离散数学二元关系与运算演示文稿
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A B = {<a,0>, <a,1>, <a,2>, <b,0>, <b,1>, <b,2> } B A = {<0, a>, <0, b>, <1,a>, <1,b>, <2,a>, <2,b>} 一般地：如果|A|=m，|B|=n，则 |AB|=|BA|=m n
积运算的性质
(1) 若A，B中有一个空集，则笛卡儿积是空集， 即： B = A =
二、二元关系的表示方法
A上关系的表示法
1. 关系矩阵： 设A={x1, x2, …, xn)，R是A上的关系， 令：
1 rij =
0
若xi R xj 若xi R xj
(i, j = 1,2,…, n)
r11 r12 r1n
则 (rij)nxn = r21
r22
r2n
是R的关系矩阵
rn1
(1) R1={<x, y> | x, y Z xy} 解： domR1 = ranR1 = Z
(2) R2={<x, y> | x, y Z x2+y2=1} 解： R2 = {<0, 1>, <0, 1>, <1, 0>, <1, 0>}
domR2 = ( ? ) ranR2 = ( ? )
(3) R3={<x, y> | x, y Z y=2x} 解： domR3 = Z， ranR3 = {偶数}
(4) R4={<x, y> | x, Hale Waihona Puke Baidu Z |x|=|y|=3} 解： domR4 = ranR4 = ( ? )
离散数学二元关系与运算演示 文稿
（优选）离散数学二元关系与 运算
二元有序组的性质 (1) 当x y时，<x，y> <y，x> (2) <x，y> = <u，v>，当且仅当x = u，y = v
(1)、(2)说明有序组区别于集合
n元有序组：由n个元素x1，x2，…，xn， 按一定顺序排成的n元组，记 作：(x1，x2，…，xn) 。
解： 关系矩阵 ：
1100 0011 0000 0100
关系图 ：
1
2
4
3
§4.2 关系的运算
一、关系的定义域与值域
关系R的定义域： domR = {x | (y)<x, y>R} (即R中有序组的第一个元 素构成的集合)
关系R的值域：
ranR ={y | (x)<x, y>R} (即R中有序组的第二个元 素构成的集合)
2. 一种新的集合运算 ––– 积运算 ： 设A、B为两集合，用A中元素为第一
元素，B中元素作为第二元素构成的二元有 序组的全体叫做A和B的笛卡儿积。
记作：A B 符号化：A B = {<x,y> | xA y B}
例4.1 设A={a,b}，B={0,1,2} ，求AB，BA 解：根据笛卡儿积的定义知
例4.5 下列关系都是整数集Z上的关系，分别求 出它们的定义域和值域：
(1) R1={<x, y> | x, y Z xy} (2) R2={<x, y> | x, y Z x2+y2=1} (3) R3={<x, y> | x, y Z y=2x} (4) R4={<x, y> | x, y Z |x|=|y|=3}
二元关系：如果一个集合的元素都是二元有 序组，则这个集合称为一个二元 关系，记作：R 。
如果<x, y> R ，记作 x R y 如果<x, y> R ，记作 x R y
从A到B的二元关系：设A，B为集合，A B的任 何子集所定义的二元关系叫做从 A到B的二元关系。
若A=B，叫做 A上的二元关系； 若|A|＝n，则|AA|＝n2。 AA的所有子集有2n2 个。 就是说，A上有2n2个不同的二元 关系，其中包括空关系、全域 关系UA和恒等关系IA。
(?)
A(B∩C) = (AB)∩(AC)
(?)
(B∩C)A = (BA)∩(C A)
(?)
我们证明：
A(B∪C) = (AB)∪(AC)
证明思想
要证明两个集合相等，通常有两种方法： 一是证两个集合相互包含； 二是利用已有的 集合运算的性质(算律和已证明过的公式)，仿 照代数恒等式的证明方法，一步步从左(右)边 推出右(左)边，或从左、右边分别推出同一个 集合式子。一般说来，最基本的集合相等关 系要用第一种证法，比较复杂的集合相等关 系用第二种方法更好，但第二种方法的使用 取决于我们对算律和常用公式的熟练程度。
证明： 用第一种方法 对于任意的<x,y> A ( B∪C ) xAy(B∪C) xA(yByC ) (xAyB)(xAyC) <x, y>AB<x, y>AC <x, y>(AB)∪(AC) A(B∪C)=(AB)∪(AC)
例4.2 设A={1,2}，求P(A)A 解： P(A)A
(2) 当AB，且A，B都不是空集时，有ABBA
(3) 当A，B，C都不是空集时，有(AB)C A(BC) 因为(AB)C中的元素< <x,y>, z>，而A(BC)中 的元素为< x, <y, z> > 。
(4) A(B∪C) = (AB)∪(AC) (对∪的分配律)
(B∪C)A = (BA)∪(CA)
例4.3 设A = {a,b}，写出P(A)上的包含关系R ：
解： P(A) = {,{a},{b}{a,b}} R = {<, >, < ,{a}>, <{,{b}>,<{a, b}>, <{a},{a}>,<{a},{a, b}>, <{b},{b}>, <{b},{a, b}>, <{a, b},{a, b}>}
= {，{1}，{2}，{1,2}} {1,2} = {<,1>，<,2>，<{1},1>，<{1},2>，
<{2},1>，<{2},2>， <{1,2},1>，<{1,2},2>} n阶笛卡儿积：
A1 A2 …An = {(x1,x2,… xn) | x1A1x2A2 …xnAn}
3、二元关系的数学定义
rn2
rnn
2. 关系图：
以V=A={x1, x2,…, xn} 为顶点集， 以E = {<xi, xj> | xiAxjAxiRxj}为有向 边集组成的有向图G = <V, E>
例4.4 设A={1,2,3,4}， R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}是A上的 关系，试写出R的关系矩阵并画出关系图：
积运算的性质
(1) 若A，B中有一个空集，则笛卡儿积是空集， 即： B = A =
二、二元关系的表示方法
A上关系的表示法
1. 关系矩阵： 设A={x1, x2, …, xn)，R是A上的关系， 令：
1 rij =
0
若xi R xj 若xi R xj
(i, j = 1,2,…, n)
r11 r12 r1n
则 (rij)nxn = r21
r22
r2n
是R的关系矩阵
rn1
(1) R1={<x, y> | x, y Z xy} 解： domR1 = ranR1 = Z
(2) R2={<x, y> | x, y Z x2+y2=1} 解： R2 = {<0, 1>, <0, 1>, <1, 0>, <1, 0>}
domR2 = ( ? ) ranR2 = ( ? )
(3) R3={<x, y> | x, y Z y=2x} 解： domR3 = Z， ranR3 = {偶数}
(4) R4={<x, y> | x, Hale Waihona Puke Baidu Z |x|=|y|=3} 解： domR4 = ranR4 = ( ? )
离散数学二元关系与运算演示 文稿
（优选）离散数学二元关系与 运算
二元有序组的性质 (1) 当x y时，<x，y> <y，x> (2) <x，y> = <u，v>，当且仅当x = u，y = v
(1)、(2)说明有序组区别于集合
n元有序组：由n个元素x1，x2，…，xn， 按一定顺序排成的n元组，记 作：(x1，x2，…，xn) 。
解： 关系矩阵 ：
1100 0011 0000 0100
关系图 ：
1
2
4
3
§4.2 关系的运算
一、关系的定义域与值域
关系R的定义域： domR = {x | (y)<x, y>R} (即R中有序组的第一个元 素构成的集合)
关系R的值域：
ranR ={y | (x)<x, y>R} (即R中有序组的第二个元 素构成的集合)
2. 一种新的集合运算 ––– 积运算 ： 设A、B为两集合，用A中元素为第一
元素，B中元素作为第二元素构成的二元有 序组的全体叫做A和B的笛卡儿积。
记作：A B 符号化：A B = {<x,y> | xA y B}
例4.1 设A={a,b}，B={0,1,2} ，求AB，BA 解：根据笛卡儿积的定义知
例4.5 下列关系都是整数集Z上的关系，分别求 出它们的定义域和值域：
(1) R1={<x, y> | x, y Z xy} (2) R2={<x, y> | x, y Z x2+y2=1} (3) R3={<x, y> | x, y Z y=2x} (4) R4={<x, y> | x, y Z |x|=|y|=3}
二元关系：如果一个集合的元素都是二元有 序组，则这个集合称为一个二元 关系，记作：R 。
如果<x, y> R ，记作 x R y 如果<x, y> R ，记作 x R y
从A到B的二元关系：设A，B为集合，A B的任 何子集所定义的二元关系叫做从 A到B的二元关系。
若A=B，叫做 A上的二元关系； 若|A|＝n，则|AA|＝n2。 AA的所有子集有2n2 个。 就是说，A上有2n2个不同的二元 关系，其中包括空关系、全域 关系UA和恒等关系IA。
(?)
A(B∩C) = (AB)∩(AC)
(?)
(B∩C)A = (BA)∩(C A)
(?)
我们证明：
A(B∪C) = (AB)∪(AC)
证明思想
要证明两个集合相等，通常有两种方法： 一是证两个集合相互包含； 二是利用已有的 集合运算的性质(算律和已证明过的公式)，仿 照代数恒等式的证明方法，一步步从左(右)边 推出右(左)边，或从左、右边分别推出同一个 集合式子。一般说来，最基本的集合相等关 系要用第一种证法，比较复杂的集合相等关 系用第二种方法更好，但第二种方法的使用 取决于我们对算律和常用公式的熟练程度。
证明： 用第一种方法 对于任意的<x,y> A ( B∪C ) xAy(B∪C) xA(yByC ) (xAyB)(xAyC) <x, y>AB<x, y>AC <x, y>(AB)∪(AC) A(B∪C)=(AB)∪(AC)
例4.2 设A={1,2}，求P(A)A 解： P(A)A
(2) 当AB，且A，B都不是空集时，有ABBA
(3) 当A，B，C都不是空集时，有(AB)C A(BC) 因为(AB)C中的元素< <x,y>, z>，而A(BC)中 的元素为< x, <y, z> > 。
(4) A(B∪C) = (AB)∪(AC) (对∪的分配律)
(B∪C)A = (BA)∪(CA)
例4.3 设A = {a,b}，写出P(A)上的包含关系R ：
解： P(A) = {,{a},{b}{a,b}} R = {<, >, < ,{a}>, <{,{b}>,<{a, b}>, <{a},{a}>,<{a},{a, b}>, <{b},{b}>, <{b},{a, b}>, <{a, b},{a, b}>}
= {，{1}，{2}，{1,2}} {1,2} = {<,1>，<,2>，<{1},1>，<{1},2>，
<{2},1>，<{2},2>， <{1,2},1>，<{1,2},2>} n阶笛卡儿积：
A1 A2 …An = {(x1,x2,… xn) | x1A1x2A2 …xnAn}
3、二元关系的数学定义
rn2
rnn
2. 关系图：
以V=A={x1, x2,…, xn} 为顶点集， 以E = {<xi, xj> | xiAxjAxiRxj}为有向 边集组成的有向图G = <V, E>
例4.4 设A={1,2,3,4}， R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}是A上的 关系，试写出R的关系矩阵并画出关系图：