第1章 集合1.1 集合的含义及其表示(优秀经典公开课比赛教案)

第1章 集合1.1 集合的含义及其表示

一、 学习内容、要求及建议

知识、方法

要求 建议

集合的概念 确定性、互异性、无序性 了解 集合是不定义的原始概念，通过举例进行概念辨析；会用适当的方法表示集合；数形结合、分类讨论思想在集合中有重要应用.

集合的表示 列举法、描述法、Venn 图

了解 元素与集合、集合与集合的关系

属于、包含

了解

二、 预习指导 1. 预习目标

(1)通过预习初步了解集合的概念，能用集合的语言描述具体问题； (2)会判断元素与集合的关系；知道几个常用数集的表示方法； (3)会用列举法、描述法及Venn 图表示集合. 2. 预习提纲

(1)对集合的理解应从初中数学和实际生活中寻找实例，请举例，并与同学交流辨析. (2)对课本中集合的定义的理解要注意关键词的内涵，请找出你认为的关键词.

(3)用列举法、描述法表示集合时，应注意根据问题选择合理的表示方法，归纳一下哪类问题宜用哪种表示法.

(4)课本例1是解一元一次不等式，并将不等式的解用集合的形式表示出来，这是一种常见题型.同学们解不等式要正确，解集的表达也要正确. (5)上网查阅集合论的创始人康托(Cantor)的资料. 3. 典型例题

例1 判断下列描述的对象能否构成集合：

(1)某校高一(1)班的女生； (2)某校高一(1)班比较聪明的女生； (3)某校高一(1)班学生家长；(4)某校高一(1)班经常体育锻炼的学生. 分析：根据集合的定义判断特性所描述的对象是否确定，若对象确定，则他们可以构成集合；反之，则不能构成集合.

解：(1)由于“某校高一(1)班的女生”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班的

女生可以构成集合.

(2)由于“某校高一(1)班比较聪明的女生”所描述的对象不确定，所以，某校高一(1)

班比较聪明的女生不能构成集合.

(3)由于“某校高一(1)班学生家长”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班

学生家长可以构成集合.

(4)由于“某校高一(1)班经常体育锻炼的学生”所描述的对象不确定，所以，某校高 一(1)班经常体育锻炼的学生不能构成集合.

点评：判断某种对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个元素，都确定它是不是给定集合的元素. 例2 用“∈”或“∉”符号填空：

(1)3.14 N ； (2)π R ； (3)2 N ； (4)3 Q ；

(5)sin450 R ； (6)cos450

Z ； (7)4

9 Q ； (8)3 {(2，3)}.

分析：首先了解常用数集符号表示方法，而后判断“数”是否是集合中的元素，最后填写符号“∈”或“∉”.

解：(1) 3.14 ∉N ； (2)π∈R ； (3)2∈N ； (4)3 ∉Q ；

(5)sin450∈R ； (6)cos450

∉Z ； (7)4

9∈Q ； (8)3 ∉{(2，3)} .

点评：判断元素与集合的关系，必须先确定集合是由什么元素组成，然后再判断所给对象是否是集合中的元素.

例3 用适当的方法表示下列集合：

(1)由15的正约数组成的集合； (2)能被3整除的整数；

(3)方程0322=--x x 的解； (4)直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点.

解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15，所以15的正约数组成的集合用列举法表示为

{1，3，5，15}. (2)用描述法表示为{}

Z n n x x ∈=,3.

(3)用列举法表示为{-1，3}.

(4)用描述法表示为{}

R x x y y x ∈=,),（.

点评：(1)列举法表示集合时,要符合互异性，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的顺序无关.列举法一般适用于元素不多的有限集.

(2)描述法表示集合时要符合确定性，元素x 满足的条件p(x)要表达准确.描述法适用于元素比较多的有限集或无限集. 例4 用列举法表示下列集合：

(1)；

为非零实数},,|

||||{b a b

b a a x x A +== (2) },36

|),{(*N x Z x

y y x A ∈∈-=

=. 解：(1)根据绝对值的定义化简b

b a a x |

|||+

=

, 当0,0>>b a 时, 2=x ； 当0,0<

当b a ,异号时, 0=x .所以}2,0,2{-=A . (2)根据元素x 满足的条件

Z x

∈-36且*

N x ∈得到x 的值. x 所取的正整数必须使得x -3整除6,所以6,3,2,13±±±±=-x ,

.9,3,6,0,5,1,4,2-=x 因为*

N x ∈所以.9,6,5,4,2,1=x

所以 )}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A .

点评：用列举法表示集合时，要把元素不重复、不遗漏、不计顺序的全部列出来. 例5 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求实数a 的值.

分析： A ∈1，则33,)1(,222++++a a a a 均有可能为1，则需分类讨论解决，且必须检

验是否满足集合中元素的互异性.

解：(1)若12=+a 则1-=a ；此时，}1,0,1{=A 与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)； (2)若1)1(2=+a ，则0=a 或2-，当0=a 时}3,1,2{=A ，满足题意；当2-=a 时，

}1,1,0{=A 与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)；

(3)若 1332=++a a 则1-=a (舍去)或2-=a (舍去)．

综上所述，0=a ，此时集合}3,1,2{=A .

点评：本题易错原因：忽视元素的互异性.在解决集合问题时常用分类讨论思想，需要弄清“为什么要分类”、“按什么分类”和“怎样进行分类”.

例6 已知集合{}1,1,12A x x =++，集合{}

2

1,,B y y =，且A B =，求实数x 和y 的值.

分析：求未知数x y 和的值，常需要用解方程的方法，根据集合相等，可列出方程组.

解：∵A B =，∴(Ⅰ)2

1,

12;x y x y +=⎧⎨+=⎩或(Ⅱ)21,12.

x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 解方程组(Ⅰ)，得0,

1.x y =⎧⎨=⎩

检验知不合题意，舍去.

解方程组(Ⅱ)，得3,0,4

1 1.;2

x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或检验知0,1.x y =⎧⎨=⎩不合题意，舍去. 综上所述，31,42

x y =-

=-. 4. 自我检测

(1)以下元素的全体不能够构成集合的是 .

①中国古代四大发明； ②地球上的小河流； ③方程210x -=的实数解； ④周长为10cm 的三角形.

(2)方程组{

23

211

x y x y -=+=的解集是 .

(3)给出下列关系：①1

2

R ∈； ②2Q ∈；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是 .

(4)下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是 .

①{}M π=, {3.14159}N =； ②{2,3}M =, {(2,3)}N =； ③{|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =； ④{1,3,}M π=, {,1,|3|}N π=-. (5)已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 . (6)已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . 三、 课后巩固练习

A 组

1．判断下列特性描述的对象能否形成集合： (1)算术平方根等于自身的数；