝c 2sin 2A ＝3,故c sin A ,由正弦定理,a ＝sin sin c A C＝2. 能力型师生共研7.在ABC ∆中,B A sin sin >是B A >的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点:必要条件、充分条件与充要条件的判断,正弦定理】解:C 首先,由正弦定理得2R sin A ＞2R sin C ,故a ＞c ,由大边对大角,有A ＞C ；其次,由A ＞C ,得a ＞c ,即2R sin A ＞2R sin C ,故sin A ＞sin C .故选C.8.在锐角ABC ∆中,若2,1==b a ,则边c 的取值范围是（） A.)5,0( B.)5,1( C.)5,3(D.(1,3)【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:C 应用极端原理,当B 为直角时,c ＝ 3 ,当C 为直角时,c ＝5,因△ABC 为锐角三角形,故 3 ＜c ＜5,故选C.9.在ABC ∆中,已知︒===45,2,B b x a ,如果利用正弦定理解三角形时有两解,则x 的取值范围是（） A.222<<x B.222≤<xC.2>xD.2<x【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:A 因三角形有两解,则a sin B ＜b ＜a ,x ＜2＜x ,解得2＜x ＜故选A. 10.在ABC ∆中,求证:2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:二倍角的余弦,正弦定理；数学思想:转化与化归】解:sin sin a b A B =⇒sin sin A B a b =⇒22sin sin ()()A B a b= ⇒2222sin sin A B a b =⇒221cos 21cos 2A B a b --=⇒2222cos 2cos 211A B a b a b-=-. 探究型多维突破11.已知ABC ∆,B ∠的平分线交AC 于点D ,求证:DC AD BC AB ::=.【知识点:正弦定理的应用；数学思想:数形结合】证明:在ABD ∆内,利用正弦定理得:sin sin sin sin AB AD AB ADB ADB ABD AD ABD∠==∠∠∠即在BCD ∆内,利用正弦定理得:sin ,.sin sin sin BC DC BC BDC BDC DBC DC DBC∠==∠∠∠即 ∵BD 是B 的平分线,∴sin sin ABD DBC ∠=∠.∵sin sin ADB BDC ∠=∠, ∴sin sin sin sin AB ADB BDC BC AD ABD DBC CD ∠∠===∠∠,∴AB AD BC DC =. 12.在ABC ∆中,已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=,求证:222,,c b a 成等差数列. 【知识点:两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦定理,等差数列；数学思想:转化与化归】证明:由已知得sin()sin()B C B C +-sin()sin()A B A B =+-,cos 2cos 2cos 2cos 2B C A B -=-,1cos 21cos 21cos 22222B A B ---⋅=+, ∴2222sin sin sin B AC =+,由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2,故a 2,b 2,c 2成等差数列.自助餐1.在ABC ∆中,45a b B ===︒,则A 为（）A.233ππ或 B.3πC.566ππ或 D.6π 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合、分类讨论】解:A 由sin a A =sin b B,得sin A,则A ＝60°或120°,故选A. 2.在ABC ∆中,2sin b A =,则B =( )A.3πB.6πC.233ππ或 D.566ππ或【知识点:正弦定理】解:C 由sin aA =sin bB ,得sin B ,故选C.3.在ABC ∆中,已知2,60a b A ==︒,则符合条件的三角形的个数有（） A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:B 由a ＞b ,故A ＞B ,则三角形只有一解,故选B.4.在△ABC 中,cos A ＝－13,a ＝3,b ,则符合条件的三角形的个数有（）A.2个B .1个C . 0个D.无数个【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:C 由cos A ＜0,得A 为钝角,又a ＜b ,故此三角形无解,故选C.5.在ABC ∆中,45B =︒,60C =︒,1c =,则最短边的边长等于（）C.12【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:A 由三角形内角和为180°知A ＝75°,故B 角最小,从而b 为最小边,由正弦定理,b故选A. 6.在△ABC 中,a cos A ＝b cos B ,则△ABC 的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【知识点:正弦定理】解:D 由a cos A ＝b cos B 及正弦定理,得sin A cos A ＝sin B cos B ,即sin2A ＝sin2B , 则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°,则A ＝B 或A ＋B ＝90°,△ABC 为等腰或直角三角形,故选D.7.在△ABC 中,若b ＝10,B ＝π4,tan A ＝2,则a ＝________.【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】解:410 由tan A ＝sin A cos A ＝2,得sin A ＝255,又∵b ＝10,B ＝π4,根据正弦定理,得a ＝b sin A sin B ＝10×25522＝410. 8.已知函数()sin()6f x x π=+,ABC △三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()1f B C +=,a ＝3,b ＝1,则ABC △的面积S ＝__________.【知识点:正弦定理】解:34 由()1f B C +=,得()sin 1B C π++=,又()7,666B C πππ++∈,所以62B C ππ++=, 得23A π=,由正弦定理sin sin B A b a =,得1sin 2B =,则6B π=,6C π=,则面积1s i n 2S ab C =9.如图所示,扇形AOB 中,∠AOB ＝60°,OB ＝1,在弧AB 上有一动点P ,过P 作平行于OB 的直线和OA 交于点C ,则△POC 面积的最大值为______________.【知识点:正弦定理,解三角形,三角恒等变换；数学思想:数形结合】解:312 设∠AOP ＝θ,∵CP ∥OB ,∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ,∴∠OCP ＝120°.在△POC 中,由正弦定理,得1sin120°＝CP sin θ,有CP ＝23sin θ. 又OC sin(60°－θ)＝1sin120°,有OC ＝23sin(60°－θ). 因此△POC 的面积为S ＝12CP ·OC sin120°＝12·23sin θ·23sin(60°－θ)×32＝13sin θsin(60°－θ)＝13sin θ(32cos θ－12sin θ)＝123[cos(2θ－60°)－12],θ∈(0°,60°). 故当θ＝30°时,S 取得最大值为312.10.已知在ABC ∆中,452A a c ∠=︒==，，,解此三角形.【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论】解:由sin a A ＝sin c C,得sin C C ＝60°或120°,sin6075,1sin c B C B b C =︒=︒===+当时，,sin12015,1sin c B C B b C =︒=︒===当时，，所以16075b C B =+=︒=︒，，或112015b C B =︒=︒，，. 11.在ABC ∆中,如果lg lg lgsin a c B -==-且B 为锐角,试判定三角形的形状.【知识点:对数的运算性质,正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】解:由条件有sin B 及c ,因为B 为锐角,则B ＝45°,A ＝135°－C ,由c ,得sin C A －C )＝cos C ＋sin C ,则cos C ＝0,C ＝90°,A ＝45°,故△ABC 为等腰直角三角形.12.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1.(1)求B 的大小；(2)若b ＝3,求△ABC 的周长l 的最大值.【知识点:正弦定理,三角恒等变换,正弦函数的值域；数学思想:转化与化归】解:(1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1,得2cos A cos C (sin A sin C cos A cos C －1)＝1.∴2(sin A sin C －cos A cos C )＝1,∴cos(A ＋C )＝－12,∴cos B ＝12.又0＜B ＜π,∴B ＝π3.(2)由正弦定理,得2R ＝b sin B ＝2,则a ＝2R sin A ＝2sin A ,c ＝2R sin C ＝2sin(2π3－A ),∴l ＝a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin(2π3－A )＋3＝2sin A ＋3cos A ＋sin A ＋ 3＝3sin A ＋3cos A ＋3＝23sin(A ＋π6)＋ 3.∵A ∈[0,2π3],且A ≠π6,A ≠π2,∴当A ＝π3时,l max ＝3 3.故△ABC 的周长的最大值为3 3.。

正余弦定理的应用举例教案

正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及公式。

2. 学会运用正余弦定理解决实际问题。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC2. 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 2bccosA三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的公式及应用。

2. 教学难点：如何运用正余弦定理解决复杂问题。

四、教学方法1. 采用讲解、示例、练习、讨论相结合的方法。

2. 通过图形演示，使学生更直观地理解正余弦定理。

3. 引导学生运用正余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。

五、教学过程1. 导入：通过复习三角形的基本概念，引导学生进入正余弦定理的学习。

2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的公式及含义。

3. 示例：给出三角形ABC的边长和角度，运用正余弦定理求解未知量。

4. 练习：让学生独立完成一些简单的正余弦定理应用题。

5. 讨论：分组讨论一些复杂的问题，引导学生相互合作，共同解决问题。

6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调正余弦定理在实际问题中的应用。

7. 作业：布置一些有关正余弦定理的应用题，让学生巩固所学知识。

六、教学反思在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。

针对学生的薄弱环节，加强个别辅导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。

七、课后拓展1. 研究正余弦定理在实际问题中的广泛应用。

2. 了解正余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。

3. 探索正余弦定理的证明方法，加深对定理的理解。

八、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对正余弦定理的掌握程度。

3. 课后拓展：了解学生在课后对正余弦定理的学习和研究情况，鼓励学生进行深入学习。

九、教学资源1. 教材：正余弦定理的相关内容。

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第一章解三角形 1.2 正余弦定理应用举例一、教学目标1.核心素养通过学习正余弦定理应用举例,初步形成基本的数学抽象、逻辑推理与运算能力. 2.学习目标应用正余弦定理解决三角形相应问题、解决实际问题. 3.学习重点综合运用正余弦定理解三角形问题和实际问题. 4.学习难点正余弦定理与三角函数知识的综合运用.二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务任务阅读教材P11－P16.思考:正余弦定理的内容是什么?利用正余弦定理求解实际问题的基本步骤是什么?题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他条件? 2.预习自测1.在△ABC 中,若∠A ＝60°,∠B ＝45°,BC ＝32,则AC ＝( ) A.4 3 B.2 3 C. 3 D.32 答案:B.2.已知ABC ∆中,a 、b 、c 分别为A,B,C 的对边, 30,34,4=∠==A b a ,则B ∠等于（）A.30B.15030或C.60D.60或120答案:D.3.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点测出AC的距离为50m,∠45CAB=︒后,就可以计算出A、B两点ACB=︒,∠105的距离为( )A.B.C.mD.2答案:A.（二）课堂设计1.知识回顾（1）正弦定理和余弦定理（2）在ABC ∆中,已知a 、b 和角A 时,角的情况如下:2.问题探究问题探究一正弦定理与余弦定理 ●活动一回顾正弦定理任意三角形中,都有sin a A ＝sin b B ＝sin c C. ●活动二回顾正弦定理能解决的问题类型一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题?（1）已知三角形的两个角（也就知道了第三个角）与一边,求解三角形; （2）已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求解三角形. ●活动三余弦定理及其所能求解的问题类型利用余弦定理可以求解如下两类解三角形的问题: （1）已知三边,求三个角;（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 问题探究二掌握以下几个常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平方向的夹角. 仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角.问题探究三利用正余弦定理解决实际问题重点、难点知识★▲ ●活动一初步运用正余弦定理测量建筑物高度例1:AB 是底部B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB 的方法.解析: 【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:选择基线HG ,使H 、G 、B 三点共线,欲求AB ,先求AE ,在ACE ∆中,可测得角α,只需求出AC 就可得到 AE ,在ACD ∆中,可测得角β,线段DC ,又有α,故可求得AC.●活动二设计求解有一个不可到达或两点都不可到达的点之间的距离例2:如图,设A 、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离是55m ,60,75BAC ACB ∠=∠=.求A 、B 两点的距离.解析:【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:在三角形ABC 中,45B ∠=,由正弦定理可知5555(31)sin 75sin 45AB +=⋅︒=︒. 例3:如图,A 、B 两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.解析:【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:这是例2的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形,所以需要确定C 、D 两点.在所在的河岸边选定点C 、D ,测出,,,αβγδ四个角的大小和C 、D 间的距离,根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出AC 和BC ,再利用余弦定理可以计算出AB 的距离. 3.课堂总结【知识梳理】(1)正弦定理:在△ABC 中,2sin sin sin a b cR A B C===（R 为△ABC 的外接圆直径）. (2)余弦定理:对于任意的一个三角形,都有A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.（3）几个测量中常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平方向的夹角. 仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角. 【重难点突破】(1)运用正余弦定理时,要厘清定理能解决的问题类型,要理清题目条件,合理选择定理求解问题.(2)常见实际问题中的一组已知条件,常隐含着对于这类测量问题在某一种特定情境和条件限制下的一个测量方案,在这种情境与条件限制下,别的方案中的量可能无法测量出来,因而不能实施别的测量方案. 4.随堂检测1.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=且a b >,则B ∠=（）A.6πB.3πC.23πD.56π【知识点:正弦定理、解的个数的判断;数学思想:数形结合】解:A2.在锐角ABC ∆中,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于（）A.12πB.6πC.4πD.3π 【知识点:正弦定理】解:D3.在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=（）A.1010B.105C.31010D.55【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.如图在ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,ADAC,22sin 3BAC ∠=, 32AB =,3AD =,则BD 的长为________.【知识点:正余弦定理;数学思想:数形结合】解35.设△ABC 中角A , B , C 所对的边分别为,b ,, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理】解:B6.在ABC ∆中,若()()3a b c a b c ab +++-=,且sin 2sin cos C A B =,则ABC ∆是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形【知识点:余弦定理】解:A（三）课后作业基础型自主突破1.如图,某人为了测量某建筑物两侧A.B 间的距离(在A,B 处相互看不到对方),选定了一个可看到A 、B 两点的C 点进行测量,你认为测量时应测量的数据是________.【知识点:实际问题,解三角形】解:a,b,γ .2.如图,一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙AC 上,060=∠ABC ,若AB 滑动至DE 位置, 且)23(-=AD 米,问木棒AB 中点O 所经过的路程为米.【知识点:正余弦定理】解:12π. 3.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于P 点,一分钟后,其位置在Q 点,且90POQ ∠=,再过两分钟后,该物体位于R 点,且30QOR ∠=,则tan OPQ ∠的值为 _________. 【知识点:正余弦定理】解:233. 4.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:正余弦定理,解三角形】解:三边长为4,5,6.5.甲船在岛A 的正南B 处,以每小时4千米的速度向正北航行,AB ＝10千米,同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为 .【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:1507 分钟.6. 如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km) .【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:6.6.能力型师生共研7.在ABC ∆中,证明下列各式:（1）0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a . (2)2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理,解三角形】证明:(1)左边＝)(222c b a --BBc b a A A cos sin )(cos sin 222+-+右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabcb c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(b a R R b a BR BA R A b a bB a A故原命题得证.8.已知圆O 的半径为R ,它的内接ABC ∆中,222(sin sin ))sin R A C b B -=-成立,求三角形面积的最大值. 【知识点:正弦定理,三角形面积】解:2212R +. 9.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值. 【知识点:正余弦定理;数学思想:数形结合】解:（1）略 ;（2）3:1.10.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角. （1）求最大角;（2）求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积. 【知识点:正余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:（1） 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a .（2）设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==,当2=x 时15max =S . 探究型多维突破11.求22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒的值. 【知识点:正余弦定理,三角函数】解:43. 12. 如图,已知O 的半径为1,点C 在直径AB 的延长线上,1BC =,点P 是O 上半圆上的一个动点,以PC 为边作正三角形PCD ,且点D 与圆心分别在PC 两侧. （1）若POB θ∠=,试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数; （2）求四边形OPDC 面积的最大值.【知识点:正余弦定理,函数】解:当150POC ∠=︒时,四边形OPDC 的面积最大. 自助餐1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α,β之间的关系是( ) A.α>β B.α＝β C .α＋β＝90° D.α＋β＝180° 【知识点:正弦定理、余弦定理】解:B.2.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC ＝120°,则A 、C 两地的距离为( )A.10 kmB. 3 kmC.10 5 kmD.107 km 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:D AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km).3.某人在山外一点测得山顶的仰角为42°,沿水平面退后30米,又测得山顶的仰角为39°,则山高为(sin42°≈0.669 1,sin39°≈0.629 3,sin3°≈0.052 3)( )A.180米B.214米C.242米D.266米【知识点:正弦定理;数学思想:数形结合】解: C ∵∠BCA ＝42°,∠BDA ＝39°,∴∠DBC ＝3°.在△BDC 中,DC ＝30, DC sin3°＝BC sin39°,∴BC ＝30·sin39°sin3°.在Rt △ABC 中,AB ＝BC·sin42°＝30·sin39°·sin42°sin3°＝242.4.在200 m 高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为( )A.4003 mB.40033 mC.20033 mD.2003 m【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:A 在Rt △BAC 中,∠ABC ＝30°,AB ＝200,∴BC ＝AB cos30°＝4003 3.∵∠EBD ＝30°,∠EBC ＝60°,∴∠DBC ＝30°,∠BDC ＝120°. 在△BDC 中,DC sin30°＝BC sin120°.∴DC ＝BC·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m). 5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d 1与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为( )A.d 1>d 2B.d 1＝d 2C.d 1<d 2D.不能确定大小【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.6.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )A.1 千米B.2sin10° 千米C.2cos10° 千米D.cos20° 千米【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.7.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A船到灯塔C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40°处,A、B两船间的距离为3 km,则B船到灯塔C的距离为________km.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:6－1.8.如图所示,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:507 连接OC,在△OCD中,OD＝100,CD＝150,∠CDO＝60°,由余弦定理,得OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17 500.9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 6 米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:0.6 在△BCD 中,∠BDC ＝45°,∠CBD ＝30°,CD ＝106,由正弦定理,得BC ＝CDsin45°sin30°＝20 3.在Rt △ABC 中,AB ＝BCsin60°＝203×32＝30(米).所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒).10.甲船在A 处观察乙船在它的北偏东60°的B 处,此时两船相距a 海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的3倍,则甲船以什么方向前进才能追赶上乙船?此时乙船行驶了多少海里【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶a 海里如图所示,AC 为甲船的航行路线,BC 为乙船的航行路线,设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船,在C 点处追上,若乙船行驶的速度是v,则甲船行驶的速度是3v,由于甲、乙两船到达C 点的时间相等,都为t,则BC ＝vt,AC ＝3vt.∠ABC ＝120°. 由余弦定理可知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos120°,即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋avt.所以2v 2t 2－avt －a 2＝0.解得t 1＝a v ,t 2＝－a 2v (舍去).所以BC ＝a,∠CAB ＝30°,θ＝30°. 即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶a 海里.11.在海岸A 处,发现北偏东45°方向,距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°的方向,距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船,设缉私船用t h 在D 处追上走私船,则有CD ＝103t,BD ＝10t,在△ABC 中,∵AB ＝3－1,AC ＝2,∠BAC ＝120°,∴由余弦定理,得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC ＝ 6.且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°.∴BC 与正北方向垂直.∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°,在△BCD 中,由正弦定理,得sin ∠BCD ＝BD·sin ∠CBD CD ＝10tsin120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船.12.某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD ＝BD ＝7米,BC ＝5米,AC ＝8米,∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度;(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少?(3＝1.732,2＝1.414)【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:(1)在△ABC 中,由余弦定理,得cosC ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.①在△ABD 中,由余弦定理,得cosD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D,得cosC ＝cosD.∴AB ＝7,∴AB 长为7米.(2)小李的设计建造费用较低,理由如下:S △ABD ＝12AB·BD·sinD,S △ABC ＝12AC·BC·sinC.∵AD·BD>AC·BC,∴S △ABD >S △ABC .故选择△ABC 建造环境标志费用较低.∵AD ＝BD ＝AB ＝7,∴△ABD 是等边三角形,∠D ＝60°.∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32.∴总造价为5 000×17.32＝86600(元).。

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