信号与系统阶跃信号和冲激信号
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信号与系统4-3冲激序列响应与阶跃序列响应课件
k =0 时
f1(k)
1
2 1 0 1 2 k
f2 (k )
3
f1(i)
2
1
1
0 12 3 k
2 1 0 1 2
i
0
f 2 (i)
3
3
5
2
y(k) 6
1
3
2 1 0 1 2 3 i
1 0
k 2 k 2 k 1 k 0,1, 2 k 3 k 4 k 4
9
有限长序列卷积和的规律
两个有限长度序列f(k)和h(k)的卷积y(k)长度也是 有限的。
定义：
f1(k) f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
f2 (i) f1(k i) i
称离散卷积或卷积和
f (k)
1 0 1 2 3
f (i) (k i)
i
k
5
任意激励信号的零状态响应
A(k(k-(nk-i))
任意信号：
f (k) f (i) (k i) i f (k) (k)
3 13
[1 2k 1 3k ] (k)
2
2
4
4.6 离散卷积
卷积和的意义
任意离散信号可分解为(k)的线性组合：
f(k)=······+f(-1)(k+1)+ f(0)(k)+ f(1)(k-1)+
······+ f(i)(k-i)+······
f (i) (k i) f (k) (k) i
10
卷积和的计算
不进位乘法法
对于两个有限序列，可以利用一种“不进位乘法”较快地求出卷积结果。
例：求
y(k)= f1(k) f2(k)
信号与系统阶跃信号和冲激信号
1 sgn( t) 1 t 0 t 0
O
2
2
sgn t
1
O
t
-1
1 sgn( t ) u ( t ) u ( t ) 2 u ( t ) 1 u ( t) [sgn( t) 1 ] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算
(t)f(t) d t
f ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) d t f
f(0 )
3.冲激偶（冲激的导数）
s( t )
1
(t )
1
成为
(1)
O
o
求导
s( t )
集美大学信息工程学院201041414阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号信号函数本身有不连续点跳变点或其导数与积分有不连续点的一类信号函数统称为奇异信号或奇异函数
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
0 u ( t t ) 0 1
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
O
2
2
sgn t
1
O
t
-1
1 sgn( t ) u ( t ) u ( t ) 2 u ( t ) 1 u ( t) [sgn( t) 1 ] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算
(t)f(t) d t
f ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) d t f
f(0 )
3.冲激偶（冲激的导数）
s( t )
1
(t )
1
成为
(1)
O
o
求导
s( t )
集美大学信息工程学院201041414阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号信号函数本身有不连续点跳变点或其导数与积分有不连续点的一类信号函数统称为奇异信号或奇异函数
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
0 u ( t t ) 0 1
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
绪论阶跃信号冲激信号-PPT
0
t
信号与系统 第一章 绪论
延时得单位阶跃信号
0
u(t t0 ) 1
1 2
u(t-t0) 1
t t0 t t0
t t0
0
t0
t
信号与系统 第一章 绪论
(2)矩形脉冲信号
u(t) 1 1 0u(t-t0)
0
t0
1
0
t0
G(t) u(t) u(t t0 )
G (t ) t
1
t
0
2
2
t
G
(t
)
u
(t
2
)
u
(t
2
)
t
信号与系统 第一章 绪论
物理背景
1V
e(t)
负载
t＝0时开关闭合 e(t)=u(t)
t=t0时开关闭合e(t)=u(t-t0) t=0时闭合,作用一段时间后在t=t0时打开
e(t)=u(t)－u(t-t0) 三种情况表示实际中得理想化模型
信号与系统 第一章 绪论
(t)
lim 0
1
2
t
e
f (t) 1 2
(t
)
lim0 1
e
(t
)2
f (t) 1
0
t
0
t
信号与系统 第一章 绪论
Sa(t)信号(抽样信号)演变为冲激函数
(t)
lim
k
k
Sa(kt)
f (t) k
k
k
0
t
K越大,函数得振幅越大,且离开原点时函数振荡越快,衰
减越迅速。曲线下得净面积保持１。当k时,得到冲
dt
A、冲激函数使得不连续点处得导数存在,冲激强调 大小等于跳变量,冲激点在跳变点处
1.4 阶跃函数和冲激函数
(t 2) 2 (t ) d t
板书：例1.4-1，例1.4-2，
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
13
通信与信息工程学院基础教学部
练习
通信与信息工程学院基础教学部
14
练习答案
通信与信息工程学院基础教学部
15
5.复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函 数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n)
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
3.ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
或
i
(i)
j 0
k
ε(k) = δ(k)+ δ(k – 1)+…
(k ) (k j )
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19
小结：
• • • 单位阶跃信号的定义 单位冲激信号的定义、性质 西电精品课程视频（来源于网络）
通信与信息工程学院基础教学部
20
冲激信号尺度变换的证明 从 ( t ) 定义看：
pt 1
pat 1
2 t
2
O
2a
O
a
2a
t
t 强度为1 p(t)面积为1，
2
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
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17
三、序列δ(k)和ε(k)
信号与系统冲激响应和阶跃响应
drˆt
et dt2 dt
4 3
rˆt 2 rt
4
d
3
dt
X
18
第
求冲激响应的几种方法 页 方法1：冲激函数匹配法求出0 ~ 0 跃变值，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法3：齐次解法求冲激响应。
X
19
第
总结
页
冲激响应的定义 •零状态； •单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
h (t) A 1 e t A 2 e 3 t (t) A 1 e t 3 A 2 e 3 tu (t) A 1 A 2 (t) A 1 e t 3 A 2 e 3 tu (t)
h t A 1 A 2 t A 1 3 A 2 t A 1 e t 9 A 2 e 3 t u t
2 2 2 2
1 et e3t u(t) 2
X
17
系统框图 d d 2r t(2 t) 4d d r(tt) 3 r(t)d d e(tt)2 e(t)
第 页
d2rt
drt
et
2 dt2 dt
rt
4
两个加法器
d dt
3
d2rt
drt
et
2 dt2
dt
rt
d
子系统交换 dt
d2rˆt
第
页
求下图RC电路的冲激响应。（条件：vC00）
R
iC (t)
列系统微分方程：
RC dvdCt(t)vC(t)(t)
(t)
C
vC (t)
t0,t0
RCdvdCt(t)vC(t)0 齐次方程
冲激 t在 t时转0 为系统的储能（由 体vC现(0） )，
信号与系统冲激响应和阶跃响应
r t
t2
t
t
a t a t
b
bu
t t
c
u
t
rt aut
h 0 1 ,h '0 2
代入h(t),得
hh'00A A113AA2212
h(t)1ete3t u(t)
A A121212
2
X
12
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数 页
h ( t ) A 1 e t A 2 e 3 tu ( t )
RC (t)A (t)
1 RCA1 A
RC
X
波形
htvC(t)R 1C eR 1C tu(t)
vC (t) h(t) 1 RC
iC(t)
CdvC(t) dt
O
注意！
iC (t)
R12CeR1Ctu(t)
1 (t)
R
1
O R
电容器的电流在
t =0时有一冲激， 这就是电容电压突
1 R 2C
变的原因 。
•当nm时 ， ht中 应 包 t含 ；
•当nm时 ， ht应 包含 t及 其 各 阶 导 数 。 X
10
第
例2-5-2 页
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d d e 激(tt响) 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
CtR1CeR1Ctut
X
6
方法2：奇异函数项相平衡原理
第 页
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
RC dvdCt(t)vC(t)(t) t vC(t)Ae RCu(t)
1-2阶跃信号和冲激信号
函数， 则按广义函数定义和δ函数的筛选性质， 有
[ f (t) (t)](t)dt
(t)[ f (t)(t)] f (0)(0)
f (0) (t)(t)dt [ f (0) (t)](t)dt
根据广义函数相等的定义，得到
信号与系统 signals and systems
第1章 信号与系统的基本概念
1.0 信号与系统 1.1 信号的描述和分类 1.2 信号的基本特性 1.3 信号的基本运算 1.4 阶跃信号和冲激信号 1.5 系统的描述 1.6 系统的特性和分类 1.7 信号与系统的分析方法
山东科技大学 信息学院
信号与系统 signals and systems
山东科技大学 信息学院
信号与系统 signals and systems 表 1.1 广义函数与普通函数的对应关系
广义函数的基本运算： （1）相等
若 Ng1[(t)] Ng2[(t)] , 则定义 g1(t) g2 (t)
山东科技大学 信息学院
信号与系统 signals and systems （2）相加
性质1 δ函数的微分和积分
1.微分
(t)(t)dt (0)
Ng(n)
[(t)]
(t )
N g [(1)n ( n)
(t)]
单位冲激偶
(′t) (1 )
'(t)(t)dt
o
t
(1) (t) '(t)dt '(0)
(－ 1)
1.4 阶跃信号和冲激信号
1.4.1 连续时间阶跃信号
冲激信号与阶跃信号的关系
冲激信号与阶跃信号的关系冲激信号和阶跃信号，听起来挺高大上的对吧？它们就像是信号世界里的两位好朋友，各有各的性格，却又紧密相连，常常一起出现在我们的生活中。
想象一下，冲激信号就像是一声响亮的“啪”，一下子把你从梦中惊醒；而阶跃信号呢，就像是早晨的第一缕阳光，温柔而坚定地照亮了整个房间。
这两个小家伙，一个是瞬间爆发，另一个则是稳稳地上升，形态各异，却又在信号处理中扮演着不可或缺的角色。
冲激信号，顾名思义，那个瞬间的能量释放，真的是快得让人瞠目结舌。
一眨眼，咔嚓一下，瞬间的信号就出现了，仿佛是在说：“嘿！我来了！”想想我们生活中的声音，比如鼓声，砰的一下，那可真是冲激信号的完美体现。
它就像是你小伙伴突如其来的恶作剧，瞬间打破了宁静，令人惊喜又尴尬。
冲激信号的特性是能量集中在一个极短的时间内，这种快速的变化，在信号处理中可是很有用的。
处理系统就像个敏感的侦探，能快速捕捉到这个信号的出现。
阶跃信号就像个温暖的大叔，慢慢地、稳稳地向你走来。
它不像冲激信号那么突然，而是逐步上升，就像是气温在春天一点点升高，让人感觉无比舒适。
你看，阶跃信号一出现，就开始逐渐增大，直至达到一个稳定的状态。
就像人生中的一个重要决定，开始总是有点犹豫，慢慢地才变得坚定。
信号处理中的阶跃响应，可以帮助我们理解系统对这种渐进变化的反应，简直就是一部活生生的“成长纪录片”。
冲激信号和阶跃信号之间的关系就像亲兄弟。
冲激信号可以看作是阶跃信号的“导火索”。
冲激信号一出现，阶跃信号就随之而来，就像是火花点燃了烟花，瞬间绽放，带来视觉与听觉的盛宴。
想象一下，若是在学校的操场上，老师一声令下，孩子们都像小鸟一样飞奔出去，这一瞬间就是冲激信号的感觉，而当孩子们欢笑着聚在一起，形成一片欢乐的海洋，那就是阶跃信号的表现了。
一个是瞬间的爆发，一个是持续的增长，两者相辅相成，缺一不可。
而且在实际应用中，这两者的结合更是如虎添翼。
工程师们常常利用这两种信号来测试系统的性能，看看在面对冲激信号时，系统如何快速反应，而当系统稳定下来后，又是如何应对阶跃信号的。
信号与系统第一章第二节
例子
0 (当t 2 ) 1 vc (t ) (t ) (当 t ) 2 2 2 1 (当t ) 2 电流ic(t)为
：
从物理方面理解函数的意义。电路图如下： 电压源vc(t)接向电容元件Ｃ，假定vc(t)是斜变信号。
vc (t )
ic (t )
c
vc (t )
ic (t )
dvc (t ) ic (t ) c dt c [u (t ) u (t )] 2 2
1
1 2
c
2
0 2
t
0 2
t 0 2
t
如果0的极限情况，则vc(t)成为阶跃信号，它的微分— —电流ic(t)是冲激函数其表达式为： vc (t ) u (t ) v (t )
信号与系统
孔艳岩
495239861
1.4 阶跃信号和冲激信号 1.单位斜变信号
斜变信号也称斜升信号。 它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。 如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。
(1)单位斜变信号
f (t )
如果将起始点移至t0,则可写成
0 t 0 f (t ) t t 0
1
0
1
t
与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或 规定sgn(0)=0. 显然，阶跃信号来表示符号函数
sgn( t ) 2u (t ) 1
2、阶跃函数的性质：
（1）可以方便地表示某些信号
f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
信号和系统常用信号介绍
x(t)dt 2
Ae
(
t
)
2
dt
2A
A
0
2
二、离散时间信号：
1、单位样值序列： (n)
函数式：
(n)
1 0
n0 n0
波形图：
(n)
1
0
n
位移：
1 (n n0 ) 0
n n0 n n0
(n n0)
1
0 n0
n
• 抽样性：
设有序列x(n) ，则有
x(n)
1 2 0
12 3 4 5
n
x(t)
1
x(t)
1
x(t)
(1)
0
x(t)
x(t)
1
1
t
2
2
t
0
t
x(t)
1
x(t)
1
t
22
t
0
t
单位冲激信号在信号与系统的理 论中，是一个重要的基本信号，与 t 运动学中的质点、电学中的点电荷 一样，是一个理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的模型。
•单位冲激信号的性质： ⑴ 抽样性（筛选性）：
设x(t)在t=0与t0处连续，
• 欧拉公式：
cos t 1 (e jt e jt ) 2
e jt cos t j sin t
sin t 1 (e jt e jt ) 2j
e jt cos t j sin t
正余弦信号是我们熟悉的常用基本信号，它有很好的特 性，与指数信号类似，它们的导数和积分依然是正余弦信 号，在正弦交流电路分析中我们知道，角频率为Ω的正弦 信号作用于电路，其输出还是角频率为Ω的正弦信号。
称为它们的初相位，Ω是它们的角频率。
信号与系统冲激响应和阶跃响应
对系统的微分方程进行拉普拉斯变换
01
将时域中的微分方程转换为复平面上的代数方程。
求解代数方程
02 根据复平面上的代数方程，求解系统的输出响应的拉
普拉斯变换式。
对输出响应的拉普拉斯变换式进行反变换
03
将复平面上的输出响应的拉普拉斯变换式反变换回时
域，得到系统的阶跃响应。
频域分析法求解阶跃响应
确定系统的频率响应函数
02 冲激响应与阶跃响应概述
冲激函数定义及性质
定义
冲激函数是一种特殊的信号，它在某一时刻取值为无穷大，而在其他时刻取值 为零。
性质
冲激函数具有筛选性、可加性、奇偶性等性质，其中筛选性是指冲激函数与任 何函数相乘的结果都等于该函数在冲激时刻的值。
阶跃函数定义及性质
定义
阶跃函数是一种在某一时刻发生跳变的信号，它的取值在跳变前为0，跳变后为1 （或其他常数）。
卷积积分法求解冲激响应
确定系统单位冲激响应。
利用卷积积分公式，将输入信号与系统单位冲激响应进 行卷积运算。
将输入信号表示为冲激函数的线性组合。
对卷积结果进行积分，得到系统的零状态响应，即为冲 激响应。
04 离散时间系统冲激响应分 析
差分方程求解方法
迭代法
通过逐步代入差分方程，求解系统的冲激响应。
区别
冲激响应描述的是系统在极短时间内对输入信号的响应，而阶跃响应描述的是系统在长时间内对输入信号的响应。 此外，冲激响应可以通过卷积运算得到系统的零状态响应，而阶跃响应则可以通过对冲激响应进行积分得到。
03 连续时间系统冲激响应分 析
微分方程求解方法
经典法
01
通过求解系统微分方程的通解，并根据初始条件确定特解，从
冲激信号和阶跃信号的关系
冲激信号和阶跃信号的关系嘿，咱今天就来讲讲冲激信号和阶跃信号的关系。
你看啊，冲激信号就像是个急性子，“啪”的一下就出现了，瞬间爆发，然后又忽地没了。
它可真是够干脆利落的！而阶跃信号呢，就像是个慢性子，慢慢地、稳稳地就上来了，然后就待在那了。
可以说冲激信号是那个在关键时刻给你一下子刺激的家伙，而阶跃信号则像是给你一个比较持久的推动。
就好像你在走路，冲激信号就是突然有人在你背后推了你一把，让你猛地往前一蹿；而阶跃信号呢，就像是有个缓坡，让你慢慢地、持续地往上走。
它们俩的关系啊，那可真是挺有趣的。
冲激信号常常能引发阶跃信号的变化呢，就好像是它给阶跃信号打了一针兴奋剂。
阶跃信号呢，也会因为冲激信号的出现而有不同的表现。
比如说，在一个系统里，本来阶跃信号好好地在那工作着，突然来了个冲激信号，哇，整个系统可能就会有一番新的变化。
就像平静的湖面突然丢进去一块石头，会激起层层涟漪一样。
有时候我就想啊，这冲激信号和阶跃信号就像是一对欢喜冤家，虽然性格不同，但又相互影响，共同在信号的世界里闯荡。
哎呀，说了这么多，总结起来就是，冲激信号和阶跃信号它们相互关联、相互作用，共同构成了我们丰富多彩的信号世界。
没有它们，那可真是少了很多乐趣和奇妙呢！
怎么样，是不是对冲激信号和阶跃信号的关系有了更清楚的认识啦？哈哈，这就是它们的故事，有趣又特别呢！就像我们生活中的各种关系一样，相互交织，共同演绎着精彩的篇章。
下次再看到它们，可别忘了它们之间的这些小趣事哦！。
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
t t t t g ( t ) Ae u ( t ) e u ( t ) Ae e u(t ) 将
代入
d g (t ) g (t ) (t ) 2e t u (t ) dt
得
( A 1) (t ) ( Aet et )u(t ) ( Aet et )u(t ) (t ) 2et u(t )
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
信号与系统
小
冲激响应的定义 •零状态；
结
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ( t )，看 响应 h( t )，h( t )不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 （1）系统的在 x(t ) 激励下的零状态响应为 yzs (t ) x(t )* h(t ) （2）LTI系统因果性的充要条件可表示为 当
信号与系统
二．阶跃响应
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
u (t ) ( ) d
t
t
d (t ) u (t ) dt
dg (t ) h(t ) = dt
g (t ) h( ) d
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限
t
阶跃信号和冲激信号的关系
阶跃信号和冲激信号的关系阶跃信号和冲激信号是信号处理中常见的两种信号类型，它们在信号处理中有着重要的作用。
本文将从阶跃信号和冲激信号的定义、特点、应用等方面进行探讨，以期更好地理解它们之间的关系。
一、阶跃信号的定义和特点阶跃信号是一种在某一时刻突然发生跃变的信号，通常用符号u(t)表示。
它的定义如下：$$u(t)=\begin{cases}0, & t<0 \\1, & t\geq 0\end{cases}$$从定义可以看出，阶跃信号在t=0时发生了跃变，从0突然变为1。
阶跃信号的特点是在跃变点之前信号值为0，在跃变点之后信号值为1，且信号值不会再发生变化。
二、冲激信号的定义和特点冲激信号是一种在极短时间内突然出现并迅速消失的信号，通常用符号δ(t)表示。
它的定义如下：$$\delta(t)=\begin{cases}0, & t\neq 0 \\\infty, & t=0\end{cases}$$从定义可以看出，冲激信号在t=0时出现，信号值为无穷大，但在t=0以外的时间信号值为0。
冲激信号的特点是在t=0时出现，信号值瞬间达到无穷大，但在t=0以外的时间信号值为0。
阶跃信号和冲激信号之间存在着密切的关系。
事实上，阶跃信号可以看作是冲激信号的积分，而冲激信号可以看作是阶跃信号的导数。
1. 阶跃信号是冲激信号的积分根据阶跃信号的定义，可以将其表示为：$$u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau$$这个式子的意思是，阶跃信号u(t)可以看作是从负无穷到t时刻的冲激信号δ(τ)的积分。
因此，阶跃信号可以看作是冲激信号的积分。
2. 冲激信号是阶跃信号的导数根据冲激信号的定义，可以将其表示为：$$\delta(t)=\frac{d}{dt}u(t)$$这个式子的意思是，冲激信号δ(t)可以看作是阶跃信号u(t)的导数。
因此，冲激信号可以看作是阶跃信号的导数。
§1.5阶跃信号与冲激信号
4
sin( t )
t1 4
sin
4
2 2
e 3 2t (t 2k)dt e 3 2t (t) (t 2) dt
0
k
0
e2t e2t 1 e4
t0
t2
信号与系统
三．单位冲激信号
例：利用冲激函数的性质求下列积分
(t) f (t)
(t) f '(t)dt
f '(0)
' (t)
0
t
冲激偶信号
信号与系统
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t) (t) f (0) (t)
（5）冲激偶
(t) (t)
f (t) (t) d t f (0)
信号与系统
§1.5 阶跃信号与冲激信号
信号与系统
一．单位斜变信号
单位斜变信号的定义为
Ramp(t
Байду номын сангаас
)
0 t
(t 0) (t 0)
顶部截平的斜变信号
0
R(t)
K
t
K
(t 0)
(t ) (t )
Ramp (t ) 1
0
1
t
单位斜变信号
R(t) K
1
u
(t
t0
)
0 1
t t0 t t0
0
t0
t
延时的阶跃信号
信号与系统
二.单位阶跃信号
门函数的定义
sin( t )
t1 4
sin
4
2 2
e 3 2t (t 2k)dt e 3 2t (t) (t 2) dt
0
k
0
e2t e2t 1 e4
t0
t2
信号与系统
三．单位冲激信号
例：利用冲激函数的性质求下列积分
(t) f (t)
(t) f '(t)dt
f '(0)
' (t)
0
t
冲激偶信号
信号与系统
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t) (t) f (0) (t)
（5）冲激偶
(t) (t)
f (t) (t) d t f (0)
信号与系统
§1.5 阶跃信号与冲激信号
信号与系统
一．单位斜变信号
单位斜变信号的定义为
Ramp(t
Байду номын сангаас
)
0 t
(t 0) (t 0)
顶部截平的斜变信号
0
R(t)
K
t
K
(t 0)
(t ) (t )
Ramp (t ) 1
0
1
t
单位斜变信号
R(t) K
1
u
(t
t0
)
0 1
t t0 t t0
0
t0
t
延时的阶跃信号
信号与系统
二.单位阶跃信号
门函数的定义
信号与系统阶跃信号和冲激信号
： ( k )
( k ) t f t d t 1 f 0 k
② 平均面积
和连续函数的乘积 ④ f ， t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t
0 u ( t t ) 0 1
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
无穷 t 0 ★ 幅度 0 t 0
物理意义：闪电， 瞬间放电
描述（公式或图形表达）
1 ( t ) lim p ( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t)
1 sgn( t) 1 t 0 t 0
O
2
2
sgn t
1
O
t
-1
1 sgn( t ) u ( t ) u ( t ) 2 u ( t ) 1 u ( t) [sgn( t) 1 ] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
( k ) t f t d t 1 f 0 k
② 平均面积
和连续函数的乘积 ④ f ， t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t
0 u ( t t ) 0 1
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
无穷 t 0 ★ 幅度 0 t 0
物理意义：闪电， 瞬间放电
描述（公式或图形表达）
1 ( t ) lim p ( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t)
1 sgn( t) 1 t 0 t 0
O
2
2
sgn t
1
O
t
-1
1 sgn( t ) u ( t ) u ( t ) 2 u ( t ) 1 u ( t) [sgn( t) 1 ] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
n
i
①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根） h(t )
nm
h(t ) 包含 (t ) 及其各阶导数，最阶次为m - n
i 1
mn n i t h(t ) Ci e u(t ) Dk k (t ) k 0 i 1 4.求法:直接代入确定待定系数
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
可计算得 A 0 ，即 则冲激响应为 h(t ) 由 可得
g (t ) et u(t )
d g (t ) (t ) e t u (t ) dt
y1 (t ) 2et u(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) g (t ) yzi (t ) y1 (t ) g (t ) 2et u(t ) et u(t ) et u(t )
信号与系统
一．冲激响应
d 2r (t ) dr ( t ) de( t ) 例: 系统微分方程为 4 3r ( t ) 2e( t ) 2 dt dt dt
试求其冲激响应。
解： n=2，m=1 所以h(t)中不包含 (t)。
特征方程为： 2
4 3 0
1 1, 2 3
d 2 h(t ) t 3t t 3t ( k k ) ( t ) ( k e 3 k e ) ( t ) ( k e 9 k e )u (t ) 1 2 1 2 1 2 2 dt
i
①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根） h(t )
nm
h(t ) 包含 (t ) 及其各阶导数，最阶次为m - n
i 1
mn n i t h(t ) Ci e u(t ) Dk k (t ) k 0 i 1 4.求法:直接代入确定待定系数
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
可计算得 A 0 ，即 则冲激响应为 h(t ) 由 可得
g (t ) et u(t )
d g (t ) (t ) e t u (t ) dt
y1 (t ) 2et u(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) g (t ) yzi (t ) y1 (t ) g (t ) 2et u(t ) et u(t ) et u(t )
信号与系统
一．冲激响应
d 2r (t ) dr ( t ) de( t ) 例: 系统微分方程为 4 3r ( t ) 2e( t ) 2 dt dt dt
试求其冲激响应。
解： n=2，m=1 所以h(t)中不包含 (t)。
特征方程为： 2
4 3 0
1 1, 2 3
d 2 h(t ) t 3t t 3t ( k k ) ( t ) ( k e 3 k e ) ( t ) ( k e 9 k e )u (t ) 1 2 1 2 1 2 2 dt
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O
2
2
sgnt
1
1 sgn( t ) 1
t 0 t0
O
t
-1
X
sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1 u( t ) 1 [sgn( t ) 1] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
O
斜率为单位1
1
R(t )
45度角
1
t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
R( t t 0 )
1
O
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t 0 3．锯齿（单边三角形）单脉冲
K R( t ) f (t ) 0 0 t 其它
X
定义1：狄拉克δ(t)函数 (Dirac)
( t ) d t 1 ( t ) 0 t 0
(t ) d t (t ) d t
0 0
函数值只在t = 0时不为零，其他为0； 积分总面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
( t ) f ( t )dt
f (t ) (t )
f (t ) (t )dt
f ( 0)
X
3.冲激偶（冲激的导数）
s(t )
1
(t )
s(t )
1
t
t
0
成为
t
(t )
求导关系
3个特征
X
定义2
（极限法定义）
1
p(t )
1 p( t ) u t u t 2 2
0
则窄脉冲集中于 t=0 处。
2
O
2
t
面积1； 当脉宽τ↓； 脉冲高度↑；
★面积保持为=1
三个特点： ★宽度为→0
（与 f ( t ) ( t ) f 0 t 不同）
X
4. 对(t)的标度变换（scale尺度）
1 at t a
另外：冲激偶的标度变换
1 1 at t a a
(k )
1 1 (k ) at k t a a
t0
f (t )
t0 1 t
K
O
任意斜角
t
X
二．单位阶跃信号u(t)
任意幅度呢？
1. 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t 0 2
1
u(t )
O
u( t t 0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1
X
四.总结： R(t)，u(t)，(t) 之间的关系
R(t ) 1
O
45° u(t )
1 t 1
O
(t )
(1)
t
O
t
求导
R(t) ↓ ↑ u(t) ↓ ↑ (t)
(-<t< ) 积分
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）卷积性质 f t t f t （6）冲激偶
2
1
2
O 1 2 1
O
t
2
X
冲激偶δ’(t)的性质
①
(t ) f (t ) d t f (0)
结合时移，则：
对 t 的k阶导数：
② 平均面积
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )
( k ) t f t d t 1 f ( k ) 0
t t0 0 1 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1 由宗量 t t 0 可知 t t , 即时 t0 O 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
t0 u( t t 0 )
t
强度值1
(1)
时移的单位冲激函数
(1)
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 取0极限下，都可以进化成单位冲激信号。
意义： 瞬间脉冲
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处 理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。 但由于 t 是一个广义函数，它还有一些特殊的性质。
t
X
3．用单位阶跃信号u(t)描述其它信号
门函数：也称窗函数(宽为τ)
f t u t u t G ( t ) 2 2
1 f t G τ t t
其他函数只要被门函数处理(即乘以 门函数)，就只留下该门内的部分。 符号函数：(Signum)
1．抽样性 2．奇偶性 3．冲激偶 4．标度变换
X
1.
抽样性(筛选性)
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
t0处f(t0)的函数值 如果某信号f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
f (t )
(t ) f (t ) d t f (0)
f ( 0)
o
t
f (t ) (t ) d t f (0)
( t ) ( t ) 奇函数
（2）奇偶性：偶 ( t ) (t )
( t ) d t 0
(t ) d t (t ) （3）比例性 1 (at ) t f (t ) (t ) d t f (0) a f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t ) （4）微积分性质 d u( t ) t (t ) ( ) d u(t ) X dt
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
物理意义：闪电， 瞬间放电
X
描述（公式或图形表达）
1 ( t ) lim p( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t )
(t t0 )
t
k
(t ) d t 0 , 单边面积 (t ) d t t
t
③ ( t ) ( t ) , (t0 t ) (t t0 ) 所以 (t )是奇函数 ④ f t ( t ) f 0 ( t ) f (0) t ，和连续函数的乘积
对于移位情况：
(t t 0 ) f (t ) f (t0 ) (t t 0 )
冲激抽样信号的表达式 筛出了t0点的函数值
X
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
2. 奇偶性
(t ) ( t )
在t=0处偶 对称
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其 导数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称 为奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
X
一．单位斜变信号R(t)
1． 定义
0 R( t ) t t0 t0