浙江省名校协作体2020届高三数学上学期第一次联考试题(含解析)

浙江省名校协作体2020届高三数学上学期第一次联考试题（含解析）参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高；锥体的体积公式：13v sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高；台体的体积公式：()1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高；球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径； 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+； 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅；如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n ⋅=-=⋯一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{|0}M x x =>，{|12}N x x =-<…，则()R C M N ⋂等于（ ） A. (1,)-+∞ B. (0,1)C. (1,0]-D. (1,1)-【答案】C 【解析】 【分析】先求得M 的补集，然后求补集与N 的交集.【详解】依题意可知(,0]R C M =-∞，所以()(]1,0R C M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.2.设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z zz z⋅=-（ ） A. i - B. 2iC. 1-D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先求得z ，然后利用复数减法、除法、乘法的运算，化简所求表达式.【详解】依题意1z i =-，故()221-12z z i ii z z i i i i ⋅-====--⋅-，故选A. 【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法、除法、减法运算，属于基础题.3.若函数2()22f x x ax b =--的图象总在x 轴上方，则（ ） A. 2a b +> B. 12a b -<-C. 124a b +> D. 124a b +<【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图像总在x 轴上方，利用特殊点的函数值，求出正确选项. 【详解】由于二次函数图像总在x 轴上方，故110482af b ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，化简得1224b +<，故选D.【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，属于基础题.4.已知x ，y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A. 3m ≥B. 3m ≤C. 72m ≤D. 73m ≤【答案】D 【解析】作出满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图所示：平移直线20x y +=到点1(1,)3A 时，2x y +有最小值为73∵2x y m +≥恒成立 ∴min (2)m x y ≤+，即73m ≤ 故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5.已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是 A. ()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞ B. ()f x 是偶函数，递减区间是(,1)-∞ C. ()f x 是奇函数，递减区间是()1,1- D. ()f x 是奇函数，递增区间是(),0-∞ 【答案】C 【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值得f(x)＝222,0{2,0x x x x x x -≥--<，画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．6.已知平面α与平面β交于直线l ，且直线a α⊂，直线b β⊂，且直线a ，b ，l 不重合，则下列命题错误的是（ ）A. 若αβ⊥，a b ⊥r r，且b 与l 不垂直，则a l ⊥ B. 若αβ⊥，b l ⊥，则a b ⊥r rC. 若a b ⊥r r，b l ⊥，且a 与l 不平行，则αβ⊥ D. 若a l ⊥，b l ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直、线面垂直有关定理，对四个选项逐一分析，由此得出命题错误的选项. 【详解】根据面面垂直的性质定理可知，A,B 两个选项命题正确.对于C 选项，根据线面垂直的判定定理可知b ⊥平面α，由于b β⊂，所以αβ⊥，故C 选项命题正确.对于D 选项，命题不满足面面垂直的判定定理，,αβ可以不垂直，故D 选项错误.综上所述，本小题选D. 【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.7.已知等比数列{}n a 中51a =，若246811115a a a a +++=，则2468a a a a +++=（ ） A. 4 B. 5C. 16D. 25【答案】B 【解析】 【分析】根据已知化简246811115a a a a +++=，由此求得表达式的值. 【详解】依题意得355553115q q a a a qa q +++=，即33115q q q q +++=，而2468a a a a +++=33555533115a a a q a q q q q q q q+++=+++=. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项的基本量计算，属于基础题.8.已知a ，b 为实数，则“不等式||1ax b +≤对任意x ∈R 成立”是“||1a ≤且||1b ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】将两者相互推导，根据相互推导的结果判断充分、必要性，由此得出正确选项.【详解】当||1ax b +≤时，11ax b -≤+≤，令0x =得11b -≤≤即1b ≤，令1b x a=-，111b a b a ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭，即11a -≤≤，也即1a ≤，故||1a ≤且||1b ≤.当“||1a ≤且||1b ≤”时，不妨设1a b ==，此时11ax b x +=+≤对任意x ∈R 不恒成立.综上所述，“不等式||1ax b +≤对任意x ∈R 成立”“||1a ≤且||1b ≤”充分不必要条件，故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式，属于中档题.9.已知正数a ，b 满足2()4ab a b +=，则2a b +的最小值为（ ） A. 12 B. 8C.【答案】C 【解析】 【分析】根据2()4ab a b +=解出a ，代入2a b +，然后利用基本不等式求得最小值.【详解】由2()4ab a b +=，得22340b a b a +-=，依题意，这个方程有解，且0a >，故解得a =，所以2a b+b ==≥=.此时2,2a b ==.故选C.【点睛】本小题主要考查一元二次方程的根，考查基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC =uu u r uu u r λ，BP PD =uu r uu u rλ，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为（ ）B.12C.2【答案】A 【解析】 【分析】设出,,,A B C D 四点的坐标，将,A B 两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将,C D 两点坐标代入椭圆方程并化简，根据14AB CD k k ==-化简上述两个式子，由此求得22b a的值，进而求得椭圆离心率.【详解】设()()()()11222222,,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 因为()1,1P ，且AP PC =uu u r uu u rλ，所以131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩.将,A B 两点坐标代入椭圆方程并化简得()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=，即()()2212120AB b x x a y y k +++=，同理()()2234340CD bx x a y y k +++=，由于AP PC =uu u r uu u r λ，BP PD =uu r uu u rλ，所以14AB CD k k ==-，即()()()()221212223434104104b x x a y y b x x a y y ⎧⎛⎫+++⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()221212223434104104b x x a y y b x x a y y λλ⎧⎛⎫+++⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相加得()()221324132404a b x x x x y y y y λλλλ+++-+++=，即()()22222204a b λλ+-+=，所以2214b a =，所以233142b e a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.二、填空题。

11.计算：14482=______，2log 314log 22-+=______【答案】 (1). 2 (2). 2 【解析】 【分析】利用指数运算公式、对数运算公式对所求表达式进行化简. 【详解】（1）原式()1311344442222+=⨯==；（2）原式22223log log 3log 2222113log 22log 222222-=+=+=+=. 【点睛】本小题主要考查指数运算公式，考查对数运算公式，考查运算求解能力，属于基础题.12.设函数()cos2sin f x x x =-，则56f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π______，若()0f x ≥，则实数x 的取值范围是______【答案】 (1). 0 (2). 7ππ2π,2π()66k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算出56f π⎛⎫⎪⎝⎭，利用二倍角公式，结合一元二次不等式的解法，求得x 的取值范围. 【详解】依题意55π5π11cos sin 063622f π⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.()cos2sin f x x x =-22sin sin 1x x =--+，令[]sin 1,1t x =∈-，则函数变为[]()2211,1y t t t =--+∈-，画出函数图像如下图所示，由图可知2210y t t =--+≥的解集为112t -≤≤，即11sin 2x -≤≤，解得7ππ2π,2π()66x k k k Z ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查二倍角公式，考查二次函数图像与性质，考查一元二次不等式的解法，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长的棱长等于______；该几何体的体积为______．【答案】 (1). 223 (8) 6π+【解析】【分析】根据三视图判断出组合体的结构特征，并由此计算出最长的棱长，并求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组合而成.其中半圆锥的母线长2=，四棱锥的底面为正方形，且边长为2，四条侧棱，2=，另外两条长度为==.所以几何体最长的棱长为.体积为)2111π122π8233⨯⨯⨯⨯⨯==+. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥，棱锥体积计算，属于基础题.14.已知点P 在椭圆22: 143x y C +=上，点Q ，R 分别在圆221:(1)1O x y ++=和圆222:(1)1O x y -+=上运动，若过点P 存在直线l 同时与两圆相切，这样的点P 的个数为______；当点P 在椭圆上运动，则||||PQ PR +的最大值为______【答案】 (1). 6 (2). 6 【解析】 【分析】画出图像，根据圆1O 和圆2O 公切线的情况，确定P 点的个数.将||||PQ PR +的最大值，转化为1211PO PO +++来求解. 【详解】椭圆2,1a b c ===，圆1O 的圆心为()11,0O -，为椭圆的左焦点，半径为1，圆2O 的圆心为()21,0O ，为椭圆的右焦点，半径为1.画出椭圆和圆的图像如下图所示，由图可知，两个圆外切，公切线为1,1,0y y x ==-=，这三条切线与椭圆相交于,,,,,A B C D E F 6个点，当P 位于这6个点时，过点P 存在直线l 同时与两圆相切. ||||PQ PR +的最大值为max max ||||PQ PR +1212112PO PO PO PO =+++=++，根据椭圆的定义可知122226PO PO a ++=+=.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和几何性质，考查两个圆外切的公切线，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15.已知数列{}n a 为等差数列，公差为 (0)d d ≠，且满足344651222019a a a a a a d ++=，则5611a a -=______． 【答案】42019【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式化简已知条件，化简后求得5611a a -的值. 【详解】由于等差数列公差为d ，故由344651222019a a a a a a d ++=得()()()()()56555622262019a d a d a d a d a a d d --+-+++=()566542019a a a a =-，依题意650a a d -=≠，故上式可化为655642019a a a a -=，即561142019a a -=. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.16.已知ABC △的面积等于1，若1BC =，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A =______【答案】817【解析】 【分析】设三条高分别为,,a b c h h h ，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转化为sin A 最大来求解.【详解】依题意可知1a =，三条高分别为,,a b c h h h ，根据三角形面积公式有112112112a b c ah bh ch ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故2a h =，88a b c h h h abc bc ⋅⋅==，而1sin 12bc A =，即1sin 2A bc =，所以84sin a b c h h h A bc⋅⋅==.故当sin A 取得最大值时，三条高乘积取得最大值.作平行于BC 且与BC 距离为2的平行直线l ，作BC 的垂直平分线AD ，交直线l 于A .过AD 上一点O 作圆O ，使圆经过,,A B C 三个点，由于由于圆外角小于圆周角，故此时BAC ∠取得最大值，也即sin BAC ∠取得最大值.在三角形ABC中，1AB AC BC ===，由余弦定理得1717115cos 17BAC +-∠==，8sin 17BAC ∠==.即三角形的三条高的乘积取最大值时8sin 17A =.【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.17.已知非零的平面向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，又平面向量c r满足22c a c b -=-=r r r r ，若1||2c a b --r r r …，则||c r 的取值范围是______【答案】1952⎣ 【解析】 分析】设出,,a b c r r r 三个向量的坐标，根据题目所给条件列方程或不等式，由此求得||c r的取值范围.【详解】由于0a b ⋅=r r，以,a b r r 为基底建立平面直角坐标系，设(),0a a =r ，()0,b b =r ，(),c x y =r .由22c a c b -=-=r r r r ，及1||2c a b --r r r …得()224x a y -+=①，()221x y b +-=②，()()2214x a y b -+-≤③.由①+②得()()222255x y x a y b +=----≤，即c =≤r .将①②代入③得221414y x -+-≤，化简得22194x y +≥，故2c =≥r .所以则||c r 的取值范围是2⎣. 【点睛】本小题主要考查坐标法求向量模的取值范围，考查平面向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题.18.在ABC △中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin c a C Bc b A-+=-． （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围．【答案】(1) 3B π= ；2sin cos 222C A A <-<【解析】 【分析】（1）用正弦定理化简已知条件转化为边的形式，再由余弦定理求得cos B 的值，进而求得B 的大小.（2）利用降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式，化简所求表达式，利用三角函数值域的求法，求得表达式的取值范围. 【详解】（1）由sin sin sin c a C B c b A -+=-得到c a c bc b a-+=- 即222a c b ac +-= 所以1cos 2B =，从而3B π=（221sin cos 1)sin 2222C A A C A -=+-3123cos sin 23C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π 313cos sin 4C C =-+13cos 262C ⎛⎫=++⎪⎝⎭π 因为5666C <+<πππ所以33cos 262C ⎛⎫-<+<⎪⎝⎭π 所以23333cos sin cos 42224C A A <-<【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.19.如图，四面体ABCD 中，2AD =，1AB AC ==，二面角D AC B --的大小为60︒，120BAC DAC ︒∠=∠=，(01)AP AD =<<uu u r uuu rλλ．（1）若12λ=，M 是BC 的中点，N 在线段DC 上，2DN NC =，求证：BP ∥平面AMN ； （2）当BP 与平面ACD 所成角最大时，求λ的值． 【答案】(1)见证明；(2) 516λ= 【解析】 【分析】（1）取DN 的中点E ，连接,PE BE ，利用中位线的性质以及面面平行的判定定理证得平面//PBE 平面AMN ，由此证得//BP 平面AMN .（2）作出直线BP 与平面ACD 所成的角，根据所成角的最大值，求得λ的值. 【详解】（1）取DN 的中点E ，连接PE 、BE ．PE AN ∥，BE MN ∥，PE 、BE 是平面AMN 外两条相交直线，所以平面PBE ∥平面AMN ， 所以BP ∥平面AMN.（2）作BG AC ⊥与G ，在平面DAC 内作GH GC ⊥交AD 于H ，二面角D AC B --的平面角为60HGB ∠=o ,因为2=AD AB ，所以H 为AD 的中点，得BGH V 是正三角形． 易得平面BGH ⊥平面DAC ，作BI GH ⊥，则I 为GH 的中点，3BG BH HG ===, 连接PI ，根据面面垂直的性质定理，有BI ⊥平面ACD .则BPI θ∠=是BP 与平面ACD 所成角．在Rt BPI ∆中，tan BIPIθ=，BI 为定值，故当IP AD ⊥时，即IP 最短时，tan θ取得最大值，θ取得最大，在Rt HGA ∆中PI HA ⊥,30GHA ∠=o ,132HI HG ==，故333cos30428PH HI ==⨯=o，351188AP PH =-=-=,故516PA λAD ==．【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性质，考查线面角的作法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知等差数列{}n a 与数列{}n b 满足21a =，130b a =≠，且{}n n a b ⋅的前n 项和1(2)24n n S n +=-⋅+，*N n ∈．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1n n n b b b a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，若20182019n T >，求n 的最小值． 【答案】(1) 1n a n =- ；()*2N n n b n =∈； (2)10【解析】 【分析】（1）利用已知条件求得1a 的值，结合2a 的值求得数列{}n a 的通项公式.利用1n n n n a b S S -⋅=-求得数列{}n b 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得n T 的表达式，解不等式20182019n T >求得n 的最小值.【详解】解：（1）1110a b S ⋅==，所以10a =，又21a =， 所以1n a n =-2n ≥时，1(1)2nn n n n a b S S n -⋅=-=-⋅，此时2n n b =，又132b a ==，所以()*2N n n b n =∈．（2）()()11121121212121n n n n n n n n b b b a a +++==-⋅---⋅-，所以111111201812121212019nn i i n i T ++=⎛⎫=-=-> ⎪---⎝⎭∑， 得1212019n +->，n 最小值为10．【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查指数不等式的解法，属于中档题.21.如图，过点(1,0)P 作两条直线1x =和l 分别交抛物线24y x =于A ，B 和C ，D （其中A ，C 位于x 轴上方，l 的斜率大于0），直线AC ，BD 交于点Q ．（1）求证：点Q 在定直线上； （2）若PQC PBDS λS ∆∆=，求λ的最小值．【答案】(1)见证明；(2)223 【解析】 【分析】（1）设出,C D 两点的坐标和直线l 的方程，将直线l 的方程代入抛物线方程，写出根于系数关系.洗出直线,AC BD 的方程，化简后求得Q 点在直线1x =-上.（2）先求得PQC PQAS S ∆∆，PBDPQBS S ∆∆，根据PQA PQB S S ∆∆=以及PQC PBDS λS ∆∆=，求得λ的表达式，利用换元法和基本不等式求得λ的最小值.【详解】（1）设2,4c C c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4d D d ⎛⎫⎪⎝⎭，:1l x ty =+ 代入24y x =得2440y ty --=，所以4cd =-．:4(2)20AC x c y c -++=，:4(2)20BD x d y d ---=，消y 得14cd c dx c d -+==--+，故点Q 在1x =-上．（2）2142PQCPQAc S S ∆∆+=，2142PBD PQB d S S ∆∆-=，因为PQAPQB S S ∆∆=，所以()()2222244444c c c λd c ++==--， 令240c t -=>，则(4)(8)83344t t t λt t++==++≥+，当24c =+【点睛】本小题主要考查抛物线中点在定直线上的问题，考查直线和直线交点的求法，考查利用换元法和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知()ln f x x =，()g x =（1）若()()()af xg x g x +≥在(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若,0m n >，1m n +=，求证：221()()()()4f m f ng m g n -<． 【答案】(1) 1a ≥； (2)见证明 【解析】 【分析】（1）化简不等式()()()af xg x g x +≥，分离常数a ，构造函数()h x ，利用导数求得()h x 的最大值，由此求得a 的取值范围.（2）将所要证明的不等式转化为1ln ln 4m n mm ⋅-<，根据（1）的结论得到ln x +≥ln ln m n ⋅<mn 的取值范围，由此对ln ln m n mm ⋅-放大后，利用配方法，结合二次函数的性质证得1ln ln 4m n mm ⋅-<. 【详解】解：（1）ln x +≥在(0,1]恒成立，当a x x ≥在(0,1]恒成立．令()h x x x =-，则()h x '=令()ln 2u x x =-，则1()0u x x'=-≤在(0,1]恒成立，所以在(0,1]内()(1)0u x u ≥=，所以在(0,1]内()0h x '≥，所以()h x 在(0,1]内递增，所以在(0,1]内max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥． （2）即证1ln ln 4m n mm ⋅-<由（1）知ln x+≥，即ln x -≤，所以0ln m<-<=，0ln n <-<，所以ln ln m n ⋅< 2()1044m n mn +<≤=，所以2111ln ln 244m n mm mm ⎫⋅-<=-+≤⎪⎭．【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分离常数法和构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，考查放缩法以及利用配方法结合二次函数性质求最值，综合性很强，属于难题.。