1轴力讲义与应力计算
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x 10
4、x轴永远与轴线平行，且用外力的作用点将x轴分段； 5、每一次求内力时用截面法； 6、画轴力图时要注明单位和数值大小。
计算轴力的法则 1、任意截面轴力=∑（截面一侧载荷的代数值） 载荷代数值符号：离开该截面者为正，指向该截面者 为负。
2、轴力图突变：在载荷施加处轴力图要发生突变。 突变量=载荷值
FN
FN-F=0
FN=F
FN
F
FN 的作用线 与轴线重合 轴力； 单位：牛顿（N）
轴力以拉为正，以压为负。
二、轴力图 形象表示轴力随截面的变化情况
F A
6F F
4F
B
C
D
如果杆件受到的沿轴线作用的外力多于两个， 则杆件不同横截面上有不同的轴力。
例1 作杆件的轴力图，确定危险截面
F F F
1 2F
1轴力与应力计算
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
由二力杆组成的桥梁桁架
拉压变形简图
F
F
拉伸
F
压缩
F
轴向拉伸和压缩变形的受力特征 作用于杆上的外力（或外力合力）的作用线与杆的轴线重合。
变形特征 ：杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短
§2–2 轴向拉压时横截面上的内力和应力
一、轴力
F
F
F
NAC
P
1 计算AB杆内力
Y 0 NAB si3n0P
NAB 2P26K0N
NAB
NAC
P
2 计算 AB
AB
N AB A
10 .8 26 620110 3 04106 11.79
MPa
例2 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A1 3 cm2， A2 4 cm2，
l1 l250m， P12kN， 0.028N/cm3，
B
L1
x1 0 NAP12KN
A
x1 l1 N BP A 1 l11.4 2K 2N
P
x2 0
x2 l2
N B P A 1 l1A 2 x 2 1.4 2 K 2N N C P A 1 l1A 2 l2 1.9 2 K 8N
（3）作轴力图
12.98KN
（4）应力计算
B
NB A1
41.4MPa
均匀分布 F
FN
4.正应力公式
FN
A
拉为正 压为负
FN 的适用条件:
A
/2
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件，
即外力的合力作用线与杆件的轴线重合。
P
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。
3、横截面沿轴线变化，但变化缓慢
20O
FN (x) A (x )
Saint-Venant原理：
力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大 于杆的横向尺寸的范围内受到影响<离开载荷作用处一 定距离（约为横截面尺寸），应力分布与大小不受外 载荷作用方式的影响> 。
Байду номын сангаас
试绘制轴力图，并求 max
C
L2
B L1
A
P
（1）计算轴力
N2
AB段：取任意截面
x2
N1PA1x1
C L2 N1 B
L1
x1
L1
0x1l1
P
PA
P
BC段：取任意截面
N 2 P A 1 l1A 2 x 2
0x2l2
N1PA1x1
C
N 2 P A 1 l1A 2 x 2
L2
（2）计算控制截面的轴力
C L2 12.42KN B
C
NC A2
36.8MPa
12KN
N
L1
A
P
max41.4MPa
§2-3、直杆轴向拉压时斜截面上的应力
承受轴向拉压的杆件，总是沿横截面发生破坏吗？
如何确定杆件沿斜截面的应力？
F
F
1、斜截面上内力 F
F
F=F =FN
2、假设斜截面上的应力 3、斜截面上应力 F
4、斜截面上应力分解
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度； 还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
2
2F 3
F
A
B
1
2
3
FN1
FN1=F
FN3
F
2F
FN2
FN2 F
FN3 F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
2 C 3D
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直 线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.
2.各纵向纤维伸长相同，由均匀性假设，各纵向纤维的
力学性能也相同，所以它们所受的力也相同。
F
F
3.应力的分布
均匀分布；
p
F A
P
FN (A) cos
co s
pcos
co2s
psin
1
2
sin2
pα
正负号规定：
： 横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针 转向为正，反之为负；
拉应力为正，压应力为负；
2 F3 3 F4
25
x 10
1、计算各段轴力 2、绘制轴力图。 3、确定危险面位置
F1
FN1
FN1F110kN
FN3
F4
F1
F2
FN2 FN2F2F10
FN2 10kN
FN3F425kN
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力；
4、做轴力图；
5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形，轴力为负的画在水平轴的下方，表示该段杆 件发生压缩变形。
画轴力图注意事项
FN / kN 10
1、两个力的作用点之间轴力为常量；
2、轴力只随外力的变化而变化； 与材料变化，截面变化均无关；
3、只有沿轴线方向的外力才产生轴力；
25
１、计算M－M面上的轴力
A：－5P
5P M 2P
B：－2P
Ｐ
C：－7P
M
D：－P
２、图示结构中，AB为钢材，BC为铝，在P力作用
下
。
A：AB段轴力大
B：BC段轴力大
C：轴力一样大
A
B
P C
3、作下列各杆件的轴力图
60KN 30KN
50KN
30KN
50KN
40KN
4、已知：横截面的面积为A，杆长为L，单位 体积的质量为γ。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、 起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截 面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。 求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB
4、x轴永远与轴线平行，且用外力的作用点将x轴分段； 5、每一次求内力时用截面法； 6、画轴力图时要注明单位和数值大小。
计算轴力的法则 1、任意截面轴力=∑（截面一侧载荷的代数值） 载荷代数值符号：离开该截面者为正，指向该截面者 为负。
2、轴力图突变：在载荷施加处轴力图要发生突变。 突变量=载荷值
FN
FN-F=0
FN=F
FN
F
FN 的作用线 与轴线重合 轴力； 单位：牛顿（N）
轴力以拉为正，以压为负。
二、轴力图 形象表示轴力随截面的变化情况
F A
6F F
4F
B
C
D
如果杆件受到的沿轴线作用的外力多于两个， 则杆件不同横截面上有不同的轴力。
例1 作杆件的轴力图，确定危险截面
F F F
1 2F
1轴力与应力计算
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
由二力杆组成的桥梁桁架
拉压变形简图
F
F
拉伸
F
压缩
F
轴向拉伸和压缩变形的受力特征 作用于杆上的外力（或外力合力）的作用线与杆的轴线重合。
变形特征 ：杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短
§2–2 轴向拉压时横截面上的内力和应力
一、轴力
F
F
F
NAC
P
1 计算AB杆内力
Y 0 NAB si3n0P
NAB 2P26K0N
NAB
NAC
P
2 计算 AB
AB
N AB A
10 .8 26 620110 3 04106 11.79
MPa
例2 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A1 3 cm2， A2 4 cm2，
l1 l250m， P12kN， 0.028N/cm3，
B
L1
x1 0 NAP12KN
A
x1 l1 N BP A 1 l11.4 2K 2N
P
x2 0
x2 l2
N B P A 1 l1A 2 x 2 1.4 2 K 2N N C P A 1 l1A 2 l2 1.9 2 K 8N
（3）作轴力图
12.98KN
（4）应力计算
B
NB A1
41.4MPa
均匀分布 F
FN
4.正应力公式
FN
A
拉为正 压为负
FN 的适用条件:
A
/2
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件，
即外力的合力作用线与杆件的轴线重合。
P
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。
3、横截面沿轴线变化，但变化缓慢
20O
FN (x) A (x )
Saint-Venant原理：
力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大 于杆的横向尺寸的范围内受到影响<离开载荷作用处一 定距离（约为横截面尺寸），应力分布与大小不受外 载荷作用方式的影响> 。
Байду номын сангаас
试绘制轴力图，并求 max
C
L2
B L1
A
P
（1）计算轴力
N2
AB段：取任意截面
x2
N1PA1x1
C L2 N1 B
L1
x1
L1
0x1l1
P
PA
P
BC段：取任意截面
N 2 P A 1 l1A 2 x 2
0x2l2
N1PA1x1
C
N 2 P A 1 l1A 2 x 2
L2
（2）计算控制截面的轴力
C L2 12.42KN B
C
NC A2
36.8MPa
12KN
N
L1
A
P
max41.4MPa
§2-3、直杆轴向拉压时斜截面上的应力
承受轴向拉压的杆件，总是沿横截面发生破坏吗？
如何确定杆件沿斜截面的应力？
F
F
1、斜截面上内力 F
F
F=F =FN
2、假设斜截面上的应力 3、斜截面上应力 F
4、斜截面上应力分解
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度； 还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
2
2F 3
F
A
B
1
2
3
FN1
FN1=F
FN3
F
2F
FN2
FN2 F
FN3 F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
2 C 3D
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直 线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.
2.各纵向纤维伸长相同，由均匀性假设，各纵向纤维的
力学性能也相同，所以它们所受的力也相同。
F
F
3.应力的分布
均匀分布；
p
F A
P
FN (A) cos
co s
pcos
co2s
psin
1
2
sin2
pα
正负号规定：
： 横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针 转向为正，反之为负；
拉应力为正，压应力为负；
2 F3 3 F4
25
x 10
1、计算各段轴力 2、绘制轴力图。 3、确定危险面位置
F1
FN1
FN1F110kN
FN3
F4
F1
F2
FN2 FN2F2F10
FN2 10kN
FN3F425kN
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力；
4、做轴力图；
5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形，轴力为负的画在水平轴的下方，表示该段杆 件发生压缩变形。
画轴力图注意事项
FN / kN 10
1、两个力的作用点之间轴力为常量；
2、轴力只随外力的变化而变化； 与材料变化，截面变化均无关；
3、只有沿轴线方向的外力才产生轴力；
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１、计算M－M面上的轴力
A：－5P
5P M 2P
B：－2P
Ｐ
C：－7P
M
D：－P
２、图示结构中，AB为钢材，BC为铝，在P力作用
下
。
A：AB段轴力大
B：BC段轴力大
C：轴力一样大
A
B
P C
3、作下列各杆件的轴力图
60KN 30KN
50KN
30KN
50KN
40KN
4、已知：横截面的面积为A，杆长为L，单位 体积的质量为γ。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、 起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截 面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。 求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB