高等代数重点技巧总结
大一高代知识点
大一高代知识点高等代数是大一数学课程中的一门重要课程，它是线性代数的延伸和拓展，具有广泛的应用领域。
本文将为大一学生总结高等代数中的一些重要知识点，以帮助他们更好地理解和掌握这门课程。
一、向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一。
一个向量空间必须满足以下几个条件：1.封闭性：对于向量空间中的任意向量，其线性组合仍然在该向量空间中。
2.加法交换律和结合律：向量空间中的加法操作满足交换律和结合律。
3.零向量：向量空间中必须存在一个零向量，它与任意向量的加法操作结果为该向量本身。
4.负向量：对于向量空间中的任意向量，它必须存在一个相反向量，使得它们的加法结果为零向量。
5.标量乘法：向量空间中的向量可以与标量进行乘法操作。
二、线性相关与线性无关线性相关和线性无关是判断向量组是否具有独立性的重要概念。
1.线性相关：如果向量组中存在一个非零向量，可以表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性相关。
2.线性无关：如果向量组中的向量不能表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性无关。
三、矩阵与矩阵运算矩阵是高等代数中的另一个核心概念。
矩阵是由数个数按行列顺序排列而成的矩形数组。
矩阵运算包括以下几种：1.矩阵的加法：对应位置元素相加。
2.矩阵的数乘：每个元素乘以一个常数。
3.矩阵的乘法：满足左乘规则和右乘规则。
四、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它是一个标量值。
行列式的定义涉及矩阵的排列和元素的交换，计算行列式可以使用拉普拉斯展开定理或递推法。
五、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵的另一项重要概念。
1.特征值：一个矩阵的特征值是使得该矩阵与其特征向量相乘得到的结果是特征向量的常数倍。
2.特征向量：一个矩阵的特征向量是在矩阵乘法下保持方向不变或者只伸缩的向量。
六、线性变换与线性方程组线性变换是指在向量空间中进行的保持加法和标量乘法的运算。
线性方程组是线性变换的一种具体表达形式，可以使用矩阵运算进行求解。
七、特殊矩阵在高等代数中还有一些特殊的矩阵：1.单位矩阵：对角线上的元素为1，其他元素为0。
上海市考研数学复习资料高等代数重点公式总结
上海市考研数学复习资料高等代数重点公式总结高等代数作为数学基础学科之一，在考研数学中占据着重要的地位。
熟练掌握高等代数的相关知识和公式不仅有助于数学题的解答，还可以提高解题效率。
下面将对上海市考研数学复习资料中的高等代数重点公式进行总结。
1. 矩阵运算公式矩阵的加法和减法：设A=(a_{ij})_m×n，B=(b_{ij})_m×n，则A±B=(a_{ij}±b_{ij})_m×n。
矩阵的数乘：设A=(a_{ij})_m×n，k为常数，则kA=(ka_{ij})_m×n。
矩阵的转置：设A=(a_{ij})_m×n，则A^T=(a_{ji})_n×m。
矩阵的乘法：设A=(a_{ij})_m×s，B=(b_{ij})_s×n，则AB=(c_{ij})_m×n，其中c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{is}b_{sj}。
矩阵的逆：设A是n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I（其中I是n阶单位矩阵），则称A是可逆的，B是A的逆矩阵，记作A^{-1}。
2. 行列式公式n阶行列式的定义：设A=(a_{ij})_n×n，其中a_{ij}为A的第i行第j列元素，n阶行列式的定义为：|A|=Σ(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}，其中M_{ij}是A的第i行第j列元素的代数余子式。
n阶行列式的性质：（1）行列互换，行列式的值不变。
（2）行列成比例，行列式的值为0。
（3）某行（列）元素都为0，行列式的值为0。
（4）行列交换，行列式的值取负。
（5）某行（列）有公共倍数，行列式的值为倍数。
行列式求逆的公式：设A为可逆矩阵，且|A|=k（k≠0），则A^{-1}=\frac{1}{k}|A'|^T，其中|A'|为A的伴随矩阵。
高等代数知识点总结
特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
宁夏回族自治区考研数学复习资料高等代数重点知识点总结
宁夏回族自治区考研数学复习资料高等代数重点知识点总结高等代数是考研数学中的一门重要学科，对于考生来说，掌握高等代数的重点知识点是非常关键的。
本文将针对宁夏回族自治区考研数学复习资料，总结高等代数的重点知识点，并进行详细解析，帮助考生更好地备战考研。
一、矩阵与行列式矩阵与行列式是高等代数中最基础的概念和工具。
在考研数学中，对矩阵与行列式的理解和应用十分重要。
1. 矩阵的定义矩阵是按照矩形排列的数的集合。
在考研中，常见的矩阵类型有方阵、对角阵、上三角阵、下三角阵等。
2. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法等。
掌握矩阵的运算规则是解题的基础。
3. 行列式的定义与性质行列式是一个重要的代数概念，在解线性方程组、计算逆矩阵等方面具有广泛的应用。
行列式的定义、性质以及计算方法是掌握高等代数的关键。
二、向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，主要研究向量及其线性组合的性质。
在考研中，对向量空间的理解很有必要。
1. 向量和向量空间的定义向量是具有大小和方向的量。
向量空间是满足一定条件的向量的集合，具有加法和数乘运算。
2. 向量的线性相关性与线性无关性线性相关性与线性无关性是研究向量组是否能线性表示的重要概念。
对于给定的向量组，判断其线性相关性与线性无关性是考研中常见的问题。
3. 基与维数基是一个向量空间中最简单、最基本的向量组。
维数是一个向量空间的性质，表示该向量空间的基的个数。
三、线性变换与矩阵线性变换与矩阵是高等代数中的重要内容，对于考研数学来说，掌握线性变换与矩阵的相关知识点是必不可少的。
1. 线性变换的定义及性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量空间的线性结构。
研究线性变换的性质对于理解矩阵的基本操作有重要作用。
2. 矩阵与线性变换矩阵可以表示线性变换的关系。
了解矩阵与线性变换之间的联系是解决相关问题的关键。
3. 矩阵的相抵与相似矩阵的相抵与相似是矩阵的重要概念，涉及到矩阵的等价性和相似性。
线性代数高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
24
3. 秩A=秩B
4. A，B的标准型相同
18
多角度看可逆阵
n阶方阵A可逆 AB BA E A 0 (非退化阵) Ax 0 只有零解 Ax b 有唯一解
A的行最简形为E. A为初等阵的乘积
r A n (满秩) A的行(列)向量组的秩都是n.
原向量组一个极大无关组
第一等价链
r( A) n（满秩） A 0 A可逆（非奇异、非退化 ） A的n个行（列）向量线性无 关
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
AX o只有零解 AX b有唯一解
第二等价链
r( A) n（不满秩） A 0 A不可逆（奇异、退化） A的n个行（列）向量线性相 关
本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
1. n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵 的秩数相等. 具体地，
① 当秩A＜秩(A b)时，方程组无解 ② 当秩A＝秩(A b)＝n时，方程组有唯一解 ③ 当秩A＝秩(A b)＜n时，方程组有无穷解
高等代数二知识点总结串联
高等代数二知识点总结串联高等代数二是大学数学课程中的一门重要课程，它是一门深入研究代数学理论和应用的课程。
高等代数二主要包括群论、环论、域论、线性代数等内容。
在这篇文章中，我们将对高等代数二的知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
一、群论1. 群和子群群是一种代数结构，它包括一个集合和一个运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元。
子群是原群的一个子集，它也是一个群，并且包含原群的单位元和逆元。
2. 同态和同构同态是群之间的一个映射，它保持群的结构。
同态定理是群理论的一个重要定理，它告诉我们同态映射的性质。
同构是两个群之间的一个双射同态，它保持群的结构，并且两个群是同构的当且仅当它们的结构完全相同。
3. 群的作用群的作用是群和集合之间的一个映射，它描述了群对集合的运算规律。
作用定理是群理论的一个重要定理，它告诉我们群的作用有很多有趣的性质。
4. 群的分类群的分类定理告诉我们任意有限交换群都可以分解为循环群的直积。
这个定理在群的研究中有着重要的意义。
二、环论1. 环和子环环是一个包含加法和乘法的集合，满足一些性质，如封闭性、结合律、分配律等。
子环是原环的一个子集，它也是一个环，并且包含原环的加法单位元和乘法单位元。
2. 理想和商环理想是环的一个子集，满足一些性质，如对加法封闭、对乘法吸收等。
商环是环相对理想的一个商集，它也是一个环，并且包含了原环对理想的余集。
3. 同态和同构环的同态和同构与群类似，它们描述了环之间的映射和结构保持性质。
4. 域和域的扩张域是一个包含加法和乘法的集合，满足一些性质，如分配律、单位元、有逆元等。
域的扩张是一个域包含在另一个域中的过程，它也包含了域的同态和同构。
三、域论1. 有限域和无限域有限域是包含有限元素的域，它具有一些特殊的性质，如平方域和素域等。
无限域是包含无限元素的域，它也有一些特殊的性质，如分式域和代数闭域等。
2. 代数扩张和超越扩张代数扩张是一个域包含在另一个代数闭域中的过程，它包含一些代数方程。
高等代数知识点总结
适用例子: 习题3.7.5; 3.7.9~11:
2.正则化方法
① 证明当A可逆时结论成立
② 考虑xI+A,有无穷多个x使得该矩阵可逆
③ 将要证明的结论归结为多项式的相等
④ 若两个多项式在无穷多个点处的值相同,则这两
个多项式在任意点的值相等,特别地,取x=0. 适用例子: 习题3.6.4; 3.7.7; 3.7.11:
转置 加 法
取逆
伴随
(A+B)T=AT+B
T
数 乘
乘 法 转 置
(kA)T= k AT (AB)T= BT AT (AT)T=A
(kA)1= k1A1 (AB) 1= B1 A1 (AT) 1=(A1)T
(kA)*= kn1A* (AB)*= B*A* (AT)*=(A*)T
取 逆
1B A O B I A O B D CA1B D I
O A B I A1B A O 1 C D O O D CA B I I
Cauchy-Binet
| UV |
i1 im ------- 式 式V U i i -------i1 im ห้องสมุดไป่ตู้ 1 m
公式 Vandermonde 行列式 定义 性质
15
；
Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开)
| A |
j1
jk
i1 式A j1
伴 随 其
(A1) 1=A
(A1)*＝(A*)1
(A*)*=|A|n2A* AA*=A*A=|A|I
-1
-1
*
考研数学一大纲重难点解析高等代数部分知识点详细解读
考研数学一大纲重难点解析高等代数部分知识点详细解读高等代数是考研数学一科目中的重要内容之一，也是考生们普遍认为难度较大的部分。
在准备考研数学一科目时，对高等代数的重点知识点的详细解读和解析是非常关键的。
本文将就考研数学一大纲中高等代数部分的重难点进行讲解，帮助考生们更好地掌握这一部分内容。
一、线性空间与线性变换1.1 线性空间的定义与基本性质线性空间是高等代数中的基本概念，它包含了向量空间、函数空间等多种实例。
在本部分中，我们将介绍线性空间的定义与基本性质，包括线性空间的封闭性、零向量与零子空间等概念的解读。
1.2 线性变换的定义与性质线性变换是线性空间中的一类特殊映射，具有保持线性组合和零向量的性质。
本节中，我们将详细解析线性变换的定义与性质，包括线性变换的定义、线性变换的代数表示以及线性变换的核与值空间的解释。
二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组的解法与性质线性方程组是高等代数中的重要内容，其解的存在性和唯一性是考生们经常关心的问题。
在本部分中，我们将介绍线性方程组的解法与性质，包括齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的判别条件，以及线性方程组解的结构和解的个数等问题的详细解析。
2.2 矩阵的运算与性质矩阵是线性方程组中的重要工具，它具有良好的运算性质和代数性质。
在本节中，我们将详细解读矩阵的运算与性质，包括矩阵的加法、数乘和乘法运算，以及矩阵的转置、逆矩阵和秩等性质的解析。
三、特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义与性质特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也是高等代数考试中的重点内容。
在本部分中，我们将详细解析特征值与特征向量的定义与性质，包括特征值与特征向量的几何意义，以及求解特征值与特征向量的方法的讲解。
3.2 对角化与相似矩阵对角化是线性代数中的一种重要的矩阵变换方法，它在解决线性方程组和矩阵运算等问题中起着重要的作用。
本节中，我们将详细解读对角化和相似矩阵的概念与性质，包括可对角化矩阵的判定条件和对角化的方法的解析。
高等代数第四版知识点
高等代数第四版知识点高等代数是大学数学课程中的重要一环。
它涵盖了许多关键的数学概念和技巧，不仅在纯数学领域有广泛的应用，而且在物理学、工程学以及计算机科学等应用科学中也占有重要地位。
本文将介绍高等代数第四版教材中的一些重要知识点。
1. 向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一。
它是一种具有加法和数乘运算的集合，满足一些特定的性质。
学习向量空间的时候，我们需要了解向量、向量的线性组合、向量空间的子空间以及向量空间的维数等几个重要概念。
2. 线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题。
我们通过矩阵和向量的形式来表示线性方程组，利用高斯消元法或者矩阵的逆来求解方程组的解。
在学习线性方程组的过程中，我们需要掌握方程组的矩阵表示、齐次方程组与非齐次方程组的区别，以及解的存在唯一性等。
3. 行列式行列式是描述线性变换性质的重要工具。
我们通过行列式来判断方阵的可逆性、计算矩阵的秩，以及求解线性方程组的解等问题。
在学习行列式的时候，我们需要了解行列式的定义、行列式的性质，以及行列式的计算方法等。
4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是描述线性变换规律的关键概念。
通过求解矩阵的特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵对角化、矩阵的谱分解、矩阵的相似变换等问题中发挥着重要的作用。
5. 线性变换与线性映射线性变换是高等代数中的核心概念之一。
它描述了一个向量空间到另一个向量空间的映射关系，并保持向量空间的线性结构。
线性映射是线性变换在向量空间之间的具体表示方式。
在学习线性变换和线性映射的时候，我们需要了解线性变换与线性映射的定义、线性变换的矩阵表示，以及线性变换的核、像、秩等重要性质。
6. 内积空间与正交性内积空间是一种具有内积运算的向量空间，它将向量空间的线性结构推广到了一种度量结构。
通过内积，我们可以定义向量的长度、夹角以及正交性等概念。
在学习内积空间的时候，我们需要了解内积的定义与性质、Cauchy-Schwarz不等式、勾股定理以及正交补空间等基本概念。
上海市考研数学复习资料高等代数重点知识点梳理
上海市考研数学复习资料高等代数重点知识点梳理上海市考研数学复习资料：高等代数重点知识点梳理高等代数是数学学科的一个重要分支，对于上海市考研的数学复习而言，掌握高等代数的重点知识点显得尤为重要。
本文将对上海市考研数学复习资料中的高等代数重点知识点进行梳理，帮助考生更好地备考。
1. 行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它在高等代数中被广泛应用。
需要重点掌握的知识点包括：- 行列式的定义及基本性质；- 行列式按行（列）展开；- 行列式的性质：奇偶性、可逆性等；- 克莱姆法则。
2. 矩阵矩阵是高等代数的核心概念之一，它在线性代数、数值计算等领域有着广泛的应用。
需要重点掌握的知识点包括：- 矩阵的定义及基本运算；- 矩阵的初等变换；- 矩阵的转置、伴随、迹和行列式；- 矩阵的特征值和特征向量。
3. 向量空间向量空间是高等代数的一个重要概念，并且与线性代数密切相关。
需要重点掌握的知识点包括：- 向量空间的定义和基本性质；- 子空间及其性质；- 向量空间的基和维数；- 线性相关性和线性无关性。
4. 线性变换线性变换是高等代数中的一个核心概念，它描述了向量空间之间的一种映射。
需要重点掌握的知识点包括：- 线性变换的定义和基本性质；- 线性变换的矩阵表示；- 线性变换的合成和逆变换；- 特征值和特征向量在线性变换中的应用。
5. 矩阵的相似与对角化矩阵的相似和对角化是高等代数中的重点内容，对于矩阵的特征值和特征向量的应用具有重要意义。
需要重点掌握的知识点包括：- 矩阵的相似和相似矩阵的性质；- 矩阵的可对角化条件及对角化的方法；- 幂零矩阵和幂零指数。
6. 线性方程组线性方程组是高等代数中的一个经典问题，对于解线性方程组具有重要意义。
需要重点掌握的知识点包括：- 线性方程组的消元法、高斯消元法和克拉默法则；- 一致方程组和非齐次线性方程组的解的存在唯一性；- 齐次线性方程组的基础解系和通解。
通过对上述高等代数的重点知识点的梳理，希望能够帮助上海市考研数学复习的考生更好地备考。
高中数学中的代数学习技巧分享
高中数学中的代数学习技巧分享代数学是高中数学中的一个重要部分，也是许多学生感到困惑的领域之一。
然而，通过掌握一些代数学习技巧，我们可以更轻松地应对代数学习。
本文将为大家分享一些高中数学中的代数学习技巧，希望能对大家有所帮助。
一、理解基本代数概念与运算规则在学习代数学时，首先需要掌握基本代数概念和运算规则。
比如，理解变量、常数、系数、指数以及代数式、方程等基本概念。
同时，也需要熟悉加法、减法、乘法、除法等运算规则，尤其是运算符的优先级和结合律。
在掌握了这些基本概念和规则后，我们就能更好地理解和处理代数题目，避免在运算过程中产生错误。
二、多运用代数模型解决问题代数学习的一个重要目标是培养学生解决实际问题的能力。
为了更好地应对代数问题，我们应该多运用代数模型解决问题。
代数模型是将实际问题抽象为代数式或方程的形式，通过建立数学模型来求解问题。
在解决问题时，我们需要将问题中的实际信息转化为代数语言，利用已知条件建立方程式，并通过求解方程来得到问题的解。
这种思维方式能够帮助我们更深入地理解问题的本质，提升解决问题的能力。
三、记住常见公式和定理在代数学习中，记住常见的公式和定理对于解决问题非常有帮助。
比如，二次方程的根公式、因式定理、配方法则等。
记住这些公式和定理不仅可以简化计算过程，还可以增加解题的灵活性。
当我们在解题过程中遇到类似的问题时，能够迅速运用相关公式和定理，简化解题步骤。
四、多做代数练习题代数学习需要不断地巩固和练习，只有通过大量做题，才能真正掌握代数学的技巧和方法。
建议同学们多做代数练习题，同时也可以多参考一些习题解析和答案，加深对代数知识的理解。
通过反复练习，我们能够更熟练地掌握代数运算规则，提高解题的速度和准确性。
五、寻求帮助并进行合作学习当我们在代数学习中遇到困难时，不要犹豫寻求帮助。
可以向老师请教，参加辅导班，或与同学进行合作学习。
和同学一起学习可以相互借鉴和补充，共同解决问题。
此外，与同学交流学习经验和技巧，也能够提高对代数的理解。
高等代数知识点归纳总结
ai\ Ajl + a i2 A/2 + …a in A 加=n （%-Xjj<i^n代数余子式和余子式的关系：Af,=(-1)^4- 分块对角阵相乘：A =AX = A'A = \A\E f |A*|=|4-,, * =|A 「.a2n-\〃（n-l ）（T 尸 4〃的〃 …%范德蒙德行列式:分块对角阵的伴随矩阵:BXAB*|A |, i =j,分块矩阵的转置矩阵:B 、 A21 . A2 ♦4 A,2"丁 c 「、H D\\,4为|川中各个元素的代数余子式.42〃.Ann ）矩阵转置的性质： (A 『)『 = A(AB)T = EFTW)* =(A T矩阵可逆的性质： ⑷尸二AA -1=IT (A-l )k=(A ky' =A-k伴随矩阵的性质： (A*)*=K 2A(AB)* = B*A* A*(川)*=(4*尸=俞W )* =("r(A*) = <n 若r(A) = 〃 1 若 r(A) ="-1 0 若r(A)<〃-1AB =\A\\BA k=A "AA*=A*A = |A]£ (无条件恒成立)(A/x-1 (X \-i/D-i 、％qa\的1矩阵的秩的性质：① A w O <=> r(A) 21; A = O = r(A) = 0 ; 0 r(A wx/J ) < min(m, n)④若A“x”，纥xs ,若 «AB)=。
=> <⑤ r(AB)^min{r(A),r(B)}1 r(A) + r(B)<n〔屈勺列向量全部是Ax = 0的解⑥若P 、。
可逆,⑦若「(4川)=〃, 则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.U>Ar = o 只有零解r( AB) = r(B) • =A 在矩阵乘法中有左消去律[ AB=^B =°^AB = AC n B = C i i[r(AB) = r(5)3在矩阵乘法中有右消去律(F n\⑧若"A) = 〃nA 与唯一的'等价，称1。
高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式
高等代数知识点总结
对于向量组S，T，下列条件等价 1. S和T等价，即S,T可以互相表示 2. S,T的极大无关组等价 3. S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
27
线性相关与线性表示：
• 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性 表示
• 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则 可由1,...,r线性表示,且表法唯一
=r(PAQ)
12
转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
取逆
(A1) 1=A (A1)*＝(A*)1
转置 |AT|=|A|
r(AT)=r(A)
取逆 |A1|=|A|1
n, 若r(A)=n 伴随 |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n1
0, 若r(A)<n1
其它
定义 性质
若P, Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)
14
性质
公式
；转置不变性 |AT| = |A|
个多项式在任意点的值相等,特别地,取x=0. 适用例子: 习题3.6.4; 3.7.7; 3.7.11:
24
特殊矩阵
三角
正规
可逆←对合
↗ ↖
Hermite 反Hermite 酉矩阵
对称 反对称 正交
幂等 幂零
↗ 对角
纯量
25
高等代数解题技巧与方法
高等代数解题技巧与方法
高等代数解题的技巧和方法有很多，以下是一些常见的技巧和方法：
1. 熟悉基本概念和定理：高等代数是建立在线性代数和抽象代数的基础上的，因此熟悉线性代数和抽象代数的基本概念和定理是解题的关键。
包括矩阵，向量空间，线性映射，同态等。
2. 理解问题并运用适当的定理：对于每个具体的问题，要充分理解问题背景和要求，然后选择适当的定理和方法来解决问题。
有时可以运用维数定理、正交定理等来简化问题的求解。
3. 利用矩阵的性质和运算法则：矩阵的性质和运算法则是高等代数常用的求解工具，如行列式的性质、特征值和特征向量、矩阵的逆等。
熟练掌握和灵活运用这些性质和法则能够简化问题的求解过程。
4. 掌握线性方程组的求解方法：线性方程组是高等代数的重要内容之一，求解线性方程组可以通过消元法、克拉默法则、矩阵运算法则等方法来完成。
熟练掌握这些方法可以快速求解线性方程组。
5. 善于化简和变形：化简和变形是解决高等代数问题的常用方法。
通过将复杂的式子化简为简单的形式，或者通过变量替换、线性组合等方法将问题转化为已知的形式，可以更容易地解决问题。
6. 多设变量和构造特殊情况：在解题过程中，可以适当多设变量和构造特殊情况，以便利用已知的条件和性质来求解。
特别是在证明问题时，通过构造特殊情况可以得到更具体和直观的结论。
7. 坚持练习和总结：高等代数是一门需要反复练习和总结的学科。
通过大量的练习可以熟悉各种求解方法和技巧，提高解题的能力和速度。
同时，要及时总结和归纳解题思路和方法，以便于今后更好地应用。
考研数学高等代数：重点知识点与解题技巧
矩阵与行列式的典型题型
• 矩阵的加法和减法 • 矩阵的乘法和除法 • 矩阵的转置和逆矩阵 • 行列式的计算和性质 • 矩阵的秩和行列式的值 • 矩阵的相似和合同 • 矩阵的对角化和实对称矩阵 • 矩阵的初等变换和线性方程组 • 矩阵的范数和条件数 • 矩阵的奇异值和特征值
线性方程组的典型题型
多项式的运算与因式分解
添加标题
多项式的加法和减法
添加标题
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多项式的因式分解
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因式分解的应用和实例
添加标题
多项式的乘法和除法
添加标题
因式分解的方法和技巧
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多项式与多项式函数的关系和区 别
多项式函数与泰勒级数
多项式函数： 由多项式组成 的函数
0 1
泰勒级数：将 函数展开为无 穷级数的形式
添加标题
行列式计算：利用行列式的性质 和公式进行计算
添加标题
矩阵的秩：求解矩阵的秩的方法 和技巧
添加标题
矩阵的对角化：求解矩阵的对角 化的方法和技巧
线性方程组求解技巧
项标题
高斯消元法：通过 行变换将系数矩阵 化为阶梯形，然后
进行回代求解
项标题
矩阵法：利用矩阵 的性质和运算法则 求解线性方程组
项标题
度和质量
03
复习方法：采用适合自己的复习方法，如
做题、看书、听课等
04
定期检查：定期检查自己的复习进度和效
果，及时调整复习计划
精选教材与辅导资料
教材推荐：《高等代数》、《线性代数》等 辅导资料推荐：《考研数学复习全书》、《考研数学真题解析》等 视频课程推荐：张宇、汤家凤等名师的考研数学课程 复习策略：先理解基础知识，再通过做题巩固，最后总结解题技巧和思路。
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定 理 1.3 (化二次型为标准形的算法). 设 A = ( aij ) 是一个 n 阶对称矩阵，现在要把 它合同为对角形。 • 如果 a11 ̸= 0，那就用 a11 两次打洞合同掉第一行和第一列的其它元素，把 A 变 成 )( a11 0 ， 0 ∗ n − 1 阶的矩阵 ∗。 然后考虑右下角的 • 如果 a11 = 0 但是某个 aii ̸= 0，那就交换第 i 行和第 1 行，交换第 i 列和第 1 列， 把 aii 变到 a11 的位置上来，然后返回上一步。
2
1. 将打洞进行到底
1.1. 对称矩阵的打洞
只需要对 λ ̸= 0 证明即可。 我们先证明 λ = 1 的时候结论成立，也就是 | Im − AB| = | In − BA| 成立。这只要在矩阵 () Im B A In 中分别用 Im 和 In 各打一次洞就可得证： Im B = | In | ·| Im − BA| = | Im | ·| In − AB|． A In 对于一般的 λ ̸= 0，只要在等式 | Im − AB| = | In − BA| 中用 A/λ 替换 A 即可。
有理标准形和交换的矩阵
解题的艺术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I
0 番外话
先说一件很囧的事。 两年前我给北京大学化学学院一年级的学弟学妹们上高数的 习题课。 开学第一次课来了三十个人，到期末的最后一次课只剩下十三个人。 虽说习 题课不管讲的好坏都拿那份钱，学生也不会拿鸡蛋西红柿拍你，但是看着来上课的人 越来越少确实对自尊是一种打击。 特别让我印象深刻的是一个相貌气质都很不错的 MM（那十三个人之一） ，她每次课都在下面很认真的听，很安静，整个学期她只站起 来问了三次问题，但是每一次都把我问倒了。 很显然这是对我的进一步打击。 我很无 奈的承认自己不配拿那份津贴，就转行做了本学院高等代数课的助教。 这次给我打击 的是另一个很清纯的 MM。有很多次我在黑板上出了题目，然后微笑着、踱着步子显 示高深莫测的时候，她都举手表示已经做出了答案。 接下来我只能用凝固的微笑和景 仰的目光看着她在全班面前用柔柔的声音解释如何如何。 不过总的来说，我还是成功 的 Hold 住了局面，当时一个学年下来到课人数无明显下滑。 习题课上多了，自己也有一些体会。 讲课跟做题是不一样的，你必须脑子里时刻 清楚自己在讲什么，接下来要讲什么，然后把它们用平缓的节奏一遍讲正确。 你讲的 语气速度快了，或者思维有了跳跃，学生一下跟不上，那么你后面的内容他们听起 来都很茫然。 当我一时不知道说什么好的时候，我会面色如常地擦擦黑板，换换粉 笔，整理一下自己的思路，绝不轻易开口。 因为如果你不小心说错了话，那比没说要 糟糕一百倍：接下来你要用十句话来挽救你的错误，学生很可能就被绕晕了。 即使是 “嗯” “啊” “那么”这些口头禅，也会暴露你的思路的紊乱。高深莫测永远是 Hold、、 局面的不二法宝。 我曾经开玩笑地给学生说，我讲课有一个优点，就是从来没有口头 禅。 结果大家都笑了。 我不解，然后大家异口同声的告诉我：老师，你讲课有一个口 头禅，就是“很显然”（囧）。希望我在这个文档里没有再犯这个错误 :P。 本文档脱胎于以前的同名文档，经过多次修改以后与最初的版本相比已经面目全 非。 但是变薄变精炼的趋势一直没有改变。 那些武侠小说中出现的秘笈宝典，几乎无 一例外都是“薄薄的一本小册子”，因为浓缩的才是精华。 本文档也照此看齐，不求 全，但求精致，通过几个专题来体现高等代数的方法和想法。 还是那句话，与其炖上 一锅大杂烩，倒不如几样精致的小菜来得有滋味。 至于纯粹为难而难，或者为收录而 收录的内容，就不在考虑之列了。文档薄一点，也是为了激发大家速成的欲望。 本文档是本人心血之作，也算经过了教学的实践检验，因此我相信质量不会太糟， 但是错误恐怕仍然难以避免。欢迎大家来信指教：xidalapuda@
的矩阵。 注意这里已经利用了引理 1.4 的结论，由于 B 的最后一个对角元是零矩阵， 所以它的最后一行和最后一列中的矩阵都是 0。 这个时候再用 Is 打洞消去“∗”的部 分，这还是一个不影响 A 的合同变换，这就把 A, B 同时变成了准对角形，最后再用 一次正交变换就可以了。
1.2
正定矩阵
正定矩阵的另一个名字是内积的度量矩阵，永远不要忘记这一点。 正定矩阵几乎 所有结论都有对应的几何解释，所以只要你搞清楚这些结论的几何意义，正定矩阵其 实就是一个很简单的东东。 设 v1 , v2 , . . . , vn 是 Rn 的一组基，那么矩阵 ( v1 , v1 ) ( v1 , v2 ) ···( v1 , v n ) ( v2 , v1 ) ( v2 , v2 ) · ··( v2 , v n ) A= ..... . .. ( v n , v1 ) ( v n , v2 ) ···( v n , v n ) ... . 就是一个正定矩阵。 反过来，每一个正定矩阵都有如上的表示形式。 很显然，A 刻画 了向量组 v1 ∼ vn 的长度以及它们之间的相互夹角，所以不难想象 v1 ∼ vn 的一些几 何性质可以用 A 的代数性质来描述。反过来，如果有人问你正定矩阵的代数性质，你 也要立刻想到它对应的几何解释。 举几个例子： • 正定矩阵的对角元都不是零。这是显然的，因为 aii 代表 vi 的长度的平方，当然 不能是零。 • 正定矩阵中最大的元素必然出现在对角线上。 这是因为内积满足 Schwatz 不等 式 (vi , v j )2 ≤ (vi , vi )(v j , v j )，即 a2 ≤ aii a jj ，从而 aij ≤ max{ aii , a jj }。
• 如果 A 的对角线上都是 0，但是某个 aij 不是 0，那就把第 j 行加到第 i 行，第 j 列加到第 i 列，这样 aii 的位置上就出现了 2aij ，然后返回上一步。
这样经过有限步以后就可以把 A 变成对角形。
3
1. 将打洞进行到底
1.1. 对称矩阵的打洞
这个算法说白了就是一句话：制造非零的对角元来干掉非对角元，其实就是不断 地做 Schmidt 正交化。 正定矩阵是最容易化为标准形的对称矩阵，因为正定矩阵的对角元总不是 0（想 一想，为什么？ ，所以只需要第一个步骤就可以化为标准形。半正定矩阵的打洞也很） 简单，虽然对角元可能出现 0，但是我们有下面的引理：
1 2 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
第四章
第五章 第六章 第七章 第八章
交结数：刻画相似程度的不变量 . . . . . . . . . . . . . . . . 16
同时上三角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
The Legendary Book on
Linear Algebra
目录
第零章 第一章 第二章 第三章
番外话 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 将打洞进行到底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jordan 标准形总结 秩不等式 ........................
A∼
′
B= 我们要在保持 A 的形状的前提下把 B 化成标准形。 ， B12 = B21 ， 设正交矩阵 Q 使得 B21 B 22 () Is 0
′
Q B22 Q = ， 00 4
1. 将打洞进行到底
1.2. 正定矩阵
那么用矩阵
( Ir 0 0Q
)
作合同变换保持 A 不变，把 B 化为形如 B11 ∗ 0 B = ∗ Is 0 A 的某个对角元是 0，那么该对角元所在的行和列所有元素 都是 0。 证明. 由 于 A 半 正 定，所 以 有 平 方 根 分 解 A = P′ P。 记 P = (v1 , v2 , . . . , vn )， 则 aij = (vi , v j )，这里的 (vi , v j ) 表示 vi 和 v j 的通常的欧式内积。 aii = 0 说明 vi = 0，从 而第 i 行第 i 列都是 0。 可见半正定矩阵化为标准形本质上也只需要步骤 1，只不过对角线上遇到 0 的时 候不用打洞，自动跳过去继续考虑右下角的矩阵。 接下来是引理 1.4 的两个应用： 定 理 1.5. 设 A 是一个实对称矩阵，λmin 和 λmax 为 A 的最小和最大的实特征值， aii 是 A 的任一对角元，则有 λmin ≤ aii ≤ λmax ， 而且两个不等号只要有一个成立则 aii 所在的行和列的其它元素就必然都是 0。 证明. 只要对 A + λmin I 和 λmax I − A 这两个半正定矩阵应用引理 1.4 即可。 定 理 1.6 (两半正定矩阵同时合同于对角形). 设 A, B 是两个 n 阶半正定矩阵，则存 在可逆矩阵 T 使得 T ′ AT, T ′ BT 都是对角矩阵。 证明. 首先做合同变换把 A 化成标准形 ( ) Er 0 ， 00 这时 B 仍然是半正定的（虽然 B 也发生了变化），所以不妨从一开始就假设 A 就是如 上的标准形，并设 () B11 B12