解题中的一种思维方法—— 微元法汇总

解题中的一种思维方法——微元法

上海市曹杨中学（200333）钭方健

“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。高中物理中的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的，还有单摆的周期公式的推导，也用到了这种方法。从数学上讲，是一种微分的思想方法，但在高三物理总复习中，用“微元法”来解有些问题，简捷明了是一种普适的好办法。下面从三方面，谈谈“微元法”在解题中的应用。

一、合理“取样”，从局部求整体

当物体各部分的运动情况相同时，取其中一小部分作为研究对象，是利用“微元法”解题的一种思维方法。

[例1] 一质量均匀分布的细圆环，半径为R，质量为m，设该环均匀地带正电，总带电量为Ｑ，现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，匀强磁场的磁感强度为Ｂ，方向竖直向下。当此环绕通过其中心的竖直轴以ω的角速度顺时针方向匀速旋转时，环中的张力等于多少？（电苛间的作用力忽略不计）

分析与解：如图1，取环上微小的一段圆弧，质量为m。

，

设其张角为2θ，由于环旋转，那么电苛随环运动形成电流，

小圆弧因而受到磁场对它的安培力

安

F，方向沿半径向外。又小

圆弧做匀速圆周运动，必须有向心力。所以环中必定存在张力

T，小圆弧所受张力T在沿半径方向的分力和安培力的合力，

提供了小圆弧运动的向心力。得到：

R

m

F

T2

s i n

2ω

θ=

-

安

①

R

Q

B

BIL

Fθ

ω

π

2

2

=

=

安

②图1

R

R

m

mθ

π

2

2

=③

由以上三式,并且当θ很小时，sinθ≈θ求得：

π

ω

ω

2

2BR

Q

R

m

T

+

=

二、“化变为恒”、“化曲为直”求瞬时速度

[例2] 如图2a，以不变的速率v通过绳拉河中的小船，当绳与水平方向成θ角时，求小船的瞬时速度。

图2a

图2b

分析与解：如图2b 所示，当绳与水平成θ角时，小船处在A 点。现经一段很短的时间

△t(△t →0)，小船被绳由A 拉至B 。期间绳的长度变化△S ＝S-S'，则t

s

v ∆∆=。而在这段时间

内，由于AO 与 BO 间的夹角很小，故小船的位移可作下列近似计算，θ

cos s

s ∆≈∆船。由

于在极短的时间内，船的运动是匀速直线运动，所以船在A 处的瞬时速度无限接近△t 内的平均速度。

由以上分析可知，小船在A 处的瞬时速度为

θθcos cos 1lim 0v

t s v t =⋅∆∆=→∆船

[例3]三个物体A 、B 、C ，用绳连接挂在两个定滑轮上，A 、B 质量相等且整个装置左右对称，设某一瞬间A 、B 的下降速度为()v v v v v B A B A ==和，在这一瞬间绳OD 、OE 间的夹角为2α,求此时刻物体C 的上升速度。

分析与解：图3，实线代表某一时刻绳与物体所在的位置，虚线代表经极短时间后绳物体的位置。'OO 是物体C 在极短时间内的位移，以E 的圆心，以E O '为半径，在OE 上截取EF=E O '，OF 就是物体A 在极短时间内的位移，F O '本来是圆弧，但β→0，F O '可

以看成是直线，并且垂直OE ，这样'OO =θ

cos OF

，又因为在极短的时

间内物体C 可以是匀速直线运动，即： 图3

α

αcos cos lim 0A OF t c v

t s v =∆∆=→∆

从上面的计算知道，只要用“微量法”，“化变为恒”、“化曲为直”作出一个直角三角形，就可以直接求出物体的瞬时速度。

[例4]如图4a ，长为Ｌ的直棒一端可绕固定轴Ｏ转动，另一端Ａ搁在升降平台上，平台以速度Ｖ匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为多少？

图4a 图4b

如图4b ，用“微量法”作出直角三角形'ACA ，即得：α

sin V

V =棒

三、找“联系点”、“联系物”求相关速度

[例5]如图5a ，一轻质细杆长为L ，一端可绕固定轴O 转动，另一端系一小球A ，一物块高为h 卡在水平面与细杆之间，此时OA 杆与水平面成θ角，物块向右的速度为v B ，求A 球此时的速度大小。

分析与解：杆与物块的接触点是v B 与v A 的“联系点”

，我们可以假设接触点处有一小滑

环C 固定在物块上。如图5b,当OA 杆绕O 轴转动一个很小的角度到达OA ’，可以看出环C 是既绕O 轴的转动又沿杆子滑动，最后到达B 点，因为转动的角度很小，可以认为CC ’垂直OA ’，从直角三角形B CC '得到，V C =V B sin θ。

ωθ==l

v

h v A C sin 故 h

lv v B A θ

2sin =

图5a 图5b

[例6] 如图6直棒AB 两端分别靠在竖直墙和水平地面上，接触处均光滑，当直棒滑到与水平面成θ角时，Ａ点向下移时动的速度为υ ，则此时Ｂ点的移动速度为多少？

分析与解：要求出V B 这里的“联系物”是棒，根据微量法作出直角三角形C AA '和D BB '，分别得到如下两式：

sin θ= V 棒／v ① cos θ= V 棒／V B ②

故 V B = v tg θ

图6

例7、如图7，A 、B 两物体用绳相连，在水平面上运动，当物体A 的速度为υ，则物体B 的速度V B =？

分析与解：明显这里的“联系物”是绳子，由直角三角形D BB C AA ''和，得到如下两式： cos α = V 绳／V B ①

con β = V 绳／υ ②

故 V B =υcon β／cos α

图7

从以上几个例子看出,如果有几个物体连接在一起，先求出“联系点”或“联系物”的速度，再用微量法，作出直角三角形，求出要求的瞬时速度。

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