【2020高考数学】频率与概率专项复习

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2025高考数学必刷题第88讲、随机事件、频率与概率(教师版)

第88讲随机事件、频率与概率知识梳理知识点1、随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E 表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．知识点2、样本空间我们把随机试验E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E 的样本空间，一般地，用．Ω．表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n 个可能结果1ω，2ω，…，n ω，则称样本空间}{12,,,n ωωωΩ= 为有限样本空间．知识点3、随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生．（2）Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．（3）空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．知识点4、事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A （或者称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇或者A B ⊆．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．②相等关系：一般地，若B A ⊇且A B ⊇，称事件A 与事件B 相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件），记作A B （或A B +）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作A B （或AB ）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：知识点5、互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，即=A B ∅ ，则称事件A 与事件B 互斥，可用下图表示：如果1A ，2A ，…，n A 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件1A ，．2A ．，…，nA 彼此互斥．（2）对立事件：若事件A 和事件B 在任何一次实验中有且只有一个发生，即A B =Ω 不发生，A B =∅ 则称事件A 和事件B 互为对立事件，事件A 的对立事件记为A ．（3）互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．知识点6、概率与频率（1）频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的次数k 称为事件A 发生的频数，频数k 与总次数n 的比值kn，叫做事件A 发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A 发生的频率kn总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率kn随着试验次数的增加稳定于概率()P A ，因此可以用频率kn来估计概率()P A ．必考题型全归纳题型一：随机事件与样本空间例1．（2024·全国·高三专题练习）已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．例2．（2024·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】A ．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B ．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为ab 是必然事件；故本选项不符合题意；D ．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B ．例3．（2024·全国·高三专题练习）袋中装有形状与质地相同的4个球，其中黑色球2个，记为12B B 、，白色球2个，记为12W W 、，从袋中任意取2个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：Ω=.【答案】121121{},,B B B W B W （答案不唯一）【解析】从袋中任取2个球，共有如下情况121112212212,,,,,B B B W B W B W B W W W .其中一个不等可能的样本空间为121121Ω},,{B B B W B W =，此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.故答案为：121121Ω},,{B B B W B W =.(答案不唯一)变式1．（2024·全国·高一专题练习）将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为.【答案】{}0,1,2,3【解析】因为将一枚硬币抛三次，其正面朝上的次数可能为0,1,2,3，所以该试验样本空间为{}0,1,2,3.故答案为：{}0,1,2,3.变式2．（2024·高一课时练习）设样本空间Ω＝{1，2，3}，则Ω的不同事件的总数是.【答案】8【解析】集合{1，2，3}的子集个数为328=，所以Ω的不同事件的总数是8，变式3．（2024·全国·高一专题练习）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为．【答案】{}0,1,2,3,4【解析】由分析可知取出的4件产品的次品个数为0，1，2，3，4，所以样本空间为{}0,1,2,3,4，故答案为：{}0,1,2,3,4.【解题方法总结】确定样本空间的方法（1）必须明确事件发生的条件．（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．题型二：随机事件的关系与运算例4．（2024·全国·高三专题练习）端午节是我国传统节日，记事件A =“甲端午节来宝鸡旅游”，记事件B =“乙端午节来宝鸡旅游”，且1()3P A =，3()4P B =，假定两人的行动相互之间没有影响，则()P A B = （）A ．56B ．712C ．34D ．14【答案】A【解析】依题意1()3P A =，3()4P B =且A 、B 相互独立，所以()()()13135()34346P A B P A P B P AB =+-=+-⨯= .故选：A.例5．（2024·全国·高三专题练习）已知事件A 与事件B 互斥，记事件B 为事件B 对立事件.若()0.6P A =，()0.2P B =，则()P A B +=（）A ．0.6B ．0.8C ．0.2D ．0.48【答案】B【解析】因为事件A 与事件B 互斥，所以A B ⊆，所以()(1()0.8P A B P B P B +==-=.故选：B例6．（2024·全国·高三专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A 表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B 表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C 表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D 表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（）A ．A D ⊆B ．B D =∅C ．A CD ⋃=D ．A B B D⋃=⋃【答案】D【解析】“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中飞机，另一种是两枚炮弹都击中飞机.所以A D ⊆，B D =∅ ，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，所以A C D ⋃=，又B D 包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件A B ⋃表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”，所以A B B D ⋃≠⋃.故选：D变式4．（2024·全国·高三专题练习）某家族有,X Y 两种遗传性状，该家族某成员出现X 性状的概率为415，出现Y 性状的概率为215，,X Y 两种性状都不出现的概率为710，则该成员,X Y 两种性状都出现的概率为（）A ．115B ．110C ．215D ．415【答案】B【解析】设该家族某成员出现X 性状为事件A ，出现Y 性状为事件B ，则,X Y 两种性状都不出现为事件A B ⋂，两种性状都出现为事件A B ⋂，所以，()()42,1515P B P A ==，()710P A B = ，所以，()()3110P A B P A B =-=，又因为()()()()P A B P A P B P A B =+- ，所以，()()()()110P A B P A P B P A B =+-= ，故选：B变式5．（2024·上海长宁·统考一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为()P A ，事件B 的概率为()P B ；则()1P A B -⋂是下列哪个事件的概率（）A ．两个点数都是偶数B ．至多有一个点数是偶数C ．两个点数都是奇数D ．至多有一个点数是奇数【答案】D【解析】由题意，事件A B ⋂为：两个点数都为奇数，由概率()1P A B -⋂指的是事件A B ⋂的对立事件的概率，则事件A B ⋂的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.故选：D.变式6．（2024·全国·高三专题练习）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M =“甲元件故障”，N =“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（）A ．M N ⋃B ．M N⋃C ．M N ⋂D ．M N【答案】C【解析】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件M 和N 同时发生，即事件M N ⋂发生.故选：C.变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知()0.3P A =，()0.1P B =，若B A ⊆，则()P AB =（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】A【解析】由于B A ⊆，所以()()0.1P AB P B ==.故选：A【解题方法总结】事件的关系运算策略（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．（2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．题型三：频率与概率例7．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在一个口袋中放有m个白球和n 个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为．（小数点后保留一位小数）【答案】0.7【解析】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，所以摸到红球概率的估计值为3480.7 500».故答案为：0.7例8．（2024·全国·高三对口高考）下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即()P A趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是950；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有.【答案】③⑤【解析】概率指的是无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率.①通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则本题中从该批产品中任取200件，应该是10件次品左右，不一定出现10件次品，错误；②100次抛硬币的试验并不是无穷多次试验，出现的频率也不是概率，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，所以因此出现正面的概率是0.5，错误；③随机事件的概率是通过多次试验，算出频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来越接近概率，所以随机事件A的概率是频率的稳定值，正确；④随机事件A的概率趋近于0，说明事件A发生的可能性很小，但并不表示不会发生，错误；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是18910050=，正确；⑥根据概率的定义，随机事件的频率只是这个事件发生的概率的近似值，它并不等于概率，错误；综上，正确的说法有③⑤.故答案为：③⑤例9．（2024·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以100人的频率估计概率）．【答案】54%/0.54【解析】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5，所以，100人中回答第一个问题的人数为1000.550⨯=，则另外50人回答了第二个问题，在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为12，即摸到黑球且回答“是”的人数为150252⨯=，则摸到白球且回答“是”的人数为522527-=，所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为270.5454% 50==.故答案为：54%.变式8．（2024·全国·高三对口高考）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.【答案】0.25/1 4【解析】20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191、271、932、812、393，其频率为50.2520=，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.故答案为：0.25变式9．（2024·全国·高三专题练习）一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是．【答案】0.386/193 500【解析】由题意可得没有明显疗效的人数为500307193-=，所以没有明显疗效的频率为1930.386 500=，故答案为：0.386变式10．（2024·全国·高三专题练习）若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率mn来估计事件A的概率，即()≈P A．【答案】m n【解析】在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率()P A附近摆动并趋于稳定，这个性质成为频率的稳定性.因此，可以用事件A发生的频率mn来估计事件A的概率，即()≈P A mn.故答案为：m n变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为.【答案】0.3【解析】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环，所以概率为60.320P==．故答案为：0.3．变式12．（2024·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为．【答案】0.375【解析】设该学校人数为x ，依题意得，近视的人数为0.4x ，玩手机超过1小时的人有0.2x ，近视人数为0.1x ，于是玩手机小于1小时但又近视的人数为(0.40.1)0.3x x -=，玩手机小于1小时的总人数为(10.2)0.8x x -=，这类人的近视率约为0.30.3750.8xx=.故答案为：0.375变式13．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）袋中有10个球，其中有m 个红球，n 个蓝球，有放回地随机抽取1000次，其中有597次取到红球，403次取到蓝球，则其中红球最有可能有个．【答案】6【解析】5976100010mm =⇒≈.所以红球最有可能有6个.故答案为：6【解题方法总结】（1）概率与频率的关系（2）随机事件概率的求法题型四：生活中的概率例10．（2024·全国·高三专题练习）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请位好友参与到“好友助力”活动.【答案】15【解析】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71-=，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，所以至少需要邀请0.7114.20.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动.故答案为：15例11．（2024·江西吉安·江西省泰和中学校考一模）设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从箱中取出的.【答案】甲.【解析】分别求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此进行判断．甲箱有99个白球1个黑球，∴随机地取出一球，得白球的可能性是99 100，乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是1 100，由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．∴我们作出推断是从甲箱中抽出的．故答案为：甲例12．（2024·全国·高三专题练习）有以下说法:①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是1365;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是.【答案】①③【解析】根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为n;1 000昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.故答案为①③．【解题方法总结】概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．题型五：互斥事件与对立事件例13．（2024·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】C【解析】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.故选：C例14．（2024·全国·高三专题练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【答案】C【解析】对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，A ∴不正确；对于B ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B ∴不正确；对于C ：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，C ∴正确；对于D ：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，D ∴不正确；故选：C .例15．（2024·四川宜宾·统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A ．事件1与事件3互斥B ．事件1与事件2互为对立事件C ．事件2与事件3互斥D ．事件3与事件4互为对立事件【答案】B【解析】由题可知，事件1可表示为：{}13,5A =,,事件2可表示为：{}2,4,6B =,事件3可表示为：{}4,5,6C =,事件4可表示为：{}1,2D =,因为{}5A C = ，所以事件1与事件3不互斥，A 错误；因为A B ⋂为不可能事件，A B ⋃为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B 正确；因为{}4,6B C = ，所以事件2与事件3不互斥，C 错误；因为C D ⋂为不可能事件，C D ⋃不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D 错误；故选：B.变式14．（2024·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治【答案】D【解析】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.故选:D.，，个，从中任取2个，则互斥而不变式15．（2024·全国·高二）袋内分别有红､白､黑球321对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红､黑球各一个【答案】D【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A中事件不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，即可能是一个白球和一个黑球，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故二者互斥，从袋中任取2个也可能是两个红球，即二者可能都不发生，故二者不对立，故选：D变式16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）从1，2，3，L，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（）A．“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B．“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C．“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D．“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇。

2020年高考数学(文科)一轮复习第52讲随机事件的概率

听课手册第52讲随机事件的概率课前戏基巩1. 概率和频率(1) 频率:在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)= ______________ 为事件A出现的________ .(2) 概率:对于给定的随机事件A,在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并_______________ ，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小,并把这个常数称为随机事件A的_________，记作P(A).(3) 频率与概率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个_________ 的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值.2. 事件的关系与运算3. 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：(2) 必然事件A的概率P(A)= _______ .(3) 不可能事件A的概率P(A)= ________ .⑷概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥则P(A U B)= _________________ .(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)= _____________题组一常识题1. ［教材改编］一次射击训练中,66名队员各射击一次，所得环数统计如下3环,2人;4环,4人;5环,9人;6环,18人;7环,11人;8环,12人;9环,7人;10环,3人•则不少于7 环的频数为___________________ 不少于7环的概率约为___________ .2. __________________________________________ ［教材改编］给出下列命题，其中真命题有________________________________________________ 个.①有一大批产品，已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面，因此正面出现的概率是-；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率•3. ________________________________________________ ［教材改编］如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，那么取到红心的概率是-, 取到方块的概率是-，则“取到红心”与“取到方块” ______________________________________________ (填“互斥事件”对立事件”),取到黑色牌的概率是_________ .题组二常错题♦索引：混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误；频率与概率的关系理解不清致错•4•从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，给出下列四组事件：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②两个都是偶数和两个都是奇数；@至少有一个是奇数和两个都是偶数；®至少有一个是奇数和至少有一个是偶数•上述每组事件中，是互斥事件的有__________ ；是对立事件的有________ •5•某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数10 20 50 100 200 500击中靶心次数8 19 44 92 178 455则这个射手射击一次，击中靶心的概率约为__________ 6•同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是O探究点一事件关系的判断例1⑴在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张,若事件2张全是移动卡”的概率是一，那么概率为一的事件是()A. 至多有1张移动卡B. 恰有1张移动卡C. 都不是移动卡D. 至少有1张移动卡⑵口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2个小球•事件A= “取出的2个小球同色”，事件B= “取出的2个小球中至少有1个黄球”，事件C= “取出的2个小球中至少有1个白球”，事件D= “取出的2个小球不同色”，事件E= “取出的2个小球中至多有1个白球”. 下列结论中，正确结论的序号为_____________ .①A与D为对立事件；购8与C是互斥事件：③匚与E是对立事件；④P (C U E)=1.［总结反思］判断事件关系时的常用方法(1) 利用集合观点判断事件关系；(2) 写出所有的试验结果，看所求事件中击中靶心次数8 19 44 92 178 455包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系变式题（1）口袋中装有形状相同的3个白球和4个黑球，从中任取3个球则:①恰有1个白球和全是白球②至少有1个白球和全是黑球：③至少有1个白球和至少有2个白球④至少有1 个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为（）A. ①B.②C.③D.④⑵有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是（）A. 互斥但不对立事件B. 对立事件C. 相互独立事件D. 以上都不对O探究点二随机事件的频率与概率例2 ［2017 •全国卷川］某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元,售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温（单位：C ）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶;如果最高气温位于区间［20，25），需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；⑵设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位:元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.［总结反思］(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的变化而变化，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小有时也用频率作为随机事件概率的估计值•(2)求频率的关键是确定频数，解题时要将已知条件转化为确定频数的条件，从而计算频数•变式题某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率(1) 求这30天中日销售量低于100枝的概率；(2) 若此花店在日销售量低于100枝的时候选择一天做促销活动，求这一天恰好是在日销售量低于50枝时的概率.O探究点三互斥事件与对立事件的概率例3经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下求:(1)至多2人排队等候的概率⑵至少3人排队等候的概率.［总结反思］求复杂事件概率的两种常用方法：(1) 直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算•(2) 间接法:先求此事件的对立事件，再用公式P(A) = 1-P「)求得，即运用逆向思维(正难则反)求解,特别是“至多” “至少”型题目，用间接法往往会比较简便变式题某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个•设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖分别为事件A,B,C,求：(1) P(A),P(B),P(C);(2) 1张奖券的中奖概率；(3) 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率•完成课时作业(五十二)。

人教版高中数学必修第二册10.3 频率与概率同步精练(含解析)

人教版高中数学必修第二册10.3频率与概率同步精练【考点梳理】考点一频率的稳定性在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).考点二随机模拟用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.【题型归纳】题型一：频率与概率的计算1．（2022·全国·高一）下列四个命题中正确的是（）A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是51 100C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是9 502．（2020·天津东丽·高一期末）考虑掷硬币实验，设A “正面朝上”，则下列论述正确的是（）A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为1 3B．掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.53．（2022·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（）A．715B．25C．1115D．1315题型二、频率与概率的关系4．（2022·陕西咸阳·高一期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A “正面向上”，则下列说法正确的是（）A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小5．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（）A．某医院治疗某种疾病的治愈率为20%，前8人没有治愈，则后两个人一定治愈B．甲乙两人乒乓球比赛，乙获胜的概率为25，则比赛5场，乙胜2场C．某种药物对患有咳嗽的400名病人进行治疗，结果有300人有明显效果.现对咳嗽的病人服用此药，则估计会有明显疗效的可能性为75%D．随机试验的频率与概率相等6．（2021·全国·高一课时练习）以下是表述“频率”与“概率”的语句：①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；③计算频率通常是为了估计概率．其中正确的语句为（）A．①②B．①③C．②③D．①②③题型三：用随机模拟估计概率7．（2021·全国·高一）农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是40cm的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（）A ．2500cmB ．2560cmC ．2820cmD ．21040cm 8．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高二上学期第一模块（期末）数学（理）试题）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A ．19B ．318C ．29D ．5189．（2022·全国·高一专题练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：70325632564586314248656778517782684612256952414788971568321568764244586325874689433157896145689432154786335698412589634125869765478232274168则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.题型四、概率思想的实际应用一、单选题10．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是A ．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜B ．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜D ．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜11．（2022·全国·高一课时练习）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.i j分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；（1）设(,)（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.12．（2021·全国·高一课时练习）某校为庆祝中华人民共和国建国70周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：分数段频数频率x≤<0.156070≤<m0.457080x≤<60n8090xx≤<90100请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）求上表中的数据m、n的值；（2）通过计算，补全频数分布直方图；（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？（4）如果比赛成绩在80分以上（含80分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？【双基达标】一：单选题13．（2022·全国·高一专题练习）关于频率和概率，下列说法正确的是（）①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为23；②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.A ．②④B ．①④C ．①②D ．②③14．（2022·全国·高一专题练习）将A ，B 两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：投篮次数102030405060708090100A投中次数7152330384553606875投中频率0.7000.7500.7670.7500.7600.7500.7570.7500.7560.750B投中次数8142332354352617080投中频率0.8000.7000.7670.8000.7000.7170.7430.7630.7780.800下面有三个推断：①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767；②随着投篮次数的增加，A 运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 运动员投中的概率是0.750；③当投篮达到200次时，B 运动员投中次数一定为160次.其中合理的是（）.A ．①B ．②C ．①③D ．②③15．（2019·福建·莆田第十五中学高一期中）下列说法正确的有()①随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．③任意事件A 发生的概率()P A 总满足()01P A <<.④若事件A 的概率为0，则A 是不可能事件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个16．（2021·全国·高一课时练习）袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（）A．19B．318C．29D．51817．（2021·全国·高一课时练习）下列不能产生随机数的是()A．抛掷骰子试验B．抛硬币C．计算器D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体18．（2021·广东·深圳中学高一期末）容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号12345678频数1013x141513129第3组的频数和频率分别是（）A．0.14和14B．14和0.14C．0.24和24 D．24和0.2419．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．任何事件的概率总是在（0，1）之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定20．（2022·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.521．（2021·全国·高一课时练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：95339522001874720018387958693281 789026928280842539908460798024365987388207538935据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（）A．310B．25C．720D．92022．（2021·全国·高一课时练习）在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是12．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下：116785812730134452125689024169 334217109361908284044147318027若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）A．35B．25C．1320D．120【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高一课时练习）池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：9533952200187472001838795869328178902692 8280842539908460798024365987388207538935 9635237918059890073546406298805497205695 1574800832166470508067721642792031890343据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（）A．34B．25C．2140D．174024．（2021·陕西咸阳·高一期末）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A．0.9B．0.8C．0.7D．0.625．（2021·全国·高一课时练习）气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（）A．本市明天将有90%的地区降雨B．本市明天将有90%的时间降雨C．明天出行不带雨具肯定会淋雨D．明天出行不带雨具可能会淋雨26．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.927．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率B．掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件C．甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A B+=“恰有一人中靶”D．拋掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于1228．（2022·全国·高一专题练习）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为i a或aa，B型的基因类型为i b或bb，AB型的基因类型为ab，其中a、b是显性基因，i是隐性基因.若一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，一个B型，基因类型为i b.则他们的子女的血型为（）A．O型或A型B．A型或B型C．B型或AB型D．A型或AB型”，29．（2022·全国·高一专题练习）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是12小明做了下列三个模拟实验来验证．①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥(如图)，从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，不科学的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、多选题(共0分)30．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中，正确的是（）A ．频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B ．频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C ．做n 次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率mn就是事件的概率；D ．频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.31．（2021·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A ．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6B ．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报C ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同D ．大量试验后，可以用频率近似估计概率.32．（2022·全国·高一单元测试）利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（）A ．7()10P B =B ．()0P A B ⋂=C ．7()100P B C ⋂=D ．9()10P A B ⋃=33．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（）A ．m 的值是32%B ．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C ．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件34．（2021·全国·高一课时练习）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（）A．①B．②C．③D．④35．（2021·全国·高一单元测试）（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（）A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为23B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次36．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率B．某种福利彩票的中奖概率为11000，买1000张这种彩票一定能中奖C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为49 100D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水三、填空题(共0分)37．（2021·全国·高一课时练习）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.38．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期中）从存放号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数1785769189129取到号码为奇数的频率为______．39．（2022·全国·高一课时练习）袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231031*********233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.40．（2021·全国·高一课时练习）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：9328124585696834312573930275564887301135据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为______．41．（2021·全国·高一课时练习）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________．42．（2022·全国·高一课时练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：g ）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5g 之间的概率为_______.四、解答题(共0分)43．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：年龄（岁）[)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,100频数50a32030080（Ⅰ）求a 的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.44．（2021·全国·高一课时练习）某制造商2019年8月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位:mm ），将数据分组如下表:分组频数频率[)39.95,39.9710[)39.97,39.9920[)39.99,40.0150[]40.01,40.0320合计100（1）请将上表补充完整；（2）已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率. 45．（2022·全国·高二课时练习）某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示:鱼卵数200600900120018002400孵化出的鱼苗数188548817106716142163孵化成功的频率0.9400.9130.908①0.897②（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）?（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率.（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）?46．（2021·全国·高一课时练习）某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：本科研究生合计35岁以下50358535-50岁20133350岁以上10212从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率；（1）具有本科学历；（2）35岁及以上；（3）35岁以下且具有研究生学历.47．（2021·全国·高一课时练习）有人说:“掷一枚骰子一次得到的点数是2的概率是16,这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2.”对此说法,同学中出现了两种不同的看法:一些同学认为这种说法是正确的.他们的理由是:因为掷一枚骰子一次得到点数是2的概率是16,所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率P=16×6=1,即“掷一枚骰子6次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生.还有一些同学觉得这种说法是错误的,但是他们却讲不出是什么理由来.你认为这种说法对吗?请说出你的理由.48．（2022·全国·高二课时练习）一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？49．（2021·全国·高一课时练习）有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:A．猜“是奇数”或“是偶数”B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.【答案详解】1．D【解析】【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可.【详解】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；对于B，抛硬币出现正面的概率是12，而不是51100，故B错误；对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.故选：D2．D【解析】【分析】对A，根据随机事件的概率即可求解；对B，C，D，根据随机事件的频率和概率的定义即可判断.【详解】解：对A，掷2次硬币，有4个基本事件，其中“一个正面，一个反面”有两个基本事件，故该事件发生的概率为12，故A错误；对B，掷10次硬币，事件A发生的次数不一定是5，故B错误；对C，重复掷硬币，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率，故C错误；对D，当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近事件A发生的频率，即0.5，故D正确.故选：D.3．C【解析】由题意得,4500200210010001200n=---=,随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为120021003300+=,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为330011450015=,即可求得答案.【详解】由题意得,4500200210010001200 n=---=,随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为120021003300+=,∴随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为330011 450015=.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为11 15 .故选:C【点睛】本题考查了用频率估计概率,解题关键是频率和概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4．D【解析】【分析】根据频率与概率的关系可得答案.【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；故选：D5．C【解析】【分析】利用概率的概念，性质，意义直接求解即可.【详解】解：在A中，某医院治疗某种疾病的治愈率为20%，是说明有多大把握治愈，而不是具体的多少人能够治愈，故A错误；在B中，概率是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，虽然乙获胜的概率为25，但是比赛5场，乙胜2场的说法不符合定义，故B错误；在C中，估计会有明显疗效的可能性为3000.7540075%==，故C正确；在D中，频率和概率是两个不同的概念，故D错误.故选：C.6．D【解析】【分析】由频率和概率的定义以及频率和概率的关系判断①②③，即可得正确答案.。

高中频率与概率知识点总结

高中频率与概率知识点总结概率和频率是数学中非常重要的概念，广泛应用于统计学、概率论、生物学、经济学等众多领域。

在高中数学中，概率和频率也是必修的知识点。

在这篇文章中，我们将对概率和频率进行深入的讨论，包括基本概念、概率和频率的关系、常见概率分布、概率统计的应用等内容。

一、基本概念1. 概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小，它通常用一个介于0和1之间的数字来表示，0表示不可能发生，1表示肯定发生。

在数学上，概率可以通过实验和统计的方法进行计算。

2. 随机事件随机事件是指在一定条件下，能以不确定的结果而发生的事件。

比如抛硬币的结果、掷骰子的点数等都属于随机事件。

3. 频率频率指的是在一定条件下某一事件发生的次数与总次数的比值。

频率是通过实验或统计的方法得到的，是一种相对的数量。

4. 样本空间和事件空间样本空间是指某个随机事件发生时，可能出现的所有结果所构成的集合。

事件空间则是指样本空间中满足某种条件的事件所构成的集合。

5. 等可能性原理如果一个试验的每一种结果发生的可能性均等，那么该试验的每一种事件发生的可能性也是等可能的。

这个原理在概率计算中起到非常重要的作用。

二、概率与频率的关系1. 大数定律大数定律是指在相当多次的独立重复试验中，事件发生的频率会趋近于它的概率。

这个定律从概率与频率的关系上得到了很好的解释。

2. 经验概率经验概率是指通过大量实验或观察得到的一个事件发生的频率。

当实验次数足够多时，经验概率会很接近于真实概率。

3. 概率的计算概率的计算方法有多种，包括古典概率法、几何概率法、条件概率法、贝叶斯概率法等。

这些方法在实际问题中都有着不同的应用。

三、常见概率分布1. 离散随机变量和连续随机变量离散随机变量的取值是有限的或者可列的，比如抛硬币的结果、掷骰子的点数等；而连续随机变量的取值是连续的，比如身高、体重等。

2. 均匀分布当一个随机事件的每一个结果发生的可能性均等时，我们称其服从均匀分布。

2025高考数学一轮复习-10.4-随机事件、频率与概率【课件】

事件 B 是对立事件，则至少取得一个红球的概率 P(A)＝1－P(B)＝1－115＝1145.
考点突破题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
1.(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是( BCD)
A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 解析排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选BCD.
显然A与D是对立事件，A正确；
C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确.
例1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，
0.3，0.3，则下列说法正确的是( D )
A.A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B.B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C.A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D.A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件解析 A中，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误； B中，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B 错误；

高考数学专题概率《频率与概率》第二课时突破解析

第2课时频率与概率必备知识基础练1.下列说法中正确的是()A.任意事件的概率总是在(0,1)之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定[0,1]之间,其中必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0,“任意事件”包含“必然事件”和“不可能事件”,故A错误.只有通过试验,才会得到频率的值,故频率不是客观存在的,一般来说,当试验的次数不同时,频率是不同的,它与试验次数有关,故B错误.当试验次数增多时,频率值会逐渐接近于事件发生的概率,故C正确.概率是一个确定的值,它不是随机的,它是频率的稳定值,故D错误.故选C.2.某地气象局预报:明天本地降水的概率为80%,则下列解释正确的是()A.明天本地有80%的区域降水,20%的区域不降水B.明天本地有80%的时间降水,20%的时间不降水C.明天本地降水的可能性是80%D.以上说法均不正确A,B显然不正确,因为明天本地降水的概率为80%而不是说有80%的区域降水,也不是说有80%的时间降水,而是指降水的可能性是80%.3.设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8 000件产品中合格品的件数大约为()A.160B.7 840C.7 998D.7 800(1-2%)=7 840(件).4.将一枚质地均匀的硬币连掷两次,则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比为.∶1(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).至少出现一次正面有3个样本点,两次均出现反面有1个样本点,故概率比为3∶1.5.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:则落在桌面的数字不小于4的频率为..35=0.35.4,即为数字4,5的频数为13+22=35,所以频率为351006.从一堆苹果中任取了20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如下表:这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的%.120克的苹果的频率,来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例,实质上也是用频率估算概率.×100%=70%.由题意知10+3+1207.某教授为了测试甲地区和乙地区的同龄儿童的智力,出了10个智力题,每个题10分,然后作了统计,下表是统计结果.甲地区:乙地区:(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保留3位有效数字);(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率.甲地区依次填:0.533,0.540,0.520,0.520,0.512,0.503.乙地区依次填:0.567,0.580,0.560,0.555,0.552,0.550.(2)甲地区和乙地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55,故概率分别为0.5和0.55.关键能力提升练8.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚.为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 ( )A.715 B.25C.1115D.1315,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满足”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为3 3004 500=1115.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为1115.9.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2 020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为( )A.222石B.224石C.230石D.232石,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,估计夹谷占有的概率为30270=19,所以2 020石米中夹谷约为2 020×19≈224(石). 10.(多选)下列说法中不正确的有( )A.抛掷一枚均匀硬币9次的试验中,结果有5次出现正面,所以出现正面的频率是59B.盒子中装有大小均匀的3个红球、3个黑球、2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同D.分别从2名男生、3名女生中各选1名作为代表,那么每名学生被选中的可能性相同选项中,频率为59,正确;B 选项中,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率;C 选项中,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率;D 选项中,男生被选中的概率为12,而女生被选中的概率为13,故BCD 均不正确.11.(多选)下列说法中,正确的是( )A.频率反映随机事件的频繁程度,概率反映随机事件发生的可能性大小B.频率是不能脱离n 次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值C.做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率m就是事件的概率nD.频率是概率的近似值,而概率是频率的稳定值,是随机数值,概率反映事件发生的可能性大小,是确定数值,所以选项A正确;频率是不能脱离具体的n次试验的实验值,而概率具有确定性,是不依赖于试验次数的理不一定是事件的概率,故论值,所以选项B正确;做n次随机试验,事件发生m次,则事件发生的频率mnC错误;频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,所以选项D正确.故选ABD.12.(多选)(2021湖北孝感孝南月考)下列说法错误的有()A.随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值B.在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生C.任意事件A发生的概率P(A)满足0<P(A)<1D.若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是不可能事件,依次分析选项:随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,A正确,在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生,B正确,任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1,C错误,不可能事件的概率为0,D错误,故选CD.13.给出下列4个说法:①现有一批产品,次品率为0.05,则从中选取200件,必有10件是次品;;②做100次抛掷一枚硬币的试验,结果有51次出现正面向上,因此,出现正面向上的概率是51100③抛掷一枚骰子100次,有18次出现1点,则出现1点的频率是9;50④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率.其中正确的说法是.(填序号)0.05,即出现次品的概率(可能性)是0.05,所以200件产品中可能有10件是次品,并非“必有”,故①错;在100次具体的试验中,正面向上的次数与试验的总次数之比是频率,而不是概率,故②错;③显然正确;由概率的定义知,概率是频率的稳定值,频率在概率附近摆动,故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率,故④错.故正确的说法是③.14.从某自动包装机包装的食品中,随机抽取20袋,测得各袋的质量(单位:g)分别为:492,496,494,495,498,497,503,506,508,507,497,501,502,504,496,492,496,500,501,499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5~501.5 g之间的概率为..25497.5~501.5 g之间的有5袋,所以其频率为5=0.25.由此我们可以估计质量在20497.5~501.5 g之间的概率为0.25.15.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果.投资成功投资失败192次8次该公司一年后估计可获收益的平均数是元.解析应先求出投资成功与失败的概率,再计算收益的平均数,设可获收益为x万元,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%,一年后公司成功的概率估计为192200=2425,失败的概率估计为8 200=125,所以一年后公司收益的平均数x=5×12%×2425-5×50%×125×10 000=4 760(元).16.某校高二年级1,2班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.1班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3和4,5,6,7的两个转盘(如图所示)设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时1班代表获胜,否则2班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么?,理由如下:各种情况如下表所示:由上表可知该游戏可能出现的样本点共有12个,其中两数字之和为偶数的有6个,为奇数的也有6个,所以1班代表获胜的概率P1=612=12,2班代表获胜的概率P2=612=12,即P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.学科素养创新练17.用一台自动机床加工一批螺母,从中抽出100个逐个进行直径检验,结果如下:从这100个螺母中任意抽取一个,求:(1)事件A(6.92<d≤6.94)的频率;(2)事件B(6.90<d≤6.96)的频率;(3)事件C(d>6.96)的频率;(4)事件D(d≤6.89)的频率.=0.43.事件A的频率为17+26100(2)事件B的频率为10+17+17+26+15+8=0.93.100(3)事件C的频率为2+2=0.04.100(4)事件D的频率为1=0.01.100。

高考概率与频率知识点归纳

高考概率与频率知识点归纳在高考数学中，概率与频率是一个不可或缺的重要知识点。

概率和频率都是研究事件发生的可能性的数学工具，但在实际应用中有着不同的角度和方法。

本文将对高考中常见的概率与频率的相关知识进行归纳，帮助考生更好地掌握这一部分内容。

一、概率的基本概念概率是描述一个事件发生可能性的数字，其取值范围在0到1之间。

其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

对于一个随机试验，其样本空间是指所有可能的结果构成的集合，而事件是样本空间中的一个子集。

在概率论中，有两种基本的计算概率的方法：古典概型和几何概型。

古典概型适用于试验的结果有限且等可能的情况。

在这种情况下，事件A发生的概率可以用公式P(A) = n(A)/n(S)来计算，其中n(A)代表事件A包含的样本点数目，n(S)代表样本空间中的样本点总数。

几何概型适用于试验的结果不是等可能的情况。

在这种情况下，我们可以通过对样本空间进行测度或使用几何方法计算概率。

二、概率的运算法则在概率的运算中，有几个常用的法则需要掌握。

1.加法法则：对于两个事件A和B，P(A或B) = P(A) + P(B) -P(A且B)。

其中P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

2.乘法法则：对于两个独立事件A和B，P(A且B) = P(A) × P(B)。

其中独立事件指事件A的发生与事件B的发生无关。

3.全概率公式：对于一组互斥且完备的事件A1, A2, ..., An，满足A1∪A2∪...∪An = S，其中S为样本空间。

对于任意事件B，有P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An)。

三、条件概率与独立性条件概率是指在已知某个前提条件下发生的概率。

对于两个事件A和B，已知事件B发生的情况下事件A发生的概率称为在事件B下事件A的条件概率，表示为P(A|B)。

在概率运算中，条件概率与独立性是两个重要的概念。

2020年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第10章第4讲随机事件的概率 Word版含解析

第4讲随机事件的概率最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.知识梳理1.频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率.(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率.2.事件的关系与运算3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B ).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.( ) (3)若随机事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1.( )(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为( ) A.① B.② C.③D.④解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生.∴②中两事件是对立事件. 答案 B3.(2016·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( ) A.56B.25C.16D.13解析设“两人下成和棋”为事件A ，“甲获胜”为事件B .事件A 与B 是互斥事件，所以甲不输的概率P ＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋13＝56.答案 A4.(2017·威海模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________.解析由题意知，所求概率P ＝17＋1235＝1735. 答案 17355.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.40和0.35，那么黑球共有________个.解析任取一球是黑球的概率为1－(0.40＋0.35)＝0.25，∴黑球有100×0.25＝25(个). 答案 256.(2017·绍兴一中检测)口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球的概率为________；是白球的概率为________.解析设摸出红球的概率是P (A )，摸出黄球的概率是P (B )，摸出白球的概率是P (C )，∴P (A )＋P (B )＝0.4，P (A )＋P (C )＝0.9，∴P (C )＝1－P (A )－P (B )＝0.6，P (B )＝1－P (A )－P (C )＝0.1. 答案 0.1 0.6考点一随机事件间的关系【例1】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③解析从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件.又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件.答案 C规律方法(1)本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念.①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.【训练1】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”.下列判断中正确的序号为________.①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C).解析当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确.当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确.显然A与D是对立事件，①正确；C∪E不一定为必然事件，P(C∪E)≤1，④不正确.由于P(B)＝45，P(C)＝35，所以⑤不正确.答案①考点二随机事件的频率与概率【例2】(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)记A(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.规律方法(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.【训练2】(2015·北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.考点三互斥事件与对立事件的概率【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟).(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3彼此是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7 10.规律方法(1)①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误.(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.【训练3】某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解(1)P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120.故事件A，B，C的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[思想方法]1.对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A ).2.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生.3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反). [易错防范]1.易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数.2.正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3.需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，任意两人不能同一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对解析由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.答案 A2.(2017·合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3解析事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案 C3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率为710的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为710.答案 A4.某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( ) A.15B.16C.56D.3536解析设a ，b 分别为甲、乙摸出球的编号.由题意，摸球试验共有36种不同结果，满足a ＝b 的基本事件共有6种.所以摸出编号不同的概率P ＝1－636＝56. 答案 C5.掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( ) A.13B.12C.23D.56解析掷一个骰子的试验有6种可能结果. 依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23， ∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13， ∵B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23. 答案 C 二、填空题6.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品.其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件. 答案 ③ ② ①7.给出下列三个命题，其中正确命题有________个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念. 答案 08.某城市2017年的空气质量状况如表所示：100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________.解析由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35. 答案 35 三、解答题9.某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y ，z 的值. 解记事件“在竞赛中，有k 人获奖”为A k (k ∈N ，k ≤5)，则事件A k 彼此互斥. (1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56， ∴P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋x ＝0.56. 解得x ＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P (A 5)＝1－0.96＝0.04，即z ＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.10.(2015·陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.解(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝1416＝78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为7 8.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设事件A，B，已知P(A)＝15，P(B)＝13，P(A∪B)＝815，则A，B之间的关系一定为()A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件解析因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件. 答案 B12.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________.解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是 P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.答案 35 131513.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ∪B )＝________.解析将事件A ∪B 分为：事件C “朝上一面的数为1，2”与事件D “朝上一面的数为3，5”.则C ，D 互斥，且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ∪B )＝P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝23. 答案 2314.一个袋子中装有大小和形状相同的红球、白球和蓝球，其中有2个红球，3个白球，n 个蓝球.(1)若从中任取一个小球为红球的概率为14，求n 的值；(2)若从中任取一个小球为白球或蓝球的概率为23，求从中任取一个小球不是蓝球的概率.解 (1)设任取一个小球得到红球、白球、蓝球的事件分别为A ，B ，C ，它们是彼此互斥事件，由已知得P (A )＝14，∴22＋3＋n＝14，解得n ＝3. (2)∵P (B ＋C )＝23，由对立事件的概率计算公式知，取一个球为红球的概率为P (A )＝1－P (B ＋C )＝1－23＝13，∴22＋3＋n ＝13，解得n ＝1，∴P (C )＝16，∴从中任取一个小球不是蓝球的概率P (C )＝1－16＝56.15.(2017·昆明诊断)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1) (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.。

2020高三数学(人教版)一轮复习随机事件的概率

解：(1)是互斥事件但不是对立事件．因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的．同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立． (2)是互斥事件又是对立事件．因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生． (3)不是互斥事件，更不是对立事件．因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生，如抽得12.
[自主解答] 任取3只球，共有以下4种可能结果： “3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3 只白球”．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件．
(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件．
(2)必然事件的概率P(E)＝ 1 . (3)不可能事件的概率P(F)＝ 0 .
(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ．
若事件A与B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B) ＝ 1 ，P(A)＝ 1－P(B) ．
[自测] 1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么
答案：B
4．某城市2012年的空气质量状况如下表所示：污染指数 T 30 60 100 110 130 140
概率 P
11 1 7 2 1 10 6 3 30 15 30
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空
气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染．该城
市2012年空气质量达到良或优的概率为( )

高考数学频率知识点

高考数学频率知识点频率是数学中一个重要的概念，它描述了事件发生的频繁程度。

在高考数学中，频率知识点是必考的内容之一。

本文将从频率的定义、计算方法以及相关应用等方面，详细介绍高考数学中的频率知识点。

1. 频率的定义频率是指一个事件发生的次数与总次数的比值。

在概率统计中，频率用来描述事件发生的相对可能性。

频率可以以小数、百分数或比例的形式表示。

2. 频率的计算方法频率的计算取决于事件发生的次数和总次数。

对于给定的事件发生次数n和总次数N，频率的计算公式如下：频率 = 事件发生次数 / 总次数3. 频率的相关概念在频率的学习中，还存在着一些相关的概念，如相对频率、累积频率等。

- 相对频率是指某一事件发生次数与总次数的比值。

它与频率的计算方法相同，只是相对频率更侧重于描述事件发生的相对可能性，而不涉及具体的数值。

- 累积频率是指事件发生次数累积的频率。

累积频率可以用来描述事件发生的递增趋势，通过构建累积频率表或累积频率曲线，可以更好地分析事件发生的规律。

4. 频率分布表和频率分布直方图频率分布表是一种以表格形式展示频率的统计工具，它包含了事件发生次数、频率、相对频率等信息。

频率分布表可以通过统计调查或实验数据来获得，通过对数据的整理和汇总，可以更直观地观察事件发生的规律。

频率分布直方图是一种以图形形式展示频率的统计工具，它通过绘制矩形或条形图来描述事件发生次数的分布情况。

频率分布直方图可以更好地观察事件发生的集中趋势和变异程度。

5. 频率知识点在高考数学中的应用频率知识点在高考数学中具有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：- 概率计算：频率是概率的近似估计，通过频率的计算可以近似地估算事件发生的概率。

高考数学中常涉及概率计算题，掌握频率知识点有助于解答相关题型。

- 数据分析：频率分布表和频率分布直方图可以帮助我们更好地理解和分析数据。

在高考数学中，常常会出现与数据处理和分析相关的题目，掌握频率知识点可以提高解题效率。

高考数学复习考点知识讲解课件55 随机事件频率与概率

若最高气温不低于 25，则 Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，
则 Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于 20，
则 Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.
所以，Y 的所有可能值为 900,300，－100.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为
图示
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(新教材) 高三总复习•数学
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3.事件的关系
定义
表示法
包含若事件 A 发生，事件 B 一定发生，称事件 B⊇A
关系 B 包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B) (或 A⊆B)
互斥如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，称若 A∩B＝∅，
事件事件 A 与事件 B 互斥(或互不相容)
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满
意”的概率是( C )
A．175
B．25
C．1115
D．1135
[解析] 由题意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满意”
或“满意”的人数为 1200＋2100＝3300，所以所求概率为34350000＝1115.故选 C．
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(新教材) 高三总复习•数学
考点二随机事件的频率与概率——师生共研
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【例 1】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售
价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销

高中数学新教材必修第二册专题10.3 频率与概率(解析版)

10.3 频率与概率运用一频率与概率【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为（）A．49 B．0.5C．0.51 D．0.49（2）（2020·山东高二期中）某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%【答案】（1）C（2）D【解析】（1）由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为51100＝0.51.故选：C（2）合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率.故选D【举一反三】1．（2019·上海市宜川中学高二期末）下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（）（1）在大量随机试验中，事件A出现的频率与其他概率很接近；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；（3）计算频率通常是为了估计概率．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【答案】D【解析】（1）在大量随机试验中，事件A出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命题；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题；（3）计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题.故选：D2．（2019·河北鹿泉区第一中学高二开学考试）下列说法正确的是( )A．在一次抽奖活动中，“中奖概率是1100”表示抽奖100次就一定会中奖B．随机掷一枚硬币，落地后正面一定朝上C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和一定为6D．在一副没有大、小王的52张扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是1 13【答案】D【解析】对于A选项，中奖是随机事件，不代表抽100次就一定会中奖，故A选项错误.对于B选项，正面朝上是随机事件，故B选项错误.对于C选项，朝上点数和可以是212中的一个数字，故C选项错误.对于D选项，根据古典概型概率计算公式可得：所求概率为415213=，故D选项正确.综上所述，本小题选D.3．（2019·全国高一）在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( )A．0.49 B．49 C．0.51 D．51【答案】D【解析】由题意知“正面朝上”的次数为0.4910049⨯＝，故“正面朝下”的次数为1004951－＝．故选D．4．（2019·湖北高一月考）[2019·茶陵二中]掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（）A．1999B．11000C．9991000D．12【答案】D【解析】每一次出现正面朝上的概率相等都是12，故选D.运用二概率在生活中运用【例2】（2018·全国高一课时练习）小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则____.(填“公平”或“不公平”)【答案】不公平【解析】当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是2支，第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜.所以不公平.故答案为不公平【举一反三】1．（2017·全国高一课时练习）张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是____.①抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜【答案】②【解析】在②中，张明获胜的概率是12，而张华获胜的概率是14，故不公平，而①③④中张明、张华获胜的概率都为12，公平.故答案为②2．（2017·全国高一课时练习）玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗?_____.(填“公平”或“不公平”)【答案】不公平【解析】如题图所示,所标的数字大于3的区域有5个,而小于或等于3的区域只有3个,所以玲玲先走的概率是58，倩倩先走的概率是38，所以不公平；故答案为不公平1．（2019·全国高二单元测试）下列说法正确的有( )①随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．③任意事件A 发生的概率()P A 总满足()01P A <<.④若事件A 的概率为0，则A 是不可能事件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A 发生的概率P (A )满足()01P A ，∴③错误；又①正确．∴选C.2．（2019·湖北高二月考）某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（）A ．明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨B ．明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨C ．明天本地下雨的机会是80%D ．气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报【答案】C【解析】根据概率的意义可得“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%．故选C ．3．（2018·宾阳县宾阳中学高二月考（文））下列说法正确的是（）A ．某厂一批产品的次品率为110，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品 B ．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5C ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D ．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨【答案】B【解析】A.产品的次品率是通过大量的产品通过实验得到的数据，题目中的产品个数很少，故不正确；B.掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量实验得到的准确的值，和实验次数无关，故正确；C.解释同A选项，也不正确；D．事件的概率是大量实验后得到的结果，是准确的值，和实验次数无关，但是D选项的说法体现的不是概率的概念，故不正确．4．（2018·全国高二课时练习）张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是()①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.A．①②B．②C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为12，所以公平；②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为12，所以公平；④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等可能的，均为12，所以公平；.故选B.5．（2017·全国高一课时练习）某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司,其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3 000辆帕萨特出租车,乙公司有3 000辆桑塔纳出租车,100辆帕萨特出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理()A．甲公司B．乙公司C．甲与乙公司D．以上都对【答案】B【解析】该市两家出租车公司共有桑塔纳出租车3100辆，则甲公司出租车肇事的概率为P1001310031==，乙公司出租车肇事的概率为P300030310031==，显然乙公司肇事的概率远大于甲公司肇事的概率．故认定乙公司肇事较合理．故选B6．（2019·山东高考模拟（文））某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，改款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换.其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元.记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M .如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图.（1）结合图，写出集合M ；（2）根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元的概率（以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率）；（3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠（使用过程中如需再购买无优惠）.假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a 个一级滤芯、b 个二级滤芯作为备用滤芯（其中b M ∈，14a b +=），计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数.并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？【答案】（1）{}3,4M =；（2）0.3；（3）见解析.【解析】（1）由题意可知当一级滤芯更换9、10、11个时，二级滤芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，所以{}3,4M =；（2）由题意可知二级滤芯更换3个，需1200元，二级滤芯更换4个，需1600元，在100台净水器中，二级滤芯需要更换3个的净水器共70台，二级滤芯需要更换4个的净水器共30台，设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件A ，所以()300.3100P A ==；（3）因为14a b +=，b M ∈，（i ）若10a =，4b =，则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为()()10010301001020040100104003020041002000100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（ii ）若11a =，3b =，则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为 ()()100117010011200302003702003400301880100⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14个，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个。