函数的定义域与求法讲解

函数

一、函数的定义域及求法

1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；

2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；

3、正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k ∈Z ；

4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；

5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；

6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．

[例题]：

1、求下列函数的定义域

3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]

当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为R；

当m≠0时，则 mx2-4mx+m+3＞0，

①m＜0时，显然原函数定义域不为R；

②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，

所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R．

4、求函数y=log

x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．

2

[解析]：［求原函数的值域］

由题意可知，即求原函数的值域，

∵x≥4,∴log

x≥2∴y≥3

2

x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．所以函数y=log

2

x)的定义域．

5、函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log

2

[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21→ f(x)定义域为[1/2，2]

x≤2→ √￣2≤x≤4．

→ 1/2≤log

2

所以f(log

x)的定义域是[√￣2,4]．

2

二、函数的值域及求法

1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；

2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，

y≤-△/4a ；

3、反比例函数的值域：y≠0 ；

4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；

5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；

6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用

求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．

[例题]：：求下列函数的值域

[解析]：

1、[利用求反函数的定义域求值域]

先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x≠2，

由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2} 2、[利用反比例函数的值域不等于0]

由题意可得，

因此，原函数的值域为[1/2,+∞)

4、[利用分离变量法和换元法]

设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1) → t=(y+1)/(y-1) ＞０

∴y>1或y<-1

5、[利用零点讨论法]

由题意可知函数有3个零点-3，1，2，

①当x<-3 时，

y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x ∴y>9

②当-3≤x<1 时，

y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 ∴5

③当1≤x<2 时，

y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 ∴5≤y<6

④当x ≥2时，

y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x ∴y≥6

综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞)

6、[利用函数的有界性]

三、函数的单调性及应用

1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，

2、单调性的判定：作差f(x

1)-f(x

2

)判定；根据函数图象判定；

3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数．

[例题]：

(4+3x-x2)的单调递增区间．

2、设a＞0且a≠1，试求函数y=log

a

[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]

由题意可得原函数的定义域是（－１，４），

设u=4+3x-x2，其对称轴是 x=3/2 ，

所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间

[3/2 ，4）上单调递减．

①a＞１时，y=log

u 在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑ ，

a

(4+3x-x2) 得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2 ]，即为函数y=log

a

的单调递增区间．

u 在其定义域内为减函数，由

②０＜a＜１时，y=log

a

x↑→u↓→y↑ ，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2 ，4），即为函(4+3x-x2)的单调递增区间．

数y=log

a

(2-ax) 在[0，1]上是x 的减函数，求a的取值范围。

3、已知y=log

a

[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]

由题意可知，a＞０．设u＝g(x)=2－ax，则g(x)在［０，１］上是减函数，且x=１时，

g(x)有最小值u

=2-a ．

min

=2-a＞０则可，得a 又因为u＝g(x)＝2－ax＞０，所以，只要 u

min

＜２．

(2-ax) 在[0，1]上是x 减函数，u＝g(x)在［０，１］上又y=log

a

是减函数，

u是增函数，故a＞１．

即x↑→u↓→y↓ ，所以y=log

a

综上所述，得１＜a＜2．

４、已知f(x)的定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足

f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式f(x)+f(x-2)<3 ．

［解析］：［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］

由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，