选修2-1(空间向量)

3.1 空间向量及其运算1 空间向量及其加减运算、数乘运算【学习目标】1.类比平面向量,理解空间向量的相关概念;2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算的运算法则,比较与平面向量的异同,加深理解.【重难点】概念的理解【新知探究】一、空间向量的有关概念1.空间向量的定义:在空间,我们把_________________________的量叫做空间向量[思考] 空间向量间能否比较大小?二、空间向量的加减法1.定义:空间向量的加、减运算结果仍是_______,其法则类似于平面向量的加、减法的运算法则:加法满足________法则和_________________________法则;减法为加法的__________,与平面向量的减法运算一样.2.运算律:空间向量的加法满足__________和_____________,即:a_____________;==+b(_______________________________.a)+c+b[探究] 结合律的证明[结论] 1.空间三个不共面向量的和向量可以与这三个向量移到相同起点后构造的平行六面体的对角线联系;2.首尾相接的若干向量之和,等于____________________________________, 即:_________________________________________________3.首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则这些向量的和为________4.若P是线段AB的中点，则=____________________三、空间向量的数乘运算1.定义:与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个______,记为_______.称为向量的数乘运算.其方向和长度规定如下:(1)长度规定:λa的长度是a的长度的________,(2)方向规定:当λ>0时, λ与向量的方向________;当λ<0时, λa与向量a的方向________;2.运算律:空间向量的数乘运算满足分配律及结合律: 结合律:____________________ 分配律1:__________________ 分配律2:__________________【例题分析】例1、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA CB +; （2）121AA CB AC ++;（3）CB AC AA --1 C 1B 1CBAA 1例2、如图，在长方体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，点E ,F 分别是//,B D DB 的中点，设k OK j OJ i OI ===,,,试用向量k j i ,,表示OE 和OFF E D'B'CBO D A'I JK例3、空间四边形ABCD 中，连接AC ,BD ，△BCD 的重心为G ，若z y x ++=，求x ,y ,z 的值。

【变式练习】已知空间四边形ABCD ，连接,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r；（2）1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r；（3）1()2AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r ．BCDMGA2 共线向量与共面向量【学习目标】1.类比平面共线向量学习空间共线向量,注意体会平面到空间的变化;2.理解共面向量定理;3.掌握三点共线、四点共面的充要条件;4.了解直线和平面的向量表示.【重点、难点】共线向量定理和共面向量定理及其简单运用【新知探究】一、共线向量1.定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_________________,则这些向量叫做共线向量或_______________.2.共线向量定理对于空间任意两个向量,a(≠____),//等价于________________________________________________________________3.空间直线的向量表示式空间中的直线l可由直线上的一点A以及平行于直线l的非零向量(向量叫做直线l的__________________)确定.即对空间任意一点O,点P在直线l等价于存在实数t,使_____________________①若在l上取=,则①式可化为_____________________②①和②式都称为空间直线的向量表示式.4.三点共线问题空间中三点A,B,C共线⇔_______________________________________________⇔_______________________________________________二、共面向量1.定义___________________________的向量,叫做共面向量2.空间中任意两个向量一定是共面向量.三个向量则不一定.3.共面向量定理___________________________________________________________________________ 4.平面的向量表示式空间中任意平面可由空间一点及两个不共线的向量确定空间一点P 位于平面ABC 内等价于存在___________________,使______________. 或对空间任意一点O ,有________________________________③③式称为空间平面ABC 的向量表示式 5.四点共面问题空间中四点A ,B ,C ,D 共面⇔______________________________________________⇔_______________________________________________【例题讲析】 例1、(1)设1e ,2e 是空间中两个不共线的向量,已知212e k e AB +=,213e e CB +=212e e CD -=且A ,B ,D 三点共线,求k 的值(2) 已知两个非零向量21,e e u r u u r 不共线，如果21AB e e =+u u u r u r u u r ，2128AC e e =+u u u r u r u u r，2133AD e e =-u u u r u r u u r，求证：,,,A B C D 共面．例2、(1)若三点A ,B ,C 共线,P 为空间任意一点,且y x =+,则x -y =_______ (2)已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若由向量OC OB OA OP λ++=3251确定的点P 与A ,B ,C 共面,则λ=__________例3、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设直线A 1C 与平面BDC 1的交点为E ,求1CA CE1例4、已知平行四边形ABCD ,过平面AC 外一点O 做射线OA ,OB ,OC ,OD ,则四条射线上分别取点E ,F ,G ,H ,并且使k ODOHOC OG OB OF OA OE ====,求证:E ,F ,G ,H 四点共面例5、E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点,求证:(1)E,F,D,B四点共面;(2)平面AEF//平面BDHG1A例6、已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE 上,且BM=31BD,AN=31AE,求证:MN//平面CDE3 空间向量的数量积运算【本节要求】1. 正确理解数量积和向量的夹角等的概念;2. 了解投影及数量积的几何意义;3. 掌握数量积的运算律、性质;4. 比较数量积和实数运算的异同点,进一步理解数量积的概念5. 能运用数量积解决垂直、距离、线线角等问题.【知识点解读】 1.向量的夹角 （1）定义及记法（2）起点相同，>-<->=-<->=-->=<>=<<,,,,,ππ （3）范围：________________.①0°:________;②90°:_________;③180°:_________. 2.向量的投影称_________为在方向上的投影,称_________为在方向上的投影.3.空间向量的数量积(1)定义及记法:_______________________________________________,且结果是_______ (2)几何意义 (3)运算律①_________________,②__________________,③_________________. (4)性质①_______,__________⇔⊥②与同向,则_______________,与反向,则_______________, ③______________||≤⋅b a ④__________||=⑤><,cos =_________________[思考] 教材90页[自学] 教材91页例2、例3【典例剖析】类型一数量积的正确理解例1、判断下列说法的正误则它们垂直均不为与若,0)()()3(|;|||||)2(;)()1(22222bcacbaaqpqpqpqpqp⋅⋅-⋅⋅-=-⋅+⋅=⋅类型二求向量的模或求空间中的线段长度例2、(1) (导学案90页基础学习交流第3题) 设a⊥b,<a,c>=,<b,c>=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量a+b+c的模为.(2) (导学案91页探究三) 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D两点间的距离.类型三证线线垂直例3、(1) (导学案90页探究一) 已知正三棱柱ABC—A1B1C1,底面边长AB=2,若M为BC1的中点.求证:AM⊥BC.若A在PB、PC上的射影分别是E、F.求证:EF⊥PB.类型四求异面直线所成的角例4、(1) (导学案90页基础学习交流第4题) 如图所示,在空间四边形OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=60°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.(2) (导学案90页探究二) 已知S—ABC是棱长为1的正四面体,M、N分别是AB、SC的中点,求异面直线SM与BN所成角的余弦值.4 空间向量的坐标表示、空间向量运算的坐标表示【目标】1.理解空间向量基本定理;2.理解空间向量的坐标表示;3.正确理解并掌握空间向量运算的坐标表示【新知探究】1.空间向量基本定理定理如果三个向量a,b,c________________,那么对空间中任一向量p,存在______有序实数组(x,y,z),使得____________________.把{a,b,c}叫做空间的一个________,a,b,c都叫做__________.把有序实数组(x,y,z)叫做在基底{a,b,c}下的坐标.空间任何_________________的向量都可构成空间的一个基底.练习. (导学案95页基础学习交流1) .已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是().A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2ªC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c例1.(教材98页11题)例2.(导学案95页探究一) 在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{,,}为基底,则=.2.空间向量的正交分解、空间向量的坐标表示(1)设,,k是空间三个_____________的_______向量,分别以,,k的方向为x轴,y 轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,空间任意一个向量都可以用,,唯一表示,即存在______________________使得______________,我们把x,y,z称作向量在单位正交基底,,k下的坐标,记作__________________①设点P(x0,y0,z0),则=________________________;②设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=_____________________,AB的中点坐标为_____________________,|AB|=_________________________________.3.空间向量运算的坐标表示(1)空间向量运算的坐标表示设=(x1,y1,z1),= (x2,y2,z2),则①+=_______________,-=_______________,λ=_________________.②a·b=________________(2)空间向量平行和垂直的坐标表示设=(x1,y1,z1),= (x2,y2,z2),则①a//b⇔_________⇔________________或_________________________②⊥⇔_________⇔________________(3)空间向量的模、夹角的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b= (x2,y2,z2),则①||=_____________________________;②cos<,>=___________________________________________________.例3.(导学案96页探究二) 已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).(1)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值.(2)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值.例4.(导学案96页探究三) 已知向量a=(5,3,1),b=(-2,t ,-),若a 与b 的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.例5.(导学案97页基础智能检测1) 若ABCD 为平行四边形,且A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,-5),则顶点D 的坐标为( ).A.(,4,-1)B.(2,3,1)C.(-3,1,5)D.(5,13,-3).例6.如图,已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M 是AB 的中点,点N 在PC 上,且PN =2NC .P A =AD =1,建立适当的空间直角坐标系,求MN DC ,的坐标CDAPN变练.正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面边长为1,高为2,建立适当的空间直角坐标系,写出111,AC 的坐标.C 1A 1A13.2 立体几何中的向量方法1 用向量法证明直线、平面的平行和垂直[知识点探析]1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量若____________________,则向量a叫作直线l的方向向量.(2)平面的法向量如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量_____________,记作_______,如果_______,那么向量a叫作平面α的法向量.2.用空间向量表示立体几何中的平行于垂直关系设直线l、m的方向向量分别为a、b,平面α、β的法向量分别为u、v,当l、m不重合,α、β不重合且l、m不在平面α、β内时,有(1)线线平行:l∥m⇔____________线面平行: l∥α⇔ ______________________________面面平行:α∥β⇔_________________________________________(2)线线垂直: l⊥m_______________________________________线面垂直: l⊥α⇔_________________________________________面面垂直:α⊥β⇔__________________________________________[典例探析]例1. (1) 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:BF //ED 1F1A(2)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥DA 11A例2.(导学案P100探究一) 已知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(abc≠0),求平面ABC的一个法向量.变练.(导学案P101应用一) 已知正方体ABCD—A'B'C'D',点E、F、G分别是AB、BC、AA'的中点.求平面EFG的一个法向量.G1A例3. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1C,且A1E=2EC,求证:(1)AD1//平面BDE,(2)A1C⊥平面BDE1 A例4.在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两垂直,D为AB的中点,点E,F,G分别在BC,PB,PD 上,且DG:GP=BE:EC=PF:FB=1:2,求证:平面EFG⊥平面PBCP变练1.(导学案P102应用二) 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是BB1的中点,F是CD的中点.求证:平面A1D1F⊥平面ADE.变练2.(导学案P102应用三) 图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D 是AP的中点,E、F、G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD,如图2.求证:AP∥平面EFG.3.2 立体几何中的向量方法2 用向量法求空间角[回顾] 三类空间角[新知]一、用向量法求异面直线所成的角设异面直线l ,m 所成的角为θ,它们的方向向量分别为a 、b ,则___________________ [例1] (导学案P 105应用一) 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 和CN 所成角的余弦值是 .[变练1] (导学案P 105探究一)在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是D 1D ,BD 的中点,G 在CD 上,且CG=CD ,H 为C 1G 的中点.则EF 与B 1C 所成角为 ;EF 与C 1G 所成角的余弦值为 ;EF 与B 1H 所成角的余弦为_____二、用向量法求直线与平面所成的角设直线l 与平面α所成的角为θ,直线l 的方向向量为,平面α的法向量为,则________________[例2] 已知三棱锥P -ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,P A =AC =21AB ,N 为AB 上一点,且AB =4AN ,M ,S 分别为PB ,BC 的中点,求SN 与平面CMN 所成角的大小.A BCPNMS[变练2] (导学案P105探究二) 如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°, AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.三、用向量法求二面角设二面角βα--l的平面角为θ①如图1,若lbla⊥⊥,,则________________②如图2,设α的法向量为m,β的法向量为n,则___________________________llαβmn图2图1baβα[例3] (导学案P106探究三) 如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,求二面角A—A1D—B的余弦值.[变练3] (导学案P106应用三) 正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2,P是侧棱AA1上任意一点.(1)判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直,请证明你的结论;(2)当BC1⊥B1P时,求二面角C—B1P—C1的余弦值.1 AAP3.2 立体几何中的向量方法3 用向量法求空间距离一、点与点间的距离若能建立空间直角坐标系,则可得出两点的坐标,然后用距离公式求解;可转化为计算向量的模[例1] (导学案P110基础学习交流1) 在直角坐标系中,设A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角,则A、B两点间的距离为().A.2B.C.4D.3二、点到直线的距离[例2] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到EF 的距离.三、点到平面的距离[例3] (导学案P111探究一) 如图,已知ABCD是边长为4的正方形,点E、F分别是AD、AB的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求点B到平面FEG的距离.[变练3-1] (导学案P112应用一) 如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,点E、F分别为棱AB、BC的中点.求点D1到平面B1EF的距离d.四、线到面的距离,面到面的距离[例4-1] (导学案P111探究二) 如图,边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、C1C的中点,DG=DD1,过E、F、G的平面交AA1于点H,求A1D1到面EFGH的距离.[例4-2] (导学案P111探究三) 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中.求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离.五、异面直线间的距离1.概念:对于异面直线a,b,若直线AB∩a=A,直线AB∩b=B,且AB⊥a,AB⊥b,则称直线AB 为异面直线a,b的公垂线,线段AB称为异面直线a,b的公垂线段.称公垂线段AB的长度为异面直线a,b间的距离.2.异面直线间的距离的求法(1)若能找出公垂线段,则可用两点间的距离的求法求之,(2)不能(或不易)找出公垂线段时可采用向量法:[例5] 如图,两条异面直线a,b所成的角为 ,在直线a,b上分别取点A,B和C,D,使AC⊥a,AC⊥b.已知AB=m,BD=l,CD=n,求AC的长[例6] 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点.求BD1与DE之间的距离1 D3.2 立体几何中的向量方法4 用向量法解探究性问题[例1] 如图，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形，且∠BAD=60°，A 1A=AB ，E 为BB 1延长线上的一点，D 1E ⊥面D 1AC ，设AB=2．在D 1E 上是否存在一点P ，使A 1P ∥面EAC ？B 1C 1D 1CDBAA 1E[变练1-1] 如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为4正三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1=26，M 为A 1B 1的中点．在棱CC 1上是否存在点P ，使得MC ⊥平面ABP ？若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．[变练1-2] 如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长2正三角形，侧棱与底面垂直，且长为3，D 是AC 的中点．在线段AA 1上是否存在一点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD ，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．[例2] 等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足21==EA CE DB AD ,（如图1）．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1-DE-B 成直二面角，连结A 1B 、A 1C （如图2）． （Ⅰ）求证：A 1D⊥平面BCED ：（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为23?若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．[变练2-1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,且∠DAB=60°，PA=PD=2，PB=1，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：平面ADP⊥平面DEF；（Ⅱ）在线段AE上是否存在一点M，使二面角M-DF-E的大小为60°，若存在求出EM：MA，若不存在，则说明理由．。