有限元之平面刚架

Vj = −
6EI l2
4 EI l
Vi =
6 EI l2
Mj =
Vi =
6 EI l2
Mj =
第二节 平面刚架有限元法的直接法
二、单元节点位移与单元节点力之间的关系 前面给出了单元单位节点位移与单元节点力之间的关系，由此 结果，根据线性小挠度问题的叠加原理，可以很容易导出单元节点 位移与节点力之间的关系。 y V 图中ui，vi，θi和uj，vj，θj Mj j uj 表示单元e的i，j两个节点的位 Uj V 移，图示均为正方向， Ui，Vi vj θ j Mi i Ui ui ，Mi和Uj，Vj，Mj表示同一单 vi θi 元由前述节点位移引起的单元 x 节点力，正方向与位移一致。
平面桁架问题
任务： 去图书馆借阅有限元 有限元方面的参考书， 有限元 学习平面桁架或空间桁架的有关内容，弄 清楚具体处理问题的步骤和单元刚度矩阵 的形式。
FEM !!!
第二节 平面刚架有限元法的直接法
工程实际中刚架结构有着广泛的应用，如桥梁、高压输电塔、 厂房以及一些其它塔架。其中很多钢架的结构和载荷都有一个对称 面，因此可以简化为平面钢架来研究。
(2-1)
第二节 平面刚架有限元法的直接法
三、单元刚度矩阵 1、节点位移与节点力的矩阵表达式 将（2-1）式写成矩阵形式
EA l U i 0 V i M i 0 U = EA j − l V j M j 0 0 0 12EI l3 6EI l2 0 − 12EI l3 6EI l2 − 0 6EI l2 4EI l 0 6EI l2 2EI l − EA l 0 0 EA l 0 0 − 0 12EI l3 6EI − 2 l 0 12EI l3 6EI − 2 l − 0 6EI l2 2EI l 0 6EI l2 4EI l u i vi θ i u j v j θ j
N1 1 U1(1) u1
~ U1(1) u 2
( U 21) u1
2
( U 22) u2 F1
F2
3
( U 32) u2
~( U 21) u 2
~( U 22 ) u 3
~( U 3 2) u3
第一节 有限元法的思路
由节点平衡有
~ U1(1)u1 + U1(1)u2 = N1 ~( ~( ( ( U 21)u1 + (U 22 ) + U 21) )u2 + U 22 )u3 = F1 ~ U 3( 2 )u2 + U 3( 2 )u3 = F2
第二节 平面刚架有限元法的直接法
一、矢量的坐标变换式
y
y
由图中的几何关系，得
u = u cos α + v sin α v = v cos α − u sin α
v
v
α α
u cosα u
v cosα
x
x
θ =θ
写成矩阵形式
u u sin α
v sin α
θ θ
u cos α v = − sin α θ 0
y
2 ① ① 1 1 2 3 ② 3
x
y
2
y
②
x
o
x
由上面例子可见，①单元的局部坐标与整体坐标不一致，而②单 元的局部坐标与整体坐标一致，这导致两个单元在节点2处的节点力 、节点位移方向的不一致，因此需要进行坐标变换。将局部坐标下的 节点位移、节点力变换到整体坐标系中，这样才有各单元在同一节点 处的节点位移和节点力的方向是一致的。
引入边界条件 u1
= 0得
EA1 EA2 l + l 2 1 − EA2 l2 EA2 − u2 F1 l2 = EA2 u3 F2 l2
第一节 有限元法的思路
由此可求出节点位移，如果需要求约束反力，可由前面三个方程 中的第一个方程求出。 由以上实例分析，我们可以看到有限元法的基本思路如下： 1 简化计算简图（建立力学模型）； 2 将结构离散成在节点处联结的各个单元体（有限元模型） ； 3 编排单元号码与节点号码； 4 将非节点菏载移置到节点上； 5 求出以节点位移表示的单元节点力； 6 建立节点平衡方程式； 7 求出节点位移、节点力及应力。
F i e Fj
e
K
0
12EI l3 6EI l2
e ii
K
0 12EI l3 6EI − 2 l
12EI − 3 l 6EI − 2 l
e ij
K
12EI − 3 l 6EI l2
e 6EI − l ji 2EI
2
K
e 6EI − l jj 4EI
2
δ δ
e i e j
l
l
第二节 平面刚架有限元法的直接法
第二节 平面刚架有限元法的直接法
ui=1
i EA, l j i EA, l uj=1 j
Ui =
EA l
Uj =−
EA l
Ui = −
EA EA Uj = l l
vi=1 i EI, l j i EI, l j
Vj=1
6 EI Mi = 2 l
12 EI Vj = − 3 l
6 EI Mi = 2 l
第一节 有限元法的思路
U1(1) =
EA 1 l1
( U 21) = −
EA 1 l1
( U 22) =
EA2 l2
( U32) = −
EA2 l2
EA ~ U1(1) = − 1 l1
EA ~( U 21) = 1 l1
EA ~( U 22) = − 2 l2
EA ~( U32) = 2 l2
由作用和反作用定律可知，节点1、2、3的受力如图所示。
平面桁架问题
在平面桁架中，每个杆件 均为二力杆，但各杆件的 方位不同，无法简单的向 前面的阶梯拉压杆那样处 理，应该怎样形成整个结 构的节点平衡方程？
平面桁架问题
y v2 u2 x U2 v1 u1 u1 V2 U2 u2 x1 V1 U1 U1 x1
建立整体坐标系，将杆单元的节点位移和节点力沿整 体坐标进行分解，这样不同单元在公共节点上的位移 就相同了，可以实现方程的叠加。
sin α cos α 0
Vi = −
12 EI 6 EI Mj =− 2 l3 l
12 EI Vi = 3 l
Mi = −
6 EI 12 EI Vj = 3 l l2
第二节 平面刚架有限元法的直接法
θi=1 EI, l i EI, l j i
θj=1 j
Mi =
4 EI l
Vj = −
6EI l2
2 EI l
Mi =
2 EI l
(2-2)
第二节 平面刚架有限元法的直接法
(2) [K]e具有分块性 我们来观察单元刚度矩阵的结构，其数学表达式如下：
EA l U i 0 V i M i 0 U = EA j − l V j M j 0 0 0 0 6EI l2 4EI l 0 − EA l 0 0 EA l 0 0 0 0 6EI l2 2EI l 0 u i vi θ i u j v j θ j
o
第二节 平面刚架有限元法的直接法
由叠加原理很容易得到如下关系式
EA EA ui − uj l l 12EI 6EI 12EI 6EI Vi = 3 vi + 2 θi − 3 vj + 2 θ j l l l l 6EI 4EI 6EI 2EI θi − 2 vj + θj Mi = 2 vi + l l l l EA EA Uj = − ui + uj l l 12EI 6EI 12EI 6EI Vj = − 3 vi − 2 θi + 3 vj − 2 θ j l l l l 6EI 2EI 6EI 4EI θi − 2 vj + θj Mj = 2 vi + l l l l Ui =
EA l U i 0 V i M i 0 U = EA j − l V j M j 0 0 0 12EI l3 6EI l2 0 − 12EI l3 6EI l2 − 0 6EI l2 4EI l 0 6EI l2 2EI l − EA l 0 0 EA l 0 0 − 0 12EI l3 6EI − 2 l 0 12EI l3 6EI − 2 l − 0 6EI l2 2EI l 0 6EI l2 4EI l u i vi θ i u j v j θ j
腹杆
上弦杆
梁
下第二节 平面刚架有限元法的直接法
2.2.1 单元划分原则（略） 单元划分原则（ 2.2.2 以节点位移表示节点力 一、单元节点的单位位移与单元节点力的关系 梁单元节点的单位位移与节点力之间的关系如图所示。 说明如下： 1 图中位移正方向为u (右)、v (上)、θ（逆时针）； 2 图中作用在单元上的力均满足平衡方程； 3 单元节点单位位移引起的单元节点力用材料力学中的力法求得； 4 单元节点力正方向与位移一致； 5 单元局部坐标如图所示（i节点为原点，x轴指向j点）。
(3) [K]e具有对称性 这一特性可由位移互等定理得到证明。 2.2.3 坐标变换 前面我们给出了梁单元的刚度矩阵，但给出的是梁单元局部坐标 下的结果，在一个实际的刚架中，各梁单元的局部坐标是不一致的（ 因各梁的方向不同），因此为了将各梁单元组集成整个刚架，必须建 立统一的坐标系——整体坐标系。