求随机变量函数的概率密度函数的教学方法
连续型随机变量函数的概率密度公式
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １５连续型随机变量函数的概率密度公式连续型随机变量函数的概率密度公式Һ张朕豪㊀（杭州电子科技大学，辽宁㊀抚顺㊀１１３００６）㊀㊀ʌ摘要ɔ通过分布函数与概率密度之间的关系，给出二维随机变量概率密度的一般公式，进一步推广出多维随机变量的一般公式，并通过例题辨析该通式与常规方法的优劣．ʌ关键词ɔ连续型随机变量；概率密度引言对于连续型二维随机变量的概率密度，教材中只给出了和㊁差㊁积㊁商四种特殊形式，而大部分情况下需要先求出分布函数ＦＺ（Ｚ），再对其求导得出概率密度函数，这一过程中往往会涉及二重积分以及积分区域的界定，运算量较大，为解决这一问题，本文中给出了一般通式，以便减少计算量．１㊀随机变量Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）概率密度的一般公式设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数为ｆ（ｘ，ｙ），随机变量Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）关于随机变量Ｘ在区间Ｘｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）内∂Ｚ∂Ｘʂ０，或关于随机变量Ｙ在区间Ｙｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）内∂Ｚ∂Ｙｉʂ０，则随机变量Ｚ的概率密度为：ｆＺ（ｚ）＝ðｎｉ＝１ʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘ，ｙｉ（ｘ，ｚ））∂ｙｉ∂ｚｄｘ或ｆＺ（ｚ）＝ðｎｉ＝１ʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘｉ（ｙ，ｚ），ｙ）∂ｘｉ∂ｚｄｙ，其中ｙ＝ｙｉ（ｘ，ｚ）为对应区间Ｘｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）上的反函数，ｘ＝ｘｉ（ｙ，ｚ）为对应区间Ｙｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）上的反函数．证明：令Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ），Ｕ＝Ｘ，{由雅可比行列式Ｊ＝∂（ｚ，ｕ）∂（ｘ，ｙ）＝∂ｚ∂ｘ∂ｚ∂ｙ１０＝－∂ｚ∂ｙʂ０（关于变量ｙ严格单调），根据反函数定理可知，对于变量ｙ在每个区间Ｙｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）均具有相应的反函数ｙ＝ｙｉ（ｘ，ｚ）．设ｎ个区间的集合Ｙｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）中有ｋ个区间使∂ｚ∂ｙｉ＜０，ｍ个区间使∂ｚ∂ｙｉ＞０，ｋ＋ｍ＝ｎ，则随机变量Ｚ的分布函数为：Ｆ（ｚ）＝Ｐ｛Ｚɤｚ｝＝Ｐ｛ɣｎｉ＝１（ｇ（Ｘ，Ｙ）ɤｚ，ＹɪＹｉ）｝＝ðｎｉ＝１Ｐ｛Ｘɤ＋ɕ，ｇ（Ｘ，Ｙ）ɤｚ，ＹɪＹｉ｝＝ðｋｋ＝１Ｐ｛Ｘɤ＋ɕ，Ｙȡｙｋ（ｘ，ｚ）｝＋ðｍｍ＝１Ｐ｛Ｘɤ＋ɕ，Ｙɤｙｍ（ｘ，ｚ）｝＝－ðｋｋ＝１ʏｙｋ（ｘ，ｚ）－ɕʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ[]ｄｙ㊀＋ðｍｍ＝１ʏｙｍ（ｘ，ｚ）－ɕʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ[]ｄｙ，对ｚ求导，减区间内∂ｙｋ∂ｚ＜０，增区间内∂ｙｍ∂ｚ＞０，ｆＺ（ｚ）＝Ｆᶄ（ｚ）＝ðｋｋ＝１ʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘ，ｙｋ（ｘ，ｚ））－∂ｙｋ∂ｚæèçöø÷ｄｘ＋㊀ðｍｍ＝１ʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘ，ｙｍ（ｘ，ｚ））∂ｙｍ∂ｚｄｘ＝ðｎｉ＝１ʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘ，ｙｉ（ｘ，ｚ））∂ｙｉ∂ｚｄｘ，（１）同理Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）关于随机变量Ｘ在区间Ｘｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）内∂Ｚ∂Ｘｉʂ０，ｆＺ（ｚ）＝ðｎｉ＝１ʏ＋ɕ－ɕｆ（ｘｉ（ｙ，ｚ），ｙ）∂ｘｉ∂ｚｄｙ．（２）２㊀推论２．１㊀在实际应用中，所给定的积分区域都是有所限定的，通常为Ｘ型㊁Ｙ型，所以上述（１）加强为：ｆＺ（ｚ）＝ðｎｉ＝１ʏＭｉｍｉｆ（ｘ，ｙｉ（ｘ，ｚ））∂ｙｉ∂ｚｄｘ，其中ｍｉ，Ｍｉ为关于ｚ的函数且由不等式组ｙɪＹｉ，ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ），ｎ（ｙ）＜ｘ＜ｍ（ｙ）{确定．同理，ｆＺ（ｚ）＝ðｎｉ＝１ʏＭｉｍｉｆ（ｘｉ（ｙ，ｚ），ｙ）∂ｘｉ∂ｚｄｙ，其中ｍｉ，Ｍｉ为关于ｚ的函数（只含ｚ）且由不等式组ｘɪＩｉ，ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ），ｎ（ｘ）＜ｙ＜ｍ（ｘ）{确定．为了更好地表示该结论，我们引入第二类曲线积分，积分路径Ｌ方向为：点（ｘ，ｙ）沿Ｌ运动时，使变量ｚ增加的方向，即ｆＺ（ｚ）＝ðｎｉ＝１ʏＭｉｍｉｆ（ｘ，ｙｉ（ｘ，ｚ））∂ｙｉ∂ｚｄｘ＝ðｎｉ＝１ʏｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｙ∂ｚｄｘ，ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）关于ｙ有ｎ个解ｙ＝ｙｉ（ｘ，ｚ）．同理，上述（２）加强为ｆＺ（ｚ）＝ðｎｉ＝１ʏＭｉｍｉｆ（ｘｉ（ｙ，ｚ），ｙ）∂ｘｉ∂ｚｄｙ＝ðｎｉ＝１ʏｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｘ∂ｚｄｙ，ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）关于ｘ有ｎ个解ｘ＝ｘｉ（ｙ，ｚ）．综上，Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）概率密度的一般形式为：. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １５ｆＺ（ｚ）＝ðｎｉ＝１ʏｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｙ∂ｚｄｘ，ｚɪｇｍｉｎ，ｇｍａｘ()，０，其他，{或（３）ｆＺ（ｚ）＝ðｎｉ＝１ʏｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｘ∂ｚｄｙ，ｚɪｇｍｉｎ，ｇｍａｘ()，０，其他．{２．２在上述结论（３）的基础上，引入第一类曲线积分，进一步简化结论．由∂ｙ∂ｚ＝１∂ｚ∂ｙ，一二类曲线积分之间转化ｄｓ＝１＋（ｙᶄｘ）２ｄｘ，ｙᶄｘ＝∂ｚ∂ｘ∂ｚ∂ｙ（由∂ｘ∂ｚ＝１∂ｚ∂ｘ，一二类曲线积分之间转化ｄｓ＝１＋（ｘᶄｙ）２ｄｙ，ｘᶄｙ＝∂ｚ∂ｙ∂ｚ∂ｘ），ｆＺ（ｚ）＝ʏｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｚ∂ｘ()２＋∂ｚ∂ｙ()２ｄｓ，ｚɪｇｍｉｎ，ｇｍａｘ()，０，其他．ìîíïïïï３㊀补充例题例１㊀设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度为ｆ（ｘ，ｙ）＝１２ｘｙ，０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜ｘ２，０，其他．{求Ｚ＝Ｘ２－Ｙ的概率密度．方法一㊀常规方法．ＦＺ（ｚ）＝Ｐ｛Ｚɤｚ｝＝Ｐ｛Ｘ２－Ｙɤｚ｝，当ｚ＜０时，ＦＺ（ｚ）＝０，当０ɤｚ＜１时，ＦＺ（ｚ）＝１－Ｐ｛ＹɤＸ２－ｚ｝＝１－ʏ１ｚｄｘʏｘ２－ｚ０１２ｘｙｄｙ＝ｚ３＋３ｚ－３ｚ２，当ｚȡ１时，ＦＺ（ｚ）＝１．ｆＺ（ｚ）＝３ｚ２－６ｚ＋３，０ɤｚ＜１，０，其他．{方法二㊀公式法．这里给出不同积分变量（ｄｘ或ｄｙ）的求解过程．①ｘ为积分变量，ｚ＝ｘ２－ｙ关于ｙ单调，Ｚ＝Ｘ２－Ｙ⇒Ｙ＝Ｘ２－Ｚ，０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜ｘ２，ｙ＝ｘ２－ｚ{⇒０ɤｚ＜１，０＜ｘ２－ｚ＜ｘ２{⇒ｚ＜ｘ＜１．ｆＺ（ｚ）＝ʏ１ｚｆ（ｘ，ｘ２－ｚ）（ｘ２－ｚ）ᶄｚｄｘ＝ʏ１ｚ１２ｘ（ｘ２－ｚ）ｄｘ＝３ｚ２＋３－６ｚ，ʑｆＺ（ｚ）＝３ｚ２－６ｚ＋３，０ɤｚ＜１，０，其他．{②ｙ为积分变量，ｚ＝ｘ２－ｙ关于ｘ不单调，理论上需要进行区间拆分．Ｚ＝Ｘ２－Ｙ⇒Ｘ２＝Ｙ＋Ｚ⇒Ｘ＝Ｚ＋Ｙ或Ｘ＝－Ｚ＋Ｙ（但该区间概率密度为０）．０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜ｘ２，ｘ＝ｚ＋ｙ{⇒０ɤｚ＜１，０＜ｙ＜１－ｚ．{ｆＺ（ｚ）＝ʏ１－ｚ０ｆ（ｚ＋ｙ，ｙ）（ｚ＋ｙ）ᶄｚｄｙ＝ʏ１－ｚ０１２ｙｚ＋ｙ１２ｚ＋ｙｄｙ＝３ｚ２－６ｚ＋３．ʑｆＺ（ｚ）＝３ｚ２－６ｚ＋３，０ɤｚ＜１，０，其他．{例２㊀求证：卡方分布的概率密度为ｆχ２（ｎ）（ｚ）＝０，ｚɤ０．１２ｎ２Γｎ２()ｚｎ２－１ｅ－ｚ２，ｚ＞０．ìîíïïïï解㊀当ｚɤ０时，ｆχ２（ｎ）（ｚ）＝０．当ｚ＞０时，当ｎ＝１时，ｆχ２（１）（ｚ）＝１２πｚｅ－ｚ２，结论成立；当ｎ＝ｋ－１时，ｆχ２（ｋ－１）（ｚ）＝１２ｋ－１２Γｋ－１２()ｚｋ－１２－１ｅ－ｚ２．令ðｋ－１ｉ＝１Ｘ２ｉ＝Ｘ，Ｘ２ｋ＝Ｙ，则当ｎ＝ｋ时，χ２（ｋ）＝Ｘ＋Ｙ，由独立性可知Ｘ，Ｙ的联合概率密度为ｆ（ｘ，ｙ）＝１２ｋ２Γ１２()Γｋ－１２()ｘｋ－１２－１ｙ－１２ｅ－ｘ＋ｙ２，由上述结论可得，ｆχ２（ｋ）（ｚ）＝ʏｚ０１２ｋ２Γ１２()Γｋ－１２()ｘｋ－１２－１（ｚ－ｘ）－１２ｅ－ｚ２ｄｘｘ＝ｚｔңｆχ２（ｋ）（ｚ）＝１２ｋ２Γｋ２()ｚｋ２－１ｅ－ｚ２，ｎ＝ｋ时，结论成立．故根据数学归纳法可知，对任意自然数ｎ结论均成立．４㊀结束语在计算二维随机变量Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的概率密度时，用公式法在一定程度上的确可以减少计算量，但在确定积分上下限时，需要求解一个含多个参数的不等式组，这个不等式组的解，直接影响着结果的正确与否，所以在选择积分变量时仍需要一定的思考．ʌ参考文献ɔ［１］盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８．［２］宋明娟，王悦姣．二维随机变量函数的概率密度公式［Ｊ］．黑龙江科技学院学报，２０１１（５）：４２２－４２４．. All Rights Reserved.。
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的一种重要概念，指的是某个随机事件所对应的数值。
二维连续型随机变量指的是有两个自变量的随机变量，每个自变量都属于某个连续区间。
这种随机变量的分布函数和概率的计算是概率论研究的一个重点。
对于一个二维连续型随机变量(X,Y)，其概率密度函数f(x,y)满足以下条件：1. 对于所有的实数(x,y)，f(x,y)>=0。
2. 对于任意两个实数a和b(a<b)，有P(a<X<=b)=∫[a,b]∫f(x,y)dxdy。
3. ∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)f(x,y)dxdy=1。
f(x,y)独立于自变量的选取，并且可以看做点(x,y)在随机平面上的高度函数，表示(x,y)点上的概率密度。
定义随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=P{X<=x,Y<=y}。
它满足以下条件：1. F(x,y)是一个单调不减的函数。
对于所有的x和y，有F(x,y)<=F(x+δx,y)<=F(x+δx,y+δy)<=F(x,y+δy)，其中δx和δy是任意正数。
2. F(x,y)是一个右连续的函数。
对于无穷小的正数h，有lim F(x+h,y)=F(x,y)。
3. F(x,y)的边界值为lim F(±∞,y)=lim F(x,±∞)=0，lim F(±∞,±∞)=1。
此外，二维连续型随机变量的分布函数F(x,y)的偏导数f(x,y)即为概率密度函数。
也就是说，f(x,y)=∂F(x,y)/∂x∂y。
概率计算是概率论中的一个核心问题，对于二维连续型随机变量而言，其概率计算可以通过积分的方式实现。
1. 概率的计算方法对于二维连续型随机变量(X,Y)，如果要计算它的概率P(X∈A,Y∈B)，其中A和B为某个区间或集合，可以通过以下公式进行计算：P(X∈A,Y∈B)=∬_{(x,y)∈D}f(x,y)dxdy，其中D为一表示A和B的笛卡尔积的二元区域，f(x,y)为随机变量(X,Y)的概率密度函数。
随机变量的概率密度函数计算方法
随机变量的概率密度函数计算方法随机变量是概率论与数理统计学中的一项非常重要的概念，其代表着任何实验的结果。
在实际应用中，我们往往需要计算随机变量的概率密度函数以便进一步进行统计推断。
所谓概率密度函数，就是指概率分布的密度函数，它可以描述随机变量取各个值的概率密度大小。
本文主要介绍概率密度函数的计算方法及应用。
一、基础知识在理解概率密度函数的计算方法之前，我们需要掌握一些基础知识。
首先，随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。
离散型随机变量是指只能取有限个或可列个数值的随机变量，而连续型随机变量是指可以取到某个区间内任何一个点的随机变量。
其次，我们需要了解概率密度函数的定义。
概率密度函数是指随机变量概率分布的密度函数，它可以表示某个区域内随机变量出现的可能性大小。
在连续型随机变量中，概率密度函数可以表示为$f(x)$，即$$P(a \leq X \leq b)=\int_a^b f(x) dx$$其中，$a$和$b$为随机变量的取值范围。
最后，我们需要掌握一些基础的计算公式。
例如，对于连续型随机变量，我们可以使用复合函数求导法则和导数的求解公式来求解概率密度函数。
二、概率密度函数的计算方法在计算概率密度函数时，我们需要考虑到不同的随机变量类型。
对于离散型随机变量，其概率密度函数可以使用离散型随机变量的概率分布函数计算。
而对于连续型随机变量，我们需要使用一些特殊的计算方法。
1. 微积分法微积分法是一种常见的计算概率密度函数的方法。
首先，我们可以通过求解概率分布函数来得到概率密度函数。
对于连续型随机变量，概率分布函数可以表示为$$F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$$其中，$f(x)$为概率密度函数。
根据导数的定义，我们可以得到概率密度函数的计算公式$$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$$这个公式表明，我们可以通过概率分布函数求导来得到概率密度函数。
例如，如果概率分布函数为$F(x)=\frac{1}{4}x^2+2x-3$，那么概率密度函数可以表示为$$f(x)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^2+2x-3)=\frac{1}{2}x+2$$2. 变量替换法变量替换法是指使用变量替换来计算概率密度函数。
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
第2章第4节 连续型随机变量及其概率密度(1)
第 1节 随机变量 第2节 离散型随机变量及其分布律 第3节 随机变量的分布函数第4节 连续型随机变量及其概率密度(1)第5节 随机变量的函数的分布北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可回顾：随机变量的分类随机变量离散型 非离散型连续型其它离散型随机变量：所取的可能值是有限多个或可列无限多个。
分布律：P{ X xk } pk , k 1, 2,北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可回顾：随机变量的分类随机变量离散型 非离散型连续型其它连续型随机变量：所取的可能值可以连续地充满某个区间。
对于这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那 样，以指定它取每个值概率的方式，去给出其概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式。
北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可定义对于随机变量X，如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数 x有x ,Fxxft dtPXx则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数， 简称为概率密度、密度函数（probability density function，常缩写为pdf）。
注记1：连续型随机变量的分布函数一定是R上的连续函数。
注记2：但分布函数在R上连续的随机变量不一定都是连续型的（课外阅读介绍的Cantor分布就是例子）。
北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可概率密度的性质1。
f (x) 0 非负可积函数F(-∞)=0，F(x)不减 2。
f (x)dx 1 F(+∞)=1【注】这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的f(x)概率密度的充要条件面积为1北京邮电大学x0仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可概率密度的性质1。
f (x) 0 2。
f (x)dx 1 3 对于任意实数 P{ x1 X x2 } x2 f ( x)dxx1， 利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可概率密度的性质1。
知道x求y概率密度的方法
知道x求y概率密度的方法
要求解一个随机变量X的概率密度函数，有以下几种方法：
1. 确定性函数法：如果已知随机变量X的分布函数F(x)，则可以通过求导得到概率密度函数f(x)。
即f(x) = dF(x)/dx。
2. 累积分布函数法：如果已知随机变量X的概率密度函数f(x)，则可以通过对其进行积分得到分布函数F(x)。
即F(x) = ∫f(t)dt，其中t为x的取值区间。
3. 逆变换法：如果已知随机变量Y是经过随机变量X的单调可逆变换得到的，且知道X的概率密度函数f(x)，则可以通过将X与Y联系起来求解Y的概率密度函数。
4. 特殊函数法：对于某些分布函数，可以使用特殊函数求解其概率密度函数。
例如，正态分布的概率密度函数可以使用高斯函数求解。
需要注意的是，以上方法适用于已知随机变量X的分布情况并且求解连续型随机变量的概率密度函数。
对于离散型随机变量，可以使用概率质量函数来描述其分布情况。
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3
概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第五节：随机变量的函数的分布
概率论
用
y X
y 代替 X y
2
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.
这是求r.v.的函数的分布的一种常用方法.
概率论 定理: 设 X是一个取值于区间 [a, b], 具有概率密度 f(x)的连续型随机变量, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意 x, 恒有 g'(x)>0 或恒有 g'(x)<0, 则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为：
y
f X ( x)
1
( x ) 2
2
2
概率论
2
1
e
,
x
yb fY ( y ) fX , a a
y
2
即：fY ( y )
1 a
1 2
yb a 2
2
e
dh( y ) , f X [h( y )] fY ( y ) dy 0,
a x b
y
其它
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b
x=h(y) 是 y=g(x) 的反函数 .
概率论 2x 2 0 x 例4: 设随机变量X的概率密度为: f X ( x ) 求 Y = sinX 的概率密度. 1 Y 1 0 其它 解: 当 0 x 时, 0 y 1 FY y P Y y
当 y 0时，FY ( y ) 0,
当 y 1时，FY ( y ) 1，
随机变量的概率密度函数计算方法
随机变量的概率密度函数计算方法随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的可能取值以及取值的概率。
在实际问题中，我们常常需要计算随机变量的概率密度函数，以便进行概率分析和统计推断。
本文将介绍几种常用的随机变量概率密度函数的计算方法。
一、离散型离散型随机变量的概率密度函数描述了随机变量取各个可能取值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率密度函数可以表示为P(X=x)，其中x为X的取值。
计算离散型随机变量的概率密度函数的方法通常有以下几种：1. 列举法：根据问题的具体情况，列出所有可能的取值及其对应的概率。
然后将每个取值的概率填入概率密度函数的相应位置即可。
例如，对于一个骰子的随机变量X，其可能取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6，则概率密度函数为P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，以此类推。
2. 概率分布函数法：对于离散型随机变量X，其概率分布函数F(x)定义为P(X≤x)。
利用概率分布函数可以计算出概率密度函数。
对于每个可能的取值x，计算P(X=x)等于F(x)减去F(x-1)。
例如，对于一个服从几何分布的随机变量X，其概率分布函数为F(x)=1-(1-p)^x，其中p为参数。
则概率密度函数为P(X=x)=F(x)-F(x-1)=(1-p)^x-(1-p)^(x-1)。
二、连续型连续型随机变量的概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度。
对于连续型随机变量X，其概率密度函数可以表示为f(x)，其中x为X的取值。
计算连续型随机变量的概率密度函数的方法通常有以下几种：1. 几何法：对于一些常见的连续型随机变量，可以利用几何图形的面积来计算概率密度函数。
例如，对于服从均匀分布的随机变量X，其概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中a和b分别为随机变量X的取值范围的下界和上界。
由于均匀分布的概率密度函数在取值范围内是常数，可以用矩形的面积来表示。
2. 密度函数的性质法：对于一些连续型随机变量，可以利用概率密度函数的性质来计算。
连续型随机变量及其概率密度函数
但要注意的是：密度函数 f (x)在某点处 a 的高度， 并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大， 则 X 取 a 附近的值的概 率就越大. 也可以说， 在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点 附近的程度.
f (x)
o
f ( x )x 在连续型
随机型变量理论中所 的作用与
x
P ( X xk ) pk
100
x 100
一般称:
若 X 具有概率密度:
1 x e f ( x ) 0
x0 x0
0
则 称 X 为服从参数 的 指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数 定义: 若定义在 (, ) 上的可积函数 f ( x ) 满足： (1). f ( x ) 0
x 2a
]
x 0
1 e
x 2a
0 综合上述得: F ( x ) x2 2a 1 e
x0 x0
1 2a
(2). P (0 X 1) F (1) F (0) 1 e
概率统计
例5. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x)
求 : F(x) 解: 当
x
f ( x )dx
当 x 0 时 f ( x) 0
F ( x ) 0 dx 0
x
概率统计
x 当 x 0 时 f ( x) e a x2 0 x x F ( x ) 0 dx e 2a dx 0 a 2 2
x2 2a
[ e
2 1 x2 , 1 x 1 f ( x ) 0, 其它
第二版 工程数学-概率统计简明教程-第六章 随机变量的函数及其分布
-2X 2 0 -2
-4 -5
pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
-2X 2 0 -2 -4 -5
X －1 0 1
2 2.5
pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)
X2 1 0
1
4 9/4
pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
X2
0
1
pk 0.1 0.3
4 9/4 0.3 0.3
fX x
1
x2
e2
2
fY y
1
y2
e2
2
且X与Y 独立
f x, y
fX x
fY
y
1
x2 y2
e2
2
y
FZ z P Z z P X Y z
f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z}
一般方法
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
FY ( y) 根据分布函数的定义 P(Y y) P(g( X ) y)
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
P( X )
fY ( y) FY( y)
解不等式转化 为求关于X的概率
例2 设X的概率密度函数
f
X
x
x 2
,
0 x2
0, 其它
求随机变量Y＝3X＋2的概率密度函数。
第一步: 先求Y= 3X＋2的分布函数 FY (y).
解
FY y
PY y P3X 2 y
y2
P
f(x)的密度函数
f(x)的密度函数f(x)是随机变量在数轴上的密度函数，通常用数学公式的形式来表示。
在统计学中，密度函数被看作是描述随机变量概率分布的基本工具之一。
本文将介绍f(x)的密度函数的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。
1. 密度函数的定义密度函数的定义是一个随机变量在某个取值点x处的概率密度，它表示该随机变量在x处发生的概率，通常用f(x)来表示。
为了直观地理解密度函数，我们可以将其比作是一个质点在数轴上的分布情况，即在每个取值点上的密度值越大，则该点被取到的概率越大。
2. 密度函数的性质密度函数f(x)是对随机变量概率分布的一种描述，因此它必须满足一些性质：（1）f(x)必须始终非负，即对于任何x，f(x) ≥ 0。
（2）所有概率的和必须等于1，即∫f(x)dx = 1。
（3）若f(x)在x处存在，则f(x)必须是连续的函数。
（4）若f(x)在某个区间上积分，能够得到这个区间上的概率值，则可得到这个区间的概率。
3. 密度函数的举例为了更好地理解密度函数的概念，下列列举一些实际应用中常见的例子：（1）二项分布二项分布是离散型概率分布，经常用来描述在n次对独立的“成功/失败”实验中，成功（或失败）发生的次数的概率。
在二项分布中，如果每次试验成功的概率p是已知的，则k次成功的概率是由二项式系数确定的，即f(x)={C(n,x)p^x(1-p)^(n-x), 0 <= x <= n;0, x > n}（2）正态分布正态分布是连续型概率分布，也称为高斯分布，常用于描述连续性随机变量的分布情况。
在正态分布中，密度函数f(x)的图形呈现出一个钟形曲线，其均值μ描述了分布的中心位置，标准差σ则反映了分布的离散程度。
即f(x)=(1/2πσ^2)^(1/2)*e^((-1/2)*(x-μ)^2/σ^2)（3）泊松分布泊松分布是一种离散型概率分布，通常用来描述在一个固定时间或空间范围内，某一事件发生的次数的概率。
关于求解二维连续型随机变量函数Z=X+Y的概率密度函数的解法探析
科学技术创新2019.28关于求解二维连续型随机变量函数Z=X+Y 的概率密度函数的解法探析陈蕾蕾（四川邮电职业技术学院，四川成都610067）1二维连续型随机变量函数的分布若随机变量Z=g(X,Y)是二维连续型随机变量(X,Y)的实函数，要用(X,Y)的概率分布表达随机变量Z 的概率密度.具体求解步骤我们可以归纳为：设(X,Y)的概率密度函数为，的分布函数为，对任意实数1.1先求Z 的分布函数===（其中是的概率密度函数，z 是任意实数，D 为平面上由所定的区域，即是1.2求Z 的概率密度函数2二维连续型随机变量函数Z=X+Y 的概率密度函数的解法探析由上面的步骤我们可以得到一种比较常规的解题方法：设(X,Y)的概率密度函数为，对任意实数，的分布函数为，（1）其中是直线左下方半平面。
将（1）的二重积分按先对x 后对y 的积分化为累次积分，则，固定z 和y ，对方括号内的积分作变量代换，令x=u-y ，得，由概率密度函数与分布函数的关系，两边对z 求导（假设求导和积分次序可交换），便得到Z 的概率密度函数为（2）同理，将（1）的二重积分按先对y 后对x 的积分化为累次积分，则（3）特别地，设(X,Y)关于X,Y 的边缘密度函数分别为，，若X,Y 相互独立，则因有=，则（2）式和（3）式还可写成（4）（5）【例题】若随机变量X,Y 相互独立，其概率密度函数分别为求随机变量的概率密度函数。
【解法一】由公式（5）可知，仅当即时，上述积分的被积分函数不等于零。
则需要分段讨论：当时（见a 图），有；当时（见b 图），即，有=；当时（见c 图），从而【解法二】利用分布函数与概率密度函数的关系，先求分布函数，再求。
当时（见a 图），=0当时（见b 图），摘要：本文结合概率论的相关理论知识，主要探讨二维连续型随机变量函数Z=X+Y 的概率密度函数的求解方法，加深学生对这一问题的理解，拓宽解决问题的渠道，从而更加熟练地应用多种求解方法通过不同路径达到目的。
概率密度函数的值
概率密度函数的值是概率统计学中一个重要的概念。
它描述了某一随机变量在某一区间内的概率密度分布情况。
在实际问题中，我们需要掌握，以便用于解决概率统计学中的各种问题。
一、概念概率密度函数是指在一定范围内，某一随机变量取某个值的概率密度分布函数。
它反映了连续型随机变量在某一区间内取值的概率密度分布情况。
表示了某一点周围概率密度的大小，一般用f(x)表示。
在一般的情况下，概率密度函数f(x)满足以下三个条件：1. f(x)≥0，即必须为非负数；2. ∫f(x)dx=1，即概率密度函数在横坐标范围内的积分值为1；3. 对于任意区间(a,b)，概率P(a≤X≤b)可以表示为∫a^bf(x)dx。
二、含义概率密度函数f(x)的值表示了随机变量在某一点x附近的概率密度大小。
当f(x)的值很大时，表示该点附近的取值概率很大。
当f(x)的值很小时，表示该点附近的取值概率很小。
当f(x)的值为0时，表示在这一点附近的取值的概率为0。
例如，对于正态分布的概率密度函数，峰值处的f(x)最大，表示在这一点附近的取值概率最大，而随着x的逐渐偏离峰值点，f(x)的值逐渐变小，表示在这一点附近的取值概率逐渐变小。
三、计算方法对于概率密度函数的计算，一般可以使用微积分的方法求出。
例如，对于连续型随机变量X的概率密度函数f(x)，它的概率密度分布情况可以表示为：P(a≤X≤b)=∫a^bf(x)dx如果要求在某一点x处的，可以使用导数的方法求出。
即：f(x)=dF(x)/dx其中F(x)是概率函数，表示随机变量在取值小于等于x时的概率。
四、应用在实际问题中，有着广泛的应用。
例如，对于连续型随机变量的期望、方差、偏度等重要的统计量的计算都需要使用。
此外，在机器学习、数据挖掘和人工智能等领域，也有着重要的应用。
总之，对于掌握概率统计学知识的人来说，掌握是非常重要的一项知识。
只有了解了概率密度函数的定义、含义、计算方法和应用，才能更好地应用到实际问题解决中。
一微连续型随机变量的函数的概率密度的简便求法
一微连续型随机变量的函数的概率密度的简便求法
张改英;赵东涛;张辉;张养利
【期刊名称】《医学争鸣》
【年(卷),期】2001(0)S1
【总页数】2页(P147-148)
【关键词】连续型随机变量;单调;概率密度
【作者】张改英;赵东涛;张辉;张养利
【作者单位】第四军医大学生物医学工程系数学教研室
【正文语种】中文
【中图分类】O211.5
【相关文献】
1.连续型随机变量函数的通用求法—分布函数法 [J], 陈宝薇;常丹
2.连续型二维随机变量线性函数和的概率密度的简单求法 [J], 周永卫;范贺花
3.关于求解二维连续型随机变量函数Z=X+Y的概率密度函数的解法探析 [J], 陈蕾蕾
4.关于求解二维连续型随机变量函数Z=X+Y的概率密度函数的解法探析 [J], 陈蕾蕾
5.关于连续型随机变量函数概率密度的一个注记 [J], 曾小林
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浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方法
摘要：针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一，在借鉴前人研究成果的基础上，提出求概率密度的四步教学法。
概率论与数理统计是一门很有特色的数学分支，无论是综合类大学还是高职、高专院校，都将它作为一门必修课。
在大学《概率论与数理统计》中，随机变量函数是一个重点也是一个难点，尤其是连续性随机变量函数的概率密度，教材中只是一般给出两种方法：一种是先求其分布函数，然后对分布函数求导，来得概率密度函数；二是教材中的定理1[1] 关键字： 随机变量函数 概率密度 一、
定义1：如果存在一个函数()g x ，使得随机变量,X Y 满足()Y g X = 则称随机
变量Y 是随机变量X 的函数，那么随机变量Y 的概率密度函数称为随机变量函数的概率密度函数。
二、 （经典公式法）定理1：设随机变量X 具有概率密度
(),X f x x R
∈，又设
()y g x =出处可导且恒有
()()''0(0)
g x g x ><或则
()
Y g X =是一个连续性随
机变量，其概率密度函数
()()()11'
,0,X Y f g y g y y f y αβ--⎧⎡⎤<<⎪⎣⎦=⎨⎪⎩
其他 （1.1）
该定理中给出的求解方法要求函数()y g x =必须是一对一的单射。
然而，在我们实际教学中，学生经常会遇到这样的问题：设随机变量X 的概率密度函数为
()X f x 求随机变量函数2
12Y X ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的概率密度函数。
显然在这情况下，使用定
理1的求法是不满足其使用条件的。
定理2 [2][3]设连续型随机变量X 的概率密度函数(),
()0,
f x a x b
p x ⎧<<=⎨
⎩其他
()y g x =为区间[],a b 上连续的函数，若每一个y 对应唯一x 的表达式记为
123(),
(),
()()n h y h y h y h y ，
且均连续可导，对应的定义域
记作：123,,n I I I I ，
则随机变量函数()Y g X =的概率密度函数为
[]()
'
1
()(),
1,2,3()0n X i i i i Y f h y h y y I i n f y =⎧∈=⎪=⎨⎪⎩
∑，其他
该方法基于熟悉的公式法，拓宽了求解连续性随机变量函数的概率密度的方法，弥补了定理1，中的缺陷，解除了初学者使用时的困惑。
针对三本院校学生基础知识薄弱，我们在教学中在严格遵守教学规律的同时，坚持以用为本，淡化概念定理的推到证明。
从而融合定理1、定理2的思想方法归纳总结出以下结论 三、求概率密度函数的四步法： （1）反解()y g x =得
11()x h y =，()11,y a b ∈,22()x h y =,()12,y a b ∈ ,
()(),,n n n n x h y y a b =∈
（2）使用数轴以i a ，i b 1,2,3
i n =为端点将(),i i a b 1,2,3
i n =分割成互不重合
的子区间
()()()()()()()()()1
1
2
2
,,,,,m
m
a b a b a b m n ≥
（3）确定每个区间()()(),j
j
a b 上的()i h y 1,2,j
i n =并求出该区间上概率密度函数
()'1
()(),1,2,3
j
n Yj X i i i f f h y h y j m ===∑
（4）确定概率密度函数()()()
()()()11
122
2
(),,(),
,(),0,
Y Y Y f y a b f y a b f y ⎧⎪⎪⎪
=⎨⎪⎪⎪⎩其他
四、举例
例1 设
(),
0480,
X x x X
f x ⎧<<⎪=⎨
⎪⎩其他
，求28Y X =+的概率密度
解：（1）由28Y X =+反解得8
2
Y X -=
， 当04x <<时，8
<（2）分割区间
（3）该区间上'
1188()=822Y y y f y --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，816y <<
（4）概率密度函数
()8
,81632
0,Y y y f y -⎧<<⎪
=⎨⎪⎩其他
例2
设随机变量X 的概率密度函数为2,
01()0,
x x p x <<⎧=⎨
⎩其他
求2
13Y X ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的概率密度函数。
解：（1）由2
13y x ⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭
得1
1()3
h y =+， 14=09I ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，
21()3h y =， 21=09I ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 10,9y ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
（2
（3）当10,9y ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭ 时 ''
11122()(())()(())()Y X X f y f h y h y f h y h y =+
整理得1()Y f y =
，10,9y ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
当14,99y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，'
211
()(())()Y X f y f h y h y == （4）
''
1122'111(())()(())(),0914()(())(),
990,X X Y X f h y h y f h y h y y f y f h y h y y ⎧+<<
⎪⎪⎪
=<<⎨⎪
⎪⎪⎩
其他 整理得109
14()1990,Y y f y y ⎧<<
⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪⎪⎩
其他
例3、设连续性随机变量X 的概率密度函数为()f x ，分布函数为()F x ，求随机变量=Y X 的概率密度
解：（1）反解y x =，1()h y y =，0y >；2()-h y y =，0y > （2）分割区间
（1） 当0y >时，
()()()()
''11122()()()()()
Y X X f y f h y h y f h y h y f y f y =+=+-
（2） 概率密度函数为 ()(),0
()0,
Y f y f y y f y ⎧+->=⎨⎩其他
五、小结：本文在熟悉教材基本公式的情况下，将连续性随机变量函数的概
率密度求法做了推广和总结，通过融合两个定理的核心思想，提出求解概率密度的四步教学法。
在基本理论的前提下采用数形结合借助图形直观形象的特点给出具体操作步骤。
对于数学基础薄弱抽象思维匮乏的学生极大地降低了学习这部分知识的难度。
同时，该方法也适合于将该门课作为基础理论课，以用为目的的院校。
参考文献：[1] 吴赣昌. 概率论与数理统计（经管类.简明版）[M].第四版. 北京：中国
人民大学出版社,2011年
[2] 程开敏.连续性随机变量函数[J].高等数学研究,2017年7月
[3] 顾玉娣.求连续性随机变量函数的概率密度[J].上海师范大学学报，2002年6月
[4]叶林.概率密度函数的引入[J].内蒙古教育学院学报，1998年12月。