【高等数学 东南大学】习题课(23)

则点 M 到平面 x y2z2 的距离为 d x y2z2 ，6d 2 ( x y2z2)2 .
6
设 F ( x, y,z,)( x y2z2)2 ( x2 y2 z) ，
Fx 2( x y2z2)2x0
令
F
y
2(
x
y
2z
2)
2y
0 ,
Fz 4( x y2z2)0
Fz x2 y2 z0
4
2
由于最值必存在，故长半轴a 1 ，短半轴b 1 。
2
3
5．求椭球面 x2 y2 z2 1 与平面2 x2 y z50 之间
2
4
最短距离。
解: 设 M( x,y,z) 为椭球面上的任一点，
则点 M 到平面的距离为d 2x2 yz5 . 3
原问题等价于求条件极值
min s.t::源自f ( x, y,z)9d 2 (2x2 yz5)2,
驻点为 A(1,1,1) ， B(1,1,1) ，
2
2
21 2 1 115
距离 d A
2 3
3 ，
2(1)2(1 )1(1)5
dB
2 3
1, 3
故所求的最短距离为 1 。 3
6．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的
广告，据统计资料，销售收入 R（万元）与电台广告费
x1(万元) 及报纸广告费x2(万元) 之间有如下经验公式： R( x1,x2 )1514 x1 32 x2 8 x1 x2 2 x12 10 x22 ，
Fa Fb
72
a2b 72
ab2
1 8a 0, 8b0,
(1) ( 2)
F 9a2 4b2 720, (3)
a2 4b2 ，代入(3)，得 9
b2 9, b3, a2，得唯一驻点(2, 3) ，
∵函数 S 必有最小值，且在定义域{(a,b) a0,b0} 内只有唯一驻点(2, 3) ，
y
18 (a,b)
o 8x
切线方程为
ax 8
by 18
1
，化为截距式：
x
8
y
18
1
，
ab
设切线与原曲线及坐标轴所围成的面积为 S，则
S 1 818 1 18 8 ，即 S 723(a0,b0) 。
2a b 4
ab
求条件极值问题：
min:
S 72 3 ab
，
st: 9a2 4b2 720
令 F (a,b,) 723 (9a2 4b2 72) ， ab
由
Lx1 Lx2
( x1,x2 )4x18x2 130, ( x1,x2 )8x120x2 310,
解得 x1 0.75 ， x2 1.25 。
利润函数 L( x1,x2 ) 在(0.75, 1.25) 处的二阶偏导数为
习题课二十三
一、选择题
1．函数 z x3 y3 3 x2 3 y2 的极小值点是（ B ）
（A）（0，0）；
（B）（2，2）；
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
二、解答题
1. 求曲面 z x2 y2 与平面 x y2z2 之间的 最短距离。
解：设 M ( x, y,z) 为曲面 z x2 y2 的任一点，
x2 y2 z2 1.
2
4
设 F ( x, y,z,)(2x2 yz5)2( x2 y2 z2 1) ，
2
4
Fx 4(2x2 yz5)x0 (1)
Fy
4(2
x
2
y
z5)
2y0
( 2)
Fz
2(2
x2
y
z5)
1z0 2
( 3)
F
x2 2
y2
z2 4
10
(4)
x2 y z 代入(4)，得x1 ， y 1 ，z1 。 2
求：（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
（2）若提供的广告费用为1.5万 元 ，求相应的最优
广告策略。
解：（1）利润函数为
L( x1,x2 )1514 x1 32 x2 8 x1 x2 2 x12 10 x22 ( x1 x2 ) ，
即 L( x1,x2 )2 x12 8 x1 x2 10 x22 13 x1 31 x2 15 ，
故得驻点 (1,1,5) ，(1,1,5) ，于是z max 5 ，z min 5 .
3．过曲线9 x2 4 y2 72 在第一象限部分中哪一点作
的切线与原曲线及坐标轴之间所围成的图形面积最小？
解：设切点为(a, b)(a0,b0) ，
9x2 4 y2 72 x2 y2 1 ， 8 18
这是长半轴为 18 ， 短半轴为 8 的椭圆。
设F(x, y,z,)z1(2x3 yz)2(2x2 3 y2 z2 30)
Fx 21 42 x0
(1)
Fy
31
6
2
y
0
(2)
令 Fz 11 22z0
(3) y x,
F1
2
x
3
y
z
0
(4)
F2 2x2 3 y2 z2 300 (5)
把 y x 代入（4），得z5x ，再代入（5），
得 2x2 3x2 25x2 300 ，30x2 30 ， x1 ， y1 ，z5 ，
∴在点(2, 3) 处面积 S 有最小值。
4.求中心在原点的椭圆5 x2 4 xy8 y2 1 的长半轴
与短半轴的长度。
解：设 M ( x, y) 为椭圆上的任一点，点 M 到原点的距离
d x2 y2 ，d 的最大值即为长半轴 a，d 的最小值即
为短半轴 b。
设 f ( x, y,)d 2 (5 x2 4 xy8 y2 1)
解得 x y 1 ，z2x2 1 .
4
8
∵最小值存在，∴唯一驻点 P(1,1,1) 即为最小值点， 448
dmin
x y2z2 6
P
4
7 6
.
4．求空间曲线
2x3yz0 2 x2 3 y2 z2
30
上竖坐标
z
的
最大值和最小值.
解：求函数 f ( x, y,z) z 在约束方程2 x3 y z0 和 2x2 3 y2 z2 300 下的极值.
把 y2x 代入(3)得5x2 8x2 32x2 10 ，
即 45 x2 1 ， x2 1 ， y2 4 ，
45
45
x2 y21 ，d1 .
9
3
把 y 1 x 代入(3)得5x2 2x2 2x2 10 ， 2
即 5 x2 1 ， x2 1 ， y2 1 ，
5
20
x2 y2 1 ，d 1 .
x2 y2(5x24xy8 y21) ，
令
f x 2x10x4y0 f y 2 y4x16y0
x(5x2 y)0 y(2x8 y)0
(1) (2)
f
5
x2
4
xy8
y2
10
5x2 4xy8 y2 10
(3)
由(1)得 x ，代入(2)化简得2 y2 3xy2x2 0 ， 5x2y
( y2x)(2 y x)0 ， y2x 或 y1 x . 2