第五讲作业2

第五讲作业（二）：

六、判别下列所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：

（1）在线性空间V 中，()ααβ=+A ，其中V β∈是一固定的向量；

（2）在[]n P x 中，[()](1)f x f x =+A ，其中()[]n f x P x ∈；

（3）在3R 中，12312[(,,)](cos ,sin ,0)x x x x x =A ，其中3123(,,)x x x R ∈.

七、设多项式有两组基为空间3[]P x 有两组基为1()1f x x =-，22()1f x x =+，23()2f x x x =+和1()1g x =， 2()g x x =，23()g x x =，线性变换A 满足21[()]2f x x =+A ，2[()]f x x =A ，23[()]1f x x x =++A .

（1）求A 在基123(),(),()f x f x f x 下的矩阵A ；

（2）求A 在基123(),(),()g x g x g x 下的矩阵B ；

（3）设2()123f x x x =++，求[()]f x A .

八、在22R ⨯ 中定义下列线性变换：1()a b A A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，2()a b A A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，3()a b a b A A c d c d ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

A ， 42()2a b A A c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭

A ，其中22A R ⨯∈，,,,a b c d 都是实数. （1）求1A ，2A ， ij E （第i 行第j 列元素为1，其余为0的二阶方阵）下的矩阵；

（2）求4A 在基11000E ⎛⎫=

⎪⎝⎭，20001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，30110E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，40110E ⎛⎫= ⎪-⎝⎭下的矩阵. 九、设线性空间3V 的两组基为123123(I),,;(II),,e e e εεε，由基（I ）变到基（II ）的过渡矩阵 101010101C ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，线性变换A 满足

123121232312313(23)(22)(34)e e e e e e e e e εεεεεε++=+⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩

A A A ， （1）求A 在基（I ）下的矩阵A ；

（2）求A 在基（II ）下的矩阵B ；

（3）求1()εA 在基（I ）下的坐标. 十、已知三阶矩阵210100212A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭

，试求A 的伴随矩阵*A 的特征值与特征向量. 十一、设3

R 中有向量123(,,)x x x α=，线性变换定义为()123123123()2,2,23,23x x x x x x x x α=---+---+A ， 求3R 中的一组基，使A 在该基下的矩阵为对角矩阵.