二次函数图象性质及应用(讲义及答案)

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二次函数图象性质及应用(讲义及答案)

二次函数图象性质及应用（讲义）➢课前预习回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列问题：1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系：a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向；当时，开口向．c 是抛物线与交点的．b 的符号：与a ，根据可推导．判断下面函数图象的a，b，c 符号：（1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（）A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0（2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是．2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2．1➢知识点睛1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等，则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用，借助求解．3.观察图象判断a，b，c 符号及组合：①确定符号及信息；②找特殊点的，获取等式或不等式；③代入不等式，组合判断残缺式符号．➢精讲精练1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2y -27 -13 -3 3 5 3A．5 B．-3 C．-13 D．-272.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：x …-2 -1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x =1 ；2④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是．2 二次函数草图的画法：1. 一般草图1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数；2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根据四点一线来确定大致图象．四点：二次函数顶点，二次函数与y 轴的一个交点，二次函数与x 轴的两个交点．一线：二次函数对称轴．）5.已知二次函数 y = - 1 x 2 - 3x - 5，设自变量的值分别为 x 1，x 2，2 2x 3，且-3 < x 1 < x 2 < x 3 ，则对应的函数值 y 1，y 2，y 3 的大小关系是（）A ． y 1 > y 2 > y 3 C ． y 2 > y 3 > y 1B ． y 1 < y 2 < y 3 D ． y 2 < y 3 < y 16. 若 A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线 y =-(x +1)2+a 上的三点，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为（）A ． y 1 > y 2 > y 3 C ． y 3 > y 2 > y 1B ． y 1 > y 3 > y 2 D ． y 3 > y 1 > y 27. 若 A ( -13 ，y )，B ( - 5 ，y )，C ( 1，y )为二次函数 y =x 2+4x -5 4 1 4 2 4 3的图象上的三点，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系是（）A ． y 1 < y 2 < y 3 C ． y 3 < y 1 < y 2B ． y 2 < y 1 < y 3 D ． y 1 < y 3 < y 28.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a < 0 ）的图象如图所示，当 -5 ≤ x ≤ 0 时，下列说法正确的是（A . 有最小值-5，最大值 0B . 有最小值-3，最大值 6C . 有最小值 0，最大值 2D .有最小值 2，最大值 69.（1）已知二次函数 y =x 2-4x -3，若-1≤ x ≤ 6 ，则 y 的取值范围是；若-3＜x ≤ 4，则 y 的取值范围是；若-2＜x ≤1，则 y 的取值范围是．（2）已知二次函数 y =-x 2+6x -3，若-1≤ x ≤ 5 ，则 y 的取值范围是；若-3＜x ≤ 0，则 y 的取值范围是；若-2＜x ≤1，则 y 的取值范围是．10.已知 y =x 2+(1-a )x +1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围是 1≤x ≤3 时，y 在 x =1 时取得最大值，则实数 a 的取值范围是．311.如图是 y =ax 2+bx +c 的图象，则 a 0，b 0，c0，a +b +c0，a -b +c0，2a +b0．第 11 题图第 12 题图12.二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，小明观察得出了下面四条信息：①c ＞1；②2a -b ＜0；③a +b +c ＜0； ④ m (am + b ) < a - b （m ≠-1）．你认为其中错．误．的是．13.如图是二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c =0；② b > 2a ；③二次函数 y =ax 2+bx +c 与 x 轴的交点坐标为(-3，0)和(1，0)；④ a - 2b + c > 0 ；⑤8a +c ＞ 0．其中正确的命题是．第 13 题图第 14 题图14.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a ≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：① abc > 0 ；② b < a + c ；③ 4a + 2b + c > 0 ； ④ 2c < 3b ；⑤ a + b > m (am + b )（ m ≠ 1）．其中正确结论的序号是．15. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点(-2，0)， ( x 1 ，0)，且1 < x 1 < 2 ，与 y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方．下列结论：① 4a - 2b + c = 0 ；② a < b < 0 ；③ 2a + c > 0 ；④ 2a - b +1 > 0 ．其中正确的结论是．4【参考答案】➢课前预习1. a＞0；上；a＜0；下；y 轴；纵坐标；左同右异，对称轴的位置（1）D（2）②2. ＜➢知识点睛1.纵坐标；对称；x =x1+x2 22.增减性；函数图象3.①a，b，c；对称轴；②函数值；③等式➢精讲精练1. D2. ①③④3. m≤2；m≥14. x≤15. A6. A7. B8. B9. （1）-7≤y≤9；-7≤y＜18；-6≤y＜9；（2）-10≤y≤6；-30＜y≤-3；-19＜y≤210. a≥511. ＜；＜；＞；＜；＞；＜12. ①④13. ①③⑤14. ③④⑤15. ①②③④5。

二次函数讲义(四)：二次函数y=a(x-好)2的图像和性质

二次函数与y=a的图像和性质【知识要点梳理】知识点1:二次函数y=a图象的特征①图象是抛物线;②对称轴是直线x=h;③顶点是(h,0)。

当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。

当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。

知识点2:二次函数y=a图象的性质从二次函数y=a图象可知:①如果a>0,当x<h时,y随x的增大而减小,当x>h时,y随x的增大而增大;②如果a<0,当x<h时,y随x的增大而增大,当x>h时,y随x的增大而减小知识点3: 二次函数y=a图象与二次函数y=a图象的关系当h>0时,可将抛物线y=a向右平移个单位得到y=a;当h<0时,可将抛物线y=a向左平移个单位得到y=a。

〖名师点拨〗解二次函数y=a的问题要注意两点:1.将抛物线y=a沿x轴左右平移可以得到抛物线y=a, 可简记为“左加右减”。

抛物线y=a的顶点坐标是(0,0),抛物线y=a的顶点坐标是(h,0),顶点始终在x轴上。

2.对于函数y=a,若a>0,则x<h时,y随x的增大而减小,x>h时,y随x的增大而增大,函数有最小值0;若a<0,则x<h时,y随x的增大而增大,x>h时,y随x的增大而减小,函数有最大值0。

【知识点过关训练】知识点1:二次函数y=a的图象1. 抛物线y=-5的顶点坐标是( )A.（-2，0）B.（2，0）C.（0，-2）D.（0，2）2. 二次函数y=3图象的对称轴是( )A. 直线x=2B. 直线x=−2C. y轴D. x轴3.对于抛物线y=2,下列说法正确的有( )①开口向上，②顶点为(0,-1)③对称轴为直线m=1④与轴的交点坐标系为(1,0)A.1个B.2个C.3个D.4个4. 平行于x轴的直线与抛物线y=a的一个交点坐标为(−1,2),则另一个交点坐标为( )A. (1,2)B. (1,−2)C. (5,2)D. (−1,4)5. 在平面直角坐标系中，函数y=-x+1与y=的图象大致是 ( )6. 在同一直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ c 和二次函数 y ＝ a 的图象大致为（）A. B. C. D.知识点2:二次函数y=a的性质1. 关于二次函数y= -2，下列说法中正确的是（）A.其图象的开口向上B.其图象的对称轴是x=3C.其图象的顶点坐标是(0，3)D.当x＞-3时，y随x的增大而减小2. 已知抛物线y= -上的两点A(,)和B(,),如果<<−1,）那么下列结论一定成立的是（）A. <<0B. 0<<C. 0<<D. <<03. 已知二次函数y= -2,当x<−3时,y随x的增大而增大,当x>−3时,y随x的增大而减小,则当x=1时,y的值为( )A. −12B. 12C. 32D. −324. 二次函数y= 3和y=3，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的。

第5讲二次函数y=ax^2(a≠0)的图象与性质(基础课程讲义例题练习含答案)

二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax 2a ＞0向上（0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下（0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象（1）0a >（2）0a <j xOy()0y ax c c =+>cjyxOc()0y ax c c =+<j yxOcj y xOc2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向向上向下顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质1．(2014秋•青海校级月考）二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1的图象交于点P （1，m ）（1）求a ，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时该表达式y 随x 的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．【思路点拨】（1）把点P （1，m ）分别代入二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1即可求出未知数的值；（2）把a 代入二次函数y=ax 2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．（3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P （1，m ）在y=2x ﹣1的图象上∴m=2×1﹣1=1代入y=ax 2 ∴a=1（2）二次函数表达式：y=x 2因为函数y=x 2的开口向上，对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；（3）y=x 2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．举一反三：【变式1】二次函数2y ax =与22y x =-的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a = ．【答案】2.【变式2】（•山西模拟）抛物线y=﹣x 2不具有的性质是（）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点【答案】A.2．已知y=(m+1)x 2m m+是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax 2（a≠0）的图象性质来解答. 【答案与解析】由题意，2210m m m ⎧+=⎨+⎩＞，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=22x .【总结升华】本题中二次函数还应该有m+1≠0的限制条件，但当10m +＞时，一定存在m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则||a 相同，再由开口方向可确定a 的符号，由顶点坐标可确定c 的值，从而确定抛物线的解析式2y ax c =+．【答案与解析】（1）由于待求抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为12，又顶点坐标是（0，-5），故常数项5k =-，所以所求抛物线为2152y x =-．（2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为21y ax =+，又∵该抛物线过点（3，-2），∴912a +=-，解得13a =-． ∴所求抛物线为2113y x =-+．【总结升华】本题考察函数2(0)y ax c a =+≠的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4．在同一直角坐标系中，画出2y x =-和21y x =-+的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线21y x =-+向________平移________个单位得到抛物线2y x =-；(2)抛物线21y x =-+开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线21y x =-+，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答. 【答案与解析】函数2y x =-与21y x =-+的图象如图所示：(1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0；＝0；大；大； 1. 【总结升华】本例题把函数21y x =-+与函数2y x =-的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数2(0)y ax c a =+≠与2(0)y ax a =≠的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．2(0)y ax c a =+≠可以看作是把2(0)y ax a =≠的图象向上(0)k >或向下(0)k <平移||k 个单位得到的．举一反三：【变式】函数23y x =可以由231y x =-怎样平移得到？【答案】向上平移1个单位.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.关于函数y=2x 的图象,则下列判断中正确的是( ) A.若a 、b 互为相反数,则x=a 与x=b 的函数值相等； B.对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应； C.对任一个实数y,有两个x 和它对应； D.对任意实数x,都有y ＞0.2.下列函数中，开口向上的是（）A.23y x =- B.212y x =-C. 2y x =-D.216y x = 3.把抛物线2y x =向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．A ．21y x =+ B ．2(1)y x =+ C ．21y x =- D ．2(1)y x =-4.下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（）A.25y x = B.212y x =-C. 2y x =D.213y x = 5.在同一坐标系中，作出22y x =，22y x =-，212y x =的图象，它们的共同点是（）．A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 6.（•黄陂区校级模拟）抛物线y=2x 2+1的对称轴是（） A ．直线x=B ．直线x=﹣C ． y 轴D ． x 轴二、填空题7.已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________，当x ＞0时，y 随x 的增大而________．8.若函数y ＝ax 2过点(2，9)，则a ＝________．9.已知抛物线y ＝x 2上有一点A ，A 点的横坐标是-1，过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于另一点B ，则△AOB 的面积为________．10．（•巴中模拟）对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是． 11.函数2y x =，212y x =、23y x =的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12.若对于任意实数x ，二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则a 的取值范围是____________．三、解答题13．已知2(2)mmy m x +=+是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求m 的值；(2)画出函数的图象． 14. 已知抛物线2y ax =经过A （-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B （-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．（春·牙克石市校级月考）函数y=ax 2(a ≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． (1)求a 和b 的值；(2)求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】A. 2．【答案】D ；【解析】开口方向由二次项系数a 决定，a ＞0，抛物线开口向上；a ＜0，抛物线开口向下. 3．【答案】A ；【解析】由抛物线2y x =的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为21y x =+． 4．【答案】B ；【解析】根据抛物线2(0)y ax a =≠的图象的性质，当a ＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y 值随x 值的增大而增大，所以答案为B. 5.【答案】C ；【解析】y ＝2x 2，y ＝-2x 2，212y x =的图象都是关于y 轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)． 6.【答案】C ；【解析】∵抛物线y=2x 2+1中一次项系数为0， ∴抛物线的对称轴是y 轴．故选C ．二、填空题 7．【答案】下； y 轴； (0，0)；减小； 8．【答案】94；【解析】将点(2，9)代入解析式中求a. 9．【答案】 1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则1121122AOB A S AB y ==⨯⨯=△.10．【答案】43-；【解析】当x=1时，y=ax 2=a ；当x=2时，y=ax 2=4a ，所以a ﹣4a=4，解得a=43-．故答案为：43-. 11．【答案】23y x =，2y x =，212y x =．【解析】先比较12，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y ＝3x 2，y ＝x 2，212y x =． 12．【答案】a ＞-1；【解析】二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0. 三、解答题 13.【解析】解：(1)∵2(2)mmy m x +=+为二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴ 2220m m m ⎧+=⎨+>⎩，∴ 122m m m ==-⎧⎨>-⎩或，∴m=1.(2)由(1)得这个二次函数解析式为23y x =，自变量x 的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14.【解析】解：（1）∵抛物线2y ax =经过A （-2，-8），∴-8=4a ，∴a=-2，抛物线的解析式为：22y x =-.（2）当x=-1时，y=-2()21⨯-=-2≠-4，∴点B （-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即226x -=-，得3x =∴此抛物线上纵坐标为-6-6）和（-6）. 15.【解析】解：（1）将x=1，y=b 代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax 2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．(2)抛物线的解析式为y=-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y 轴)． (3)当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(4)设直线y=- 2与抛物线y=-x 2相交于A 、B 两点，抛物线顶点为O(0，0)．由22y y x =-⎧⎨=-⎩,，得112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴A(，-2)，，-2)．∴，高=|-2|=2．∴122AOBS =⨯=。

二次函数图像与性质总结(含参考答案)

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值2+ax c)2h4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次Array函数图象的平移平移步骤：)k，；⑴caxy+=2变成bx+=2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，caxbxy++++y+=2（或maxcmbx+=2）y-+axcbx⑵caxy+=2变成+bxy+=2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，caxbx++++)y+(=)(2（或cmaxcxmb-+=))-(2）(axy+bmmx三、二次函数()2=-+与2y a x h k=++的比较y ax bx c从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为b ．2bx a=- 2. 2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-2b x a=-时，y 有0a ≠）；0a ≠）；x 轴两交点的横坐标）.240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，0b -<，即抛物线的对称轴在y0，在y 轴的右侧则0<ab ，总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：有如下几种情况：．2=---；y ax bx c()2=---；y a x h k2=-+；y ax bx cy ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2()2=++；y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx cy ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2()2=-+-；y a x h ky a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()24. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答

高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的图像特点1. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。

求二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来实现。

例如，对于函数y=x^2-3x+2，解方程x^2-3x+2=0，得到x=1和x=2，因此函数的零点为x=1和x=2。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中心轴线，对称轴的方程为x=-b/2a。

例如，对于函数y=2x^2+4x-3，对称轴的方程为x=-4/(2*2)=-1，因此对称轴为x=-1。

3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点（当抛物线开口向下时）或最低点（当抛物线开口向上时）。

顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入函数得到。

例如，对于函数y=-x^2+2x+3，对称轴的横坐标为x=2/(-2)=-1，将x=-1代入函数得到y=-(-1)^2+2*(-1)+3=4，因此顶点为(-1, 4)。

三、二次函数图像的平移与伸缩1. 平移：二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。

平移的方式有两种：水平平移和垂直平移。

水平平移是指将整个图像沿x轴平行移动，垂直平移是指将整个图像沿y轴平行移动。

平移的规律为：y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为平移的距离。

2. 伸缩：二次函数的图像可以通过伸缩来改变其形状。

伸缩的方式有两种：水平伸缩和垂直伸缩。

水平伸缩是指将整个图像沿x轴方向拉伸或压缩，垂直伸缩是指将整个图像沿y轴方向拉伸或压缩。

伸缩的规律为：y=a(bx-c)^2+d，其中a为垂直伸缩的比例因子，b为水平伸缩的比例因子，c为水平方向的平移距离，d为垂直方向的平移距离。

专题01 二次函数的图像与性质(解析版)

第一讲二次函数的图像与性质目录必备知识点.....................................................................................................................................................1考点一 y=ax 2（a ≠0）图像与性质............................................................................................................3考点二 y=a(x-h)2+k （a ≠0）的图像与性质...............................................................................................5考点三 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像与性质 (13)必备知识点1.的图像)0(a 2≠=a x y 函数2x y =2x y -=225x y x y ==与大致图像开口方向向上向下向上对称轴0=x （y 轴）0=x （y 轴）0=x （y 轴）增减性当x ＜0时，y 随x 的增大而减小当x ＞0时，y 随x 的增大而增大当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x ＞0时，y 随x 的增大而减小当x ＜0时，y随x 的增大而减小当x＞0时，y 随x 的增大而增大顶点（0，0）（0，0）（0，0）最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0【总结】：①a ＞0，开口方向向上，有最小值；a ＜0，开口方向向下，有最大值 ②|a|越大，开口越小，函数值变化越快2.的图像)0()(a 2≠-=a h x y 函数22)2(22-==x y x y 与22)2(22+==x y x y 与22)2(2--2+==x y x y 与知识导航大致图像开口方向向上向上向下对称轴2=x -2=x -2=x 增减性当x ＜2时，y 随x 的增大而减小当x ＞2时，y 随x 的增大而增大当x ＜-2时，y 随x 的增大而减小当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大当x ＜-2时，y 随x 的增大而减大当x ＞-2时，y 随x 的增大而增小顶点（2，0）（-2，0）（-2，0）最值最小值y=0最大值y=0最小值y=0【总结】：①函数的对称轴为x=h②仍满足函数的平移规则：左加右减3.的图像)0()(a 2≠+-=a k h x y 函数21-22+==）（与x y x y 4-122）（与+==x y x y 41--22++==）（与x y x y大致图像开口方向向上向上向上对称轴1=x -1=x -1=x 顶点（1，2）（-1，-4）（-1，4）最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4【总结】：①函数的对称轴为x=h ，最大值为k ，顶点为（h ，k ）②仍满足函数的平移规则：左加右减，上加下减4.的图像)0(a 2≠++=a c bx x y 函数32-2+=x x y 3-22x x y +=32--2+=x x y大致图像开口方向向上向上向下对称轴1=x -1=x -1=x 与y 轴交点（0，3）（0，-3）（0，3）顶点（1，2）（-1，-4）（-1，4）最值最小值y=2最小值y=-4最大值y=4将32-2+=x x y 转化为k h x y +-=2)(a 的形式为：2)1(2+-=x y ，那么将)0(a 2≠++=a c bx x y 转化为）（0a )(a 2≠+-=k h x y 的形式为：）（0a 442b (a 22≠-++=a b ac a x y 即）（）（0a 442b --a 22≠-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a b ac a x y 【总结】：①a 决定抛物线开口方向及大小 ②c 决定抛物线与y 轴交点③抛物线的对称轴：ax 2b -=④抛物线的顶点)442b -(2ab ac a -，考点一 y=ax 2（a ≠0）图像与性质1．关于函数y＝3x2的性质表述，正确的一项是（）A．无论x为何实数，y的值总为正B．当x值增大时，y的值也增大C．它的图象关于y轴对称D．它的图象在第一、三象限内【解答】解：∵y＝3x2，∴函数图象的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，∴函数图象在第一、二象限内，当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，A、B、D错误．故选：C．2．抛物线y＝﹣2x2不具有的性质是（）A．对称轴是y轴B．开口向下C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．顶点是抛物线的最低点【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2，∴该函数的对称轴是直线x＝0，也就是y轴，故选项A不符合题意，a＝﹣2，该函数图象开口向下，故选项B不符合题意，当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意，顶点式抛物线的最高点，故选项D符合题意，故选：D．3．抛物线y＝x2，y＝﹣2x2，y＝x2共有的性质是（）A．开口向下B．顶点是坐标原点C．都有最低点D．当x＞0时，y随x的增大而增大【解答】解：抛物线y＝x2，开口向上，对称轴y轴，有最低点，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，右侧y随着x的增大而增大；抛物线y＝﹣2x2，开口向下，对称轴y轴，有最高点，在对称轴左侧y随着x的增大而增大，右侧y 随着x 的增大而减小；抛物线y ＝x 2，开口向上，对称轴y 轴，有最低点，在对称轴左侧y 随着x 的增大而减小，右侧y随着x 的增大而增大．故选：B ．4．如图为221x y =图像，那么251-x y =可能是如下（）图A ．B ．C ．D ．【解答】解：开口方向向下，且|51-|＜21，所以开口越大，故选：C ．考点二 y=a(x-h)2+k （a ≠0）的图像与性质1．抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（）A ．（﹣1，3）B ．（1，3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（1，﹣3）【解答】解：∵y ＝﹣（x ﹣1）2+3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），故选：B．2．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），∴坐标原点可能是点A，故选：A．3．关于二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象及性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝1B．当x＝﹣1时，y取得最小值，且最小值为﹣7C．顶点坐标为（﹣1，7）D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大【解答】解：∵y＝3（x+1）2﹣7，∴函数的对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误，不符合题意；顶点坐标为（﹣1，﹣7），故选项C错误，不符合题意；∵开口向上，∴当x＝﹣1时，y取得最小值，且最小值为﹣7，故选项B正确，符合题意；当x＜﹣1时，y的值随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；故选：B．4．顶点为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（）A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1B．y＝2（x+2）2+1C．y＝﹣2（x+2）2﹣1D．y＝﹣2（x+2）2+1【解答】解：根据题意得y＝﹣2（x+2）2+1．故选：D．5．对于任何实数h，抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的相同点是（）A．顶点相同B．对称轴相同C．形状与开口方向相同D．都有最低点【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2是由抛物线y＝﹣（x﹣h）2向右平移h个单位得到，∴抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的开口方向及形状相同，故选：C．6．抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1的顶点一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵y＝（x﹣a）2+a﹣1，∴该抛物线的顶点坐标为（a，a﹣1），当a﹣1＞0时，a＞0，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；当0＜a＜1时，此时顶点在第四象限，故选项D不符合题意；当a＜0时，a﹣1＜0，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；故选：B．7．一次函数y＝hx+k的图象过一、三、四象限，则二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵一次函数y＝hx+k的图象过一、三、四象限，∴h＞0，k＜0，∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），∴二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点在第四象限，故选：D．8．抛物线y＝x2+1的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C．9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．10．已知函数y＝a（x﹣h）2+k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，a＜0，∴图象开口向下，A、B选项错误；∵对称轴x＝h＞0，顶点坐标（h，k），k＜0，∴C选项错误，D选项正确．故选：D．11．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象如图所示，直线y＝ax+hk的图象经过第几象限（）A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四【解答】解：由函数图象可知，y＝a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0，∴直线y＝ax+hk中的a＜0，hk＜0，∴直线y＝ax+hk经过第二、三、四象限，故选：D．12．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k为常数）在坐标平面上的图象通过（0，5）、（15，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何值？（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而（0，5）、（15，8）两点在抛物线上，∴h﹣0＞15﹣h，解得h＞7.5．故选：D．13．在平面直角坐标系中，直线y＝ax+h与抛物线y＝a（x﹣h）2的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵直线y＝ax+h经过第一、二、四象限，∴a＜0，h＞0，∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向下，对称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），∴该选项图象符合题意；B、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，∴a＞0，h＞0，∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），∴该选项图象符合题意；C、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，∴a＞0，h＞0，∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），∴该选项图象不符合题意；D、∵直线y＝ax+h经过第一、三、四象限，∴a＞0，h＜0，∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的左侧，顶点为（h，0），∴该选项图象符合题意；故选：C．14．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A．B．C．D．【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．15．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与二次函数y＝nx2+m的大致图象可以是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由直线过一、二、三象限可知，m＞0，由抛物线可知，图象与y轴交于负半轴，则m＜0，矛盾，故此选项错误；B、由直线过二、三、四象限可知，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，矛盾，故此选项错误；C、由直线过一、三、四象限可知，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，矛盾，故此选项错误；D、由直线过一、三、四象限可知，m＞0，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，图象与y轴交于正半轴，则m＜0，一致，故此选项正确；故选：D．16．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过（）象限．A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四【解答】解：∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，故选：C．17．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）经过图中A（2，2）和B（9，9）两点，则下列判断正确的是（）A．若h＝3，则a＜0B．若h＝6，则a＞0C．若h＝4，则k＜2D．若h＝5，则k＞9【解答】解：由四个选项中h的取值可知，A、B在抛物线的对称轴的两侧，当a＞0时，∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而A（2，2）和B（9，9）两点在抛物线上，∴h﹣2＜9﹣h，解得h＜5.5，k＜2，当a＜0时，∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而A（2，2）和B（9，9）两点在抛物线上，∴h﹣2＞9﹣h，解得h＞5.5，k＞9，故选：C．18．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝7，则a＝﹣，故D错误；故选：C．考点三y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质1．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，故选：D．2．二次函数y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（）A．（2，11），x＝2B．（2，3），x＝2C．（﹣2，11），x＝﹣2D．（﹣2，3），x＝2【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，11）．故选：A．3．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故选：D．4．已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（）A．±B．﹣或C．﹣或D．或2【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，∴对称轴为x＝＝＝2，①当m＞0时，∵二次函数开口向上，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝，②当m＜0时，∵二次函数开口向下，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝﹣，综上，m的值为或﹣，故选：B．5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1，当a≤x≤0时，y取得最小值为﹣2，则a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴二次函数图像的对称轴为x＝1，∵﹣1＜0，开口向下，∴在对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大，∵当a≤x≤0时，即在对称轴左侧，y取得最小值为﹣2，∴当x＝a时，y＝﹣2，∴﹣a2+2a+1＝﹣2，解得：a＝﹣1或a＝3（舍去），故a的值为﹣1．故选：A．6．二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C．7．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意．故选：B．8．一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，∴二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象开口向上，对称轴x＝﹣在y轴的右侧，交y轴的负半轴，∴B选项正确，故选：B．9．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C．10．二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数y＝4ax2+4bx+1，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∵一次函数y＝2ax+b，∴当y＝0，则x＝﹣，∴直线y＝2ax+b与二次函数y＝4ax2+4bx+1的对称轴交于x轴上同一点，故A、B、C不合题意，D、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项正确；故选：D．。

人教版九年级上册数学讲义二次函数的图像与性质

A． B．
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线（）的顶点坐标公式：（，）；对称轴是直线：；当时，函数有最值：。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于的二次函数是（）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数，若自变量分别取，，，且，则对应的函数值的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数（为常数）。
（1）为何值时，这个函数为二次函数？
（2）为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1）（2）（3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系

二次函数的图像与性质(含答案)

九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义：形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。

（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况：若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。

二次函数图象性质的应用(讲义及答案).

2. 二次函数对称性：若抛物线上的两个点关于对称轴对称，则这两个点_________相等；若抛物线上的两个点纵坐标相等，则两点______________；即由(x1，y1)，(x2，y1)可知，对称轴为直线__________．
3. 二次函数增减性常用于“点坐标比大小”、“求最值”等，借助____________求解会更加直观．
三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
10.
若
A(
13 4
，y1)，B(
5 4
，y2)，C(
1 4
，y3)为二次函数
y=x2+4x-5
的图象上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
是常数，且 m≠0）的图象可．能．是（）
A．
B．
C．
D．
2
4. 对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）有下列说法：①若 b=0，则该抛物线的顶点坐标为(0，c)；②若 b=0，则该抛物线的对称轴为 y 轴；③若 c=0，则无论 a，b 为何值，抛物线始终经过原点；④当 a＞0 时，该抛物线在对称轴右侧部分是上升的； ⑤当 a＜0 时，a 越小，抛物线的开口越小．其中正确的有 ________________．
2 ④在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大．
3
8.
已知二次函数
y
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
3x
5 2
，设自变量的值分别为
x1，x2，
x3，且-3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值 y1，y2，y3 的大小关系

二次函数的图象和性质(含详细参考答案10页)

2018年中考数学专题复习二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数名师提醒：二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是，按一次排列2、强调二次项系数a 0二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条，其定点坐标为对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a ≠0)中：（1）当a>0时，y 口向，当x<-2ba 时，y 随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而增大，（2）当a<0时，开口向当x<-2ba时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小.名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴定点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴定点坐标3、y=a(x-h) 2对称轴定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴定点坐标三、二次函数同象的平移名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越b:对称轴位置，与a 联系一起，用判断b=0时，对称轴是 c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过点名师提醒：在抛物线y= ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x 分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（） A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 2 对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x 2-7x+152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 1 考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x 2-2mx-3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x 轴的交点．对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a （x+2）2-3与y 2=12（x-3）2+1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2-y 1=4；④2AB=3AC ；其中正确结论是（） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，则正确的结论是（） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（）A ．abc ＞0B ．a+b=0C ．2b+c ＞0D ．4a+c ＜2b 考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（） A ．y=（x+1）2-1 B ．y=（x+1）2+1。

(完整版)非常好的讲义二次函数图像与性质

二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数,其中x 为自变量，y 为因变量,a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系（1)a 决定抛物线的开口方向当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小;a 越小，抛物线开口越大．温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数,则形状相同、开口相反． (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2b x a=-) 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时,对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，）当0c =时,抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3。

专题05 二次函数的图象和性质(解析版)

专题五二次函数的图象和性质【专题导航】目录【考点一二次函数定义】【考点二二次函数y=ax2的图像性质】【考点三二次函数y=ax2+k的图像性质】【考点四二次函数y=a（x-p）2的图像性质】【考点五二次函数y=a（x-p）2+k的图像性质】【聚焦考点1】二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且a≠0）的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项（区别于二次项，一次项）注意点：A.强调未知数最高次幂为2；B.二次项系数不等于零； C.先化简，再判断是否为二次函数。

【典例剖析1】【典例1-1】已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值．【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：依题意得∴∴m＝1（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．【典例1-2】函数y＝（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？【分析】利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．【解答】解：∵y＝（kx﹣1）（x﹣3）＝kx2﹣3kx﹣x+3＝kx2﹣（3k+1）x+3，∴k＝0时，y是x的一次函数，k≠0时，y是x的二次函数．【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握有关定义是解题关键．针对训练1【变式1-1】已知函数y＝（m﹣1）+2x﹣m是二次函数，求m的值，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．【分析】根据二次函数的定义列出方程组求解即可．【解答】解：由题意得∴∴m＝﹣2二次项系数为﹣3，一次项系数为2，常数项为2【点评】本题考查二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不等于零，次数是2得出方程组是解题关键．【变式1-2】已知是x的二次函数，求出它的解析式．【分析】根据二次函数的定义得出有关m的方程与不等式解答即可．【解答】解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．【点评】主要考查了二次函数的定义．【能力提升1】二次函数定义【提升1-1】已知函数y＝（m2+m）x．（1）当函数是二次函数时，求m的值；（2）当函数是一次函数时，求m的值．【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1，解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝1．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．【提升1-2】一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x＝0.5时y的值？【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，则k2﹣3k+2＝0，（k﹣1）（k﹣2）＝0，解得：k1＝1，k2＝2，∵k﹣1≠0，∴k＝2；（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，当x＝0.5时，y＝（）2+2×﹣1＝．【点评】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件【聚焦考点2】y=ax²的图像的性质小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线y=ax²来说，a越大，抛物线的开口越小【典例剖析2】二次函数y=ax2的图像性质【典例2-1】）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴【答案】B【解析】解：抛物线=22的开口向上，对称轴为轴，有最低点；抛物线=−22开口向下，对称轴为轴，有最高点；故抛物线=22与=−22相同的性质是对称轴都是轴.故答案为：B.【点评】本题考查了二次函数的基本性质，利用二次函数的性质解决问题是关键。

二次函数的表达式、图象、性质及计算(讲义及答案)

二次函数的表达式、图象、性质及计算（讲义）➢知识点睛1.一般地，形如（）的函数叫做二次函数．2.表达式、图象及性质：①一般式通过可推导出顶点式．②二次函数的图象是，是图形，对称轴是，顶点坐标是．③当a 时，函数有最值，是；当a 时，函数有最值，是．④当a 时，图象以对称轴为界，当x 时，y 随x的增大而，当x 时，y 随x 的增大而；当a 时，图象以对称轴为界，当x 时，y 随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而．⑤a，b，c 符号与图象的关系a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向；当时，开口向．c 是抛物线与交点的．b 的符号：与a ，根据可推导．3.二次函数图象平移：①二次函数图象平移的本质是，关键在．②图象平移口诀：、．平移口诀主要针对二次函数．➢精讲精练1.下列函数（x，t 是自变量）是二次函数的有．（填写序号）①y =x2 -1x - 3 ；②y =21- 2x + 3 ；③y =-1+ 3x 2 ；x2 2④x2 - 2 +y = 0 ；⑤y =-x2 ；⑥s = 1+t + 5t 2 ；⑦y =1x2 -x3 + 25 ；⑧y = 22 + 2x ．22.若函数y = (a - 3)x a2 -7 为二次函数，则a=（）A．-3 B．3 C．±3 D．513.二次函数y =kx2 + 2x +1（k < 0 ）的图象可能是（）A． B．C．D．4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可．能．是（）A． B．C． D．5.将抛物线y=x2-2x 向上平移3 个单位，再向右平移4 个单位得到的抛物线是．6.抛物线y=(x+2)2-3 可以由抛物线y =x2 平移得到，则下列平移方法正确的是（）A.先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位B.先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位C.先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位D.先向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位7.抛物线y =x2 +bx +c 的图象向右平移2 个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y =x2 - 2x + 3 ，则b，c 的值为（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=6C．b=-2，c=-1 D．b=-3，c=228.如图，将抛物线y = (x +1)2 - 7 沿x 轴平移，若平移后的抛物线经过点P(-2，2)，则平移后的抛物线解析式为（）A．y = (x + 5)2 - 7B．y = (x + 5)2 - 7 或y = (x +1)2 +1C．y = (x +1)2 +1D．y = (x + 5)2 - 7 或y = (x -1)2 - 79.抛物线y=2(x+m)2+n（m，n 是常数）的顶点坐标是；y =ax2 +bx +c 的顶点坐标是（用含a，b，c 的代数式表示）；y=-2x2+4x+1的顶点坐标是，有最值，是．10.已知抛物线y =-1x2 - 3x -15，将它配成顶点式为，2 2对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，y 有最值，是．11.抛物线y =1-1x2 开口向2，对称轴是直线，顶点坐标是，当x= 时，y有最值，是．312. （1）已知二次函数的图象经过A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，求此二次函数的解析式．解：设二次函数的解析式为，由题意得：解得：∴二次函数的解析式为．（2）已知二次函数的图象经过A(-4，0)，B(2，0)，C(1，-5) 三点，求此二次函数的解析式．13. （1）二次函数图象的顶点坐标是(1，-3)，且过点(3，-15)，求此二次函数的解析式．解：依题意可设这个函数的解析式为，∵抛物线经过点，∴，解得：，∴二次函数的解析式为．（2）二次函数图象的顶点坐标是(-1，-4)，且过点(1，0)．求此二次函数的解析式．4) 【参考答案】 ➢ 知识点睛1.y = ax 2 + bx + c ；a ，b ，c 为常数，a ≠0 2. ① y = ax 2+ bx + c ；配方法； y = a (x + b 2 +4ac - b 2 2a 4a b b 4ac - b 2②抛物线；轴对称；直线 x = - ； (- ， ) ；③＞0；小；4ac - b 24a 2a ；＜0；大； 2a 4a 4ac - b 2； 4a ④＞0； x < - b 2a ；减小； > - b2a ；增大；＜0； < - b 2a ；增大； > - b2a；减小；⑤a ＞0；上；a ＜0；下 y 轴；纵坐标；左同右异；对称轴位置3. ①点的平移；坐标；②左加右减；上加下减；顶点式➢ 精讲精练1. ①③④⑤⑥2. A3. C4.D5. y = x 2 -10x + 276. B7. B8. Db 4ac - b 29. (-m ，n )； (- ， ) ；(1，3)；大；32a 4a10.y = - 1 (x + 3)2 - 3 ；x =-3；(-3，-3)；x ＞-3；-3；大；-3 211. 下；x =0（y 轴）；(0，1)；0；大；1 12. （1） y = -x 2 - 2x + 3 ；（2） y = x 2 + 2x - 8 ． 13. （1） y = -3(x -1)2 - 3 ；（2） y = (x +1)2 - 4 ．5；。

考点07 二次函数的图像与性质(解析版)

考点七二次函数的图像与性质知识点整合一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例引领变式拓展考向二二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例引领1x=时有最小值2-，即a-当2x=-时有最大值6，即4解得：89a=，109b=-，∴1118110 333939 a b⎛-=⨯-⨯-⎝②a<0时，如图，1x =时有最大值6，即26a a b -+=当2x =-时有最小值2-，即44a a +解得：89a =-，469b =，∴11181462333939a b ⎛⎫-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：23或2-．4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，抛物线223y x x =-+与直线y x =-【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，变式拓展【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得在y轴右侧，得0b>，抛物线与x=，即对称轴是直线1【答案】②④/④②【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：将点(11933b c b c ++=⎧⎨++=⎩，。

二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数图像与性质总结(含答案)【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象【解】以为中间值，取的一些值，列表如下：…-7-6-5-4-3-2-1……0-20…【例2】求作函数的图象。

【解】先画出图角在对称轴的右边部分，列表-2-101276543【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方；(2)列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性质【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。

【解】由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为；∴当时，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。

【例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值。

，∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为∴当时，函数取得最大值函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1)配方法；如例3(2)公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。

任何一个函数都可配方成如下形式：【二次函数题型总结】1.关于二次函数的概念例1如果函数是二次函数，那么m的值为。

例2抛物线的开口方向是；对称轴是；顶点为。

-1OX=1YX2.关于二次函数的性质及图象例3函数的图象如图所示，则a、b、c，，，的符号为，例4已知a－b＋c=09a＋3b＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在（）（A）第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限（D）第二或第三象限3o-13yx3.确定二次函数的解析式例5已知：函数的图象如图：那么函数解析式为（）（A）（B）（C）（D）4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例6已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是().例7如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）（1）求B、C、D三点的坐标；（2）抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式；【练习题】一、选择题1.二次函数的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A.B.C.D.3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时,的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数的图象如图所示，则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程的正根的个数为（）A.0个B.1个C.2个.3个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A.B.C.或D.或二、填空题9．二次函数的对称轴是，则_______。

第1讲.二次函数图象及基本性质答案版

1初三暑期·第1讲·目标预备班·教师版股票图==血压图？漫画释义满分晋级1函数11级两大函数与几何综合函数12级二次函数图象及基本性质函数13级二次函数的基本解析式与图象变换春季班第三讲暑期班第一讲暑期班第二讲二次函数图象及基本性质中考内容与要求中考考点分析二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。

这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。

知识互联网2 初三暑期·第1讲·目标预备班·教师版3初三暑期·第1讲·目标预备班·教师版和常数项．【例1】 ⑴ 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的．也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，如果存款额是100元，一年到期后，本息和y = 元；若一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，则两年后的本息和y =元（不考虑利息税）．⑵ 下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次项系数、常数项．①213y x =-，②()5y x x =-，③213y x=，④()()312y x x =-+，⑤4221y x x =++，⑥()221y x x =--，⑦2y ax bx c =++．（北京市十一学校练习）2y ax = 2y ax c =+()2y a x h =-()2y a x h k =-+ 2y ax bx c =++模块一二次函数的解析式知识导航夯实基础4初三暑期·第1讲·目标预备班·教师版⑶ ①如果函数22(1)1k k y k xkx -+=-+-是关于x 的二次函数，则k = ．（八中期中）②2(2)mmy m x -=-是关于x 的二次函数，则m = ．（海淀期末复习题）③若函数2221(1)m m y m x --=-为二次函数，则m 的值为．（铁二期中）④已知222mm y mx -+=是关于x 的二次函数，则m 的值为．（西外期中）【解析】 ⑴ ()1001x +（或100100x +），()2101x +（或2100200100x x ++）． ⑵ ①②④是二次函数，其余的都不是．①的一般式为231y x =-+，二次项系数为3-，一次项系数为0，常数项为1． ②的一般式为25y x x =-，二次项系数为1，一次项系数为5-，常数项为0． ④的一般式为2336y x x =+-，二次项系数为3，一次项系数为3，常数项为6-． ⑶ ① 0；②1-；③ 3；④ 2．【点评】⑴主要作用是通过一次函数类比提出二次函数的定义；⑵熟练掌握二次函数的有关概念． ⑶主要考查二次项系数不为0这一易错点.模块二二次函数的图象与性质5初三暑期·第1讲·目标预备班·教师版二次函数图象与系数的关系⑴a 决定抛物线的开口方向当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大．温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其开口大小相同，即若a 相等，则开口方向及大小相同，若a 互为相反数，则开口大小相同、开口方向相反．⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．简称“左同右异”.⑶c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，）当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．6初三暑期·第1讲·目标预备班·教师版【例2】在同一平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数①22y x =、②212y x =、③2y x =-和 ④22y x =-的图象，指出各个二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象判断的图象开口最大．【解析】 ⑴对二次函数22y x =进行列表、描点、用光滑的曲线连起来如图所示．⑵对二次函数21y x =进行列表、描点、用光滑的曲线连起来如图所示．⑶对二次函数2y x =-进行列表，描点，用光滑的曲线连起来如图所示．⑷对二次函数22y x =-进行列表，描点，用光滑的曲线连起来如图所示．根据图象可知①②开口向上，③④开口向下，四个函数的对称轴都是y 轴，四个函数的顶点都是原点()00，，212y x =的图象开口最大．【点评】提示：课本上至少选取7个点．通过此例题让学生掌握二次函数图象的画法，并借助图象介绍抛物线的开口方向、对称轴和顶点，对称轴两边的图象的走势．并进一步引导学生思考a 与图象的关系．老师可继续利用图象讲清()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的图象性质.夯实基础7初三暑期·第1【例3】 ⑴ 若二次函数222-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为． (2012四川广元) ⑵ 已知二次函数213y x =-、2213y x =-、2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序是（）A ．123y y y ，，B ．321y y y ，，C ．132y y y ，，D ．231y y y ，，⑶ 如图，抛物线①②③④对应的解析式为21y a x =，22y a x =，23y a x =， 24y a x =，将1a 、2a 、3a 、4a 从小到大排列为．【解析】 ⑴2-；⑵ C ；⑶ 4321a a a a <<<．【例4】 ⑴关于x 的二次函数()()m x x y -+=1，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是．（2012江苏镇江）⑵抛物线2y ax bx c =++经过点()27A -，，()67B ，，()38C -，，则该抛物线上纵坐标为8-的另一个点D 的坐标是．（山东中考）⑶已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值 y =___________．【解析】 ⑴1＞m ；⑵ ()1,8-；⑶3.法一：由题意可知：A ，B 关于抛物线的对称轴对称，故12222bx x x a-=+=⋅=， ∴当2x =时，4433y =-+=法二：因为当x 取不同的值1x ，2x 时函数值相等，所以1x 与2x 关于对称轴对称，所以对称轴可以表示为：122x xx +=．题目等价于求横坐标为12x x x =+的点关于对称轴122x xx +=对称的点，即0x =对应的纵坐标为3.【例5】 ⑴判断下列哪一组的a 、b 、c ，可使二次函数73522+--++=x x c bx ax y 在坐标平面上的图形有最低点？（） (2012台湾) A ．0=a ，4=b ，8=c B ．2=a ，4=b ，8-=c C ．4=a ，4-=b ，8=c D ．6=a ，4-=b ，8-=c能力提升8初三暑期·第1讲·目标预备班·教师版⑵二次函数()n m x a y ++=2的图象如图，一次函数n mx y +=的图象经过（）（2012泰安）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限⑶顶点为(50)-，，开口方向、大小与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( )A ．2)5(31-=x yB ．5312--=x yC ．2)5(31+-=x yD ．2)5(31+=x y⑷ 二次函数()()2---=m x m x y 的最小值为． (2012人大附统练)⑸ 二次函数()2214y x k x =-++的顶点在y 轴上，则k = ，若顶点在x 轴上，则k = ．（清华附中统练）【解析】 ⑴ D ；⑵ C ；⑶ C ；⑷1-；⑸ 1-，1或3-．【例6】 ⑴二次函数()()022＞a c x a y +-=，当自变量x3，0时，对应的值分别为1y 、2y 、3y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为． (2012江苏常州)⑵二次函数()02＜a c bx ax y ++=的图象经过点A (2-，0)、O (0，0)、B (3-，y 1)、 C (3，y 2)四点，则y 1与y 2的大小关系是．(2012崇左)【解析】⑴1y ＜2y ＜3y ．⑵21y y ＞.【例7】已知二次函数6422-+=x x y ．⑴ 将其化成()2y a x h k =-+的形式；⑵ 写出开口方向，对称轴，顶点坐标； ⑶ 求图象与两坐标轴的交点坐标； ⑷ 画出函数图象；⑸ 说明其图象与抛物线22y x =的关系； ⑹ 当x 取何值时，y 随x 增大而减小； ⑺ 当x 取何值时，0y >，0y =，0y <； ⑻ 当x 取何值时，函数y⑼ 积．【解析】 ⑴ ()2218y x =+-；9初三暑期·第1讲·目标预备班·教师版⑵ 开口向上，对称轴为直线1x =-，顶点坐标为()18--，； ⑶ 图象与y 轴的交点为()06-，，与x 轴的交点为 ()30-，和()10，； ⑷ 对二次函数2246y x x =+-进行列表，描点，用光滑⑸ 22y x =的图象向左平移1个单位，再向下平移8个单位可得到2246y x x =+-的图象； ⑹ 当1x <-时，y 随x 增大而减小；⑺ 当31x -<<时，0y <；当3x =-或1x =，0y =；当3x <-或1x >时，0y >．⑻ 当1x =-时，函数y 有最小值，其最小值为8-； ⑼ 函数图象与两坐标轴交点所确定的三角形面积为12．【例8】若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线243y x x =++上(点P 、Q 不重合)，且y 1=y 2，求代数式81651242121++++n n n x x 的值. （2012海淀一模）【解析】法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.∵,21y y =∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++.可得 04221=++n n n x . 即 0)42(1=++n x n . ∵ 点P , Q 不重合, ∴ n ≠0.∴ 124x n =--.∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++ 22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++=法二：∵ 243y x x =++=(x +2)2-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x =-2.∵ 点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, 点P , Q 不重合, 且,21y y =探索创新10初三暑期·第1讲·目标预备班·教师版∴ 点 P , Q 关于直线 x =-2对称. ∴11 2.2x x n++=- ∴ 124x n =--. 下同法一.若函数()2221m m y m m x--=+为二次函数，则m 的值是．（海淀教研练习）【解析】2212m m --=，解得13m =，21m =-，又∵20m m +≠，∴3m =．20m m +≠抛物线2(2)3y x =-++的顶点坐标是（）（平谷期末）A ．()23，B ．()23，-C ．()23，-D ．()23，-- 【解析】B ．抛物线()()22y a x h k a x h k =++=--+⎡⎤⎣⎦，故顶点为()h k -，．建议：易错点内容只是给出范例，对于不同学生易错点不同，教师可根据班级错误情况自行总结．第01讲精讲：二次函数之轴对称的应用抛物线y ＝2ax bx c ++是以直线x ＝－2ba为对称轴的轴对称图形，不难得到如下性质：（1）抛物线上对称两点的纵坐标相等；抛物线上纵坐标相同的两点是对称点．（2）如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点．（3）若设抛物线上对称两点的横坐标分别为x 1、x 2，则抛物线的对称轴为122x x x +=．（4）若已知抛物线与x 轴相交的其中一个交点是()01,x A ，且其对称轴是m x =，则另一个交点B 的坐标可以用1x ，m 表示出来．灵活应用上述性质，可使很多有关抛物线的问题获得速解． 1、根据对称点求对称轴【变式1】(2012年北京)已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等，求二次函数的解析式.【解析】由题意可知依二次函数图象的对称轴为1x =，则()()22121t t +-=+。

人教版九年级数学讲义二次函数的图像与性质(含解析)

第5讲二次函数的图象与性质知识定位讲解用时：2分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数的图象与性质，本节课的重点是掌握二次函数的平移法则，能够结合二次函数图象和性质判断a、b、c的之间的关系，而难点在于二次函数的图象和性质的综合考查，需要学生能够根据二次函数的图象与性质正确分析并解决问题。

希望同学们能够认真学习并掌握，为后面二次函数的应用打好基础。

知识梳理讲解用时：25分钟二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表；①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点；①连线：用平滑的曲线按顺序连接各点；①在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来，画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧。

x…-223--112-0121232…2y x= (4)491140141494…（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|abac442-|个单位得到的。

12341234xyxyOO1212----图1图2向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位课堂精讲精练【例题1】抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析式是___________________。

【答案】218232y x x =++【解析】本题考查了二次函数平移规则，根据二次函数的平移法则，“上加下减，左加右减”，可知平移后的函数解析式为()21892y x =+-，整理即为218232y x x =++讲解用时：2分钟解题思路：牢记平移法则即可。

第四讲二次函数(讲义).doc

第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。

［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很，求这个二次函数的表达式。

例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。

二、二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。

(完整版)二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

二次函数图象性质及应用(讲义及答案)