离散数学二元关系与运算演示文稿
《离散数学》课件-第四章 二元关系
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系（可编辑）
方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系（可编辑）方世昌离散数学第三版教材课件第3章二元关系31 基本概念32 关系的合成33 关系上的闭包运算34 次序关系35 等价关系和划分 31 基本概念311 关系关系的数学概念是建立在日常生活中关系的概念之上的让我们先看两个例子例31-1 设 A abcd 是某乒乓球队的男队员集合 B efg 是女队员集合如果A和B元素之间有混双配对关系的是a 和gd和e我们可表达为 R 〈ag〉〈de〉这里R 表示具有混双配对关系的序偶集合所有可能具有混双配对关系的序偶集合是A×B 〈xy〉x∈A∧y∈B 〈ae〉〈af〉〈ag〉〈be〉〈bf〉〈bg〉〈ce〉〈cf〉〈cg〉〈de〉〈df〉〈dg〉例31-2 设学生集合A1 abcd 选修课集合A2 日语法语成绩等级集合A3 甲乙丙如果四人的选修内容及成绩如下 a 日乙 b 法甲c 日丙 d 法乙我们可表达为S 〈a 日乙〉〈b法甲〉〈c日丙〉〈d法乙〉这里S表示学生和选修课及成绩间的关系而可能出现的全部情况为A1×A2×A3 〈xyz〉x∈A1∧y∈A2∧z∈A3 〈a日甲〉〈a 日乙〉〈a日丙〉〈a法甲〉〈a 法乙〉〈a法丙〉〈b日甲〉〈b日乙〉〈b日丙〉〈b 法甲〉〈b法乙〉〈b法丙〉〈c日甲〉〈c日乙〉〈c日丙〉〈c法甲〉〈c法乙〉〈d法丙〉定〈c法丙〉〈d日甲〉〈d日乙〉〈d日丙〉〈d法甲〉〈d法乙〉义31―1 1 A×B的子集叫做A到B的一个二元关系2 A1×A2××An n≥1 的子集叫做A1×A2××An上的一个n元关系3 从定义可看出关系是一个集合所有定义集合的方法都可用来定义关系例31-1和例31-2是列举法的例子一个谓词Px1x2xn 可以定义一个n元关系R R 〈x1x2xn〉P x1x2xn 例如实数R上的二元关系＞可定义如下＞〈xy〉x∈R∧y∈R∧x＞y 反之一个n元关系也可定义一个谓词当n 1时R 〈x〉P x 称为一元关系它是一重组集合表示论述域上具有性质P的元素集合其意义与R xP x 相同仅记法不同而已例如设P x 表示x是质数论述域是N则质数集合可表示为〈x〉｜P x 或x｜P x 关系也可归纳地定义自然数上的小于关系可定义如下1 基础〈01〉∈＜2 归纳如果〈xy〉∈＜那么i 〈xy1〉∈＜ ii 〈x1y1〉∈＜ 3 极小性对一切xy∈Nx＜y当且仅当〈xy〉是由有限次应用条款 1 和 2 构成定义31―2 设R是的子集如果R 则称R为空关系如果则称R为全域关系现在定义关系相等的概念在关系相等的概念中不仅需要n重组集合相等还需其叉积扩集也相同定义31―3设R1 是上的n元关系R2是上的m元关系那么R1 R2当且仅当n m且对一切i1≤i≤nAi Bi并且R1和R2是相等的有序n重组集合 312 二元关系最重要的关系是二元关系本章主要讨论二元关系今后术语关系都指二元关系若非二元关系将用三元或n元一类术语指出二元关系有自己专用的记法和若干新术语设 A x1x2x7 B y1y2y6 R〈x3y1〉〈x3y2〉〈x4y4〉〈x6y2〉A到B的二元关系R可如图31―1那样形象地表示〈x3y1〉∈R也可写成x3Ry1称为中缀记法读做x3和y1有关系R中缀记法常用来表示诸如＜＞等关系例如〈35〉∈＜通常写作3＜5 A叫做关系R的前域B叫做关系R的陪域 D R x｜y 〈xy〉∈R 叫做关系R 的定义域R R y｜x 〈xy〉∈R 叫做关系R的值域关系是序偶的集合对它可进行集合运算运算结果定义一个新关系设R和S是给定集合上的两个二元关系则R∪SR∩SR-S 等可分别定义如下x R∪S y xRy∨xSy x R∩S y xRy∧xSy x R-S y xRy∧xy x y xRy 例31-3平面上的几何图形是平面R2的子集也是一种关系设参看图31―2 R1 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≤9 R2 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧1≤x≤3 ∧0≤y≤3 R3 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧x2y2≥4 则R1∪R2 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2 ≤9∨ 1≤x≤3∧0≤y≤3 R1∩R3〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2 ≤9∧x2y2≥4 R1-R3 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2≤9∧ L x2y2≥4 〈xy〉｜〈xy〉∈R2∧ x2y2≥4 313 关系矩阵和关系图表达有限集合到有限集合的二元关系时矩阵是一有力工具定义31―4 给定集合A a1a2am 和B b1b2bn 及一个A 到B的二元关系R 使例31-4 设A a1a2 B b1b2b3 R 〈a1b1〉〈a2b1〉〈a1b3〉〈a2b2〉则其关系矩阵为例31-5 设A 1234 A上的二元关系R 〈xy〉｜x＞y 试求出关系矩阵解R 〈41〉〈42〉〈43〉〈31〉〈32〉〈21〉例31-6 设 A 12345 R 〈12〉〈22〉〈32〉〈34〉〈43〉其图示如图31―3所示图中结点5叫做孤立点利用关系R的图示也可写出关系R 314 关系的特性在研究各种二元关系中关系的某些特性扮演着重要角色我们将定义这些特性并给出它的图示和矩阵的特点定义31―5 设R是A上的二元关系 1如果对A中每一xxRx那么R是自反的即 A上的关系R是自反的x x∈A→xRx A 123 R1 〈11〉〈22〉〈33〉〈12〉是自反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―4所示 2 如果对A中每一xxRx那么R是反自反的即 A上的关系R是反自反的 x x∈A→xRx 例如 A 123 R2 〈21〉〈13〉〈32〉是反自反的其关系图和关系矩阵的特点如图31―5所示有些关系既不是自反的又不是反自反的如图31―6 例如R3 〈11〉〈12〉〈32〉〈23〉〈33〉3 如果对每一xy∈AxRy蕴含着yRx那么R是对称的即A上的关系R 是对称的x y x∈A∧y∈A∧xRy→yRx 例如A 123 R4 〈12〉〈21〉〈13〉〈31〉〈11〉是对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―7所示 4 如果对每一xy∈AxRyyRx蕴含着x y那么R是反对称的即A上的关系R是反对称的x y x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x y 例如A 123 R5 〈12〉〈23〉是反对称的其关系图和关系矩阵的特点如图31―8所示 5 如果对每一xyz∈AxRyyRz蕴含着xRz那么R是传递的即A上的关系R是传递的x y z x∈A∧y∈A∧z ∈A∧xRy∧yRz→xRz 例如A 1234R5 〈41〉〈43〉〈42〉〈32〉〈31〉〈21〉是传递的其关系图和关系矩阵如图31―10所示例31-7 1 任何集合上的相等关系是自反的对称的反对称的和传递的但不是反自反的 2 整数集合I上关系≤是自反的反对称的可传递的但不是反自反的和对称的关系＜是反自反的反对称的可传递的但不是自反的和对称的 3 设 ab 试考察上的下列关系 i 关系与有同样长度是自反的对称的可传递的但不是反自反的和反对称的 ii xRy当且仅当x是y的真词头这里R是反自反的反对称的可传递的但不是自反的和对称的 iii xRy当且仅当x的某真词头是y的一个真词尾这里R既不是自反的又不是反自反的因为aaRaa但abRab既不是对称的也不是反对称的并且不是传递的 4 非空集合上的空关系是反自反的对称的反对称的和传递的但不是自反的空集合上的空关系则是自反的反自反的对称的反对称的和可传递的 5 基数大于1的集合上的全域关系是自反的对称的和传递的但不是反自反的和反对称的例如图31―11所示的关系 321 关系的合成前边已经指出关系是序偶的集合因此可以进行集合运算本节介绍一种对关系来说更为重要的运算合成运算假设R1是A到B的关系R2是B到C的关系参看图32-1合成关系R1R2是一个A到C的关系如果在关系图上从a∈A到c∈C有一长度路径中弧的条数为2的路径其第一条弧属于R1其第二条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合其第一条弧属于R1其第二条弧属于R2那么〈ac〉∈R1R2合成关系R1R2就是由〈ac〉这样的序偶组成的集合定义32―1 设R1是从A到B的关系R2是从B到C的关系从A到C的合成关系记为R1R2定义为R1R2 〈ac〉｜a∈A∧c∈C∧b〔b∈B∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕例32-11 如果R1是关系是的兄弟R2是关系是的父亲那么R1R2是关系是的叔伯R2R2是关系是的祖父 2 给定集合A 1234 B 234 C 123 设R是A到B的关系S是B到C的关系R 〈xy〉｜xy 6 〈24〉〈33〉〈42〉S 〈yz〉｜y-z 1 〈21〉〈32〉〈43〉则R·S 〈23〉〈32〉〈41〉如图32―2所示 3 设A 12345 R和S都是A上二元关系如果 R 〈12〉〈34〉〈22〉 S 〈42〉〈25〉〈31〉〈13〉则R·S 〈15〉〈32〉〈25〉S·R 〈42〉〈32〉〈14〉R·S ·R 〈32〉R· S·R 〈32〉R·R 〈12〉〈22〉S·S〈45〉〈33〉〈11〉 4 设R是A到B的二元关系IAIB分别是A 和B上的相等关系则IA·R R·IB R 5 如果关系R的值域与关系S的定义域的交集是空集则合成关系R·S是空关系下边介绍合成关系的性质定理32―1 设R1是从A到B的关系R2 和R3是从B到C的关系R4是从C到D的关系那么1 R1 R2∪R3 R1R2∪R1R3 2 R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 3 R2∪R3 R4 R2R4∪R3R4 4 R2∩R3 R4 R2R4∩R3R41 2 3 部分的证明留作练习我们仅证明 2 部分证先证明公式因为〈ac〉∈R1 R2∩R3 b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∩R3 〕b 〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2∧〈bc〉∈R3 〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2 ∧〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3 〕b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R2〕∧b〔〈ab〉∈R1∧〈bc〉∈R3〕〈ac〉∈R1R2∧〈ac〉∈R1R3 〈ac〉∈R1R2∩R1R3 即〈ac〉∈R1 R2∩R3 〈ac〉∈R1R2∩R1R3 所以R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 再证包含可能是真包含举反例证明如果 A a B b1b2b3 C c A到B的关系R1〈ab1〉〈ab2〉 B到C的关系R2 〈b1c〉〈b3c〉 B到C的关系R3〈b2c〉〈b3c〉那么R1 R2∩R3 R1R2∩R1R3 〈ac〉此时R1 R2∩R3 ≠R1R2∩R1R3证毕定理32―2 设R1R2和R3分别是从A到BB到C和C到D的关系那么 R1R2 R3 R1 R2R3 证先证 R1R2R3 R1 R2R3 设〈ad〉∈ R1R2 R3那么对某c∈C〈ac〉∈R1R2和〈cd〉∈R3因为〈ac〉∈R1R2存在b∈B使〈ab〉∈R1和〈bc〉∈R2因为〈bc〉∈R2和〈cd〉∈R3得〈bd〉∈R2R3所以〈ad〉∈R1 R2R3 这样就证明了 R1R2 R3 R1 R2R3 R1 R2R3 R1R2 R3的证明是类似的留给读者自证上述证明也可用等价序列表达 322 关系R的幂当R是A上的一个关系时R可与自身合成任意次而形成A上的一个新关系在这种情况下RR常表示为R2RRR表示为R3等等我们能归纳地定义这一符号如下定义32―2设R是集合A上的二元关系n∈N那么R的n次幂记为Rn定义如下 1R0是A上的相等关系R0 〈xx〉｜x∈A 2 Rn1 Rn·R 定理32―3 设R是A上的二元关系并设m和n是N的元素那么 1Rm·Rn Rmn 2 Rm n Rmn 可用归纳法证明请读者自证定理32―4 设｜A｜nR是集合A上的一个关系那么存在i和j使Ri Rj而0≤i＜j≤证A上的每一二元关系是A×A的子集因为｜A×A｜ n2｜ρ A×A ｜因此A上有个不同关系所以R的不同的幂不会超过个但序列R0R1 有项因此R的这些幂中至少有两个是相等的证毕定理32―5 设R是集合A上的一个二元关系若存在i和ji＜j 使Ri Rj记d j-i那么 1 对所有k≥0Rik Rjk 2 对所有km≥0Rimdk Rik 3 记S R0R1R2Rj-1 那么R的每一次幂是S 的元素即对n∈NRn∈S 证 1 和 2 部分用归纳法证明留作练习3 对于 c 设n∈N如果n＜j那么根据S的定义Rn∈S假设n≥j那么我们能将n表示为imdk这里k＜d根据 b 部分得Rn Rik因为ik＜j这证明了Rn∈S定理中的ij在实用时宜取最小的非负整数以保证S中无重复元素例32-2 设A abcd R 〈ab〉〈cb〉〈bc〉〈cd〉其关系图如图32―3所示则R0 〈aa〉〈bb〉〈cc〉〈dd〉 R2 〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉R3〈ab〉〈ad〉〈bc〉〈cb〉〈cd〉R4 〈ac〉〈bb〉〈bd〉〈cc〉它们的关系图如图32―4所示由于R4 R2根据定理32―5 c 对所有n∈NRn∈ R0R1R2R3 可见不必再算了事实上易证R5 R3R6 R4 R2用归纳法可得R2n1 R3和R2n R2这里n≥1 323 合成关系的矩阵表达定理32―6 设X x1x2xm Y y1y2yn Z z1z2zp R是X到Y的关系MR 〔aij〕是m×n矩阵S是Y到Z的关系MS 〔bij〕是n×p矩阵则MR·S 〔cij〕MR·MS这里证因为如果存在某k使aik和bki都等于1则cij 1但aik和bkj都等于1意味着xiRyk和ykSzj所以xi R·S zj可见如此求得的MR·S确实表达了R·S的关系因此上述等式是正确的如果不仅存在一个k使aik和bki都是1此时cij仍为1只是从xi到zj不止一条长度为2的路径但等式仍然正确上段的论证已隐含了不止一个k的情况本定理说明合成关系矩阵可用关系矩阵布尔矩阵的乘法表达例32-3设X 12 Y abc Z αβ R 〈1a〉〈1b〉〈2c〉 S 〈aβ〉〈bβ〉则定理32―7 关系矩阵的乘法是可结合的证利用关系合成的可结合性证明MR·MS ·MT MR·S·MT M R·S ·T MR· S·T MR·MS·T MR· MS·MT 不仅合成关系可用关系矩阵表达而且关系的集合运算也可用关系矩阵表达设R和S是X到Y上的二元关系MR 〔aij〕MS 〔bij〕cij是运算后所得新关系之关系矩阵的元素则MR∩S MR∧MS cij aij∧bij MR∪S MR∨MS cij aij∨bij cij aij MR-S MR∧ cij aij∧ bij 331 逆关系在讨论闭包运算时要用到逆关系的概念因此我们先介绍逆关系定义33―1设R是从A到B的二元关系关系R的逆或叫R的逆关系记为是一从B到A的二元关系定义如下例33-11 I上的关系2 集合族上的关系的逆是关系3 空关系的逆是空关系4 B×A即A×B的全域关系的逆等于B×A的全域关系定理33―1设R是从A到B的关系而S是从B到C 的关系则定理33―2 设RR1和R2都是从A到B的二元关系那么下列各式成立 332 关系的闭包运算关系的闭包运算是关系上的一元运算它把给出的关系R扩充成一新关系R′使R′具有一定的性质且所进行的扩充又是最节约的定义33―2设R是A上的二元关系R的自反对称传递闭包是关系R′使i R′是自反的对称的传递的ii R′R iii 对任何自反的对称的传递的关系R〃如果R〃R那么R〃R′ R的自反对称和传递闭包分别记为r R s R和t R 由定义可以看出R的自反对称传递闭包是含有R并且具有自反对称传递性质的最小关系如果R已经是自反的对称的传递的那么具有该性质并含有R的最小关系就是R自身下一定理说明这一点定理33―4设R是集合A上的二元关系那么 a R是自反的当且仅当r R R b R是对称的当且仅当s R R c R是传递的当且仅当t R R 证 a 如果R是自反的那么R具有定义33―2对R′所要求的性质因此r R R反之如果r R R那么根据定义33―2的性质 i R是自反的b 和c 的证明是类似的略构造R的自反对称和传递闭包的方法就是给R补充必要的序偶使它具有所希望的特性下面我们用关系图来说明如何实现这一点定理33―5 设R是集合A上的二元关系那么r R R ∪E 这里E是A上相等关系在本节中均如此证设R′ R∪E显然R′是自反的且R′R余下只需证明最小性现假设R〃是A上的自反关系且R〃R因R〃是自反的所以R〃E又R〃R所以R〃R∪E R′这样定义33―2都满足所以R′ r R 证毕设G是集合A上二元关系R的关系图我们把G的所有弧都画成有来有往即如果有从a到b的弧那么也有从b到a的弧就得到了R的对称闭包的有向图下一定理体现了这一想法定理33―7 设R 是集合A上的二元关系那么例33-2 a 整数集合I 上的关系＜的自反闭包是≤对称闭包是关系≠传递闭包是关系＜自身b 整数集合I上的关系≤的自反闭包是自身对称闭包是全域关系传递闭包是自身 c E的自反闭包对称闭包和传递闭包都是E d ≠的自反闭包是全域关系对称闭包是≠≠的传递闭包是全域关系e 空关系的自反闭包是相等关系对称闭包和传递闭包是自身 f 设R是I上的关系xRy当且仅当y x1那么t R 是关系＜定理33―8设R是集合A上的二元关系这里A有n个元素那么证设〈xy〉∈t R 于是必存在最小的正整数k使〈xy〉∈Rk现证明k≤n若不然存在A的元素序列x a0a1a2ak-1ak y使xRa1a1Ra2ak-1Ry因k ＞na0a1ak中必有相同者不妨设ai aj0≤i＜j≤k于是xRa1a1Ra2ai-1RaiajRaj1ak-1Ry 成立即〈xy〉∈Rs这里s k- j-i但这与k是最小的假设矛盾于是k≤n又〈xy〉是任意的故定理得证例33-3 设A abcd R如图33―1 a 所示则t R R∪R2∪R3∪R4如图33―1 b 所示本例即是32-2 定理33―9 1 如果R是自反的那么s R 和t R 都是自反的 2 如果R是对称的那么r R 和t R 都是对称的 3 如果R 是传递的那么r R 是传递的定理33―10 设R是集合A上的二元关系那么 1 rs R sr R 2 rt R tr R 3 ts R st R 2 注意到ER RE R 和对一切n∈NEn E可得 34 次序关系 341 偏序集合定义34―1 如果集合A上的二元关系R是自反的反对称的和传递的那么称R为A上的偏序称序偶〈AR〉为偏序集合如果R是偏序〈AR〉常记为〈A ≤〉≤是偏序符号由于≤难以书写通常写作≤读做小于或等于因为小于或等于也是一种偏序故不会产生混乱R是偏序时aRb就记成a≤b 如果R是集合A上的偏序则R 也是A上的偏序如果用≤表示R 可用≥表示R〈A≤〉和〈A ≥〉都是偏序集合并互为对偶例34-1 1 〈I≤〉是偏序集合这里≤表示整数中的小于或等于关系2 〈ρ A 〉是偏序集合这里是集合间的包含关系 3 A 2468 D代表整除关系M代表整倍数关系则 D 〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈24〉〈26〉〈28〉〈48〉M 〈22〉〈44〉〈66〉〈88〉〈42〉〈62〉〈82〉〈84〉〈AD〉〈AM〉都是偏序集合且互为对偶例2 a P 1234 〈P≤〉的哈斯图为图34―2 b A 236122436 〈A整除〉的哈斯图为图34―3 c A 1212 〈A整除〉的哈斯图为图34―4 定义34―2 设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集 a 元素b∈B是B的最大元素如果对每一元素x∈Bx≤b b 元素b∈B是B的最小元素如果对每一元素x∈Bb≤x 例3考虑在偏序整除下整数1到6的集合其哈斯图为图34―5 a 如果B 1236 那么1是B的最小元素6是B的最大元素 b 如果B 23 因为2和3互相不能整除那么B没有最小元素和最大元素c 如果B 4 那么4是B的最大元素也是B的最小元素定理34―1 设〈A≤〉是一偏序集合且B A如果B有最大最小元素那么它是唯一的证假设a和b 都是B的最大元素那么a≤b和b≤a从≤的反对称性得到a b当a和b都是B 的最小元素时证明是类似的定义34―3设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集 a 如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且b≤x那么元素b∈B叫做B的极大元素b 如果b∈B且B中不存在元素x使b≠x且x≤b那么元素b∈B 叫做B的极小元素定义34―4设〈A≤〉是一偏序集合B是A的子集a 如果对每一b∈Bb≤a那么元素a∈A叫做B的上界如果对每一b∈Ba≤b那么元素a∈A叫做B的下界 b 如果a是一上界并且对每一B的上界a′有a≤a′那么元素a∈A叫做B的最小上界记为lub如果a是一下界并且对每一B的下界a′有a′≤a那么元素a∈A叫做B的最大下界记为glb 例34-4 a 考虑偏序集合〈〈11〉〈10〉〈01〉〈00〉≤〉这里≤按〈 ab〉≤〈cd〉a≤c∧b≤d 规定其哈斯图如图34―6 如果B 〈10〉那么〈10〉是B的最小和最大元素也是B的极大和极小元素B的上界是〈10〉和〈11〉〈10〉是最小上界B的下界是〈00〉和〈10〉〈10〉是最大下界 b 考虑偏序集合〈I≤〉设B 2i｜i∈N那么B既没有最大元素和极大元素也没有上界和最小上界B的最小元素和极小元素是0B的下界集合是 i｜i∈I∧i≤0 0是最大下界 c 考虑在偏序集合〈256101530 整除〉其哈斯图如图34―7设B是全集合256101530 那么2和5都是B的极小元素但B没有最小元素集合B没有下界所以没有最大下界元素30是B的最大元素极大元素上界最小上界定理34―2 如果〈A≤〉是非空有限的偏序集合则A的极小大元素常存在最大下界和最小上界也可能存在或不存在但如果它们存在则是唯一的定理34―3 设〈A≤〉是偏序集合且B A 如果B的最小上界最大下界存在那么是唯一的下述定理描述了存在于诸特异元素之间的某些关系定理34―4 设〈A≤〉是偏序集合B是A的子集 a 如果b是B的最大元素那么b是B的极大元素 b 如果b是B的最大元素那么b是B的lub c 如果b是B的一个上界且b∈B那么b是B的最大元素证明可由最大元素极大元素和lub的定义直接得出故略去另外读者不难给出表达最小元素极小元素和glb间关系的定理 342 拟序集合定义34―5如果集合A上的二元关系R是传递的和反自反的那么R叫做A上的拟序〈AR〉称为拟序集合常借用符号＜表示拟序拟序是反对称的虽然定义中没有明确指出但容易证明这一点因为如果xRy和yRx由R的传递性得xRx但这与R的反自反性矛盾所以xRy∧yRx常假于是xRy∧yRx→x y常真即R是反对称的例34-5 a 实数集合中的＜是拟序关系 b 集合族中的真包含是拟序关系拟序集合和偏序集合是紧密相关的唯一区别是相等关系E下述定理将说明这一点定理34―5在集合A上 a 如果R是一拟序那么rR R∪E是偏序 b 如果R是一偏序那么R-E是一拟序 343线序集合和良序集合如果≤是一偏序或a≤b或b≤a我们说a和b 是可比较的偏序集合中的元素不一定都可比较所以叫偏序下面介绍的都是可比较的情况定义34―6在偏序集合〈A≤〉中如果每一ab∈A或者a ≤b或者b≤a那么≤叫做A上的线序或全序这时的序偶〈A≤〉叫做线序集合或链例34-6 a P a ab abc 〈P〉是线序集合其哈斯图如图34―8所示 b 〈I≤〉是线序集合其哈斯图不完全如图34―9所示 c 设S是区间套的集合〔0a ｜a∈R 则〈S〉是线序集合 d 〈 1236 整除〉不是线序集合如果A是多于一个元素的集合那么〈ρ A 〉不是线序集合定义34―7如果A上的二元关系R是一线序且A的每一非空子集都有一最小元素那么R叫做A上的良序序偶〈AR〉叫做良序集合定理34―6〈N≤〉是良序集合证我们必须证明N的每一非空子集S在关系≤之下都有一最小元素因为S非空所以在S中可以取一个数n显然S中所有不大于n的数形成非空集T S如果T有最小数那么这最小数就是S中的最小数但从0到n只有n1个自然数于是T中所含的数最多是n1个所以T有最小数因此定理成立例34-8 a 每一有限线序集合是良序的 b 线序集合〈I≤〉不是良序集合因为I的某些子集诸如I自身不包含最小元素 c 关系≤是实数R的线序但不是良序例如子集A 01〕无最小元素如果A中的a是最小元素那么也在A中而≤a且不相等这与假设a是线序关系≤下A的最小元素矛盾2 应用N上的良序定义出Nn上的良序例如n 2时N2上的次序关系可如下定义〈ab〉〈cd〉a＜c∨ a c∧b d 〈N2〉是良序集合关系严格小于可如下定义〈ab〉＜〈cd〉〈ab〉≤〈cd〉∧〈ab〉≠〈cd〉类似地应用I上的线序能定义出线序集合〈In≤〉 3 应用字母表∑上的线序可定义出∑上的通常叫词典序的线序定义34―8 设∑是一有限字母表指定了字母表序线序如果xy∈∑ a x是y的词头或 b x zu和y zv这里z∈∑是x和y的最长公共词头且在字母表序中u的第一个字符前于v的第一个字符那么x≤y≤叫做词典序4 由于〈N〉和有限线序集合都是良序集合可应用它们定义出∑上的一个良序通常叫标准序定义34―9设∑是一有限字母表指定了字母表序‖x‖表示x∈∑的长度如果xy∈∑ a ‖x‖＜‖y‖或b ‖x‖‖y‖且在∑的词典序中x前于y那么x≤y ≤叫做标准序不论在词典序和标准序下∑的每一元素都有直接后继者设∑ abc 且a≤b≤cx∈∑在标准序下xa和xb的直接后继者分别是xb和xc xc的直接后继者是ya这里y是x的直接后继者在词典序下x的直接后继者是xa 在标准序下 xb和xc的直接前趋分别是xa和xb xa的直接前趋是yc这里y是x的直接前趋在词典序下 xa的直接前趋是x非a结尾的串都无直接前趋例如babaab但有无限个前趋345 数学归纳法的推广前章我们把数学归纳法第一第二原理看作是自然数域上的一个推理规则本小节我们把它推广到一般的良序集合对任一个自然数n我们先取0如果n≠0取0的后继者1如果n≠1再取1的后继者2如此进行下去最终会得出n 给定一个良序集合如果对它的任一元素x我们先取该集合的最小元素m0如果x≠m0取m0的后继者m1如果x≠m1再取m1的后继者m2如此以往最终会得出x那么就称这样的良序集合是像自然数的例 8 1 设∑ ab 良序集合〈∑标准序〉是像自然数的因为定长的串的个数有限给定任一个串x在x之前的串的个数有限所以从∧开始反复取后继者终可得出x 2 良序集合〈N×N≤〉不像自然数这里≤按上一小节规定因为有许多元素没有直接前趋例如〈50〉就是这样因而有无限个元素前于〈50〉所以从〈00〉开始反复地取后继者不可能取得〈50〉像自然数的良序集合可以应用数学归纳法第一原理因为第一原理是建立在后继运算上而这种良序集合的每一元素都可通过重复地取后继者得到设m0是该良序集合〈S≤〉的最小元素S x 是元素x的后继者则推理规则如下对不像自然数的良序集合不能应用数学归纳法第一原理因为这种良序集合的有些元素不能由后继运算得到但对它可应用数学归纳法第二原理第二原理是建立在良序集合上的适用于一切良序集合设〈S≤〉是良序集合＜表示≤-E 即x＜y表示x≤y且x≠y 则推理规则如下下面证明良序集合上这个推理规则是有效的假设我们能证明前提例34-10〈Q≤〉是线序集合现说明在此线序集合中第二原理不是有效推理规则设谓词P x 表示x小于或等于5 i 当x≤5时 y〔y＜x→P y 〕是真P x 也真所以是真综合 i 和 ii 得在论述域Q上 x 〔 y y＜x→P y →P x 〕是真但结论x P x 是假这说明第二原理不能应用于线序集合〈Q≤〉 35 等价关系和划分 351 等价关系二元关系的另一重要类型是等价关系其定义如下定义35―1 如果集合A上的二元关系R是自反的对称的和传递的那么称R是等价关系设R是A上的等价关系abc是A的任意元素如果aRb 即〈ab〉∈R 通常我们记作a～b读做a等价于b 定义35―2 设k是一正整数而ab∈I如果对某整数ma-b m·k那么a 和b是模k等价写成a≡b modk 整数k叫做等价的模数定理35―1模k等价是任何集合A I上的等价关系证如果A 例35-1 c 已指出它是等价关系如果A≠则 i 自反的因为对任一aa-a 0·k得出a≡a modk ii 对称的因为a≡b mod k 时存在某m∈I使a-b m·k于是b-a-m·k 因此b≡a mod k iii 传递的设a≡b mod k 和b≡c mod k 那么存在m1m2∈I 使a-b m1k和b-c m2·k 将两等式两边相加得a-c m1m2 ·k所以a≡c mod k 例1 a 同学集合A abcdefgA中的关系R是住在同一房间这是等价关系因为 i 任一个人和自己同住一间具有自反性ii 若甲和乙同住一间则乙和甲也同住一间具有对称性iii 若甲和乙同住一间乙和丙同住一间则甲和丙也同住一间具有传递性现假设a 和b同住一间def同住一间c住一间则 R 〈aa〉〈ab〉〈ba〉〈bb〉〈cc〉〈dd〉〈ee〉〈ff〉〈de〉〈ed〉〈ef〉〈fe〉〈df〉〈fd〉其有向图如图35―1所示 b 数中的相等关系集合中的相等关系命题演算中的关系等都是等价关系 c 空集合中的二元关系R是等价关系因为i x x∈→xRx ii x y〔x∈∧y∈∧xRy→yRx〕iii x y z〔x∈∧y∈∧z∈∧xRy∧yRz→xRz〕都无义地真所以R是等价关系集合A上的全域关系R A×A是等价关系模数等价是整数域或其子集上的等价关系并且是等价关系中极为重要的一类定理 35-1 模k 等价是任何集合A I上的等价关系证如果A 例35-1 3 已指出它是等价关系如果A≠则 i 自反的因为对任一aa-a 0·k得出a≡a mod k ii 对称的因为a≡b modk 时存在某m∈I使a-b m·k于是b-a -m·k因此b≡a modk iii 传递的设a≡b modk 和b≡c modk 那么存在m1m2∈I 使a-b m1k和b-c m2·k将两等式两边相加得a-c m1m2 ·k所以a≡c modk 例35-2 a 若R是I上模4等价关系则〔0〕4 -8-4048 〔1〕4 -7-3159 〔2〕4 -6-22610 〔3〕4 -5-13711 b 若R是I上模2等价关系则〔0〕2 -4-2024 〔1〕2 -3-1135 每一集合中的数相互等价 c 时钟是按模12方式记数的设备13点钟和1点钟有相同的记数定义35―3 设R是集合A上等价关系对每一a∈Aa关于R 的等价类是集合x｜xRa 记为〔a〕R简记为〔a〕称a为等价类〔a〕的表示元素如果等价类个数有限则R的不同等价类的个数叫做R的秩否则秩是无限的对每一a∈A等价类〔a〕R非空因为a∈〔a〕R 例35-3 1 如图35―2设A abcdef R 〈aa〉〈bb〉〈cc〉〈ab〉〈ba〉〈ac〉〈ca〉〈bc〉〈cb〉〈dd〉〈ee〉〈de〉〈ed〉〈ff〉则等价关系R的等价类如下〔a〕〔b〕〔c〕 abc 〔d〕〔e〕 de 〔f〕 f等价关系R的秩是3 2 I上模4等价的等价类是〔0〕4〔1〕4〔2〕4〔3〕4 参看例2 a I上模2等价的等价类是〔0〕2 〔1〕2 参看例2 b3 集合A上相等关系的秩等于A的元素个数定理35―2 设R是非空集合A上的等价关系aRb 当且仅当〔a〕〔b〕证充分性因为a∈〔a〕〔b〕即a∈〔b〕所以aRb 定理35―3设R是集合A上的等价关系则对所有ab∈A或者〔a〕〔b〕或者〔a〕∩〔b〕。
离散数学,二元关系与运算
n元有序组：由n个元素x1，x2，…，xn， 按一定顺序排成的n元组，记 作：(x1，x2，…，xn) 。
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3
2. 一种新的集合运算 ––– 积运算 ： 设A、B为两集合，用A中元素为第一
元素，B中元素作为第二元素构成的二元有 序组的全体叫做A和B的笛卡儿积。
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G1 = {<1,0>,<2,1>,<3,2>,…,<x+1, x>,…}
22
为了求F G，可以先直观表示如下： 对任何xN x G x+1= Z F Z2 = y 即 y = (x+1)2
因此 F G = {<x,y> | x,yNy = (x+1)2} 同理可求 G F = {<x,y> | (?)} (自己做！)
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1
§4.1 二元关系的概念
一、二元关系的概念
1. 二元有序组：由两个元素x和y按一定顺序 排成二元组，记作：<x，y> 。
如： 平面直角坐Hale Waihona Puke 系中点的坐标2021/6/16
2
二元有序组的性质 (1) 当x y时，<x，y> <y，x> (2) <x，y> = <u，v>，当且仅当x = u，y = v
26
§4.3 关系的性质
自反性： x A 有<x, x>R (R是A上的关系) R的关系矩阵：主对角线元素全是1 R的关系图：每个顶点都有环
反自反性：x A <x, x> R
关系矩阵：主对角线元素全是0
离散数学第4章-二元关系
• 例4.29
• 例4.30
4.7 次序关系
第二十三页，共45页。
4.7 次序关系
• 二 拟序关系
• 定义4.21（拟序关系） A上的二元关系 R是反自反的和传递的，称R为A上的拟序
关系。称(A, R)为拟序集，或记为(A, <)。（不意味着小于）
• 定理4.22
A上的二元关系 R是拟序的，则R必为反对称的。
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，AB的子集R称为从A到B的
二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若(a, b)R，则 称a与b有关系R，记为aRb。
(a, b)R：a与b没有关系R R=：空关系 R=AB：全关系
第一页，共45页。
4.1 二元关系
• 二 定义4.2（定义域，值域）
第五页，共45页。
4.2 关系的性质
• 三 关系图
设A={a1, ……, an}，R是A上的二元关系。A中每个元素 ai用一个点表示，称该点为顶点ai 。
如果ai R aj，则从顶点ai到顶点aj存在一条弧。 如果ai R ai，则从顶点ai到顶点ai存在一条封闭弧。 这样表示R中关系的图形，称为R的关系图。
个元素a, bA，必有a b或b a，则称 是A上的全序关系
（或线性次序关系）。
• 定义4.23（全序集） 若集合A具有全序关系 或R），则称A为全序集或线
性次序集，记为(A, )或(A, R) 。
第二十六页，共45页。
4.7 次序关系
• 四 最大元、最小元、极大元、极小元
• 定义4.22（最大元、最小元、极大元、极小元）
第二十七页，共45页。
离散数学课件第四章 关系
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学关系运算-图文
1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
11
某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
14
在讨论关系矩阵运算前, 我们先定义布尔运算, 它只涉及数字0和1。
布尔加法（∨ ）：
0+0=0
0+1=1+0=1+1=1
布尔乘法（ ∧ ）：
1 ·1 = 1
0 ·1 = 1 ·0 = 0 ·0 = 0
15
五、幂的求法
例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
Rο (S∪T)=(Rο S)∪(Rο T)
（ 2）
（ 3） （ 4） （ 5）
(S∪T)ο R=(Sο R)∪(Tο R)
Rο (S∩T)( Rο S)∩(Rο T) (S∩T)ο R( Sο R)∩(Tο R)
Rο (Sο T)=(Rο S)ο T
7
三、A上关系的幂运算
设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0={<x,x> | x∈A }=IA (2) Rn+1 = Rn∘R
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
离散数学(第11讲)二元关系
运算“ ”称为合成运算。
XDC
12
C
S
|
S
W
注意，在合成关系中，R的后域B一定是S的 前域B，否则R和S是不可合成的。合成的结果R S 的前域就是R的前域A，后域就是S的后域C。如果 对任意的x∈A和z∈C，不存在y∈B，使得xRy和 ySz同时成立，则R S为空，否则为非空。并且， R=R =。
S
W
U
S T
=R-1∩S-1=R-1-S-1
XDC
9
C
S
|
设R是A上的二元关系，那么R是对称的当且仅 当R＝R-1 证明：充分性
a,b∈A，如<a,b>∈R，则<b,a>∈R－1， 由于R－1＝R，故<b,a>∈R，∴R是对称的。 必要性 <a,b>∈R－1，则<b,a>∈R， 又因为R是对称的，故<a,b>∈R，∴R－1R， <a,b>∈R，因R是对称的，
S
W
U
S T
∴<b,a>∈R，∴<a,b>∈R－1，∴RR－1，
从而有 R＝R－1。
XDC
10
C
S
|
结论
R是A上反对称关系的充要条件是RR－1A。
S
W
U
S T
设R和S是A上的反对称关系，则R－1、 RS、也是A的反对称关系。 R、S均是 反对称的，未必能得出RS也是反对称 的。
XDC
40--11
C
S
|
三、关系的合成运算
设R是一个从集合A到集合B的二元关
S
W
系，S是从集合B到集合C的二元关系(也可
离散数学 二元关系
<x,y>R xRy 也称之为x与y有Ｒ关系。 后缀表示 中缀表示
<x,y>R xRy 也称之为x与y没有Ｒ关系。
例3. R是实数集合，R上的几个熟知的关系
≤ ≥ =
y x2+y2=4
x
从例3中可以看出关系是序偶(点)的集合 (构成线、面)。
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作业 P105 ⑵
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4-2 关系及其表示法
相关 按照某种规则，确认了二个对象或多个
对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相 关的。
例1： 大写英文字母与五单位代码的对应关系R1: 令α={A,B,C,D,…Z}
β={30,23,16,22,…,21}是五单位代码集合
β={11000, 10011, 01110, 10010,…, 10001} R1={<A,30>,<B,23>,<C,16>,...,<Z,21>}α×β
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AB (CACB)。
9
5) 设A、B、C、D为非空集合，则 ABCDAC∧BD 证明：首先,由ABCD 证明AC∧BD 任取xA，任取yB，所以 xAyB<x,y>A×B <x,y>C×D (由ABCD ) xCyD 所以, AC∧BD。 其次, 由AC，BD 证明ABCD 任取<x,y>A×B xAyB xCyD (由AC，BD) <x,y>C×D 所以, ABCD 证毕。
2019/3/20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ16
关系的表示方法 枚举法： 即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号内。 如R ={ <1,1>,<1,2>,<1,3>, <1,4>, <2,2>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>, <4,4>} 。 谓词公式法： 即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素间 的关系。例如 R={<x,y>|x<y} 有向图法： RA×B,用两组小圆圈(称为 结点)分别表示A和B 的元素，当<x,y>R时，从x到y引一条有向弧 (边)。这样得到的图形称为R的关系图。
离散数学 二元关系PPT课件
t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H)
t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)
s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H))
s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH)
所以 (FG)H = F(GH)
.
18
证明
所以有F ↾(A∪B) = F ↾A∪F ↾B.
.
24
证明
(4) F [A∩B] F [A]∩F [B]
证：任取 y∈F [A∩B]
x (<x,y>∈F∧x∈A∩B) x (<x,y>∈F∧x∈A∧x∈B) x ((<x,y>∈F∧x∈A)∧(<x,y>∈F∧x∈B)) x (<x,y>∈F∧x∈A)∧x (<x,y>∈F∧x∈B) y∈F [A]∧y∈F [B] y∈F [A]∩F [B]
(<x,t>∈F∧<t,y>∈H) <x,y>∈FG∧<x,y>∈FH <x,y>∈FG∩FH
所以有 F(G∩H) FG∩FH
.
21
推广
定理7.4 的结论可以推广到有限多个关系 R(R1∪R2∪…∪Rn) = RR1∪RR2∪…∪RRn (R1∪R2∪…∪Rn)R = R1R∪R2R∪…∪RnR R(R1∩R2∩ … ∩Rn) RR1∩RR2∩ … ∩RRn (R1∩R2∩ … ∩Rn)R R1R∩R2R∩ … ∩RnR
BA
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学(第二版)第4章二元关系和函数
第四章 二元关系和函数
定义4.2.3 设R是A到B的二元关系。 (1) 用xRy表示 <x，y>∈R，意为x，y有R关系(为使可读 性好，我们将分场合使用这两种表达方式中的某一种)。 xy 表示<x，y> R。 (2) 由<x,y>∈R的所有x组成的集合称为关系R的定义域 (domain),记作Dom R，即
显然A×B与 B×A所含元素的个数相同(A，B是有限集 合)，但A×B≠B×A。
定理4.1.1 若A，B是有穷集合，则有 |A×B|=|A|·|B|(·为数乘运算)
该定理由排列组合的知识不难证明。 定理4.1.2 对任意有限集合A1，A2，…，An，有 |A1×A2×…×An|＝|A1|·|A2|·… ·|An|(·为数乘运算)
第四章 二元关系和函数
本节主要介绍关系的基本概念以及关系的表示方法。 定义4.2.1 任何序偶的集合，确定了一个二元关系，并 称该集合为一个二元关系，记作R 。 二元关系也简称关系。 对于二元关系R，如果<x，y>∈R，也可记作xRy。 定义并不要求R中的元素<x，y> 中的x，y取自哪个个体 域。 因此，R={<2，a>，<u，狗>，<钱币，思想>}也是一 个二元关系。
若R={<x，y>|x∈A∧y∈B∧ x|y }，则称R为整除关系， 常记为|，其中x|y表示x整除y。
若A是任意集合，R是A上的二元关系，下面的关系也常 见：
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为包含
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为真包
第四章 二元关系和函数
离散数学 二元关系 PPT课件
▪ 常见的几种特殊的二元关系
▪≤ ≥ ＜ ＞ ＝ ▪| ▪ 集合之间的关系 ： ＝ ≠
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7.2.2 二元关系的表示
1.集合表示法
2.关系矩阵(matrix of relation)
▪ 设A＝{a1,a2,…,am} ，B＝{b1,b2,…,bn}，R是A到B的一个二
所以， （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）成立。
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7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
定义：
▪ n个元素x1，x2，…，xn组成的有序序列,记做：
＜x1,x2,…,xn＞
▪ 称为n重组（n元序偶、n元组）。
约定:
▪ ＜x1，x2，…, xn-1, xn＞= ＜<x1，x2，… ,xn-1 >,xn＞
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
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7.2.2 二元关系的表示
关系的表示方法
▪ 关系R的集合表达式 ▪ 关系矩阵MR ▪ 关系图GR
三者均可以唯一相互确定。
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7.3 关系的运算
7.3.1 关系的定义域、值域 和 域
例:
▪ (1) R＝{<x,y> | x,yN, x＋y＜3}
＝{<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>}
▪ (2) C＝{<x,y> | x,yR, x2＋y2＝1}
4-3 二元关系与函数 离散数学 教学课件
设A={1,2,3}，定义A上的二元关系R为： R={1,2,2,3,3,1}
试求：r(R)，s(R)，t(R) 解：继续这个运算，则有
R = R4= R7= … =R3n+1= … ={1,2,2,3,3,1} R2= R5= R8= … =R3n+2= … ={1,3,2,1,3,2} R3= R6= R9= … =R3n+3= … ={1,1,2,2,3,3}=IA 其中：n是任意的自然数。 t(R)=R∪R2∪R3∪…
= R∪R2∪R3 ={1,1, 1,2, 1,3, 2,1>, 2,2, 2,3,
3,1,3,2,3,3}
闭包的构造方法（矩阵法）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr , Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … 说明:E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意:在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
传递闭包t(R)的矩阵构造方法举例
0 1 00 1 0 0 0 1
M R2M RM R0 0 10 0 11 0 0
1 0 01 0 0 0 1 0
0 010 1 0 1 0 0
M R3M R2M R1 0 00 0 10 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1
Mt(R) MR MR2 MR3 1 1 1
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
(完整版)离散数学二元关系
二、从A到B的关系与A上的关系 定义7.4 设A,B 为集合,A×B 的任何子集所定义的二 元关系叫做从A 到B 的二元关系,当A=B 时则叫做A 上 的二元关系. 例 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=∅, R4={<0,1>} R1, R2, R3, R4 是从A 到B 的二元关系, R3和R4同时 也是A 上的二元关系.
{<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>
,<3,c>} B×A =
{<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>
,<c,3>}
2
注:笛卡儿积的性质 （1）不适合交换律 A×B ≠ B×A (A≠B, A≠∅, B≠∅) （2）不适合结合律 (A×B)×C ≠ A×(B×C) (A≠∅, B≠∅, C≠∅) （3）对于并或交运算满足分配律 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A) （4）若A 或B 中有一个为空集，则A×B 就是空集. A×∅ = ∅×B = ∅ （5）若 |A| = m, |B| = n, 则 |A×B| = mn
这些性质是二元集{x,y}所不具备的.例如当x≠y 时 有{x,y}={y,x}.
1
二、笛卡儿积 定义7.2 设A,B 为集合，用A中元素为第一元素,B中 的元素为第二元素构成有序对.所有这样的有序对组 成的集合叫做A 与B 的笛卡儿积,记作A×B. 笛卡儿积的符号化表示为
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(3) R3={<x, y> | x, y Z y=2x} 解： domR3 = Z， ranR3 = {偶数}
(4) R4={<x, y> | x, y Z |x|=|y|=3} 解： domR4 = ranR4 = ( ? )
rn2
rnn
2. 关系图：
以V=A={x1, x2,…, xn} 为顶点集， 以E = {<xi, xj> | xiAxjAxiRxj}为有向 边集组成的有向图G = <V, E>
例4.4 设A={1,2,3,4}， R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}是A上的 关系，试写出R的关系矩阵并画出关系图：
A B = {<a,0>, <a,1>, <a,2>, <b,0>, <b,1>, <b,2> } B A = {<0, a>, <0, b>, <1,a>, <1,b>, <2,a>, <2,b>} 一般地：如果|A|=m，|B|=n，则 |AB|=|BA|=m n
积运算的性质
(1) 若A，B中有一个空集，则笛卡儿积是空集， 即： B = A =
二、二元关系的表示方法
A上关系的表示法
1. 关系矩阵： 设A={x1, x2, …, xn)，R是A上的关系， 令：
1 rij =
0
若xi R xj 若xi R xj
(i, j = 1,2,…, n)
r11 r12 r1n
则 (rij)nxn = r21
r22
r2n 集合运算 ––– 积运算 ： 设A、B为两集合，用A中元素为第一
元素，B中元素作为第二元素构成的二元有 序组的全体叫做A和B的笛卡儿积。
记作：A B 符号化：A B = {<x,y> | xA y B}
例4.1 设A={a,b}，B={0,1,2} ，求AB，BA 解：根据笛卡儿积的定义知
例4.5 下列关系都是整数集Z上的关系，分别求 出它们的定义域和值域：
(1) R1={<x, y> | x, y Z xy} (2) R2={<x, y> | x, y Z x2+y2=1} (3) R3={<x, y> | x, y Z y=2x} (4) R4={<x, y> | x, y Z |x|=|y|=3}
例4.3 设A = {a,b}，写出P(A)上的包含关系R ：
解： P(A) = {,{a},{b}{a,b}} R = {<, >, < ,{a}>, <{,{b}>,<{a, b}>, <{a},{a}>,<{a},{a, b}>, <{b},{b}>, <{b},{a, b}>, <{a, b},{a, b}>}
= {，{1}，{2}，{1,2}} {1,2} = {<,1>，<,2>，<{1},1>，<{1},2>，
<{2},1>，<{2},2>， <{1,2},1>，<{1,2},2>} n阶笛卡儿积：
A1 A2 …An = {(x1,x2,… xn) | x1A1x2A2 …xnAn}
3、二元关系的数学定义
(1) R1={<x, y> | x, y Z xy} 解： domR1 = ranR1 = Z
(2) R2={<x, y> | x, y Z x2+y2=1} 解： R2 = {<0, 1>, <0, 1>, <1, 0>, <1, 0>}
domR2 = ( ? ) ranR2 = ( ? )
(?)
A(B∩C) = (AB)∩(AC)
(?)
(B∩C)A = (BA)∩(C A)
(?)
我们证明：
A(B∪C) = (AB)∪(AC)
证明思想
要证明两个集合相等，通常有两种方法： 一是证两个集合相互包含； 二是利用已有的 集合运算的性质(算律和已证明过的公式)，仿 照代数恒等式的证明方法，一步步从左(右)边 推出右(左)边，或从左、右边分别推出同一个 集合式子。一般说来，最基本的集合相等关 系要用第一种证法，比较复杂的集合相等关 系用第二种方法更好，但第二种方法的使用 取决于我们对算律和常用公式的熟练程度。
解： 关系矩阵 ：
1100 0011 0000 0100
关系图 ：
1
2
4
3
§4.2 关系的运算
一、关系的定义域与值域
关系R的定义域： domR = {x | (y)<x, y>R} (即R中有序组的第一个元 素构成的集合)
关系R的值域：
ranR ={y | (x)<x, y>R} (即R中有序组的第二个元 素构成的集合)
离散数学二元关系与运算演示 文稿
（优选）离散数学二元关系与 运算
二元有序组的性质 (1) 当x y时，<x，y> <y，x> (2) <x，y> = <u，v>，当且仅当x = u，y = v
(1)、(2)说明有序组区别于集合
n元有序组：由n个元素x1，x2，…，xn， 按一定顺序排成的n元组，记 作：(x1，x2，…，xn) 。
证明： 用第一种方法 对于任意的<x,y> A ( B∪C ) xAy(B∪C) xA(yByC ) (xAyB)(xAyC) <x, y>AB<x, y>AC <x, y>(AB)∪(AC) A(B∪C)=(AB)∪(AC)
例4.2 设A={1,2}，求P(A)A 解： P(A)A
(2) 当AB，且A，B都不是空集时，有ABBA
(3) 当A，B，C都不是空集时，有(AB)C A(BC) 因为(AB)C中的元素< <x,y>, z>，而A(BC)中 的元素为< x, <y, z> > 。
(4) A(B∪C) = (AB)∪(AC) (对∪的分配律)
(B∪C)A = (BA)∪(CA)
二元关系：如果一个集合的元素都是二元有 序组，则这个集合称为一个二元 关系，记作：R 。
如果<x, y> R ，记作 x R y 如果<x, y> R ，记作 x R y
从A到B的二元关系：设A，B为集合，A B的任 何子集所定义的二元关系叫做从 A到B的二元关系。
若A=B，叫做 A上的二元关系； 若|A|＝n，则|AA|＝n2。 AA的所有子集有2n2 个。 就是说，A上有2n2个不同的二元 关系，其中包括空关系、全域 关系UA和恒等关系IA。