信号与系统阶跃信号和冲激信号

f (t ) (t ) d t f (0)
( t ) ( t ) 奇函数
（2）奇偶性：偶 ( t ) (t )



( t ) d t 0
(t ) d t (t ) （3）比例性 1 (at ) t f (t ) (t ) d t f (0) a f (t ) (t ) f (0) (t ) f (0) (t ) （4）微积分性质 d u( t ) t (t ) ( ) d u(t ) X dt
对于移位情况：
(t t 0 ) f (t ) f (t0 ) (t t 0 )

冲激抽样信号的表达式 筛出了t0点的函数值
X


(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
2. 奇偶性
(t ) ( t )
在t=0处偶 对称
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算
3个特征
X
定义2
（极限法定义）
1
p(t )
1 p( t ) u t u t 2 2

0
则窄脉冲集中于 t=0 处。


2
O

2
t
面积1； 当脉宽τ↓； 脉冲高度↑；
★面积保持为=1
三个特点： ★宽度为→0



( t ) f ( t )dt

f (t ) (t )



f (t ) (t )dt
f ( 0)
X
3.冲激偶（冲激的导数）
s(t )
1
(t )

1
成为
(1)
O
o
求导
s(t )
1

t
t
0
成为

t
(t )
求导关系
k




(t ) d t 0 , 单边面积 (t ) d t t
t
③ ( t ) ( t ) , (t0 t ) (t t0 ) 所以 (t )是奇函数 ④ f t ( t ) f 0 ( t ) f (0) t ，和连续函数的乘积
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其 导数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称 为奇异信号或奇异函数。 主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
X
一．单位斜变信号R(t)
1． 定义
0 R( t ) t t0 t0
t
（与 f ( t ) ( t ) f 0 t 不同）
X
4. 对(t)的标度变换（scale尺度）
1 at t a
另外：冲激偶的标度变换
1 1 at t a a

(k )
1 1 (k ) at k t a a
t0
f (t )
t0 1 t
K
O
任意斜角

t
X
二．单位阶跃信号u(t)
任意幅度呢？
1. 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t 0 2
1
u(t )
O
u( t t 0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t t0 0 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
物理意义：闪电， 瞬间放电
X
描述（公式或图形表达）
1 ( t ) lim p( t ) lim u t u t 0 0 2 2
(t )

(t t0 )
O
斜率为单位1
1
R(t )
45度角
1
t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
R( t t 0 )
1
O
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t 0 3．锯齿（单边三角形）单脉冲
K R( t ) f (t ) 0 0 t 其它
t
X
3．用单位阶跃信号u(t)描述其它信号
门函数：也称窗函数(宽为τ)
f t u t u t G ( t ) 2 2
1 f t G τ t t
其他函数只要被门函数处理(即乘以 门函数)，就只留下该门内的部分。 符号函数：(Signum)
强度值1
(1)
时移的单位冲激函数

(1)
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 取0极限下，都可以进化成单位冲激信号。
意义： 瞬间脉冲
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处 理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。 但由于 t 是一个广义函数，它还有一些特殊的性质。
X
四.总结： R(t)，u(t)，(t) 之间的关系
R(t ) 1
O
45° u(t )
1 t 1
O
(t )

(1)
t
O
t
求导
R(t) ↓ ↑ u(t) ↓ ↑ (t)
(-<t< ) 积分
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）卷积性质 f t t f t （6）冲激偶
X
定义1：狄拉克δ(t)函数 (Dirac)
( t ) d t 1 ( t ) 0 t 0



(t ) d t (t ) d t
0 0
函数值只在t = 0时不为零，其他为0； 积分总面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
1．抽样性 2．奇偶性 3．冲激偶 4．标度变换
X
1.
抽样性(筛选性)
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
t0处f(t0)的函数值 如果某信号f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
f (t )



(t ) f (t ) d t f (0)
f ( 0)

o
t

O
2

2
sgnt
1
1 sgn( t ) 1
t 0 t0
O
t
-1
X
sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1 u( t ) 1 [sgn( t ) 1] 2
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
2
1
2
O 1 2 1
O
t

2
X
冲激偶δ’(t)的性质
①



பைடு நூலகம்
(t ) f (t ) d t f (0)
结合时移，则：
对 t 的k阶导数：
② 平均面积



(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )

( k ) t f t d t 1 f ( k ) 0
t t0 0 1 u( t t 0 ) , t0 0 t t0 1 由宗量 t t 0 可知 t t , 即时 t0 O 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
t0 u( t t 0 )
t