解题中的一种思维方法—— 微元法汇总
物理解题方法6微元法
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二、其它类的“微元”模型（范例）
[例6]如图所示，S为一点光源。M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置。SO是一条垂直照射到M上的光线，已知SO=L，若M以角速度绕O点逆时针匀速转动，则转过30o角时光点S’在屏上移动的瞬时速率v=___________。
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[例7]如图所示，质量为m的均匀闭合绳圈套在表面光滑,半顶角为α的圆锥上,当绳圈平衡时,绳中的张力是多大?
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[例5]右图为阴极射线管示意图。由阴极K产生的热电子（初速为0）经电压U加速后，打在阳极A板上。若A板附近单位体积内的电子数为N，电子打到A板上即被吸收。求电子打击A板过程中，A板所受的压强。
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3、“柱体微元”模型在98年高考17题中的应用
[题目]来自质子源的质子（初速为0），经一加速电压为800Kv的直线加速器加速,形成电流强度为1mA的细柱形质子流。已知质子电量e=1.6×10-19C。这束质子流每秒打到靶上的质子数为——————————。假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距L和4L的两处,各取一段极短的相等长度的质子流,其中的质子数分别为n1和n2，则n1：n2=——————————。
1、“质量柱体模型”---------------△m=ρsv△t [例1]某地强风的风速为v,设空气的密度为ρ,如果将通过横截面积为s的风的动能全部转化为电能,则其电功率多大?
第九讲 微 元 法
第九讲 微 元 法在物理分析方法中有一种从数学中移植过来的方法叫微元法．微元法是把研究对象分割成无限多个无限小的部分，或把物理过程分解成为无限多个无限短的过程，抽取其中一个微小部分或极短过程加以研究的方法．利用微元法，可以将非理想模型转化为理想模型，将曲面转化为平面，将一般曲线转化为圆甚至直线，将非线性变量转化为线性变量甚至恒量，从而将复杂问题转化为简单问题：如一般变速运动转化为匀变速运动甚至匀速运动，动力学问题转化为静力学问题，等等．这样，不仅可以使问题的分析和解答变得极为简捷，使常规方法难以解决的问题迎刃而解，微元法的要点就是正确选取“微元”．这些“微元”是任意的，又是具有代表性的．物体整体的共性存在于微元的个性之中，通过对微元的研究，我们能够得出事物整体的普遍性的规律．常选取的微元有长度元△l 、角度元△θ、面积元△S 、体积元△V 、质量元△m 、电荷元△q 、时间元△t ．微元法是一种科学的抽象思维方法，也是一种数学技巧，它有助于培养微观的洞察力和宏观的驾驭力．1)．研究对象的分割研究物理问题时，将某个宏观的研究对象进行无限分割，取某个微元作为研究对象，找出微元所具有的物理特征或遵循的物理规律，列出对应的方程进行求解．在分割研究对象时，常选用线度元、角度元、面积元(矩形、环形、扇形)、体积元、电荷元2)．物理过程的分割研究物理问题时，将某个宏观的物理过程进行无限分割，取其中任一个微小的变化过程作研究过程，找出微小变化过程所对应的物理规律，列式求解．常用的取微元的方法是取时间元△t 或空间元△l 、△S 、△V 等．1．有一台风力发电机，进风口和风轮旋转时形成的截面积均为S ，进风口风的速度为v ，出风口的截面积为进口风截面积的4倍，如果风损失的动能完全转化为电能，则这台风力发电机输出的电功率为多少？已知空气的密度为ρ。
（3215ρSv 3）2．河水对横停在其中的大船侧弦能激起2m 高的浪，试估算将要建造的拦河大坝单位面积上所受河水的冲击力为多大？（g 取 10 m/s 2）（4. ×104 N/m 2）3．加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面之间的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度为多大？（g tan θ）4．一宇宙飞船以速度v 进入空间分布密度为ρ的尘埃中，如果飞船垂直于运动方向上的最大截面积为S ，且认为尘埃与飞船碰撞后都附着在飞船上，则飞船受到的尘埃的平均制动力为多大？（ρSv 2）5．一螺旋形管道内径均匀，壁光滑，螺距均为d = 0.1m ，共有五圈．螺旋横截面的半径R =0.2m ，管道半径比管道内径大得多．一小球自管道A 端从静止开始下滑，求它到达管道B 端时的速度大小和所用的时间（取g = 10m/s 2）．（10m/s ，3.97s ）6．喷水池喷出的竖直向上的水柱高度H = 5m 。
【高考专题】微元法
【高考专题】微元法【定义】“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。
部分情况说明：变力做功（如：弹簧弹力做功）、变速导线切割磁感线的安培力做功、非规则运动求解位移…（利用图像分析过程与积分）【作用】（1）变力做功——>恒力做功：—>0t ∆，这个极短时间内，变力F 可以看作恒力 2211()22k F s E m v v mv mv v ∆=∆=+∆-=∆（忽略高阶无穷小） 电磁感应中：v RL B BIL F 22==，变力做功，用微元法 （2）变力冲量——>恒力冲量()F t I m v v mv m v ∆=∆=+∆-=∆0vv v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑=∆0v v （3）变加速运动——>匀加速运动 —>v=F v F a t m t m∆==∆∆∆；x t v ∆=∆ （4）“化曲为直”（5）“化整为零”【解题步骤】整体→微元→整体例：以一定初速度在光滑水平平行导轨上运动的金属棒，组成闭合回路电阻R ，导轨间距L ，磁感应强度竖直向上，垂直导轨平面，大小B ，最终运动距离S ，金属棒质量m ，求初速度。
一、从整体出发，分析整个过程取一个整体过程作为对象：运动2m 这个过程，二、微元（取整体中非常小的一部分处理）（1）确定研究对象（金属棒）（2）取“微元”（Δs ）①几何体微元；②物理微元：线速度微元、角速度微元、面积微元、质量微元，时间微元，位移微元，做功微元，电流微元等运动学：一般取时间微元（△t ）、位移微元（△S ）（3）对“微元进行处理”（动能定理/动量定理）1）列关系式①数学方法：微分、积分、数列等②物理方法：牛顿运动定律、动能定理、动量定理…2）化简①消元，化简1）中的关系式222222111111()222222F s m v v mv mv mv v m v mv mv v m v ∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆ ②省掉高阶无穷小量：即两阶以上无穷小，如2v ∆，t v ∆∆等F s mv v ∆=∆（其中的高阶无穷小212m v ∆省掉）三、回归到整体选取整个过程作为对象，对上一步微元中的等式两边求和。
解题方法专题——微元法讲义
微元法本专题主要讲解利用微元法解决动力学问题、变力做功问题、电场和电磁感应等问题，主要分为时间微元和位移微元两大类。
微元法在近几年高考中考查频率较高，出现了分值高、难度较大的计算题。
微元法是一种非常有效的解题方法，将研究对象或研究过程分解为众多细小的“微元”，分析这些“微元”，进行必要的数学推理或物理思想处理，能够有效的简化复杂的物理问题。
考查学生的分析推理能力，应用数学方法解决物理问题能力。
时间微元（2022•北京模拟）微元思想是中学物理中的重要思想。
所谓微元思想，是将研究对象或者物理过程分割成无限多个无限小的部分，先取出其中任意部分进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。
如图所示，两根平行的金属导轨MN和PQ放在水平面上，左端连接阻值为R的电阻。
导轨间距为L，电阻不计。
导轨处在竖直向上的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为B。
一根质量为m、阻值为r的金属棒放置在水平导轨上。
现给金属棒一个瞬时冲量，使其获得一个水平向右的初速度v0后沿导轨运动。
设金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，不计一切摩擦。
求：（1）金属棒的速度为v时受到的安培力是多大？（2）金属棒向右运动的最大距离是多少？关键信息：金属棒水平向右沿导轨运动→产生的感应电动势E＝BLv，回路中感应电流的方向为顺时针，金属棒所受安培力方向水平向左不计一切摩擦→对金属棒受力分析，金属棒所受合力等于安培力解题思路：根据法拉第电磁感应定律结合安培力的计算公式求解金属棒所受的安培力。
金属棒水平向右运动过程中，从时间微元的角度，划分为无数小段，每一小段的速度可看成几乎不变，速度在时间上的累积为位移，应用牛顿第二定律或动量定理列方程，求解金属棒向右运动的距离。
（1）金属棒在磁场中的速度为v 时，电路中的感应电动势：E ＝BLv 电路中的电流：I ＝ER r+ 金属棒所受的安培力：F 安＝BIL得：F 安＝22B L vR r+（2）对金属棒受力分析，由牛顿第二定律得：22B L vR r -+＝ma设经过一段极短的时间Δt ，a ＝vt∆∆，则22B L v t R r ∆-+＝m Δv ，对时间累积：∑－22B L v tR r∆+＝∑m Δv ，由－22B L v t R r ∑∆+＝m ∑Δv 得：－22B L x R r +＝－mv 0解得：x ＝022()mv R r B L+取水平向右为正方向，金属棒从速度为v 0至停下来的过程中，由动量定理：I 安＝0－mv 0将整个运动过程划分成很多小段，可认为每个小段中的速度几乎不变，设每小段的时间为∆t i ，则安培力的冲量I 安＝－22B L R r +v 1·∆t 1＋(－22B L R r +v 2·∆t 2)＋(－22B L R r+v 3·∆t 3)＋…I 安＝－22B L R r +(v 1·∆t 1＋v 2·∆t 2＋v 3·∆t 3＋…)I 安＝－22B L R r+x解得：x ＝022()mv R r B L+。
第22讲 微元法
补差专用资料 ：微元思想在解题中的应用（1）- 1 -高中物理解题方法----微元法一、什么是微元法：在所研究是物理问题中，往往是针对研究对象经历某一过程或处于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此对象的物理量可能是不变的，而更多则可能是变化的。
对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是把全过程分割成很多短暂的小过程或把研究对象整体分解为很多的微小局部的研究而归纳出适用于全过程或整体的结论。
这些微小的过程或微小的局部常被称为“微元”，此法也被称为：“微元法”。
二、对微元的理解：简单地说，微元就是时间、空间或其它物理量上的无穷小量，（注：在数学上我们把极限为“零”的物理量，叫着无穷小量）。
当某一连续变化的事物被分割成无数“微元”（无穷小量）以后，在某一微元段内，该事物也就可以看出不变的恒量了。
所以，微元法又叫小量分析法，它是微积分的理论基础。
三、微元法解题思想：在中学物理解题中，利用微元法可将非理想模型转化为理想模型（如把物体分割成质点）；将曲面转化为平面，将一般的曲线转化为圆弧甚至直线段；将变量转化成恒量。
从而将复杂问题转化为简单问题，使中学阶段常规方法难以解决的问题迎刃而解。
微元法的灵魂是无限分割与逼近。
用其解决物理问题的两要诀就是取微元----无限分割和对微元做细节描述----数学逼近。
所谓取微元就是对整体对象作无限分割，分割的对象可以是各种几何体，得到“体元”、“面元”、“线元”、“角元”等；分割的对象可以是一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；也可以对某一物理量分割，得到诸如“元功”、“元电荷”、“电流元”、“质元”等相应元物理量，它们是被分割成的要多么小就有多么小的无穷小量，而要解决整体的问题，就得从它们下手，对微元作细节描述即通过对微元的性质做合理的近似逼近，从而在微元取无穷小量的前提下，达到向精确描述的逼近。
例1、 如图，岸高为h ，人用不可伸长的绳经滑轮拉船靠岸， 若当绳与水平方向为θ时，人收绳速率为v ，则该位置船的速 率为多大？例2、将质量为m 的小球从某高处以初速度v 0竖直抛出，当小球落回该抛出点时速度为v 1。
高中物理解题重要方法微元法
综上所述知：将物体拉到山顶，拉力至少要做的功为：Ｗ，
＝△Ｅｐ＋Ｗ＝ｍｇｈ＋｜Ｌｒｎｇｓ。 例５：某行星围绕太阳Ｃ沿圆弧轨道运行，它的近日点Ａ离
太阳的距离为ａ。行星经过近日点Ａ时的速度为ｖ．，行星的远日 点Ｂ离开太阳的距离为ｂ。如图６所示，求它经过远日点Ｂ时的速 度Ｖ。的大小。
图６
图６’
解析：此题可根据开普勒第二定律用微元法求解。设行星在
近日点Ａ时又向前运动ｒ极短的时间Ａｔ，由于时间极短，如图６’， 可以认为行星在Ａｔ时间内做匀速圆周运动，线速度为ｖ．，半径为
１
ａ，可以得到行星在△ｔ时间内扫过的面积为：８ｆ÷ｖ＾△ｔ．ａ。
二
同理．设行星在经过远日点Ｂ时也运动了相同的极短时间
下载时间：2010年8月10日
万方数据
通过多样化的教学方式。促进学生自主学习．让学生在积 极参与、乐于探索、勇于实验、勤于思考的探究过程中，学习和 掌握物理知识与技能，培养科学与探究能力，逐步形成科学态 度与科学精神．最终促进学生终生发展，是普通高叶Ｉ物理新课 程设计的基本理念之一。综观目前的高中物理课堂教学，“满 堂灌”、“机械讲授式”的教学形式为一些教师所推崇，过分强 调教师主导忽视学生主体的倾向性问题在许多教师的教学实 践中仍一定程度地存在，对学生创新思维和创新个性的培养 产生了极大的阻碍。这种现象的产生，既有历史的原因，还有 现实的影响。从历史上来分析，传统的师道尊严及“传道、授 业、解惑”的师本思想在人们脑子里根深带同很难一下子扭转 过来：从现实情况分析，。高考升学率”仍是当今杜会衡最教学 质量的重要标尺，而“讲授式”教学及题海战术。在提高学生应 试水平上仍具有其它方法所不可替代的优势．因而倍受教师 和学生的喜欢。因此，改革高中物理课堂教学方式，培养学生 的自主探索精神和能力，对全面实施新课程标准，具有重要的 现实意义。
南通一中高三二轮复习专题——微元法
中学物理思想方法——微元法专题要点提示利用微分思想的分析方法称为微元法。
它是将研究对象或物理过程进行无限细分（化变为恒、化曲为直、化整为零），从其中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象或被研究过程变化规律的一种思想方法。
《微元法》解题的思维程序：1、隔离选择恰当微元（空间元、时间元）作为突破整体研究的对象。
微元可以是：一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
2、将微元模型化（如视作点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动……）并运用相关物理规律，求解这个微元。
3、将一个微元的求解结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的关系（如对称关系、矢量方向关系、量值等关系），对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解答。
解题示范：从地面上以初速度v 0竖直向上抛出质量为m 的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t 1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v 1，且落地前球已经做匀速运动。
求： （1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功 （2）球抛出瞬间的加速度大小 （3）球上升的最大高度 解析：（1）由动能定理得：22101122f W mv mv =- 克服空气阻力做功 22011122f f W W mv mv =-=-克（2）空气阻力 f k v =由落地时匀速运动有：10mg kv -=设刚抛出时加速度大小为a 0，则 00mg kv ma += 解得： 001(1)v a g v =+（3）设上升至速度为v 时加速度为a ，则 ()mg kv ma -+= k a g v m=--取极短时间t ∆，其速度变化为v ∆，有： kv a t g t v t m∆=∆=-∆-∆v v 1B又因为v t h∆=∆ 对上升全过程有：kv g t h m∆=-∆-∆∑∑∑ 010k v gt H m-=--解得： 011()v gt v H g-=小结：在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解在电磁感应问题中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。
微元法
微元法是中学物理竞赛常用方法之一，它是一只从局 部到整体的思维方法，其应用的具体功能表现如下两个方 面：
1.化变量为常量
如：匀变速直线运动的位 移时间公式。 由平均速度公式推导瞬时 速度公式
2.显现隐性条件 判断物体是否稳定平衡 （不倒翁） 3.常见取“元” 线元、面元、体元、角元、过程元、 时间元、元功。
Tθ + Δ Tθ = Δ Gcosθ + Tθ ， Δ Tθ = Δ Gcosθ = ρ gΔ Lcosθ
由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 Δ Tθ ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上Δ Tθ 的和，即： T = ΣΔTθ = ΣρgΔLcosθ = ρgΣΔLcosθ 观察ΔLcosθ的意义，见图3—2—乙，由于Δ θ 很小，所以 CD⊥OC ，∠OCE = θ Δ Lcosθ 表示Δ L在竖直方向上的投影Δ R ， T = ρgΣΔLcosθ = 所以Σ Δ Lcosθ = R ，可得铁链A端受的拉力：
t
H OA AA' BB ' 又 H h OC CC ' CC '
H 所以 Vc V H -h
CC '
H AA' H h
所以人影的顶端C点做匀速直线运动。
小量积累
在物理学中有很多物理量都是通过积累的方式定义的，如：
1.位移是速度对时间的积累。
2.速度是加速度对时间的积累。 3.功是力对位移的积累。 4.质量是密度对空间体积的积累。
v
t
赛题精讲
例4：如图所示，在光滑水平面上，一轻质弹簧一端固定 在木板上，另一端与物块相连，现拉动物块使弹簧伸长量 为x，放手后，求在弹簧恢复到原长过程中，弹簧对物块 做功多少？
微元法
dWe = ωe dV 1 εE2dv W = ∫ ωedv = ∫ e 2 v v
对电场存在的空间积分
磁场的能量
B W m = ωm = 磁能密度 V 2
2
1.均匀磁场 均匀磁场 均匀磁
Wm = ωm V dWm = ωm dV
B Wm = ωm dV = ∫ 2 dV V V
视 中场均匀 2.非均匀磁场 分割 非均匀磁场 分割V→dv,视dV中场均匀 非均匀磁 小体元能量 总 能 量
W= S面积= OAAB= xkx= kx 2，即Ep= kx 2
W = ∫ F idr = ∫ kxdx = kx kx0
x0 x0 1 2 2 1 2
x
x
2
例2.如图示,一水平放置的光滑平行导轨上放一质量 2.如图示, 如图示 为m的金属杆,导轨间距为L,导轨的一段连接一阻值 的金属杆,导轨间距为L,导轨的一段连接一阻值 L, 为的电阻,其他电阻不计,磁感应强度为B 为的电阻,其他电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁 场垂直于导轨平面, 场垂直于导轨平面,现给金属杆一水平向右的初速 然后任其运动,导轨足够长, 度V0,然后任其运动,导轨足够长,试求金属杆在导 轨上向右移动的最大距离x 及通过杆ab的电量q? ab的电量 轨上向右移动的最大距离xm及通过杆ab的电量q? 分析： ab受变力 受变力， 分析：杆ab受变力，作减速运动 解：设t=0，杆ab与MP重合； t=0， ab与MP重合； 重合 t>0.杆ab有 t>0.杆ab有v0→v →0； ； 微元法: v， 极短视v不变 1微元法: t: v，t+Δt: v (t极短视 不变） 且 vt = x 极短视 BLV 动生电动势 BL t t : q = I t = q= ∑Vt R R BL 0 →t : q = I t = ∑ BLV t = x R R
微元法_精品文档
微元法1. 引言微元法是一种数学和物理学中常用的计算方法，用于求解曲线、曲面以及体积、质量、密度等相关问题。
它基于将一个复杂的形状或区域分割为无数个微小的元素，再对每个微元进行分析和计算的原理。
通过将微元的贡献累加起来，最终可以得到整体的属性或解答。
本文将介绍微元法的基本原理、应用领域以及常见的数学公式和计算方法。
2. 基本原理微元法基于微积分的概念，将一个复杂的形状或区域分割为许多无穷小的微元。
这些微元可以是线段、面积元或体积元，具体取决于问题的性质。
每个微元都具有一定的属性，如长度、面积或体积。
通过将微元的贡献进行累加，可以得到整体的属性或解答。
这是因为微元法假设微元足够小，可以近似地视为一条直线、一个平面或一个体积。
在微元法中，常用的方法包括求和、积分、微分等。
3. 应用领域微元法在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，微元法常用于求解各种物理量。
例如，在力学中，可以使用微元法计算质点的质量、速度、加速度等。
在电磁学中，微元法可以用于计算电场、磁场的强度以及电势和磁势。
3.2 工程学微元法在工程学中也有广泛的应用。
例如，在结构力学中，可以使用微元法计算杆件或板件的应力、应变以及变形。
在流体力学中，微元法可以用于计算流体的速度、压力以及流量等。
3.3 经济学在经济学中，微元法被用于计算经济指标以及分析经济现象。
例如，在微观经济学中，微元法可以用于计算市场的需求曲线、供应曲线以及均衡价格和数量。
在宏观经济学中，微元法可以用于计算国民经济的总产出、总投资以及总消费等。
4. 常见公式和计算方法在微元法中，有一些常见的公式和计算方法可以用于求解问题。
下面是几个例子：4.1 长度的微元在计算曲线的长度时，可以使用以下公式：∆s = √(∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2)其中，∆s 表示曲线的微小长度，∆x、∆y 和∆z 分别表示曲线在 x、y 和 z 方向上的微小切线。
微元法（部分摘录）
微元法（部分摘录）微元法“微元法”。
是一种从部分到整体的思维方法，通过这种方法可以使许多复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速的加以解决，使复杂的问题简单化。
这种方法的精髓在于将一个复杂的问题分解为众多遵循着相同规律的微小“元过程”，我们只需要分析这些“元过程”，就可以找到题目的突破口。
这种方法是处理一些难题的有效方法。
你知道铁链拉力是多少吗？如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为r。
试求铁链A端受的拉力T。
这道题以铁链为研究对象，因为整体铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，而且显然铁链各处的受力并不均匀，那么怎么求解呢？相信这道题对绝大多数同学来说都很困难。
我们不妨看看可以如何用微元法的思路来处理这道题：把研究对象分解为一个个小小的“元”，把整条铁链分解成一小段一小段，通过分析小段铁链的受力来找出答案。
体验一：化微元分析，叠加成整体体验思路：虽然整条铁链无法看成质点，但是我们将铁链分割成微小的“元”之后，每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁链的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。
体验过程：在铁链上任取长为的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如右图所示。
由于该微元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：由于每一段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大，所以整个铁链对A端的拉力是各段上的和，即：观察的意义，如左图所示，由于很小，所以CD⊥OC，，表示在竖直方向上的投影，所以所以题目的正确答案为经过体验一，相信同学们大致已经了解了我们所说的这种方法了，下面为了进一步掌握，我们再看一道题：体验二：钉子对绳子的作用力是多少？一根均匀柔软的绳子，长度为L，质量为m，对折后两端固定在一个钉子上。
其中一端突然从钉子上滑落，滑落的绳子端点离钉子的距离为x时，如下图所示，求这时钉子对绳子另一端的作用力是多少？体验思路：这道题中如果把绳子看成一个整体将会很难求解。
微元法(概念 习题 综合)
微元法一、概念内涵微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一微元加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量。
微元思想 所谓微元思想，是把研究对象分割成无限多个无限小的部分，或是把物理过程分解为无限多个无限小的部分，取出其中任意部分进行研究的方法；是指从整体上难以解决问题时，将所研究的对象或者所涉及的物理过程，分割成许多微小的单元，然后选取有代表性的微小单元进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法微元的变换可以将非理想模型变成理想模型；将曲面变成平面；将曲线变成直线；将非线性变量变成线性变量，从而使问题得到较快解决例如刚体部分转动惯量的概念及其计算；刚体质心位置的计算；由点电荷电场公式求场源电荷周围的电场分布；由毕奥—萨伐尔定律求载流导线周围磁场分布等，虽然它们的物理概念不同，物理的性质也不同（有的是矢量有的是标量），但是分析和求解方法的思想都是由点的基本公式出发，先计算线，再由线到面进行计算.微元法是利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法．微元法解题的思维过程如下．(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必须具有整体对象的基本特征．(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等)，并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联．(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。
1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变加速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。
3.微元法
求 性 圈的劲度系数 k 于整个 性 圈的大小 解析 质点 所 将 性 圈
能看
许多小段
小段 ∆m 两端 的拉力就是 作为研 对象 面 察 察 选 一个合适的平面 别画
∆θ M 2π
性 圈内部的 力 F 行 力 析 设在 样
在 性 圈 任 一小段质 为 ∆m 看清楚各个力之间的关系 ∆m 所对的圆心角是 ∆θ
H ∆SAA ′ ∆SCC′ H H vC = lim lim − h = = v ∆t →0 ∆t → 0 H−h ∆t ∆t
vc
所 时间 ห้องสมุดไป่ตู้t 的长短无关 所 人影的顶端 C 点做匀速直线 动 球面 A 端固定在球面的顶点 B 端恰 桌面 接触 铁链单 长度的
例 2 如图 3里2 所示 一个半径为 R 的四 之一 滑球面放在水平桌面 放置一 滑均匀铁链 质 为ρ 试求铁链 A 端 的拉力 T
∆Tθ = ∆Gcosθ = ρg∆Lcosθ
于 段铁链沿 线向 的拉力比沿 线向 的拉力大 ∆Tθ 的拉力是各段 ∆Tθ 的和 即 图 3里 2里 所 于 ∆θ 很小 所 Σ∆Lcosθ = R T = Σ∆Tθ = Σρg∆Lcosθ = ρgΣ∆Lcosθ 察 ∆Lcosθ 的意 T = ρgΣ∆Lcosθ = ρgR
a vA b
也有
1 2
水的阻力 人 船头走到船尾的过程中 多大？ 解析 统动 v2 人和船整体作为研
系统 人在走动过程中 系统所 合外力为零 有 有 mv1 = Mv2 mv1∆t = Mv2∆t
恒 设人在走动过程中的 ∆t 时间内为匀速 动 一个极短的时间 ∆t 认为在 ∆s2 = v2∆t mΣ∆s1 = MΣ∆s2 s2
联立 有
解得 性 圈的张力
微元法
高中物理解题方法专题指导方法专题三：微元法解题（极限思想的应用）一、方法简介所谓微元法就是：将研究对象分解为很多“微元”或其将运动过程分解成许多微小的“元过程”（对应的物理量微元可以为时间微元、速度微元、位移微元、电量微元等），分析每个“元过程”遵循的物理规律，然后将每个“元过程”相关的物理量累加求和，从而使问题得到解决。
微元法是分析、解决非理想物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
利用微元法可以使一些非理想模型的研究对象、复杂的物理过程（一般的变速运动），通过将其分割转化为“微元”，达到能够用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将研究的对象或过程进行无限细分，以达到化体为点、化变为恒、化曲为直。
需要注意的是，研究的对象或过程分解为众多的“微元”，每个“微元”所遵循的规律必须是相同的。
在高中物理中，计算变速直线运动的位移，采用了微元法，得出了变速直线运动的速度图象与横轴所围面积表示位移。
探究弹力做功，采用微元法得出F—x图象与横轴所围面积表示弹簧弹力做的功。
命题特点：高考试题中多次出现与微元法相关的试题，且能力要求较高。
二、典型应用（一）力学中的时间微元和位移微元方法解读：凡是极短时间或极小位移上物体状态变化不太大时，都可以运用微元法把过程分割为无限多个微小过程，然后相加，得出整个过程的物理量。
1、从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动。
求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度H。
2、将一质量为m的质点从地球表面移到无限远处，需要克服地球引力做多少功？已知地球质量为M。
地球半径为R，万有引力常数为G。
（二）流体中的质量微元方法解读：当所研究的对象是流体时，一般需要将研究对象分解为微元（质量微元），选取一个微元作为研究对象分析其受力情况和运动情况。
高考物理二轮复习讲义：解题方法专题——微元法、整体与隔离
微元法本专题主要讲解利用微元法解决动力学问题、变力做功问题、电场和电磁感应等问题，主要分为时间微元和位移微元两大类。
微元法在近几年高考中考查频率较高，出现了分值高、难度较大的计算题。
微元法是一种非常有效的解题方法，将研究对象或研究过程分解为众多细小的“微元”，分析这些“微元”，进行必要的数学推理或物理思想处理，能够有效的简化复杂的物理问题。
考查学生的分析推理能力，应用数学方法解决物理问题能力。
时间微元微元思想是中学物理中的重要思想。
所谓微元思想，是将研究对象或者物理过程分割成无限多个无限小的部分，先取出其中任意部分进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。
如图所示，两根平行的金属导轨MN和PQ放在水平面上，左端连接阻值为R的电阻。
导轨间距为L，电阻不计。
导轨处在竖直向上的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为B。
一根质量为m、阻值为r的金属棒放置在水平导轨上。
现给金属棒一个瞬时冲量，使其获得一个水平向右的初速度v0后沿导轨运动。
设金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，不计一切摩擦。
求：（1）金属棒的速度为v时受到的安培力是多大？（2）金属棒向右运动的最大距离是多少？物理学研究问题一般从最简单的理想情况入手，由简入繁，逐渐贴近实际。
在研究真实的向上抛出的物体运动时，我们可以先从不受阻力入手，再从受恒定阻力研究，最后研究接近真实的、阻力变化的运动情形。
现将一个质量为m的小球以速度v0竖直向上抛出，重力加速度为g。
（1）若忽略空气阻力对小球运动的影响，求物体经过多长时间回到抛出点；（2）若空气阻力大小与小球速度大小成正比，已知小球经t时间上升到最高点，再经一段时间匀速经过抛出点时，速度大小为v1，求小球抛出后瞬间的加速度和上升的最大高度。
涉及时间微元问题的一般解题步骤：（1）本方法一般用来处理变加速直线运动的情况且物体所受的变力与速度成正比。
（2）找微元：对于这类变速运动，通常选取极短的一段时间∆t，在这段极短的时间内可认为物体的受力、速度等物理量不变。
中学物理思想方法——微元法专题
中学物理思想方法——微元法专题齐薇（启东市汇龙中学 226200）近些年各地高考，特别是江苏高考物理试卷中时有微元法题目出现，考生的得分率很低，因此掌握这种问题的解题技巧就显得尤为重要。
那什么是微元法呢？利用微分思想的分析方法称为微元法。
它是将研究对象或物理过程进行无限细分（化变为恒、化曲为直、化整为零），从其中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象或被研究过程变化规律的一种思想方法。
一、“微元法”解题的思维程序：1、隔离选择恰当微元（空间元、时间元）作为突破整体研究的对象。
微元可以是：一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
2、将微元模型化（如视作点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动……）并运用相关物理规律，求解这个微元。
3、将一个微元的求解结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的关系（如对称关系、矢量方向关系、量值等关系），对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解答。
二、“微元法”解题一般步骤: 1、确定研究对象，选取“微元”； 2、列出相关微元的方程；3、对相关微元进行累积求和或求导。
三、微元法在变化中的应用.解题示范：从地面上以初速度v0竖直向上抛出质量为m 的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动。
求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功（2）球抛出瞬间的加速度大小（3）球上升的最大高度解析：（1）由动能定理得：22101122f W mv mv =-克服空气阻力做功22011122f f W W mv mv =-=-克（2）空气阻力 f kv = 由落地时匀速运动有：10mg kv -=设刚抛出时加速度大小为a0，则00mg kv ma +=解得：001(1)v a g v =+（3）设上升至速度为v 时加速度为a ，则 ()mg kv ma -+=k a g v m =--v v 1取极短时间t ∆，其速度变化为v ∆，有：k v a t g t v t m ∆=∆=-∆-∆又因为 v t h ∆=∆对上升全过程有：kv g t h m ∆=-∆-∆∑∑∑010k v gt H m -=--解得：011()v gt v H g -=小结：在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解在电磁感应问题中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。
微元法 大杂烩(已好 例题).doc
微元法
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
具体地说微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或将复杂的物理过程分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”都遵循相同的规律，再从研究对象或过程上选取某一微元或某一“元过程”运用必要的数学方法或物理思想加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量，使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决。
使用此方法求解物理问题能加强我们对已知规律的再思考和再认识，从而提高学科思维能力。
【例题1】一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.
【点拨解疑】因为向心力2F mr ω=，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.如图8-3-8所示，在圆环上取一小段L ∆，对应的圆心角为θ∆，其质量可表示为M m πθ2∆=∆，受圆环对它的张力为T ，则同上例分析可得22
sin 2ωθmr T ∆=∆,因为θ∆很小，所以
22sin θθ∆≈∆，即：2222ωπθθMr T ∆=∆⋅解得最大角速度：Mr
T πω2=。
微元法解题归纳
微元法解题归纳
戴儒京
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2011(000)004
【摘要】2006年以来，连续4年高考江苏物理试卷的最后一题，都是用微元法解的题目，题目的难度都很大，本文通过以下例题，探究微元法解题的方法和规律.微元法在处理问题时，从对事物的极小部分(微元)分析人手，达到解决事物整体的方法.这是一种深刻的思维方法，是先分割逼近，找到规律，再累计求和，达到了解整体的目的.微元法是对某事件做整体的观察后，取出该事件的某一微小单元进行分析，通过对微元的细节的物理分析和描述，最终解决整体的方法.
【总页数】3页(P32-34)
【作者】戴儒京
【作者单位】江苏省丰县中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.高中物理微积分解题与微元法解题的比较
2.高中物理解题中微元法的有效应用
3.高中物理解题中微元法的应用
4.高中物理解题中微元法的应用研究
5.高中物理解题中微元法的有效应用
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解题中的一种思维方法——微元法
上海市曹杨中学（200333）钭方健
“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。
高中物理中的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的，还有单摆的周期公式的推导，也用到了这种方法。
从数学上讲，是一种微分的思想方法，但在高三物理总复习中，用“微元法”来解有些问题，简捷明了是一种普适的好办法。
下面从三方面，谈谈“微元法”在解题中的应用。
一、合理“取样”，从局部求整体
当物体各部分的运动情况相同时，取其中一小部分作为研究对象，是利用“微元法”解题的一种思维方法。
[例1] 一质量均匀分布的细圆环，半径为R，质量为m，设该环均匀地带正电，总带电量为Ｑ，现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，匀强磁场的磁感强度为Ｂ，方向竖直向下。
当此环绕通过其中心的竖直轴以ω的角速度顺时针方向匀速旋转时，环中的张力等于多少？（电苛间的作用力忽略不计）
分析与解：如图1，取环上微小的一段圆弧，质量为m。
，
设其张角为2θ，由于环旋转，那么电苛随环运动形成电流，
小圆弧因而受到磁场对它的安培力
安
F，方向沿半径向外。
又小
圆弧做匀速圆周运动，必须有向心力。
所以环中必定存在张力
T，小圆弧所受张力T在沿半径方向的分力和安培力的合力，
提供了小圆弧运动的向心力。
得到：
R
m
F
T2
s i n
2ω
θ=
-
安
①
R
Q
B
BIL
Fθ
ω
π
2
2
=
=
安
②图1
R
R
m
mθ
π
2
2
=③
由以上三式,并且当θ很小时，sinθ≈θ求得：
π
ω
ω
2
2BR
Q
R
m
T
+
=
二、“化变为恒”、“化曲为直”求瞬时速度
[例2] 如图2a，以不变的速率v通过绳拉河中的小船，当绳与水平方向成θ角时，求小船的瞬时速度。
图2a
图2b
分析与解：如图2b 所示，当绳与水平成θ角时，小船处在A 点。
现经一段很短的时间
△t(△t →0)，小船被绳由A 拉至B 。
期间绳的长度变化△S ＝S-S'，则t
s
v ∆∆=。
而在这段时间
内，由于AO 与 BO 间的夹角很小，故小船的位移可作下列近似计算，θ
cos s
s ∆≈∆船。
由
于在极短的时间内，船的运动是匀速直线运动，所以船在A 处的瞬时速度无限接近△t 内的平均速度。
由以上分析可知，小船在A 处的瞬时速度为
θθcos cos 1lim 0v
t s v t =⋅∆∆=→∆船
[例3]三个物体A 、B 、C ，用绳连接挂在两个定滑轮上，A 、B 质量相等且整个装置左右对称，设某一瞬间A 、B 的下降速度为()v v v v v B A B A ==和，在这一瞬间绳OD 、OE 间的夹角为2α,求此时刻物体C 的上升速度。
分析与解：图3，实线代表某一时刻绳与物体所在的位置，虚线代表经极短时间后绳物体的位置。
'OO 是物体C 在极短时间内的位移，以E 的圆心，以E O '为半径，在OE 上截取EF=E O '，OF 就是物体A 在极短时间内的位移，F O '本来是圆弧，但β→0，F O '可
以看成是直线，并且垂直OE ，这样'OO =θ
cos OF
，又因为在极短的时
间内物体C 可以是匀速直线运动，即： 图3
α
αcos cos lim 0A OF t c v
t s v =∆∆=→∆
从上面的计算知道，只要用“微量法”，“化变为恒”、“化曲为直”作出一个直角三角形，就可以直接求出物体的瞬时速度。
[例4]如图4a ，长为Ｌ的直棒一端可绕固定轴Ｏ转动，另一端Ａ搁在升降平台上，平台以速度Ｖ匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为多少？
图4a 图4b
如图4b ，用“微量法”作出直角三角形'ACA ，即得：α
sin V
V =棒
三、找“联系点”、“联系物”求相关速度
[例5]如图5a ，一轻质细杆长为L ，一端可绕固定轴O 转动，另一端系一小球A ，一物块高为h 卡在水平面与细杆之间，此时OA 杆与水平面成θ角，物块向右的速度为v B ，求A 球此时的速度大小。
分析与解：杆与物块的接触点是v B 与v A 的“联系点”
，我们可以假设接触点处有一小滑
环C 固定在物块上。
如图5b,当OA 杆绕O 轴转动一个很小的角度到达OA ’，可以看出环C 是既绕O 轴的转动又沿杆子滑动，最后到达B 点，因为转动的角度很小，可以认为CC ’垂直OA ’，从直角三角形B CC '得到，V C =V B sin θ。
ωθ==l
v
h v A C sin 故 h
lv v B A θ
2sin =
图5a 图5b
[例6] 如图6直棒AB 两端分别靠在竖直墙和水平地面上，接触处均光滑，当直棒滑到与水平面成θ角时，Ａ点向下移时动的速度为υ ，则此时Ｂ点的移动速度为多少？
分析与解：要求出V B 这里的“联系物”是棒，根据微量法作出直角三角形C AA '和D BB '，分别得到如下两式：
sin θ= V 棒／v ① cos θ= V 棒／V B ②
故 V B = v tg θ
图6
例7、如图7，A 、B 两物体用绳相连，在水平面上运动，当物体A 的速度为υ，则物体B 的速度V B =？
分析与解：明显这里的“联系物”是绳子，由直角三角形D BB C AA ''和，得到如下两式： cos α = V 绳／V B ①
con β = V 绳／υ ②
故 V B =υcon β／cos α
图7
从以上几个例子看出,如果有几个物体连接在一起，先求出“联系点”或“联系物”的速度，再用微量法，作出直角三角形，求出要求的瞬时速度。
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