高中数学_复数代数形式的乘除运算教学课件设计
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高中数学_3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学课件设计
（1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i （2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
探求 新知
探究1：
设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在
运算过程中把 i 2 换成－1，然后实、虚部分别合并.
探求 新知
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C ，有
乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律
z1·z2＝__z2_·_z_1 (z1·z2)·z3＝_z_1_·(_z2_·_z3_) z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋_z_1_z3_
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
思考：
复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，
则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开， z1·z2等于什么？
探求 新知
1.复数的乘法法则：
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
ac adi bci bd （ac bd) (bc ad)i
复数 z＝a＋bi 的共轭复数记作 z,记z a bi
探求 新知
探究3：
若 z a bi ，z a bi 是共轭复数，那么
（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
（2）z z 是一个怎样的数 ？
结论：
（1）关于实轴对称
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
探求 新知
探究1：
设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在
运算过程中把 i 2 换成－1，然后实、虚部分别合并.
探求 新知
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C ，有
乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律
z1·z2＝__z2_·_z_1 (z1·z2)·z3＝_z_1_·(_z2_·_z3_) z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋_z_1_z3_
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
思考：
复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，
则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开， z1·z2等于什么？
探求 新知
1.复数的乘法法则：
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
ac adi bci bd （ac bd) (bc ad)i
复数 z＝a＋bi 的共轭复数记作 z,记z a bi
探求 新知
探究3：
若 z a bi ，z a bi 是共轭复数，那么
（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
（2）z z 是一个怎样的数 ？
结论：
（1）关于实轴对称
人教新课标版数学高二-1-2课件 复数代数形式的乘除运算
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 1 (1)复数 z＝ 23－ai，a∈R，且 z2＝12－ 23i，则 a 的值为( C )
A.1
B.2
C.12
D.14
解析 由 z＝ 23－ai，a∈R，
得 z2＝( 23)2－2× 23×ai＋(ai)2＝34－a2－ 3ai.
因为 z2＝12－ 23i，
所以34－a2＝12，－ 3a＝－ 23， 解得 a＝12.
A.－2i
B.－i
C.i
D.2i
解析 由 z＝1＋i 得 z ＝1－i，
得 z·z －z－1＝(1＋i)·(1－i)－(1＋i)－1＝2－1－i－1＝－i.
解析答案
返回
课堂检测
1 2345
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( A )
A.－i
B.i
C.－1
D.1
解析 z＝1i ＝－i.
解析答案
1＋i3－1－i3 (2)1＋i2－1－i2；
解 方法一 原式＝1＋3i1＋i＋i23－i＋[12－ i 3i1－i－i3]＝44ii＝1.
[1＋i－1－i][1＋i2＋1＋i1－i＋1－i2]
方法二 原式＝
[1＋i＋1－i][1＋i－1－i]
＝1.
解析答案
(3)(12＋ 23i)4＋12－＋23ii22.
知识点一 复数乘法的运算
思考1 怎样进行复数的乘法？
答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可. 思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
答案 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结 果中把i2换成－1.
跟踪训练 1 (1)复数 z＝ 23－ai，a∈R，且 z2＝12－ 23i，则 a 的值为( C )
A.1
B.2
C.12
D.14
解析 由 z＝ 23－ai，a∈R，
得 z2＝( 23)2－2× 23×ai＋(ai)2＝34－a2－ 3ai.
因为 z2＝12－ 23i，
所以34－a2＝12，－ 3a＝－ 23， 解得 a＝12.
A.－2i
B.－i
C.i
D.2i
解析 由 z＝1＋i 得 z ＝1－i，
得 z·z －z－1＝(1＋i)·(1－i)－(1＋i)－1＝2－1－i－1＝－i.
解析答案
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课堂检测
1 2345
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( A )
A.－i
B.i
C.－1
D.1
解析 z＝1i ＝－i.
解析答案
1＋i3－1－i3 (2)1＋i2－1－i2；
解 方法一 原式＝1＋3i1＋i＋i23－i＋[12－ i 3i1－i－i3]＝44ii＝1.
[1＋i－1－i][1＋i2＋1＋i1－i＋1－i2]
方法二 原式＝
[1＋i＋1－i][1＋i－1－i]
＝1.
解析答案
(3)(12＋ 23i)4＋12－＋23ii22.
知识点一 复数乘法的运算
思考1 怎样进行复数的乘法？
答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可. 思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
答案 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结 果中把i2换成－1.
课件人教A版高中数学选修复数代数形式的乘除运算上课PPT课件_优秀版
一般地，当两个复数的实部相 等,虚部互为相反数时，这两个复
数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也叫做共轭复数.
知识要点
复数z=a+bi的共轭复数记作 z, 即 z = a - bi
动动脑
若Z1,Z2,是共轭复数，那么 （1）在复平面内，它们所对应的点 有怎样的位置关系？
（关于X轴对称）
（2）Z1Z2是一个怎样的数？( 实数)
设Z1 = a1 + b1i，Z2 = a2 + b2i，Z3 = a3 + b3i.
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
因为 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 换成 -1，并且把实部和虚部分别合并即可.
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 换成 -1，并且把实部和虚部分别合并即可.
在实际进行复数除法运算时，每次 都按做乘法的逆运算的办法来求商，这 是十分麻烦的.
大家能想出 解决办法吗？
思考…
大家想想我们如何处理根式除法的？
做根式除法时，分子分母都乘以分母的 “有理化因式”，从而使分母“有理化”.
我们可以类比根式的除法，从而得到简便 的操作方法：先把两个复数相除写成分数形 式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，使分母“实数化”，最后在化简.
我 来们 进用 行乘 计法 算公
式
= 32 - (4i)2
= 9 - (-16)
= 25.
(平方差公式)
（2）(1 + i)2
= 1 + 2i + i2
.
= 1 + 2i - 1
= 2i. (完全平方公式)
数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也叫做共轭复数.
知识要点
复数z=a+bi的共轭复数记作 z, 即 z = a - bi
动动脑
若Z1,Z2,是共轭复数，那么 （1）在复平面内，它们所对应的点 有怎样的位置关系？
（关于X轴对称）
（2）Z1Z2是一个怎样的数？( 实数)
设Z1 = a1 + b1i，Z2 = a2 + b2i，Z3 = a3 + b3i.
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
因为 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 换成 -1，并且把实部和虚部分别合并即可.
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 换成 -1，并且把实部和虚部分别合并即可.
在实际进行复数除法运算时，每次 都按做乘法的逆运算的办法来求商，这 是十分麻烦的.
大家能想出 解决办法吗？
思考…
大家想想我们如何处理根式除法的？
做根式除法时，分子分母都乘以分母的 “有理化因式”，从而使分母“有理化”.
我们可以类比根式的除法，从而得到简便 的操作方法：先把两个复数相除写成分数形 式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，使分母“实数化”，最后在化简.
我 来们 进用 行乘 计法 算公
式
= 32 - (4i)2
= 9 - (-16)
= 25.
(平方差公式)
（2）(1 + i)2
= 1 + 2i + i2
.
= 1 + 2i - 1
= 2i. (完全平方公式)
复数代数形式的乘除运算公开课ppt课件
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究
复数代数形式的乘除运算优秀课件
．
z 的实
3 + 4i
动手试试
1 (1) （2011年四川理2）复数 −i + = i
1 + 2i ，则复数 z = (2)（2011年江西理1）若 z = i
1.复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意 运算法则和方法，在乘法运算中注意把 i 2 换成－1，在除 法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.
2.(2011年全国大纲理1)复数 z 则 z z − z −1 = ．
．
= 1 + i， 为 z 的共轭复数， z
3.(2011年广东理1)设复数 z满足 (1 + i ) z = 2，则
z=
．
1 + ai 4.(2011年安徽理1)复数 为纯虚数，则实数 a = 2−i
5.(2011年江苏3)设复数 z 满足 i ( z + 1) = −3 + 2i ,则 部是 ．
例1:计算 (1) (1 + 2i )(3 − 4i ) (3) (1 + i ) 2 (2) (1 − 2i)(3 + 4i)(−2 + i ) (4) (2 − i ) 2
动手算算，你发现了什么？ 动手算算，你发现了什么？ (1) (3 + 4i )(3 − 4i ) (2) i1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 , i 8
探究1 探究1:复数除法的定义 满足 (c + di)( x + yi ) = (a + bi) 的复数 x + yi ( x, y ∈ R) 叫复数 a + bi 除以复数 c + di 的商.
( 记作： a + bi ) ÷ (c + di ) 或
高中数学选修复数代数形式的乘除运算公开课一等奖课件省赛课获奖课件
则
1
2
=
+i
+i
=
+
2 +
2
+
-
2 +
2 i.
预习交流 3
5-5i
=
1+2i
计算:
答案:-1-3i
.
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
3.2.2
问题导学
复数代数形式的乘除运算
当堂检测
一
二
课前预习导学
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
三
复数乘除运算法则的理解:
(1)复数的乘法可以把 i 看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要
把 i2 化为-1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式,再把
分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯
轭复数用表示.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
3.2.2
目标导航
复数代数形式的乘除运算
课前预习导学
课堂合作探索
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANSUO
预习引导
预习交流 2
(1)互为共轭的两个复数,在复平面内对应的点有何关系?
提示:设复数 z=a+bi(a,b∈R),在复平面内对应的点为 Z(a,b);
(2)|z|2=||2=z =a2+b2;
(3)=z⇔z∈R,=-z(z≠0)⇔z 为纯虚数.
1
2
=
+i
+i
=
+
2 +
2
+
-
2 +
2 i.
预习交流 3
5-5i
=
1+2i
计算:
答案:-1-3i
.
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一
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一
二
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三
复数乘除运算法则的理解:
(1)复数的乘法可以把 i 看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要
把 i2 化为-1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式,再把
分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯
轭复数用表示.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
3.2.2
目标导航
复数代数形式的乘除运算
课前预习导学
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预习引导
预习交流 2
(1)互为共轭的两个复数,在复平面内对应的点有何关系?
提示:设复数 z=a+bi(a,b∈R),在复平面内对应的点为 Z(a,b);
(2)|z|2=||2=z =a2+b2;
(3)=z⇔z∈R,=-z(z≠0)⇔z 为纯虚数.
高中数学_复数的乘法和除法教学课件设计
3、化简后写成 a+bi 形式
例3 计算:（1+2i)(3-4i)
解：（1+2i)(3-4i)=
1+2i 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
=
-5+10i 25
=-
1 5
+
2 5
i
.
例4 计算(1 i )8. 1i
解
(1 1
i)8 i
（1 i）2 （ 1- i）(1 i
解：原式 （i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8） i9 i10
0 i1 i2 i 1
三：复数的除法
满足 (c di)(x yi) (a bi)的复数
x yi(x, y R) 叫复数 a bi 除以复数 c di 的商.
记作：(a bi) (c di) 或 a bi (c di 0). c di
学习重点：复数乘法与除法的运算; 学习难点: 复数的除法运算;
一：复习
复数的加减法
设z1 a bi, z2 c di(a,b,c, d R)
z1 z2 (a c) (b d)i
z1 z2 (a c) (b d)i
与合并同类项类似
二：乘法运算
(a bi) • (c di) ac adi bci bdi2
本
一：复数乘法的法则
堂
1、与多项式的乘法是类似
小
2、结果中把 换成-1
结
3、化为a+bi形式
二：复数的除法法则
关键分母实数化
作业：教材练习题
感谢指导！
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数或其共轭复数模的平方实数中的完全平方公式平方差公式立方差公式立方和公式在复数中仍适用请大胆使用探究练习1求值
例3 计算:（1+2i)(3-4i)
解：（1+2i)(3-4i)=
1+2i 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
=
-5+10i 25
=-
1 5
+
2 5
i
.
例4 计算(1 i )8. 1i
解
(1 1
i)8 i
（1 i）2 （ 1- i）(1 i
解：原式 （i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8） i9 i10
0 i1 i2 i 1
三：复数的除法
满足 (c di)(x yi) (a bi)的复数
x yi(x, y R) 叫复数 a bi 除以复数 c di 的商.
记作：(a bi) (c di) 或 a bi (c di 0). c di
学习重点：复数乘法与除法的运算; 学习难点: 复数的除法运算;
一：复习
复数的加减法
设z1 a bi, z2 c di(a,b,c, d R)
z1 z2 (a c) (b d)i
z1 z2 (a c) (b d)i
与合并同类项类似
二：乘法运算
(a bi) • (c di) ac adi bci bdi2
本
一：复数乘法的法则
堂
1、与多项式的乘法是类似
小
2、结果中把 换成-1
结
3、化为a+bi形式
二：复数的除法法则
关键分母实数化
作业：教材练习题
感谢指导！
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数或其共轭复数模的平方实数中的完全平方公式平方差公式立方差公式立方和公式在复数中仍适用请大胆使用探究练习1求值
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例3 计算(1 2i) (3 4i).
先写成分 式形式
解 (1 2i) (3 4i) 1 2i
3 4i
然后分母实数化, 分子分母同时乘 以分母的共轭复 数
(1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)
3 8 6i 32 42
4i
5 10i 1 2 i.
25
55
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i.
即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
复数乘法的运算律 复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)， B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， 所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)， 所以S△ABC＝1.
书
学
山
海
有
无
路
涯
勤
苦
为
作
径
舟
课本、导学案、双色笔 最重要的还有激情啊！
《 相对论 》
《时间简史》
复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算
1. 掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则. （重点）
2.对复数除法法则的运用.（难点） 3.乘法的运算法则与运算律. 4.共轭复数的定义是什么.
探究点1 复数乘法运算 我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘 积为：
复数除法的法则是:
(a
bi) (c
di)
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
(c di 0).
方法:在进行复数除法运算时,通常先把
(a bi) (c di)写成 a bi 的形式,再把分子与分母都乘 c di
以分母的共轭复数c di,化简后就可得到上面的结果.
这与作根式除法时的处理是很类似的.
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i
所以 z1·z2=z2·z1 (交换律)
若z1 z2 ，是共轭复数，那么 （１）在复平面内，它们所对应的点有怎
样的位置关系？ （２） z1 z2是一个怎样的数？
答案：（1）关于x轴对称 （2）实数
探究点2 复数除法的法则 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定
复数的除法是乘法的逆运算.
记作：(a bi) (c di)或 a bi c di
结果化简成代数 形式
5、已知复数z满足|z|＝ 2 ，z2的虚部是2.
(1)求复数z； (2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分 别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi， 由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝ －1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.