概率统计课件第8章微分方程初步练习册答案

y 3x+x3 c2
再代入y(0) 1,求得c2 =1
5. y 1 ln | x 2 | 1; 2 2 x 2
6.
x
2
2
y
1 4
令y z( y) 两边对x求导得 y dz dy z dz dy dx dy
代入方程为 z dz =3 y dy
代入方程为
1
z2
=2
y
3 2
2
c1
代入 y(0) 1, y(0) 2,得c1 =0
zห้องสมุดไป่ตู้ 1
x
( 1 1 3 1 )dz 1 dx 2 z1 2 z1 x
1
3
2 ln(z 1) 2 ln(z 1) ln x c1
z 1 cx2 (z 1)3
8. 8 y 4x 3ln | 8 y 4x 1 | C;
令z x 2 y 两边同时对x求导
dz 1 2 dy 代入方程 dz 1 2 z 1
第八章 微分方程初步
8.1 微分方程的基本概念 8.2 可分离变量的微分方程 8.3 一阶线性微分方程 8.4 几类可降阶的二阶微分方程 8.5 线性微分方程解的性质与解的结构 8.6 二阶常系数线性齐次微分方程的解 法8.7 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 8.8 差分方程简介
习题 8.1
一、（1）3； （2）-1，2； 二、 1. y x2 sin x sin 1;
x
x
通解为 y (C cos x) x1
特解为 y ( 1 cos x) x1
5. 伯努力方程，y ex (C ex sin x)1；
6. 伯努力方程，y3 (Ce x 2x 1)1
三、把y, y带入到微分方程得
p( x) x ex
x,
方程为y (e x 1) y 1 P( x) e x 1,Q( x) 1,
ln(z z2 1) ln x c1 z z2 1 cx
y ( y )2 1 cx xx
7. y x C( x y)3;
2 y 1
y
x 2
y
x
令z y 则y zx 两边同时对x求导 x
dy z x dz
代入方程
dz z2 1 x
dx
dx
dx 2 z
2z 1
dz dx
y 2c2ex cos x 2c1ex sin x
1 y y y 2
习题 8.2
一、1. y2 2 x3 C;
2.
y
3 tan(
x2
x
C
);
2
提示： y (1 x) y2(1 x) (1 x)(1 y2 )
3. arcsin y ln | x | C, 补y 1；
4. 3cos 2x 2sin 3 y C 0; 5. r 2e ;
1.
2. P( x) tan x,Q( x) sin 2x,
得通解 y cos x(C 2cos x)；
3. P( x) 2 ,Q( x) sin x ,
x
x
通解为 y x2 (sin x x cos x+c)；
特解为 y (sin x x cos x) x ； 2
4. P( x) 1 ,Q( x) sin x ,
3
方程为 z2 =4 y 2
即
dy 3 =2y 4
dx
1
得4 y4 =2x+c2
代入 y(0) 1,得c2 =4
习题 8.5
一、y P( x) y Q( x) y f ( x); y P( x) y Q( x) y 0;
1( x) 非零常数; 2(x)
y C11( x) C22( x);
dx
c( x) Q( x)e p( x)dx ; y e p( [ x)dx Q( x)e p( dx x)dx C ]; 2. z y1n; dz (1 n) p( x)z (1 n)Q( x);
dx
二、 2. P( x) 2,Q( x) xe x , y ( x 1)ex Ce2x；
dr d ln r c1
r
r e c1 r e ec1
r Ce
6. y y2 x2 Cx2;
y y ( y )2 1 令z y 则y zx 两边同时对x求导
xx
x
dy z x dz 代入方程 z x dz z z2 1
dx
dx
dx
dz 1 dx
z2 1 x
dx
dx
dx
2z 1
2z 1 dz dx 4z 1
( 1 3 1 )dz dx 2 2 4z 1
13 2 z 8 ln(4z 1) x c1
4x 8 y 3ln(4z 1) 8x 8c1
习题 8.3
一、1. dy p( x) y 0; y Ce ; p xdx
3. y 令y
[ z
1 2
x2
c1 x
c2 1
方程化为z
ln | 2z
c1
1
x |] z2
c2;
x x2
z2z 2 z1 1
x
x2
令u=z1 对x求导得 du =-z2 dz dx dx
方程化为 du 2 u 1
dx x
x2
u
=
e -2lnx[
-
1 x2
e 2lnx dx
+
c1 ]
P( x)dx e x x Q( x)e P( x)dxdx e dx e xx
得通解y e x ce ， xe x
从而y
ex
e ； 1 xex 2
代入初值条件得c
e
1
2，
习题 8.4
一、1.
y
1 6
x3
cos
x
C1
x
C2;
2.
y
e3x 27
sin 2x 8
C1 x2
C2 x
C3;
2. y 2 y 2 y; y c1ex cos x c2ex sin x y c1ex cos x c1e x sin x c2e x sin x c2e x cos x y (c1 c2 )ex cos x (c2 c1 )e x sin x
y (c1 c2 )ex cos x (c1 c2 )e x sin x (c2 c1 )ex sin x (c2 c1 )e x cos x
即u =
1 x2 [-x+c1 ]
即dy = x2 dx - x+c1
4. y 3x x3 1; 令y z 方程化为(1+x2 )z 2 xz
1 2x z dz 1+x2 即z c(1+x2 )
ln zdz ln(1+x2 ) c1 代入y(0) 3,求得c=3
dy 3+3x2 dx