圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)
圆锥曲线的轨迹方程问题(教师版)
圆锥曲线的轨迹方程问题1.抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，△OFP 的面积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且OA ⋅OB =-4，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.【答案】(1)y 2=4x ;(2)x 2+y 2-2x =0x ≠0【解析】(1)当PF 与x 轴垂直时，P p 2,p ，故S △OFP =12×p 2×p =1，故p =2，故抛物线的方程为：y 2=4x .(2)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB :x =ty +m ，因为OA ⋅OB =-4，故y 21y 2216+y 1y 2=-4，整理得到：y 21y 22+16y 1y 2+64=0，故y 1y 2=-8.由x =ty +my 2=4x可得y 2-4ty -4m =0，故-4m =-8即m =2，故直线AB :x =ty +2，此直线过定点M 2,0 .因为OG ⊥GM ，故G 的轨迹为以OM 为直径的圆，其方程为：x -0 x -2 +y -0 y -0 =0即x 2+y 2-2x =0.因为直线AB :x =ty +2与x 轴不重合，故G 不为原点，故G 的轨迹方程为：x 2+y 2-2x =0x ≠0 .2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率e =233，且经过点P 3,1 .(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 在C 上，PA ⊥PB ，过P 点向AB 引垂线，垂足为M ，求M 点的轨迹方程.【答案】(1)x 26-y 22=1;(2)x -92 2+y +122=92(去掉点P )【解析】(1)∵双曲线的离心率e =c a =233，∴c 2=43a 2=a 2+b 2，即a 2=3b 2，将P 3,1 代入C :x 23b 2-y 2b 2=1，即93b 2-1b2=1，解得b 2=2，a 2=6，故双曲线C 的方程为x 26-y 22=1；(2)当直线AB 斜率不存在时，不满足PA ⊥PB ，故不满足题意；当直线AB 斜率存在时，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB :y =kx +m ，代入双曲线方程整理得：3k 2-1 x 2+6kmx +3m 2+6 =0.Δ>0，则x 1+x 2=-6km 3k 2-1，x 1x 2=3m 2+63k 2-1，∵PA ⊥PB ，∴x 1-3 x 2-3 +y 1-1 y 2-1 =0，即x 1-3 x 2-3 +kx 1+m -1 kx 2+m -1 =0，整理得18k 2+9km +m 2+m -2=0，即3k +m -1 6k +m +2 =0，当3k +m -1=0时，AB 过P 点，不符合题意，故6k +m +2=0，直线AB 化为y +2=k x -6 ，AB 恒过定点Q 6,-2 ，∴M 在以PQ 为直径的圆上且不含P 点，即M 的轨迹方程为x -92 2+y +12 2=92(去掉点P ).3.已知抛物线C :y =x 2，过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点，以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32，求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【答案】(1)x -y +1=0；(2)2x -y -2=0【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在，故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2， 可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3，解得k =1，故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0)，对于抛物线y =x 2，y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1)，点P 在该切线上，故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1)，即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根，所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2，于是x 0=k2，y 0=k -2，消k 得y 0=2x 0-2，于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0，点P 的轨迹是一条直线.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线x -2y =0上且在第一象限内，圆C在直线y =x 上截得的弦长为214.(1)求圆C 的方程；(2)已知线段MN 的端点M 的横坐标为-4，端点N 在(1)中的圆C 上运动，线段MN 与y 轴垂直，求线段MN 的中点H 的轨迹方程.【答案】(1)x -4 2+y -2 2=16;(2)4x 2+y -2 2=16【解析】(1)依题意，设所求圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2a >0 .所以圆心a ,b 到直线x -y =0d =a -b2，则有d 2+14 2=r 2，即a -b 2+28=2r 2.①由于圆C 与y 轴相切，所以r 2=a 2.②又因为圆C 的圆心在直线x -2y =0上，所以a -2b =0.③联立①②③，解得a =4,b =2,r =4，故所求圆C 的方程为x -4 2+y -2 2=16.(2)设点H 的坐标为x ,y ，点N 的坐标为x 0,y 0 ，点M 的坐标为-4,y ，因为H 是线段MN 的中点，所以x =x 0-42，y =y 0，于是有x 0=2x +4，y 0=y .①因为点N 在第(1)问中圆C 上运动，所以点N 满足x 0-4 2+y 0-2 2=16.②把①代入②，得2x +4-4 2+y -2 2=16，整理，得4x 2+y -2 2=16.此即为所求点H 的轨迹方程.5.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴ x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45，∴k1=k AP=-45-0-65+2=-1,k2=k AS=-45-065+2=-14，∴k1=4k2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：x=my-6 5,，由x=my-65,与x24+y2=1联立可得(m2+4)y2-12m5y-6425=0，其中Δ=144m225+4×(m2+4)×6425>0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则S(-x2,-y2)，则y1+y2=12m5m2+4,y1y2=-6425m2+4，∴k1=k AP=y1-0x1+2=y1x1+2,k2=k AS=-y2-0-x2+2=y2x2-2,则k1k2=y1x1+2⋅x2-2y2=y1my2-165my1+45y2=my1y2-165y1my1y2+45(y1+y2)-45y1=-6425m2+4-165y1-6425mm2+4+45⋅125mm2+4-45y1=-6425m2+4-165y1-1625m2+4-45y1=4，∴k1=4k2.6.已知点E(2,0)，F22,0，点A满足|AE|=2|AF|，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1交于M，N两点，且∠MON=π2(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围.【答案】(1)x2+y2=1；(2)655-1,655+1.【解析】(1)设A(x,y)，因为|AE|=2|AF|，所以(x-2)2+(y-0)2=2×x-2 22+(y-0)2，平方化简，得x2+y2=1；(2)直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1的方程联立，得y=kx+mx2 4-y29=1⇒(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，所以有4k2-9≠0(8km)2-4⋅(4k2-9)(4m2+36)>0⇒m2+9>4k2且k≠±32，所以x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9，因为∠MON =π2，所以OM ⊥ON⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，化简，得(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，把x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9代入，得(k 2+1)⋅4m 2+364k 2-9+km ⋅-8km 4k 2-9 +m 2=0，化简，得m 2=36(k 2+1)5，因为m 2+9>4k 2且k ≠±32，所以有36(k 2+1)5+9>4k 2且k ≠±32，解得k ≠±32，圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆心(0,0)到直线l :y =kx +m 的距离为d =mk 2+1=65k 2+1k 2+1=655>1，所以点A 到直线距离的最大值为655+1，最小值为655-1，所以点A 到直线距离的取值范围为655-1,655+1 ，7.在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为-2,0 ，2,0 ，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m 使得OA +3OB =4OM，求m 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1x ≠±2 ;(2)-1,-12 ∪12,1 【解析】(1)设P x ,y ，则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ，所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ，由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ，x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0，即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0，且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1，又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1，则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1，∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0，∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m2+1-m 2>0，14<m 2<1，解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 8.如图，设点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为-23.(1)求P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积.【答案】(1)x 23+y 22=1x ≠±3 ;(2)62【解析】(1)由已知设点P 的坐标为x ,y ，由题意知k AP ⋅k BP =y x +3⋅y x -3=-23x ≠±3 ，化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1x ≠±3(2)证明：由题意M 、N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，则直线AP ,BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP ⋅k BP =-23.因为AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，所以k OM k ON =-23设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得3+2m 2 y 2+4mty +2t 2-6=0....①，设M ,N 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4mt 3+2m 2,y 1y 2=2t 2-63+2m 2又k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=y 1y 2m 2y 1y 2+mt y 1+y 2 +t 2=2t 2-63t 2-6m 2，所以2t 2-63t 2-6m2=-23，得2t 2=2m 2+3又S △MON =12t y 1-y 2 =12t -24t 2+48m 2+723+2m 2，所以S △MON =26t t 24t 2=62，即△MON 的面积为定值62.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．10.已知圆C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(2，3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件PM =PO 的点P 的轨迹方程.【答案】(1)x =2或3x -4y +6=0；(2)2x +2y -1=0.【解析】(1)把圆C 的方程化为标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1，∴圆心为C (1，1)，半径r =1.当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x =2，C 到l 的距离d =1=r ，满足条件.当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y -3=k (x -2)，即kx -y +3-2k =0，则k -1+3-2k1+k 2=1，解得k =34.∴l 的方程为y -3=34(x -2)，即3x -4y +6=0.综上，满足条件的切线l 的方程为x =2或3x -4y +6=0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2=|PC |2-|MC |2=(x -1)2+(y -1)2-1，|PO |2=x 2+y 2，∵|PM |=|PO |.∴(x -1)2+(y -1)2-1=x 2+y 2，整理，得2x +2y -1=0，∴点P 的轨迹方程为2x +2y -1=0.11.已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ .(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析；(2)y 2=x -1.【解析】(1)由题意可知F 12,0 ，设l 1：y =a ，l 2：y =b 且ab ≠0，A a 22,a ，B b 22,b ，P -12,a ，Q -12,b ，R -12,a +b 2 ，直线AB 方程为2x -(a +b )y +ab =0，∵点F 在线段AB 上，∴ab +1=0，记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2，∴k 1=a -b 1+a 2，k 2=b-12-12=-b ，又∵ab +1=0，∴k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b =k 2，∴AR ∥FQ ；(2)设l 1：y =a ，l 2：y =b ，A a 22,a ，B b 22,b ，设直线AB 与x 轴的交点为D x 1,0 ，∴S △ABF =12a -b FD =12a -b x 1-12，又S△PQF=a-b2，∴由题意可得S△PQF=2S△ABF，即a-b2=2×12·a-b⋅x1-12，解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)，则x=a2+b24y=a+b2，当AB与x轴不垂直时，由k AB=k DE可得a-ba22-b22=yx-1，即2a+b=yx-1(x≠1)，∴y2=x-1x≠1.当AB与x轴垂直时，E与D重合，也满足y2=x-1.∴AB中点的轨迹方程为y2=x-1.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为5，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(不同于A，B两点)，且直线BM ⊥BN时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】(1)x24+y2=1，离心率为32;(2)x-322+y+3102=2125【解析】(1)由题意可得：2a=4，a2+b2=5，a2=b2+c2，可得a=2，c=3，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1，离心率为e=ca=32．(2)当直线斜率存在时，可设l:y=kx+m代入椭圆方程x24+y2=1，得：4k2+1x2+8kmx+4m2-1=0．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1．因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为-1，所以k BM ⋅k BN =-1，所以k BM ⋅k BN =k 2x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2x 1x 2=-1．将x 1+x 2=-8km 4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1代入，整理化简得：m -1 5m +3 =0，所以m =1或m =-35．由直线l :y =kx +m ，当m =1时，直线l 经过0,1 ，与B 点重合，舍去，当m =-35时，直线l 经过定点E 0,-35，当直线斜率不存在时，可设l :x =t ，则M t ,1-t 24 ，N t ,-1-t 24，因为k BM ⋅k BN =-1，所以1-t 24-1t ×-1-t 24+1t=-1，解得t =0，舍去．综上所述，直线l 经过定点E 0,-35，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，其E 0,-35 ，F 3,0 ，所以圆心32,-310 ，半径r =215，所以圆的方程为x -32 2+y +310 2=2125，即为点H 的轨迹方程．13.在平面直角坐标系xOy 中，A (-3,0)，B (3,0)，C 是满足∠ACB =π3的一个动点．(1)求△ABC 垂心H 的轨迹方程；(2)记△ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y =kx +m (km ≠0)与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2x 2+y 2=1交于P ，Q 两点，且|DE |=2|PQ |，求证：|k |>2．【答案】(1)x 2+(y +1)2=4(y ≠-2)；(2)证明见解析．【解析】设△ABC 的外心为O 1，半径为R ，则有R =AB 2sin ∠ACB=2，又∠OO 1B =∠OO 1C =π3，所以OO 1=R cos π3=1，即O 1(0,1)，或O 1(0,-1)，当O 1坐标为(0,1)时．设C (x ,y )，H x 0,y 0 ，有O 1C =R ，即有x 2+(y -1)2=4(y >0)，由CH ⊥AB ，则有x 0=x ，由AH ⊥BC ，则有AH ⋅BC=x 0+3 (x -3)+y 0y =0，所以有y 0=-x 0+3 (x -3)y =3-x 2y =(y -1)2-1y=y -2，y >0，则y 0=y -2>-2，则有x 20+y 0+1 2=4(y 0>-2)，所以△ABC 垂心H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2).同理当O 1坐标为(0,-1)时．H 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=4(y <2).综上H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2)或x 2+(y -1)2=4(y <2)．(2)若取x 2+(y +1)2=4(y >-2)，记点(0,-1)到直线l 的距离为d ，则有d =|m +1|1+k 2，所以|DE |=24-d 2=24-(m +1)21+k 2，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +m 2x 2+y 2=1，有2+k 2 x 2+2kmx +m 2-1=0，所以Δ=4k 2+2-2m 2 >0，|PQ |=1+k 2⋅Δ2+k 2=21+k 2 k 2+2-2m 2 2+k 2，由|DE |=2|PQ |，可得4-(m +1)21+k 2=4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+1 2+k 2 2≤4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+22，所以4k 2+2+8m 22+k 22≤(m +1)2k 2+1，即有4k 2+1 k 2+2+8k 2+1 m 22+k 22≤(m +1)2，所以2+2m 2-4k 2+1 k 2+2-8k 2+1 m 2k 2+22≥(m -1)2，即2k 2k 2+2k 2m 2k 2+2-1 =(m -1)2⇒k 2m 2k 2+2-1≥0⇒m 2≥1+2k2又Δ>0，可得m 2<1+k 22，所以1+2k2<1+k 22，解得k 2>2，故|k |>2．同理，若取x 2+(y -1)2=4(y <2)，由对称性，同理可得|k |> 2.综上，可得|k |> 2.14.在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为-1,0 ，1,0 ，平面内两点G ，M 同时满足以下3个条件：①G 是△ABC 三条边中线的交点；②M 是△ABC 的外心；③GM ⎳AB ．(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若点P 2,0 与(Ⅰ)中轨迹上的点E ，F 三点共线，求PE ⋅PF 的取值范围．【答案】(1)x 2+y 23=1(y ≠0)；(2)3,92.【解析】(1)设C x ,y ，G x 0,y 0 ，M x M ,y M ，圆锥曲线的轨迹方程问题第11页因为M 是△ABC 的外心，所以MA =MB ，所以M 在线段AB 的中垂线上，所以x M =-1+12=0．因为GM ⎳AB ，所以y M =y 0．又G 是△ABC 三条边中线的交点，所以G 是△ABC 的重心，所以x 0=-1+1+x 3=x 3，y 0=0+0+y 3=y 3，所以y M =y 0=y 3．又MA =MC ，所以0+1 2+y 3-0 2=0-x 2+y 3-y 2，化简得x 2+y 23=1(y ≠0)，所以顶点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．(2)因为P ，E ，F 三点共线，所以P ，E ，F 三点所在直线斜率存在且不为0，设所在直线的方程为y =k x -2 ，联立y =k x -2 ,x 2+y 23=1,得k 2+3 x 2-4k 2x +4k 2-3=0．由Δ=4k 2 2-4k 2+3 4k 2-3 >0，得k 2<1．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+3,x 1⋅x 2=4k 2-3k 2+3.所以PE ⋅PF =1+k 22-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2 ⋅4-2x 1+x 2 +x 1⋅x 2=1+k 2 ⋅4k 2+3 -8k 2+4k 2-3 k 2+3=91+k 2 k 2+3=9-18k 2+3．又0<k 2<1，所以3<k 2+3<4，所以3<PE ⋅PF <92．故PE ⋅PF 的取值范围为3,92 ．15.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=4x 上两个不同的点，C 的焦点为F ．(1)若直线AB 过焦点F ，且y 21+y 22=32，求AB 的值；(2)已知点P -2,2 ，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，且k PA +k PB =-1，当直线AB 过定点，且定点在x 轴上时，点D 在直线AB 上，满足PD ⋅AB =0，求点D 的轨迹方程．【答案】(1)AB =10；(2)x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 ).【解析】(1)由抛物线方程知：F 1,0 ，准线方程为：x =-1．圆锥曲线的轨迹方程问题第12页∵AF =x 1+1=y 214+1，BF =x 2+1=y 224+1，∴AB =AF +BF =y 21+y 224+2=10.(2)依题意可设直线AB :x =ty +m ，由y 2=4x x =ty +m得：y 2-4ty -4m =0，则Δ=16t 2+16m >0，∴y 1+y 2=4t y 1y 2=-4m ⋯①∵k PA +k PB =y 1-2x 1+2+y 2-2x 2+2=y 1-2ty 1+m +2+y 2-2ty 2+m +2=-1，∴2ty 1y 2+m +2 y 1+y 2 -2t y 1+y 2 -4m +2 t 2y 1y 2+t m +2 y 1+y 2 +m +2 2=-1⋯②由①②化简整理可得：8t -4m +m 2-4=0，则有m +2-4t m -2 =0，解得：m =2或m =4t -2．当m =4t -2时，Δ=16t 2+64t -32=16t +2 2-96>0，解得：t >-2+6或t <-2-6，此时AB :x =ty +4t -2=t y +4 -2过定点-2,-4 ，不符合题意；当m =2时，Δ=16t 2+32>0对于∀t ∈R 恒成立，直线AB :x =ty +2过定点E 2,0 ，∴m =2.∵PD ⋅AB =0，∴PD ⊥AB ，且A ,B ,D ,E 四点共线，∴PD ⊥DE ，则点D 的轨迹是以PE 为直径的圆．设D x ,y ，PE 的中点坐标为0,1 ，PE =25，则D 点的轨迹方程为x 2+y -1 2=5．当D 的坐标为-2,0 时，AB 的方程为y =0，不符合题意，∴D 的轨迹方程为x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 )．圆锥曲线的轨迹方程问题第13页。
高考100题圆锥曲线：专题五轨迹问题
【例 1】一动圆与圆 x2 y 2 6x 5 0 外切，同时与圆 x2 y2 6x 91 0 内切，求动圆圆心的轨迹方程，
并说明它是什么曲线 .
设椭圆方程为： x 2 a2
y2 b2
1(a b 0) ,
2a 12, a 6, c 3,b2 a2 c2 36 9 27 , 动圆圆心的轨迹方程为 x2 y 2 1 ，它表示一个焦点在 36 27
【解析】 如图所示，圆 A 的圆心为 A 1,0 ，半径 R 4 ，
y
ED
A
OB
x
C
因为 BE //AC ，所以 C EBD . 又因为 AC AD ，所以 C EDB ，
于是 EBD EDB ，所以 EB ED . 故 AE EB AE ED AD 4 为定值 .
又 AB 2 ，点 E 的轨迹是以 A ， B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，
x 轴上的椭圆 .
II ．考场精彩·真题回放
【例 2】（ 2016 全国乙理 20（1））设圆 x2 y2 2x 15 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B 1,0 且与 x 轴不重合，
l 交圆 A 于 C ， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . （1）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程 .
y1 y2
x1 x2
2
y
y1
，所以
，
x1
x1 y
即 y 2 x 1 ．易知当直线 AB 不存在时，点 M 也满足此方程，所以 AB 中点轨迹方程为 y 2 x 1 .
y A
P
M
O FN
x
Q B
（2）若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 .
新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练22轨迹方程(解析版)
第22讲 轨迹方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．过点(2,1)P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点．C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠，则PCD ∆外接圆半径的最小值为( ) ABC ．2413D ．1913【解答】解：如图，先固定直线AB ，设()BMf M AM=，则f （C ）f =（D ）()f P =，其中()BPf P AP=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD ∆外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，由(2),2BP BQ AP BP r r AP AQ AP AP AQ BP +==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP =-，综上，111||r AP BP=-；当直线AB 无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP -=，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得222(245)48(12)96(1)0k x k k x k k ++-+--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由根与系数的关系有，122212248(21)24596(1)245k k x x k k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩， ∴22121211111111|||||2||2||2|1|2|1r AP BP x x x k x k =-=-=----+-+，注意到12x -与22x -异号，故12122121212|2||2|411|125|||||(2)(2)2()4191x x x x k r x x x x x x k ---+-+===---+++，设125t k =+，则221112||12112261319191924191110169169()101t r t t t===-+-+，故1913r ， 又19191213>， 故选：D ．2|2|x y ++表示( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆|2|x y ++变形为：=，表示点(,)P x y 到定点(1,1)-与定直线的距离相等的点的轨迹， 由抛物线的定义可知：点P 的轨迹是抛物线． 故选：C ．3．若动圆过定点(3,0)A -且和定圆22(3)4x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹为( ) A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线一支【解答】解：设动圆的半径为R ，动圆圆心为P ，点A 在动圆上，||PA R ∴=又定圆22(3)4x y -+=的圆心为(3,0)B，半径为2， 定圆与动圆P 相外切∴圆心距||2PB R =+由此可得||||(2)2PB PA R R -=+-=（常数），∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的左支故选：D ．4．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=【解答】解：设动圆圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ，则由题意可得1||1MC r =+，2||3MC r =+，相减可得2112||||2||MC MC C C -=<， 故点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的左支， 由题意可得22a =，3c =，b ∴==故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=-．故选：B ．5．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点轨迹方程是()A ．212x y =-B ．21216x y =-C ．222x y =-D ．221x y =-【解答】解：由24x y =，得其焦点坐标为(0,1)， 设线段PF 中点为(,)x y ，1(P x ，1)y ， 由中点坐标公式得：11212x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴11221x xy y =⎧⎨=-⎩，P 是抛物线上的点，∴2114x y =，即244(21)x y =-，221x y ∴=-． 故选：D ．二．填空题（共7小题）6．两定点的坐标分别为(1,0)A -，(2,0)B ，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，动点M 的轨迹方程是 2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<． ．【解答】解：设(,)M x y ，MAB α∠=，则2MBA α∠=，它们是直线MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方还是下方有关；以下讨论： ①若点M 在x 轴的上方，(0,)2πα∈，0y >，此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为2πα-， tan 1MA y k x α∴==+，tan(2)2y x πα-=-，0(290)α≠ tan(2)tan 2παα-=-，22121()1yy x y x x ⨯+∴-=--+，得：2233x y -=， ||||MA MB >，1x ∴．当290α=︒时，45α=︒，MAB ∆为等腰直角三角形，此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程．②当点M 在x 轴的下方时，0y <，同理可得点M 的轨迹方程为2233(1)x y x -=， ③当点M 在线段AB 上时，也满足2MAB MBA ∠=∠，此时0(12)y x =-<<． 综上所求点的轨迹方程为2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<． 故答案为：2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<．7．设圆22(1)36x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 22198x y +=【解答】解：如图，连接MA ，根据垂直平分线的性质，MA MQ =， 由已知得(1,0)C -，6r =，所以2AC =， 同时62MA MC MQ MC CQ r AC +=+===>=， 因此点M 的运动轨迹为椭圆，设其方程为22221x y a b +=，(0)a b >>，所以其方程为22198x y +=．故答案为：22198x y +=．8．已知点1(F 0)，圆222:(16F x y -+=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点，则点N 的轨迹方程为 22142x y += ．【解答】解：因为1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点， 所以1NF NM =．所以1222124NF NF NM NF MF F F +=+==>= 所以点N 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，这里24a =，2c =2a ∴=，c =222422b a c =-=-=，所以点N 的轨迹方程为：22142x y +=．故答案为：22142x y +=．9．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为 221(2)43x y x +=≠- ．【解答】解：由圆22:(1)1M x y ++=，可知圆心(1,0)M -；圆22:(1)9N x y -+=，圆心(1,0)N ，半径3．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，||||1(3)4PM PN R R ∴+=++-=，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆， 2a ∴=，1c =，2223b a c =-=．∴曲线C 的方程为22143x y +=（去掉点(2,0))-故答案为：221(2)43x y x +=≠-．10．方程||x y +=所表示的曲线是 双曲线 ．【解答】解：方程||x y +=意义是：平面内动点(,)x y 到定点(1,1)，与到定直线0x y +=迹，1>，(1,1)不在直线0x y +=上，∴轨迹是双曲线．故答案为：双曲线．11．若动点(,)P x y 到定点(5,0)F 的距离是它到直线95x =的距离的53倍，则动点P 的轨迹方程是 221916x y -= ．【解答】解：点(,)P x y 到定点(5,0)F， 点(,)P x y 到直线95x =的距离是9||5x -，∴59||35x -，化简为221916x y -=．故答案为221916x y -=．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线(44)x t t =-<<与椭圆221169x y +=交于两点11(,)P t y 、22(,)P t y ，且10y >、20y <，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，则直线12A P 与21A P 的交点所在的曲线方程为 221169x y -= ．【解答】解：由题意，直线12A P 的方程为2(4)4y y x t =++，直线21A P 的方程为1(4)4y y x t =--， 两式左右分别相乘得22122(16)16y y y x t =--① 11(,)P t y 、22(,)P t y 在椭圆221169x y +=上 ∴2211169y t +=，2221169y t += ∴2219(1)16t y =-，2229(1)16t y =-10y >，20y <2129(1)16t y y ∴=-代入①可得221169x y -=故答案为：221169x y -=三．解答题（共28小题）13．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C ，求C 的方程，并说明C 是什么曲线．【解答】解：点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，1222AM BM y y k k x x ⋅=⋅=-+-， 化简得221(2)42x y x +=≠±，即曲线C 的方程为221(2)42x y x +=≠±，曲线C 是一个椭圆，除去左右顶点．14．已知坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5． （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，线段AB ，点A 为C 上一点，点(11,13)B ，求AB 的中点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5，得125M M MM ==，化简得2222230x y x y +---=．即22(1)(1)25x y -+-=．∴点M 的轨迹方程是22(1)(1)25x y -+-=，所求轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆． （2）设(,)P x y ，0(A x ，0)y ，根据题意有00112132x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所00211213x x y y =-⎧⎨=-⎩，点A 在圆C 上，所以有2200(1)(1)25x y -+-=， 所以22(212)(214)25x y -+-=， 所以2225(6)(7)4x y -+-=， 所以AB 的中点P 的轨迹方程为2225(6)(7)4x y -+-=． 15．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【解答】解：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=， 又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=， 从而||4AD =，所以||||4EA EB +=⋯（5分） 由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠⋯（10分）16．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,1)Q 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，求直线AB 被曲线C 截得的弦的中点坐标．【解答】解：（1）由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -，半径11r =，圆N 的圆心为(1,0)N ，半径23r =．设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R ． 圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，1212||||()()4||PM PN R r r R r r MN ∴+=++-=+=>，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得24a =， 2a ∴=，1c =，23b ∴=，∴椭圆方程为221(2)43x y x +=≠-；（2）||||2PA PB ==，以P 为圆心，||PA 为半径的圆22:(1)(1)4P x y -+-= 与圆22:(1)1M x y ++=公共弦所在直线为l 的方程为21y x =--，联立曲线22:1(2)43x y C x +=≠-与直线:21l y x =--，可得2191680x x +-=，△0>，设交点1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则121619x x +=-， ∴中点的横坐标为128219x x +=-，代入直线:21l y x =--，得中点的纵坐标为319-， ∴所求中点坐标为8(19-，3)19-． 17．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）若直线:l y x k =+与曲线C 相切，求k 的值．【解答】解：（1）圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+， 动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点， 24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-； （2）由22143x y y x k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：22784120x kx k ++-=， 若直线l 和曲线C 相切， 则△226428(412)0k k =--=，解得：k =18．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．求C 的方程．【解答】解：圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=， 设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+， 动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点， 24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-．19．已知圆C 的方程为22(3)4x y -+=，定点(3,0)A -，求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解：圆P 与圆C 外切，如图，||||2PC PA ∴=+，即||||2PC PA -=， 0||||||PC PA AC <-<，∴由双曲线的定义，点P 的轨迹是以A ，C 为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中1a =，3c =，222918b c a ∴=-=-=．故所求轨方程为221(0)8y x x -=<． 20．已知两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=．动圆M 与两圆都相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切， 12||||MC MC ∴=，即M 点在线段1C ，2C 的垂直平分线上又1C ，2C 的坐标分别为(4,0)-与(4,0)∴其垂直平分线为y 轴，∴动圆圆心M 的轨迹方程是0x =；②若一内切一外切，不妨令与圆221:(4)2C x y ++=内切，与圆222:(4)2C x y -+=外切，则M 到2C 的距离减去M 到2C 的距离的差是M 的轨迹是以(4,0)-与(4,0)为实半轴长的双曲线左支，故可得22214b c a =-=，故此双曲线的方程为221(0)214x y x -=<．同理与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，此双曲线的方程为221(0)214x y x -=>． ∴此双曲线的方程为221214x y -=．综①②知，动圆M 的轨迹方程为221214x y -=或0x =．21．在三角形ABC 中，||4BC =，ABC ∆的内切圆与BC 相切于点D ，||||2BD CD -=，求顶点A 的轨迹方程． 【解答】解：如图，设E 、F 分别为圆与AB 、AC 的两个切点， 则||||BE BD =，||||CD CF =， 又||||AE AF =，||||||||||||2AB AC BE CF BD CD ∴-=-=-=，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(0)y ≠，且1a =，2c =，b ∴∴轨迹方程为221(1)13x y x -=>．故答案为：221(1)13x y x -=>．22．直角三角形ABC 的直角顶点A 为动点，(B ，0)C 0)，作AD BC ⊥于D ，动点E 满足(1AE AD =，当动点A 运动时，点E 的轨迹为曲线G ， （1）求曲线A 的轨迹方程；（2）求曲线G 的轨迹方程；（3）设直线L 与曲线G 交于M 、N 两点，坐标原点O 到直线L，求||MN 的最大值．【解答】解：（1）直角三角形ABC 的直角顶点A的轨迹为圆：223(x y x +=≠；（2）设(,)E x y ，0(A x ，0)y ，则0(D x ，0)，2203x y +=， 动点E满足(1AE =AD ，∴0000)x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得0x x =，0y =， 代入曲线A 的轨迹方程可得2233x y +=，化为221(3x y x +=≠．（3）当直线L 的斜率不存在时，直线L的方程为：x =，||MN = 当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为：y kx m =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ． 坐标原点O 到直线L，∴=22433m k =+． 联立2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为222(13)6330k x kmx m +++-=， 则122613kmx x k-+=+，21223313m x x k -=+． 又22433m k =+．12||32666MN ∴=++，当且仅当213k =时取等号． 综上可得：||MN 的最大值为2．23．动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，求动点P 的轨迹方程． 【解答】解：由抛物线的定义知点P 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，其开口方向向右，且22p=， 解得4p =，所以其方程为28y x =．故答案为：28y x =．24．若动圆M 与圆22:(2)1C x y -+=外切，又与直线10x +=相切，求动圆圆心的轨迹方程． 【解答】解：设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ， 圆22:(2)1C x y -+=，∴定圆圆心为(2,0)C ，半径1r =，两圆外切， ||1MC R ∴=+，又动圆M 与直线10x +=相切，∴圆心M 到直线10x +=的距离d R =，||1MC d ∴=+，即动点M 到定点(2,0)C 的距离等于它到直线20x +=的距离，由抛物线的定义可得，点M 的轨迹是以C 为焦点，20x +=为准线的抛物线，且22p=，即4p =，故动圆圆心的轨迹方程为28y x =．25．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．求点P 的轨迹方程．【解答】解：设0(M x ，0)y ，由题意可得0(N x ，0)， 设(,)P x y ，由点P 满足2NP NM =．可得0(x x -，0))y y =，可得00x x -=，0y =， 即有0x x =，0y =代入椭圆方程2212x y +=，可得22122x y +=，即有点P 的轨迹方程为圆222x y +=； 故答案为：222x y +=．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(P a ，)(0)b a b >>为动点，1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．由题得212||||PF F F =2c ，整理得22()10c c a a +-=，得1ca=-（舍)，或12c a =， 所以12e =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知2a c =，b =，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线方程为)y x c =-． A ，B的坐标满足方程组2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨-⎪⎩， 消y 并整理得2580x xc -=，解得0x =，85x c =，得方程组的解为0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，85x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨设8(5A c)，(0,)B ．设点M 的坐标为(,)x y ，则8(5AM x c =-，)y -，(,)BM x y =+由)y x c =-得c x y =①， 由2AM BM ⋅=-即8()()()25x c x y y -+-+=-．将①代入化简得218150x --=，2y ⇒=代入①化简得2105016x c x +=>．所以0x >，因此点M的轨迹方程为218150x --=(0)x >．27．设0λ>，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足，BQ QA λ=经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．【解答】解：由QM MP λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(,)P x y ，0(,)Q x y ，2(,)M x x 则220()x y y x λ-=-即20(1)y x y λλ=+-①再设1(B x ，1)y 由BQ QA λ=得()()11011x x y y λλλλ=+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩② 将①代入②式得()()12211(1)1x x y x y λλλλλλ=+-⎧⎪⎨=+-+-⎪⎩③ 又点B 在抛物线2y x =将③代入得222(1)(1)((1))x y x λλλλλλ+-+-=+-整理得2(1)(1)(1)0x y λλλλλλ+-+-+=因为0λ>所以210x y --= 故所求的点P 的轨迹方程：21y x =-28．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接RF ，PF ，由AP AF =，BQ BF =及//AP BQ ，得90AFP BFQ ∠+∠=︒， 90PFQ ∴∠=︒，R 是PQ 的中点，RF RP RQ ∴==，PAR FAR ∴∆≅∆，PAR FAR ∴∠=∠，PRA FRA ∠=∠，1802BQF BFQ QBF PAF PAR ∠+∠=︒-∠=∠=∠，FQB PAR ∴∠=∠， PRA PQF ∴∠=∠， //AR FQ ∴．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1(2F ，0)，准线为12x =-， 1211||||22PQF S PQ y y ∆==-， 设直线AB 与x 轴交点为N ， 121||||2ABF S FN y y ∆∴=-， PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍， 2||1FN ∴=，1N x ∴=，即(1,0)N ．设AB 中点为(,)M x y ，由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2212122()y y x x -=-，又12121y y yx x x -=--， ∴11y x y=-，即21y x =-． AB ∴中点轨迹方程为21y x =-．29．已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点P 满足12F F 为1PF 和2PF 的等差中项． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过1F 作直线L 交C 于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程． 【解答】解：（1）1(1,0)F -，2(1,0)F ， 12||2F F ∴=，12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项， 12122||||||F F PF PF ∴=+，即12||||4PF PF +=，∴点P 在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，24a =， 2a ∴=，又1c =，222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的方程是22143x y +=；（2）设AB 中点(M x ，)(22)y x -<<， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，A ，B 在椭圆C 上，∴2211143x y +=①， 2222143x y +=②， ①-②得：12121212()()()()43x x x x y y y y -+-+=-， 即12121212123323()4424y y x x x xx x x x y y y y-+=-=-=-≠-+． ∴03(1)4y xx y-=---，整理得：223430(22)x y x x ++=-<<． 而1(1,0)F -适合上式，AB ∴的中点M 的轨迹方程为223430(22)x y x x ++=-<<．30．已知点(2,2)P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．求M 的轨迹方程．【解答】解：圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=， 所以圆心为(0,4)C ，半径为4．设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--． 由题设知0CM MP =，..⋯（6分）故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=．由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=．..⋯（12分）31．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，点1(,0)2M ，并且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +． 【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈，整理得曲线C 的普通方程221(1)4y x x +=≠-．（2）直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，代入2214y x +=；得到213120t +-=，所以12t t +=，121213t t =-；故1211||||MA MB +==． 32．如图，椭圆22022:1(0x y C a b a b+=>>，a ，b 为常数），动圆22211:C x y t +=，1b t a <<．点1A ，2A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点．（Ⅰ）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆22222:C x y t +=与0C 相交A '，B '，C '，D '四点，其中2b t a <<，12t t ≠．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．【解答】()I 解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21x x =，21y y =-， 1(,0)A a -，2(,0)A a ，则直线1A A 的方程为11()y y x a x a=++①直线2A B 的方程为11()y y x a x a-=--② 由①⨯②可得：22221221()y y x a x a -=--③ 1(A x ，1)y 在椭圆0C 上，∴2211221x y a b += 222112(1)x y b a∴=-代入③可得：2212222221(1)()x b a y x a x a --=-- ∴22221(,0)x y x a y a b-=<-<； ()II 证明：设3(A x '，3)y ，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 11334||||4||||x y x y ∴=22221133x y x y ∴=A ，A '均在椭圆上，222222311322(1)(1)x x b x b x a a∴-=-4422311322x x x x a a∴-=-222441313()a x x x x ∴-=-12t t ≠，13x x ∴≠．22213x x a ∴+=222112(1)x y b a =-，222332(1)x y b a=-22213y y b ∴+=∴222212t t a b +=+为定值． 33．已知P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A 、B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-． （1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由； （2）设点M 是PAB ∆的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）因为点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点， 故点P 的坐标为(0,3)-，根据题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y kx b =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 故1122(,3),(,3)PA x y PB x y =+=+， 因为4PA PB ⋅=-，则1212(3)(3)4x x y y +++=-， 因为A 、B 是C 上的两个动点， 则有211134y x =-，222134y x =-， 故212121416x x x x +=-， 整理可得22121216640x x x x ++=，解得128x x =-， 由2134y kx b y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得241240x kx b ---=， 则有124x x k +=，12124x x b =--， 所以1248b --=-，解得1b =-， 故直线AB 的方程为1y kx =-， 所以直线经过一个定点(0,1)-．（2）线段PA 的中点坐标为311(,3)28x x -，又直线PA 的斜率为2111144PAx x k x ==， 所以线段PA 的垂直平分线的方程为211143()82x x y x x -+=--，① 同理，线段PB 的垂直平分线的方程为222243()82x x y x x -+=--，② 由①②解得21212(),28x x x x x y ++==， 设点(,)M x y ，则有122122()8x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，消去12x x +，得到212x y =， 所以点M 的轨迹方程为212x y =． 34．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4M y x =有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点作一条斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，P 为弦AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定值？若存在，则求出点H ，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线2:4M y x =的焦点为(1,0)， 可得221a b -=①，抛物线的准线1x =-被椭圆截得的弦长为3，由1x =-代入椭圆方程可得2b y a =±，即有223b a=②，解①②可得2a =，b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设直线:(1)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立直线与椭圆方程22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩， 消去y 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以21224234x x k k +=+，212122243(1)(1)223434y y x x k kk k k k ++-=-=-=++， 所以224(34k P k +，23)34k k -+，直线3:4OP y x k=-③，直线AB 的方程(1)y k x =-中，令0x =可得y k =-，所以(0,)E k -，因为直线EQ OP ⊥，所以直线QE 的方程为43ky x k =-④， 将③④联立相乘得到2234y x x =-+，即2239()864x y -+=，所以点Q 的轨迹为以3(8，0)为圆心，38为半径的圆，所以存在定点3(8H ，0)，使得QH 的长为定值38．35．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且12||2B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当1k =时，求OMN ∆的面积；（Ⅲ）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为12||2B B =， 所以22b =，即1b =，因为离心率为2，所以2c a =，设c m =，则a =，0m >， 又222c a b =-，即2222m m b =-， 解得1m =或1-（舍去），所以a =1b =，1c =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）联立22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(2)20x x ++-=，所以23860x x ++=， 所以△284360=-⨯⨯<， 所以直线与椭圆无交点， 所以OMN ∆的面积不存在．（Ⅲ）证明：由题意知，直线l 的方程为2y kx =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)860k x kx +++= 则22122122(8)46(12)0821621k k k x x k x x k ⎧⎪=-⨯+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩因为直线和椭圆有两个交点， 所以△22(8)24(21)0k k =-+>，则232k >， 设(,)T m n ，因为1B ，T ，N 在同一条直线上， 则111111313y kx n k m x x x +++===+， 因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+， 由于21212283()3()11213440621kx x n n k k k m m x x k ⋅-++-++⋅=+=+=+， 所以12n =， 所以交点T 恒在一条直线12y =上， 所以交点T 的纵坐标为定值为12．36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线2x =-被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的右焦点F 与坐标轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，交y 轴于点E ，P 为线段AB 的中点，EQ OP ⊥且Q 为垂足．问：是否存在定点H ，使得QH 的长为定值？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：c e a ==，222a b c -=，化简得222a b =， 故C 的方程为：22221(0)2x y b b b+=>，将2x =-代入椭圆C的方程得：||y =，所以=24b =，所以2228a b ==，所以椭圆C 的方程：22184x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，直线AB 的方程为(2)y k x =-， 则直线AB 与y 轴的交点为(0,2)E k -，由2211184x y +=，2222184x y +=，得212121214182y y y y x x x x -+⨯=-=--+ 又2121y y k x x -=-，021021OP y y y k x x x +==+，所以12OP k k =-，故OP 的方程为12y x k=-， 由EQ OP ⊥得：2EQ k k =，所以直线EQ 的方程为22y kx k =-，即2(1)y k x =-， 所以直线EQ 过定点(1,0)M ，所以Q 在以OM 为直径的圆220x y x +-=上， 所以存在定点1(,0)2H ，使QH 的长为定值12．37．已知椭圆E 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．点M 在E 上，212MF F F ⊥，△12MF F的周长为6+13c ．（1）求E 的方程．（2）设E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点3(,0)2的直线l 与E 交于C ，D 两点，记直线AC的斜率为1k ，直线BD 的斜率为2k ，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）．①求直线AC 和BD 交点的轨迹方程； ②是否存在实常数λ，使得12k k λ=恒成立；③过点C 作关于x 轴的对称点C '，连结C '，D 得到直线1l ，试探究：直线1l 是否恒过定点． 【解答】解：（1）依题意，222222611223a c b c c a a b c⎧+=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为：2219x y +=．（2）设直线l 的方程为32x ty =+，选择①，联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+，直线AC 的方程：11(3)3y y x x =++；直线BD 的方程：22(3)3y y x x =--， 联立方程，得1122(3)3(3)3y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，两式相除，得121222112122122122121121121122112199()2()93(3)293()63(3)32433933(3)233()23()2()324ty y y y y y x x y ty y y y y y y y x x x y x y ty y y y y y y y ty y y y y ++++++++++=⋅=======----+-+-+-，即333x x +=-，解得6x =， 所以直线AC 和BD 交点的轨迹方程是直线6x =．选择②联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+于是211211212112211212121212212122121239393()2()3(3)3(3)231242229992793(3)293()2()9(3)24222ty y y y y y y y y k y x x y ty y y k x y x y ty y y ty y y y y y y y y -⋅+-++---=⋅=======++++⋅++++，故存在实数13λ=，使得12k k λ=恒成立．选择③：设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，1(C x '，1)y -，联立方程，得221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，直线C D '与x 轴交于点M ，说明C '，D ，M 三点共线，于是C M DM k k '=， 假设(,0)M m ，即1212y y m x x m=--，亦即1212y y x m x m -=--， 则1221()()y x m y x m --=-， 所以12211221121221121212223332733()()()()()()2()()2()02224(9)29ty x m y x m x y x y m y y ty y ty y m y y ty y m y y t m t t ---+-=+-+=+++-+=+-+=+-⋅=++，即9(32)()0t m t -+-⋅-=，解得6m =， 所以直线C D '恒过定点(6,0)M ．38．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线:2pl y x =-交于抛物线E 于A 、B 两点，||8AB =． （1）求抛物线E 的方程．（2）互相垂直的直线1l 、2l 分别切抛物线E 于C 、D 两点，试求两切线交点的轨迹方程． 【解答】解：（1）联立方程组222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得：22304p x px -+=， ||348A B AB x x p p p p ∴=++=+==，即2p =．∴抛物线E 的方程为24y x =．（2）设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由于12l l ⊥，故120y y <，不妨设10y >，20y <， 由24y x =可得y =±∴当0y >时，y '=，即1k =0y <时，y '=，即2k =．又1(C x ，1)y 在抛物线24y x =上，2114y x ∴=，∴故直线1l的方程为：11)y y x x -=-，即1122y y x y =+，即21122y y y x =+，①同理可得直线2l 的方程为：22222y y y x =+．②由①②可得：1y ，2y 是关于t 的方程222t ty x =+，即2240t yt x -+=的两根．124y y x ∴=， 1l ，2l 互相垂直，∴121()1x -=-，即121x x =．1212(2)4y y x ∴=-=-，44x ∴=-，即1x =-．∴两切线交点的轨迹方程为1x =-．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,3)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，过点A ，B 分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点． 双曲线221916x y -=的焦点1(5,0)F -，2(5,0)F ，∴椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，222512a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，52c =，2754b =， ∴椭圆C 的标准方程为：22412575x y +=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设在1(A x ，1)y 处切线方程为111()y y k x x -=-， 与椭圆224:12575x y C +=联立11122()412575y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，得22211111111(43)8()4()750k x k k x y x k x y ++-++-+-=， 由△0=，得22211111111[8()]4(43)[4()75]0k k x y k k x y -+-+-+-=， 化简，得222111111(4100)84750x k x y k y --+-=，由2211412575x y +=，得22111641003x y -=-，22114753y x -=-， ∴上式化为222111111168303y k x y k x ---=， 2111(43)0y k x ∴+=，11134x k y =-， ∴椭圆在点A 处的切线方程为11412575xx yy +=，① 同理，得椭圆在点B 处的切线方程为22412575xx yy +=，② 联立①②，消去x ，得：112241754175yy x yy x -=-，解得21211275()4()x x y x y x y -=-，A 、B 都在直线l 上，∴221133y kx y kx =+⎧⎨=+⎩，21122133x y x y x x ∴-=-， 21212112217(5)7(5)254()12()4x x x x y x y x y x x --∴===--，即此时的交点的轨迹方程为254y =． 当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为0x =，则A，(0,B ， 则椭圆在点A处的切线方程为y ，椭圆在B处的切线方程为y =，此时无交点． 综上所述，过点A ，B 所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程为254y =． 40．(1,0)F 为一定点，(0,)P b 是y 轴上的一动点，x 轴上的点M 满足0PM PF ⋅=，若点N 满足20PN NM +=，求： （1）点N 的轨迹曲线C 的方程；（2）曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．【解答】解：（1）20PN NM +=，∴点M ，N 关于点P 对称， 设(,)N x y ，则(,2)M x b y --，M 在x 轴上，2y b ∴=，即2yb =． (,)PM x b =--，(1,)PF b =-，0PM PF ⋅=，20x b ∴-+=，204y x ∴-+=，即24y x =．∴点N 的轨迹曲线C 的方程是24y x =．（2）设曲线C 的两条互相垂直的垂线的交点坐标为0(x ，0)y ，切线的斜率为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，联立方程组002()4y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩，消元得：20004ky y y kx -+-=，∴△001()0k y kx =--=，即20010x k y k -+=．12011k k x ∴==-，01x ∴=-． 曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹是直线1x =-．。
圆锥曲线——轨迹方程
圆锥曲线技巧——轨迹方程一、直接翻译法题型：动点M 满足。
条件，可由M 坐标直接翻译为等式关系。
即设M （x ，y ），f(x,y)=01、已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M 满足直接AM 与 直线BM 的斜率之积为-21，记M 的轨迹为曲线C ，求C 的轨迹方程。
（*：斜率要注意存在问题；本题答案：x 2/4+y 2/2=1（x ≠±2））2、已知点A （0，-1），点B 在直线y=-3上，动点M 满足MB ∥OA 且AB MA •=BA MB •，求动点M 轨迹方程。
（本题答案：0842=--y x ）3、已知圆O ：0222=-+y x ，圆O ':010822=+-+x y x ，由点P 向两圆引切线长相等，求点P 的轨迹方程。
二、四大定义法如果吻合曲线四大定义，则直接写出曲线方程即可。
例题1：已知点)0,2(),0,2(21F F -,动点P 满足421=+PF PF ，则P 点的轨迹为（） 答案：线段例题2：已知点)0,2(),0,2(21F F -,动点P 满足221=-PF PF ，则P 点的轨迹为（） 答案：双曲线的一支例题3：已知动点M 到点)1,2(F 的距离和到直线01043:=-+y x l 的距离相等，则M 点的轨迹为（）答案：直线1、已知动圆P 过定点A （-3,0），且与圆64)3(:22=+-y x B 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
2、已知圆25)1(:22=++y x C ，Q 为圆C 上任意一点，点A （1,0），线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连接线相交于点M ，求点M 的轨迹方程。
（提示：垂直平分线的性质定理，即垂直平分线上的点到线段两边的距离相等）3、已知动圆P 与圆1)3(:221=++y x O 外切，与圆1)3(:222=+-y x O 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
4、已知动圆P 与定圆1)2(:22=++y x C 外切，又与定直线1:=x l 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
圆锥曲线中的轨迹问题练习题
圆锥曲线中的轨迹问题练习题一、单选题1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．曲线的一支2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ）A ．3B ．32C ．32D ．13．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且13AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线二、填空题4．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________.5．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________.三、解答题 6．圆C 过点()60A ，，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上.（1）求圆C 的方程； （2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.7．若平面内两定点(0,0)O ，(3,0)A ，动点P 满足||1||2PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程；8．点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3l x =的距离之比是常数35，求点M 的轨迹方程. 9．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在圆上运动时，线段PD 上有一点M ，使得33DM PD =， （1）求M 的轨迹的方程；试卷第2页，总2页 10．已知点()1,0F ，点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1，且点P 的横坐标非负，点()1,M m (0m <)； （1）求点P 的轨迹C 的方程；.（2）过点M 作C 的两条切线，切点为A ，B ，设AB 的中点为N ，求直线MN 的斜率.。
圆锥曲线综合压轴,点轨迹、共线、四点共圆问题,含详细参考答案
圆锥曲线综合(一)1.交轨法2.三点共线3.四点共圆4.定值问题典型例题例1双曲线12222=-by a x 的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.例2抛物线)0(22>=p px y ，O 为坐标原点，A 、B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，过O 作OP ⊥AB 交AB 于P ，求P 点轨迹方程.例3已知抛物线：x y 42=焦点为F ，过点K(-1，0)的直线l 与C 交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，证明点F 在直线BD 上.例4已知椭圆在焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x 42=的焦点，离心率为52，过椭圆右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点M(m ，0)是线段OF 上的一个动点，且→→→⊥+AB MB MA )(，求m 的取值范围.(3)设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由.例5已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：1222=+y x 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足→→→→=++0OP OB OA (1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.例6设A 、B 是双曲线1222=-y x 上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的中垂线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？例7已知椭圆1422=+y x 的左右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心离为5的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直接AP 与椭圆相交于另一点T.(1)求曲线C 的方程；(2)设P 、T 两点的横坐标分别为x 1、x 2,证明：x 1x 2=1例8已知椭圆E:)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点为F 1(3-,0),而且过点H(213，)(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的上下顶点分别为A 1、A 2,P 是椭圆上异于A 1、A 2的任一点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于N 、M ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值.练习1已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y a x 的右焦点，点M(m ,0)、N(0,n )分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0NF MN =⋅→→，若点P 满足→→→+=POON 2OM (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x=-a 分别交于点S 、T(O 为坐标原点)，试判断→→⋅FT FS 是否为定值？若是求出这个定值；若不是，说明理由.参考答案例1设点P(00,y x ),Q(x,y ),易知A 1(-a ,0)、A 2(a ,0),由已知可得10000-=+-⋅+-a x y a x y ①10000-=--⋅--ax y a x y ②，由①②可得ya x y x x 2200,-=-=，而P(00,y x )在双曲线上，代入可得42222a y b x a =-(a x ±≠)例2设P(x,y ),A(11,y x ),B(22,y x ),设直线AB 的解析式为x=my+b ,与抛物线联立得0222=--pb mpy y 得pb y y mp y y 2,22121-==+，222221214b py y x x ==，而OA ⊥OB 得02121=+y y x x 可得b =2p ，OP ⊥AB 得1100-=⋅--m x y 得x y m -=,P 在直线AB 上，代入可得p y xy x 2+⋅-=即222)(p y p x =+-；另法：由b=2p 知直线AB 过定点M(2p,0),△OMP 为直角三角形，OM=2p ，故点P 在以OM 为直径的圆上，故P 点的轨迹方程为222)(p y p x =+-例3设A(11,y x )、B(22,y x )设直线AB 的方程为)1(+=x k y ，与抛物线联立得0)42(222=+-+k x k x k 得1,2421221=-=+x x k x x ，易知D(11,y x -),,4414121211111--=--=--=y y y y x y k DF 441411412111111221--=-=-=-=y y x y x x y x y k BF BF DF k k =，故F 在BD 上例4(1)1522=+y x ；(2)设直线AB 解析式为)2(-=x k y 与椭圆联立得052020)51(222=-+-+k x k x k 得2221222151520,5120k k x x k k x x +-=+=+，))4(,2(),2(MB MA 21212121-+-+=+-+=+→→x x k m x x y y m x x ，))(,(),(AB 12121212x x k x x y y x x --=--=→，故0)]4(2)[())(4())(2()(2122112122121221=-++-+-=--++--+=⋅+→→→x x k m x x x x x x x x k x x m x x AB MB MA 得0582>-=m m k 得580<<m (3)易知C(11,y x -),直线BC 的方程为)(112211x x x x y y y y --+=+，令y=0，则254)2)(()4()]2()[()(211121211121211121=-+--+=-+--+=+-+=x x x x x x x x k x k x x x y y y x x x x ，故点N(25,0)例5(1)设A(11,y x ),B(22,y x )直线AB 方程为12+-=x y 与椭圆联立得012242=--x x ，1,222121=+=+y y x x 得P(122--),代入验证可知点P 在椭圆上；(2)易知点Q(122，),AB 的中垂线为4122+=x y ，PQ 的中垂线为+-=x y 22，两直线的交点为M(8182，-),而易验证MA=MQ,故A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上例6(1)设A(11,y x ),B(22,y x ),则有12,1222222121=-=-y x y x 两式相减得1221212121=++⋅=--y y x x x x y y 故直线AB 的方程为1+=x y (2)易知A(-1,0),B(3,4),AB 的中垂线为3+-=x y ，与双曲线联立得01162=-+x x ,CD 的中点为M(-3,6),CD=410,MA=MB=210,故A 、B 、C 、D 四点共圆例7(1)1422=-y x (2)P(11,y x ),T(22,y x ),设直线PT 方程为)1(+=x k y 与双曲线联立得0)4(2)4(222=+---k kx x k 得22144k k x -+=，同理与椭圆联立得042)4(2222=-+-+k x k x k 得22144kk x +-=，故121=x x 例8(1)1422=+y x (2)设P(00,y x ),A 1P 方程为1100+-=x x y y 可得N(100--y x ,0),同理A 2P 方程为1100-+=x x y y ，M(0100，+y x )由切割线定理得OT 2=OM ·ON=411120200000=-=+--y x y x y x ，故OT=2练习1(1)设点P(y x ,),易知,0),)(,(=--n a n m 即有02=+ma n ，同时m =),(),0(2y x n --+即有y n x m =-=2,代入得axy 42=(2)设A(11,y x ),B(22,y x ),直线AB 的解析式为a my x +=联立得04422=--a amy y ，221214,4a y y am y y -==+，可知OA 方程为1114y ax x x y y ==得S(124,y a a --)；同理OB 方程为2224y ax x x y y ==,T(224,y a a --),044164)4,2)(4,2(FT FS 2221222212=-=+=----=⋅→→a a y y a a y a a y a a。
圆锥曲线的轨迹方程经典题型训练含参考答案
圆锥曲线的轨迹方程1．已知直线2:220(1)l x ay a a --=>椭圆222:1x C y a+=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点．（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求C 的标准方程；2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，I 为△12PF F 的内切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，且△12PF F 的周长为6． （1）求椭圆C 的方程．3．椭圆2222:1(1)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆E 上两动点P ，Q 使得四边形12PFQF为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和 （1）求椭圆E 的标准方程；4．已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在平面内运动，14PA PB k k =-g ．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，且1F 是圆2270x y +-+=的圆心，点H 的坐标为(0,)b ，且△12HF F 的面积为 （1）求椭圆C 的方程．6．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶点，△12AF F 是等腰直角三角形，延长1AF 交椭圆C 于D 点，且2ADF ∆的周长为 （1）求椭圆C 的方程；7．已知点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆上一点，1AF 与y 轴交于点B ，2||||AB F B =，||OB =． （1）求椭圆C 的方程；9．已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||PF PF =．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；10．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过F 的直线与椭圆E交于A 、B 两点，线段AB 的中点为21(,)33P ．（1）求椭圆E 的方程；11．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；12．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△1AF B 的周长为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；13．有一种曲线画图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且12DN ON ==，1DM =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的轨迹方程；14．已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切． （1）求抛物线E 的标准方程；15．已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点0(1,)P y ． （1）求抛物线C 的方程；16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且焦距为4．（1）求椭圆C 的标准方程；18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为28y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的标准方程；19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，圆22:4C x y '+=与y 轴的正半轴交于点A ，与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上||,||OB O OA =为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；20．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F ，2F 分别为椭圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；21．已知(0,2)P -，点A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一点Q ，ABP ∆为等腰直角三角形，且||:||3:2PQ QB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；22．已知圆221:(3)16F x y ++=，圆心为1F ，定点2(3,0)F ，P 为圆1F 上一点，线段2PF 上一点K 满足222PF KF =u u u r u u u r，直线1PF 上一点Q 满足20QK KF =u u u r u u u r g ．（1）求点Q 的轨迹E 的方程；23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 是椭圆C 的一个焦点，点(0,2)M ，直线MF 的斜率为2．（1）求椭圆C 的方程；24．、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率12e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，(4,0)P -，过点P 的直线斜率为k ，交椭圆E 于A ，B 两点，12211221sin sin sin()BF F BF F a BF F BF F ∠+∠=∠+∠． （1）求椭圆E 的方程；25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，||3AB =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；26．已知椭圆2222:1x y C a b +=，右顶点为A ，右焦点为F ，O 为坐标原点，2OA OF =u u u r u u u r ，椭圆C 过点3(1,)2-．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；27．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为1:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ∆． （1）求E 的方程；28．已知点M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F MF ∠=︒，△12MF F 的面积为12．（1）求椭圆的方程；29．已知Q ，R 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PQ RH k k =g ．（1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；30．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，离心率为12，P 是椭圆上异于左右顶点的一动点，已知△12F PF 的内切圆半径的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；31．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 恰好在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；32．已知点3(1,)2P ，(1,)a x y =-r ，(1,)b x y =+r ，且||||4a b +=r r ，满足条件的点(,)Q x y 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；33．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，当P 的横坐标为1时，3||2PF =． （1）求抛物线C 的方程；34．已知过点(4,0)A -的动直线l 与抛物线2:2(0)G x py p =>相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，4AC AB =u u u r u u u r ．（1）求抛物线G 的方程；35．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，Q 是抛物线上的一点，FQ =u u u r．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4D y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的距离是它到直线4x =-（点F 在此直线右侧）的距离的一半． （1）求椭圆C 的方程；37．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足1294PF PF =u u u r u u u u r g ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；38．直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点P 为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当△12PF F 为等边三角形时，123PF F S =V ． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线4x =-于点D ， 过点O 作//OE AP 交直线4x =-于点E ，证明11OEF ODF ∠=∠．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直．（1）求椭圆C 的方程；40．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的离心率为2，过椭圆Γ的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为2． （1）求椭圆Γ的方程；41．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于M ，N 两点．2MNF ∆的周长为8，且||MN 的最小值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；42．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，F 为其右焦点，1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，且该椭圆的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；43．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，与x 轴交于点1A ，2A ，过x 轴上一点Q 引x 轴的垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，12||1PP =． （1）求椭圆C 的方程；44．在平面直角坐标系内，点(1,0)F ，过点P 作直线:l x m =的垂线，垂足为M ，MF 的中点H 在y 轴上，且()0PM PF FM +=u u u u r u u u r u u u u rg ．设点P 的轨迹为曲线Q ．（1）求曲线Q 的方程；45．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点坐标为(，A ，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上异于A ，B 的一点，且PA ，PB 所在直线斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的方程；46．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F 、2F 分别为楠圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；47．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过左焦点1F 的最短弦长为3，离心率为12． （1）求椭圆的标准方程；48．点(1,1)A 是抛物线2:2C x py =内一点，F 是抛物线C 的焦点，Q 是抛物线C 上任意一点，且已知||||QA QF +的最小值为2．（1）求抛物线C 的方程；圆锥曲线的轨迹方程参考答案1.【解答】（Ⅰ）由题可得：22222,12,12a c a c a c =-=⇒==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．2.【解答】（1）因为11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，所以1212||||2||PF PF F F +=，即2a c =①， 又因为△12PF F 的周长为6，所以1212||||||6PF PF F F ++=，即226a c +=②，由①②可得2a =，1c =，则3b =，所以椭圆的方程为22143x y +=．3.【解答】（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，可知48a =，即2a =．由平行四边形的最大面积为23，可知3bc =，又1a b >>，解得3,1b c ==．所以椭圆方程为22143x y +=．4.【解答】（Ⅰ）设(,)P x y ，0y ≠，则2124n yy x x -=-+g ，22221(4)144x y x y =--⇒+=；所以点P 的轨迹方程：221(0)4x y y +=≠；5.【解答】（1）由224270x y x +-+=，可得22(22)1x y -+=，则圆心坐标为(22，0)， 即1F (22，0)，22c ∴=，Q △12HF F 的面积为22，∴12222c b ⨯⨯=， 1b ∴=，2229a b c ∴=+=，∴椭圆C 的方程为：2219x y +=；6.【解答】（1）2ADF ∆Q 的周长为42，由椭圆的定义可知，12||||2AF AF a +=，12||||2DF DF a +=， 442a ∴=，2a ∴=，又Q △12AF F 是等腰直角三角形，且222a b c =+，1b c ∴==，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；7.【解答】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，2223b a c ∴=-=，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=； 8.【解答】（1）连接2AF ，如图所示：， 由题意得21||||||AB F B F B ==， 所以BO 为△12F AF 的中位线， 又因为12BO F F ⊥，所以212AF F F ⊥，且222||2||2b AF OB a ===， 又22c e a ==，222a b c =+，得22a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；9.【解答】（Ⅰ）因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=，又因为12||3||PF PF =， 所以2||2a PF =，13||2aPF =，因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：2212x y +=；10.【解答】（1）由题意可知，1c =，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴1243x x +=，1223y y +=， 又Q 点A ，B 在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=， ∴2122122y y b x x a -=--，即直线AB 的斜率为：222b a -，又Q 直线AB 过右焦点(1,0)F ，过点21(,)33P ， ∴直线AB 的斜率为：1031213-=--，2221b a ∴-=-，222a b ∴=，又222a b c =+Q ，1c =，22a ∴=，21b =，∴椭圆E 的方程为：2212x y +=；11.【解答】（1）由题意可知，焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离d =∴=1c =（负根舍去），∴抛物线C 的方程为：24x y =； 12.【解答】（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，∴△1AF B 的周长为111122||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∴4a =，a =∴椭圆E 的方程为22213x y b +=，将P 代入得22b =，所以椭圆的方程为22132x y +=． 13.【解答】（1）设(,)M x y 则(,0)2x D1，即2214x y +=；14. 【解答】（1）由已知可得：圆心(4,4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点(4,4)在抛物线E 上，168p ∴=，解得2p =．∴抛物线E 的标准方程为24y x =．15.【解答】（1）将点0(1,)P y 代入得20220211y p y p ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，解得2p =，则抛物线C 的方程为24y x =； 16.【解答】（1）已知点P 在椭圆上，设0(P x ，0)y ，即有2200221x y a b+=，又2200022200034AP BPy y y b k k x a x a x a a ===-=-+--g ，且22c =，可得椭圆的方程为22143x y +=； 17.【解答】（1）由题意可知，2222242124a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：22184x y +=；18.【解答】（1）由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以由题意可得椭圆的右焦点(2,0)，即2c =，2a =a =222642b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为：22162x y +=； 19.【解答】（1）Q 圆22:4C x y '+=与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上，所以2a =， 又Q ||||OB OA =∴2b，解得b =C 的方程为22143x y +=；20.【解答】（1）设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12||2F F c =，112BFO PF F ∠=∠Q ，1122FOB F PF π∠=∠=，∴△1F BO ∽△12F F P ，∴11121||||||||F B FO F F F P =， 即211112||||||||26F P F B FO F F c ===，c ∴=c e a ==，解得2a =，所以2221b a c =-=， 则椭圆E 的方程为2214x y +=；21.【解答】（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形，2a ∴=，(2,0)B ，设0(Q x ，0)y ，由||:||3:2PQ QB =，得32PQ QB =u u u r u u u r ，则006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程得21b =，∴椭圆E 的方程为：2214xy +=；22.【解答】（1）Q 222PF KF =u u u r u u u r，K ∴是线段2PF 的中点．又20QK KF =u u u r u u u r g ，QK ∴为线段2PF 的中垂线，则2||||QP QF =，1112||||||||||4F P FQ QP FQ QF =+=+=Q ， ∴由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以1F ，2F 为焦点，长轴为4的椭圆，则2a =，c ，21b ∴=，故点Q 的轨迹C 的方程为2214x y +=；23.【解答】（1）由题意，可得1222c a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，则2223b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=；24.【解答】（1）由正弦定理得2112||||||BF BF a F F +=，由椭圆的定义可得22a ac =，1c ∴=， 又Q 离心率12e =，∴12c a =，2a ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆E 的方程为：22143x y +=；25.【解答】（Ⅰ）由题意得：222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2,1a b c ===．所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；26.【解答】（Ⅰ）由2OA OF =u u u r u u u r ，可得，2a c =，且过点3(1,)2-，则221914a b +=，焦解得：2a =，b =，所以椭圆的方程为：22143x y+=；27.【解答】（1）由焦距为2c =c =，即2223a b c -== ①；由题意可得(4,0)G，13||||||22AB MG AB ==g可得||AB =，由在椭圆上可得221314a b+=②； 由①②解得2a =，1b =，则椭圆的方程为2214xy +=；28.【解答】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，1||MF m =，2||MF n =可得2m n a +=，1sin 602mn ︒=，即8mn =， 又2222cos604m n mn c +-︒=，即22()24m n mn mn c +--=，即222444324a c b mn -===，可得b =，由12c e a ==，即2a c =，又2226b a c =-=，解得a =，c 22186x y +=；29.【解答】（1）设(,)P x y ，因为(,0)P a -，(,0)Q a ，则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -， PQy k x a =+，RH y k a x=-，因为22221x y a b +=，所以22222222(1)()x b y b a x a a =-=-， 所以2222212PQ RH y b k k a x a ===-g ，又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)，∴22011a b+=， 所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；30.【解答】（Ⅰ）由题意知：12c a =，2a c ∴=，222b a c =-，∴b =，设△12PF F 的内切圆半径为r ，则12121211(||||||)(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++=+=+V g g g ，故当△12PF F 面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r ，)a c bc +=，把2a c =，b =代入，解得：2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=； 31.【解答】（1）Q 焦距为4，2c ∴=，2(2,0)F ∴，Q 点2F 关于直线1:bl y x c=的对称点E 恰好在椭圆上，∴由椭圆的对称性可知，当b c =时，点2(2,0)F 关于直线1:l y x =的对称点E 坐标为(0,2)，恰在椭圆上， 2b c ∴==，2228a b c =+=，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=； 32.【解答】（1）设1(1,0)F -，2(1,0)F ，由(1,)a x y =-r，(1,)b x y =+r ，||||4a b +=r r ，4，即为12||||4QF QF +=，由124||F F >，可得Q 的轨迹是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点，且24a =的椭圆，由1c =，2a =，可得b ==，可得曲线C 的方程为22143x y +=；33.【解答】（1）由抛物线的方程可得准线方程为：2px =-，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，3||2PF =，又P 的横坐标为1，所以3122p +=，所以1p =，所以抛物线的方程为：22y x =；34.【解答】（1）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为1(4)2y x =+，即24x y =-，由2224x py x y ⎧=⎨=-⎩得22(8)80y p y -++=，∴21212(8)640424p p y y y y ⎧=+->⎪⎪+=+⎨⎪=⎪⎩V ，①；又4AC AB =u u u r u u u r ．214y y ∴=，②； 由①②和0p >得11y =，24y =，2p =，则抛物线的方程为24x y =；35.【解答】（Ⅰ）由题意可知，(2p F ，0)，Q 点Q 在物线2:2C y px =上，∴设20(2y Q p ，0)y ，∴200(,)22y p FQ y p =-=u u u r ，∴200122y pp y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2p =，∴抛物线C 的方程为：24y x =；36.【解答】（1）由题意知(1,0)F -，因而1c =，即221a b =+，又两曲线在第二象限内的交点(Q Q x ，)Q y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即42(1)Q Q x x +=-+，得23Q x =-，则283Q y =，代入到椭圆方程，得2248193a b+= ．由2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得24a =，23b =， ∴所求椭圆的方程为22143x y +=．37.【解答】（1）设1F (,0)c -，2(,0)F c ，0c >，则12(1PF PF c =--u u u r u u u u r g ，3)(12c --g ，2399)1244c -=-+=，1c ∴=，∴2222219141a b a b c c ⎧+=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； 38.【解答】(1设椭圆的半个焦距c ，因为△12PF F 是等边三角形，所以P 此时在上顶点或下顶点，所以2a c =，所以bc 222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；39.【解答】（1）设右焦点为1(,0)F c ，令x c =，可得2b y a =±=±，可得22b a=1F 与短轴两端点的连线相互垂直，可得b c =，且222a b c -=，解得a 1b c ==，则椭圆方程为2212x y +=；40.【解答】（1）根据题意得22c ab a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222b ac =-，解得22a =，则21b =， 所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=；41.【解答】（1）根据椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，则2MNF ∆的周长22112248MN MF NF MF NF MF MF a =++=+++==，解得2a =，又因为||MN 的最小值为3，所以223b a=，解得23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，42.【解答】（Ⅰ）1(,0)A a -，1(0,)B b ，(,0)F c ，11(,)B A a b =--u u u u r ，1(,)B F c b =-u u u u r ，由1111B A B F =u u u u r u u u u rg ，得21b ac -=，又12c a =，222a b c =+，解得：2a =，b =1c =．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；43.【解答】（1）由题意可得离心率c e a ==x c =代入椭圆方程可得2||b y a =，所以221b a=，222c a b =-可得22a =，21b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；44.【解答】（1）设点(,)P x y ，依题意可得||||PM PF =，则222(1)(1)x x y +=-+，整理可得：24y x =，所以曲线Q 的方程24y x =；45.【解答】（1）设(,)P x y ，有题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，由PA ，PB 所在直线斜率之积为14-，可得14y y x a x a =-+-g ，即22214y x a =--， 而P 在椭圆上可得：22222222(1)()x b y b a x a a =-=-g ，所以2214b a =，即224a b =，2223c a b ==-，解得：24a =，21b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；46.【解答】（1）设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，12||2F F c =，因为112BFO PF F ∠=∠，1122FOB F PF π∠=∠=，所以△1F BO ∽△12F F P ，所以 11121||||||||F B FO F F F P =， 所以211112||||||||26F P F B FO F F c ===g g，可得c =，又c e a ==2a =，2221b a c =-=， 所以椭圆的方程为：2214x y +=；47.【解答】（1）由题意可得：12c a =，223b a =，222c a b =-，解得24a =，23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；48.【解答】（1）抛物线的准线方程为：2py =-，因为A 点在抛物线内部，过A 做AN 垂直于准线交于N ，抛物线于Q ，由抛物线的性质可得||||||||||QA QF QA QN AN +=+…，当且仅当，A ，Q ，N 三点共线时||||QA QF +最小，即||2AN =，即122p +=，解得：2p =，所以抛物线的方程为：24x y =；。
圆锥曲线解答题精选 轨迹问题
轨迹问题【动点轨迹方程】（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； ④参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）1.（2014年广东高考理科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程。
解：（１）可知c =又c a =3a ∴=，2224b a c =-=，椭圆C 的标准方程为22194x y +=；（２）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴或1//l x 轴时，对应2//l x 轴或2l x ⊥轴，可知(3,2)P ±±②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22194x y +=，得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得222200009()(94)[()4]0y kx k k y kx --+--=，2200364[()4]0k y kx ∴-+--=，2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=所以k 是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的一个根， 同理1k-是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的另一个根，1()k ∴⋅-=202049y x --，得，其中， 所以点P 的轨迹方程为（），因为满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=．2.设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A 、B ，定点1(,0)M m.（1）求证：三点A M B 、、共线. （2）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的重心G 的轨迹方程.证明：（1）设1122(,),(,)Ax y Bx y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=，设切线PA 的方程为：11()y y k x x -=-由1122()1y y k x x x y -=-⎧⎨-=⎩得 2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx ------=220013x y +=03x ≠±2213x y +=3x ≠±(3,2)P ±±从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ∆=-+--+-=,解得11x k y =，因此PA 的方程为：111y y x x =-， 同理PB 的方程为：221y y x x =-又0(,)P m y 在PA PB 、上，所以1011y y mx =-，2021y y mx =-即点1122(,),(,)A x y B x y 都在直线01y y mx =-上又1(,0)M m也在直线01y y mx =-上,所以三点A M B 、、共线 （2）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+，由110y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y 所以11111111()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩ 解得1139341934x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m --+-=即2212()39x y m --=为重心G 的轨迹方程.3.已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ⋅=⋅.（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.解:（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入 （5分）).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== （6分）,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=∆-=⋅=+t m t y y m y y y x E y x D （9分） 4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-⋅+++-=--+--=⋅∴y y y y x x x x y y x x5)(2)44(44212122212221++-⋅++-⋅=y y y y y y y y5)(242)(16)(212121221221++-⋅+⋅-+-⋅=y y y y y y y y y ym m t t m t t m t 845605)4(2)4(4)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得（11分）)1(23)1(43484962222+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>∆+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t （13分） 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线 ）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ） (15分)4.设)0,1(F ，点M 在x 轴上，点P 在 y 轴上，且⊥=,2 （1）当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；（2）设),(),,(),,(332211y x D y x B y x A 是曲线C 上的点，且|||,||,|DF BF AF 成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点)0,3(E 时，求B 点坐标.解:（1）设(,)N x y ，则由2MN MP =得P 为MN 中点，所以)2,0(),0,(yP x M -又⊥得0PM PF ⋅=，)2,1(),2,(y y x PM -=--=，所以x y 42=（0≠x ）（2）由（1）知)0,1(F 为曲线C 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点),(000y x P 到F 的距离等于其到准线的距离，即2||00p x F P +=，所以2||,2||,2||321p x DF p x BF p x AF +=+=+=， 根据|||,||,|成等差数列，得2312x x x =+， 直线AD 的斜率为312123131313444y y yy y y x x y y +=--=--，所以AD 中垂线方程为)3(431-+-=x y y y ， 又AD 中点)2,2(3131y y x x ++在直线上，代入上式得1312x x+=，即12=x ，所以点)2,1(±B .5.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3，直线l :2y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点S R ,在2C 上，且满足0,QR RS ⋅=求QS 的取值范围.解：（1）∵ ∵直线相切，∴ ∴ ∵椭圆C 1的方程是 （2）∵MP=MF 2，∴动点M 到定直线的距离等于它到定点F 1（1，0）的距离，∴动点M 的轨迹是C 为l 1准线，F 2为焦点的抛物线 ∴点M 的轨迹C 2的方程为（3）Q （0，0），设∴ ∵ ∴∵，化简得 ∴ ∴当且仅当 时等号成立222222221,233c a b e e a b a c -=∴===∴=22202:b y x y x l =+=--与圆2,2,222==∴=b b b 32=a 12322=+y x 1:1-=x l x y 42=),4(),,4(222121y y S y y R ),4(),,4(122122121y y y y RS y y QR --==0=⋅0)(16)(121212221=-+-y y y y y y 0,121≠≠y y y )16(112y y y +-=6432256232256212122=+≥++=y y y 4,16,2561212121±===y y y y∵∴当的取值范围是6464)8(41)4(||2222222222≥-+=+=y y y y ，又||58||8,64min 222y y ，故时，=±==),58[+∞。
圆锥曲线轨迹的例题和练习(优秀).doc
圆锥曲线轨迹的例题和练习(优秀)专题:圆锥曲线轨迹首先，准备第一场战斗。
直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法叫做直接法。
2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。
3.坐标转移法(替代法):在一些问题中，移动点满足的条件不容易在方程中列出，但是移动点随着另一个移动点(称为相关点)移动。
如果相关点满足的条件是明显的或可分析的，那么我们可以用移动点的坐标来表示相关点的坐标。
根据相关点所满足的方程，我们可以得到运动点的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法也称为坐标转移法或替代法。
4.参数方法: 有时很难找出一个运动点应该满足的几何条件，并且没有明显的相关点，但是更容易发现(或者可以通过分析找到)这个运动点的运动经常受到另一个变量(角度、斜率、比率、截距或时间等)的限制。
)，也就是说，移动点的坐标随着另一个变量的变化而变化。
我们可以将这个变量设置为一个参数，并建立轨迹的参数方程。
这种方法称为参数方法。
如果我们需要得到轨迹的一般方程，我们只需要消除参数变量。
5.钢轨穿越方法:在寻找运动点轨迹的过程中，有时会出现需要两条运动曲线相交的轨迹问题。
这类问题通常可以通过求解方程来获得带参数的交点坐标，然后消除参数来获得期望的轨迹方程来解决。
这个方法被称为交集方法。
(2)小型试验手术刀1把。
已知的M轨迹(-圆锥曲线)首先，准备第一场战斗。
直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法叫做直接法。
2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。
圆锥曲线中的轨迹方程(带答案)
第六讲 求轨迹方程的六种常用技法1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。
练习：4．方程|2|x y ++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。
例3．椭圆22142x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
高考100题圆锥曲线：专题五 轨迹问题
所以 FQB PAR ，所以 PRA PQF （等角的余角相等），所以 AR //FQ . (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，F ( 轴交点为 N ， S△ ABF
1 1 1 1 , 0) ，准线为 x ，S△ PQF PQ y1 y 2 ，设直线 AB 与 x 2 2 2 2
点在 x 轴上的椭圆. II．考场精彩·真题回放 【例 2】 （2016 全国乙理 20（1） ）设圆 x y 2 x 15 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B 1,0 且与 x 轴不
2 2
重合， l 交圆 A 于 C ， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . （1）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程. 【解析】如图所示，圆 A 的圆心为 A 1,0 ，半径 R 4 ，
2
即 y 2 x 1 ．易知当直线 AB 不存在时，点 M 也满足此方程，所以 AB 中点轨迹方程为 y x 1 .
精彩解读 【试题来源】人教版选修 2-1 第 50 页习题 2.2B 组第 2 题 【母题评析】本题属于求轨迹问题，采用定义法求轨迹方程.求轨迹问题在近几年高考试题中很常见，采 用命题的形式往往是解答题的其中一步. 【思路方法】利用两圆外切、内切的条件要求列出式子，经过推到转化为动点需要满足的条件要求，符合 定义，最后求出轨迹方程，这是定义法求轨迹. 【命题意图】本类题通常主要轨迹方程及求轨迹，考查学生对求轨迹的基本方法的掌握情况及对圆锥曲线 的概念的掌握情况． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，选填题较少，难度持中，一般会出现 在解答题中的一步． 【难点中心】求轨迹问题方法较多，要根据提议灵活使用，另外求轨迹问题要注意考虑“完备性”和“纯 粹性” ，特别是参数法，还要注意参数的取值范围. III．理论基础·解题原理 1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的 实 数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．辨明两个易误点
圆锥曲线轨迹方程经典例题.doc
轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、 必修 2 课本 P 124B 组 2：长为 2a 的线段的两个端点在x 轴和 y 轴上移动，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程：必修 2 课本 P 124B 组：已知 M 与两个定点（ 0,0 ）， A （ 3,0 ）的距离之比为 1，求点 M 的轨迹方程 ; （一般地：必修2 课2本 P 144B 组 2：已知点 M( x , y ) 与两个定点 M 1, M 2 的距离之比为一个常数 m ；讨论点 M( x , y ) 的轨迹方程（分 m =1， 与 m1 进行讨论）B M A2、 必修 2 课本 P 122 例 5：线段 AB 的端点 B 的坐标是（ 4,3 ），端点 A 在圆 ( x 1) 2y 2 1上运动，求 AB 的中点 M 的轨迹。
（ 2013 新课标 2 卷文 20）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ，在 y 轴上截得线段长为 23 。
（1）求圆心的 P 的轨迹方程；（ 2）若 P 点到直线 y x 的距离为2，求圆 P 的方程。
2如图所示，已知(4 ，0)是圆x 2+y2=36 内的一点， 、 是圆上两动点，且满足∠=90°，求矩PA B APB形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 .解：设 AB 的中点为 ，坐标为 ( , y ) ，则在 Rt △中，| |=| |. 又因为 R 是弦AB 的中点，Rx ABPAR PR依垂径定理： 在 Rt △中，| | 2 =| | 2－| | 2=36－ ( x 2+ 2) 又||=||=( x 4) 2y 2所以有OAR AR AO OR y AR PR( x － 4) 2+ y 2 =36－ ( x 2+ 2), 即 x 2+ y2－ 4 － 10=0 因此点 R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时， Q 点即在所求的轨迹上运 y x 动 .设 ( , y ) ， ( , y )，因为R 是 PQ 的中点，所以x = x 4y 0, 代入方程22, y 1+－4 －10=0, 得1 11 2 2(x4 )2( y ) 24 x2 4－10=0 整理得： x 2+y 2=56, 这就是所求的轨迹方程 .22在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3) ，直线 l : y2x 4 ．设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．（1）若圆心 C 也在直线 y x 1上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；（ 2）若圆 C 上存在点 M ，使 MA2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．（ 2013 陕西卷理20）已知动圆过定点A(4,0) ，且在y轴上截得弦MN 的长为8.（ 1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（ 2）已知点B(1,0) ，设不垂直于x 轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q ，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明直线 l 过定点。
高考数学解答题(新高考)圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型例题+题型归类练)(解析版)
专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型例题+题型归类练)目录类型一：定义法求轨迹方程类型二：直接法类型三：代入法（相关点法）类型四：点差法一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解； ②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： 3.1定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线y x 、例题5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知P 是平面上的动点，且点P 与(2,0),(2,0)F F -的距离之差的的直线分别与x 轴的正半轴和y 为坐标原点．若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点，则0,0a b >>，(,BP x y ∴=，(PA a =-2BP PA =，a ∴又(),AB a b =-=，(,OQ x =-，1OQ AB ⋅=，()332x x ⎛⎫∴-⋅-+ ⎪⎝⎭)2230,0x y y +=>.故答案为：)2302x y +>.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知定点()0,4A ，满足12NR NM =，又12NR NM =，可得例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．(1)求动点P 的轨迹【答案】(1)24y x =设(),P x y ，()AP x =+，()1,0OB =，(1PB =-，(AP OB x ⋅=+()221x B y P =-+，因为AP OB PB ⋅=，则)221x x y +=-+，所以222121x x x x ++=-+，即24y x =．例题6．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（文））已知直线线l 垂直于轴，动点在直线l 上，且OP OQ ⊥，记点的轨迹为C ，设点P 的坐标为(),x y ，则(Q x OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅= 220x y -=，0x =时，P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故曲线C 的方程为(22x y x =≠ 412NR NM =；AP OB PB ⋅=；OP OQ ⊥等，根据这些已知条件直接转化为代数式求解.类型三：代入法（相关点法）21y =上运动时，连接A 与定点故答案为：()()22211x y -+-=，)()0,+∞.()22,x y ，(1221y y k-=)221212y y +=圆a=，24∴动圆圆心6．（2022·和2，动圆【答案】动圆O O=，大圆O的半径为5.过动点P分别作7．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆O与圆O内切，且4【答案】圆心为(6,0)，半径为3的圆.【详解】如图，以O O所在直线为x轴，以O O的中点为原点，设动点(,)P x y ，(,0)Q t (01)t ≤≤， 高二专题练习）在ABC 中，2BC y x =⨯+足，且33QM QP =. 求动点M 的轨迹Γ的方程；【答案】(1)221x y +=；0,),(,)y M x y ，则Q ，所以0(,0),(,QP x QM x y ==，由33QM QP =得x y ⎧=⎪⎨⎪⎩，即()22313x y +=，故动点的轨迹Γ的方程为x【答案】点M的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为a的圆.M x y，若A、B不与原点重合时，则AOB是直角三角形，且∠O为直角，设线段AB的中点(,)为半径的圆，。
高中数学专题——圆锥曲线---轨迹问题
A．①②
B．①②④
C．②③④
D．①③
【解答】解：根据双纽线 C 的定义可得， (x a)2 y2 (x a)2 y2 a2 ，
用 (x, y) 替换方程中的 (x, y) ，原方程不变，所以双纽线 C 关于原点 O 中心对称，①正确；
根据三角形的等面积法可知，
1 2
|
PF1
||
PF2
| sin F1PF2
把到定点 F1(a, 0) ，F2 (a, 0) 距离之积等于 a2 (a 0) 的点的轨迹称为双纽线 C ．已知点 P(x0 ，y0 ) 是双纽线 C
上一点，下列说法中正确的有 ( )
①双纽线
C
关于原点
O
中心对称；②
a 2
y0a2
；
③双纽线 C 上满足 | PF1 || PF2 | 的点 P 有两个；④ | PO | 的最大值为 2a ．
圆锥曲线---轨迹问题
一．选择题（共 12 小题）
1．方程 | x 1| 1 ( y 1)2 所表示的曲线是 ( )
A．一个圆
B．两个圆
C．半个圆
D．两个半圆
【解答】解：将方程 | x 1| 1 ( y 1)2 化简，
得 (x 1)2 ( y 1)2 1 ，其中 0x2 ， 0y2 ．
因此方程 | x 1| 1 ( y 1)2 表示以 C(1,1) 为圆心，半径 r 1的圆． 故选： A ．
10．已知点集 M {(x, y) | 1 x2 1 y2 xy} ，则平面直角坐标系中区域 M 的面积是 ( )
A．1
B． 3 4
C．
【解答】解：当 xy0 时，只需要满足 x21 ， y21即可；
D． 2 2
圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)
圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)专题：圆锥曲线之轨迹问题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y的等式就得到曲线的轨迹方程。
这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN=- ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x，圆O '的方程为10822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x = 3.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为 析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++=4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。
高二数学圆锥曲线-轨迹练习
圆锥曲线-----轨迹一 基础热身1.点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是______________.2.一动圆与圆221x y +=外切，而与圆22680x y x +-+=内切，则动圆圆心的轨迹方程是 _______3.已知椭圆13422=+y x 的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹方程是 ．4.倾斜角为4π的直线交椭圆1422=+y x 于B A ,两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 _______. 5.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为____________________.二 典例回放1.⊙C ：16)3(22=++y x 内部一点A （3，0）与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.2.一条曲线在x 轴上方，它上面的每一个点到点(0,2)A 的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。
3.△ABC 中，B （－3，8）、C （－1，－6），另一个顶点A 在抛物线y 2=4x 上移动，求此三角形重心G 的轨迹方程.4.抛物线 y 2=2px(p>0)，O 为坐标原点，A 、B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，求弦AB 中点Ｍ的轨迹方程．三 水平测试1.与两点)0,3(),0,3(-距离的平方和等于38的点的轨迹方程是（ ）()A 1022=-y x ()B 1022=+y x ()C 3822=+y x ()D 3822=-y x2.过椭圆4x 2+9y 2=36内一点P(1,0)引动弦AB,则AB 的中点M 的轨迹方程是()(A)4x 2+9y 2-4x=0 (B)4x 2+9y 2+4x=0 (C)4x 2+9y 2-4y=0 (D)4x 2+9y 2+4y=03.若()()031322=+---++y x y x ,则点()y x M ,的轨迹是( )（Ａ）圆 （Ｂ）椭圆 （Ｃ）双曲线 （Ｄ）抛物线４.已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是：（）()A 双曲线 ()B 双曲线左支 ()C 一条射线 ()D 双曲线右支５.已知三角形ABC 中， 2,2,ABBC AC==则点A 的轨迹是________________.６.抛物线ｙ＝x 2＋2mx+m 2+1-m 的顶点的轨迹方程为_________________________.７.线段AB 的两端点分别在两互相垂直的直线上滑动，且||2AB a =，求AB 的中点P 的轨迹方程。
圆锥曲线轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在 x 轴和y 轴上移动，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程:1必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点(0,0)，A ( 3,0 )的距离之比为 _ ,求点M 的轨迹方程；(一般地：必修 2课2本P i4启组2：已知点M(x , y )与两个定点 的距离之比为一个常数 m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程(分 m =i .为22，在y 轴上截得线段长为 2・..3。
( 1)求圆心的P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y = x 的距离为—，求圆P 的方程。
2如图所示，已知 R4 , 0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A B 是圆上两动点，且满足/ APB 90°，求矩 形APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R 坐标为(x ,y ),则在Rt △ ABP 中，|AR =| PR .又因为R 是弦AB 的中点, 依垂径定理：在 Rt △ OAF 中，| AR 2=|AQ 2—| OR 2=36— (x 2+y 2)又| AR =| PR = - (^4)2 y 2 所以有(x — 4)2+y 2=36 — (x 2+y 2),即x 2+y 2 — 4x — 10=0因此点R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运 动.设 Qx , y ) , Rx 1,y 1),因为 R 是 PQ 的中点，所以X 1= _ , y 1= ―，代入方程 ^+y 2 — 4x — 10=0,得 2 2(宁)2 •(寸)2 -4 —10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系 xOy 中，点A(0,3)，直线丨：y = 2x-4 •设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直 线y = x -1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA =2MQ ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.与2进行讨论)戈（2013陕西卷理20）已知动圆过定点 A （4,0），且在y 轴上截得弦 MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点B （_1,0），设不垂直于x 轴的直线|与轨迹C 交于不同的两点 P,Q ，若x 轴是.PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点。
专题17 圆锥曲线的轨迹问题(解析版)
专题17 圆锥曲线中的轨迹问题1．（浙江省杭州市八县市区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知椭圆C的离心率为2，其焦点是双曲线2213y x -=的顶点.(1)写出椭圆C 的方程；(2)直线l ：y kx m =+与椭圆C 有唯一的公共点M ，过点M 作直线l 的垂线分别交x 轴､y 轴于(),0A x ，()0,B y 两点，当点M 运动时，求点(),P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【答案】(1)2212x y +=(2)轨迹方程()2221,0,0x y x y +=≠≠，为椭圆2221x y +=除去4个顶点【解析】 【分析】（1）根据双曲线的顶点，结合椭圆离心率的公式与基本量的关系求解即可；（2）根据题意可得直线l 与椭圆C 相切，故联立直线与椭圆的方程，利用判别式为0可得,k m 的关系，再得到点M 坐标的表达式，从而得到过点M 作直线l 的垂线的方程，求得(),P x y ，结合椭圆的方程求解即可 (1)设椭圆C 的方程为()22221,0x y a b a b +=>>，()222,0a b c c =+>，由题意，双曲线2213y x -=的顶点为()1,0±，故1c =.又c a =，故a =2211b =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=(2)由题意，直线l 与椭圆C 相切，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124220k x kmx m +++-=，故()()222216412220k m k m ∆=-+-=，即2221m k =+.设(),M M M x y ，则22212M km kx k m-==-+，故22221M k m k y k m m m m -⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，故21,k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AB 的方程为112k y x m k m ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即11y x k m =--，当0y =时，k x m =-，故,0k A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当0x =时，1x m =-，故10,B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1,kP m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.又21,k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故(),P x y 则()2,M x y -，又()2,M x y -在2212x y +=上，故()()22212x y +-=，即2221x y +=，由题意可得0,0x y ≠≠，故点(),P x y 的轨迹方程为()2221,0,0x y x y +=≠≠，为椭圆2221x y +=除去4个顶点2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知动圆E 过定点()2,0P ，且y 轴被圆E 所截得的弦长(1)求圆心E 的轨迹方程．(2)过点P 的直线l 与E 的轨迹交于A ，B 两点，()2,0M -，证明：点P 到直线AM ，BM 的距离相等． 【答案】(1)24y x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）设(),E x y ，由圆的弦长公式列式可得；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设():2l y k x =-，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得12x x +，12x x ，计算0AM BM k k +=，得直线PM 平分AMB ∠，从而得结论，再说明直线l 斜率不存在时也满足． (1)设(),E x y ，圆E 的半径r =E 到y 轴的距离d x =，由题意得224r d =+，化简得24y x =，经检验，符合题意． (2)设():2l y k x =-，与E 的方程联立，消去y 得，()22224440k x k x k -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221244,4x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩， ()()()()()()()()12122112121212222222222222AM BM k x k x k x x k x x y yk k x x x x x x ---++-++=+=+=++++++∵()()()()()1221122222240k x x k x x k x x -++-+=-=，∵0AM BM k k +=，则直线PM 平分AMB ∠，当直线l 与x 轴垂直时，显然直线PM 平分AMB ∠． 综上，点P 到直线AM ， BM 的距离相等．3．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知圆心在y 轴上移动的圆经过点()0,4A -，且与x 轴、y 轴分别交于点()0,0B x ，()00,C y 两个动点，记点()00,D x y 的轨迹为曲线Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)过点()0,1F 的直线l 与曲线Γ交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与圆E ：()2224x y +-=的另一交点分别为M ，N （其中O 为坐标原点），求OMN 与OPQ △的面积之比的最大值. 【答案】(1)24x y = (2)6425【解析】（1）设动圆的圆心为H ，则040,2y H -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，半径为042y +，所以22220004422y y BH x -+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理即可；（2）分析可知直线斜率存在，设1y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立得124x x k +=，124x x =-，再求出直线OP 的方程为14x y x = ，直线OQ 的方程为24xy x =，分别与圆联立求出216416M x x =+，226416N x x =+，所以()()221210241616OMN OPQ OM ON S S OP OQ x x ⨯==⨯++△△，展开再代入韦达定理，分析求解即可.(1)设动圆的圆心为H ，则040,2y H -⎛⎫⎪⎝⎭ ，半径为042y +， 22220004422y y BH x -+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：0204x y = ，即Γ的方程为24x y = ； (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为：0x =，此时与抛物线只有一个交点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设过()0,1F 的直线方程为1y kx =+ ， ()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程：241x yy kx ⎧=⎨=+⎩ ，得2440x kx --= ，124x x k +=，124x x =-， 则直线OP 的方程为1114y x y x x x == ，直线OQ 的方程为2224y xy x x x == ， 联立方程：()221244x y x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，解得216416M x x =+ ，同理226416N x x =+ ，OP x，OQ x ===，1OM ==2ON ==()()221210241616OMN OPQ OM ONS S OP OQx x ⨯===⨯++△△ ()()2222222121212121024102410246425640025162561625616216k k x x x x x x x x ====++⎡⎤+++++-+⎣⎦显然当0k =时最大，最大值为6425； 综上，Γ的方程为24y x =，OMN 与OPQ △ 的面积之比的最大值为：6425.4．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知点)F ，平面上的动点S 到F 的距离是S40+=S 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过直线:2l y =上的动点()(),22P s s >向曲线C 作两条切线1l ，2l ，1l 交x 轴于M ，交y 轴于N ，2l 交x 轴于T ，交y 轴于Q ，记PNQ 的面积为1S ，PMT △的面积为2S ，求12S S ⋅的最小值．【答案】(1)2214x y +=(2)48 【解析】 【分析】（1）设(),S x y 是所求轨迹C 上的任意一点，根据题意列出方程，即可求解；（2）设直线12,l l 的方程分别为12()2,()2y k x s y k x s =-+=-+，求得,,,M N T Q 的坐标，求得22112122k k S S s k k ⋅=⋅+-，联立方程组求得0∆=，得到12122243,44s k k k k s s +==--，化简得到221224(12)3(4)s s S S s +⋅=-，令24(0)s t t -=>，结合基本不等式，即可求解. (1)解：设(),S x y 是所求轨迹C 上的任意一点， 由题意知动点S到)F的距离是S40+=x =，整理得2214x y +=， 即曲线C 的方程为2214x y +=.(2)解：设直线12,l l 的方程分别为12()2,()2y k x s y k x s =-+=-+，可得()()1212220,2,0,2,,0,,0N k s Q k s M s T s k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12212111122=2224P P S S NQ x y MT s k s k s k k ⋅⋅⋅=⋅-⋅-22221211212()2k k k ks s k k k k -=⋅=⋅+-，联立方程组22()214y k x s x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(41)8(2)4(2)40k x k ks x ks +--+--=，则222264(2)4(41)[4(2)4]0ks k k ks ∆=--+--=，整理得()224430s k ks --+=，所以12122243,44s k k k k s s +==--， 所以2221212()163(4)k k s k k s +=-，所以2212121623(4)k k s k k s +=--， 代入上式，可得22221222164(12)43(4)3(4)s s s S S s s s +⋅=-=--，令24(0)s t t -=>，124(4)(16)46442020)48333t t S S t t t ++⋅==++≥⋅=，当且仅当64t t=时，即8t =时，即s =12S S 的最小值为48.5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知点)F，动点(),M x y到直线:l x =d，且d =，记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程； (2)过M 作圆221:43O x y +=的两条切线MP 、MQ （其中P 、Q 为切点），直线MP 、MQ 分别交C 的另一点为A 、B ．从下面∵和∵两个结论中任选其一进行证明． ∵PA PM ⋅为定值； ∵MA MB =．【答案】(1)22142x y += (2)条件选择见解析，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于x 、y 的等式，化简后可得出曲线C 的方程；（2）设()00,M x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，分2043x =、2043x ≠两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证OM OA ⊥；在第二种情况下，设直线MA 的方程为y kx m =+，由直线与圆相切结合韦达定理可得出OM OA ⊥.选∵，分析出Rt Rt MOP AOP ∽，利用三角形相似可求得PA PM ⋅的值； 选∵，分析可知OA OB =，结合勾股定理可证得结论成立. (1)解：由题意知x =2224x y +=，所以，曲线C 的方程为22142x y +=.(2)证明：设()00,M x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，当2043x =时，2043y =，则不妨设点M ⎝⎭，则点A ⎝⎭或A ⎛ ⎝⎭， 此时0OM OA ⋅=，则OM OA ⊥；当2043x ≠时，设直线:MA y kx m =+，由直线MA 与圆224:3O x y +=()22341m k =+， 联立2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()222214240k x kmx m +++-=， ()()()()22222221616421248424103k m k m k m k ∆=-+-=+-=+>， 由韦达定理可得012421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ，则()()()()220101000101011OM OA x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()()222222222212441234101212k m k m m k m k kk+--++-+===++，所以，OM OA ⊥，同理可得OM OB ⊥.选∵，由OM OA ⊥及OP AM ⊥可得Rt Rt MOP AOP ∽， 则PM OP OPPA=，所以，243PM PA OP =⋅=； 选∵，出OM OA ⊥及OM OB ⊥可得：A 、O 、B 三点共线，则OA OB =， 又222222MA OA OM OB OM MB =+=+=，因此，MA MB =.6．（2022·河南郑州·三模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为()2211x y +-=．P 为曲线1C 上一动点，且2OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)曲线3C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，点M 为曲线3C 上一动点，求MQ 的最大值．【答案】(1)2sin ρθ=；4sin ρθ= (2)5 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标和极坐标的互化关系求1C 的极坐标方程，利用代入法求2C 的极坐标方程；（2）M 为2212x y +=上一点，Q 为()2224x y +-=上一点，可知max max 2MQ MN =+，即可求解.(1)由题意可知，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y +-=得2sin ρθ=，则曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=， 设点P 的极坐标为()00,ρθ，则002sin ρθ=，点Q 的极坐标为(),ρθ，由2OQ OP =得002ρρθθ=⎧⎨=⎩，即0012ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 将012ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入002sin ρθ=得4sin ρθ=， 所以点Q 轨迹曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=；(2)曲线3C 直角坐标方程为2212x y +=，设点),sin Mϕϕ，曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，则圆心为()0,2N ，max max 2MQ MN =+，即MN =当sin 1ϕ=-时，max 3MN = ，所以max 325MQ =+=.7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知12,A A两点的坐标分别是(，直线,A B A B 12相交于点B ，且它们的斜率之积为13. (1)求点B 的轨迹方程；(2)记点B 的轨迹为曲线C ，,,,M N P Q 是曲线C 上的点，若直线MN ，PQ 均过曲线C 的右焦点F 且互相垂直，线段MN 的中点为R ，线段PQ 的中点为T . 是否存在点G ，使直线RT 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2213x y x -=≠；(2)存在，()3,0. 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率公式，结合已知等式进行求解即可；（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系、直线斜率公式进行求解即可. (1)设(,)M x y ，因为直线,A B A B 12相交于点B ，且它们的斜率之积为13，13=， 整理可得2213x y -=，所以点B的轨迹方程为(2213x y x -=≠.(2)因为曲线C的方程为(2213x y x -=≠，所以直线,MN PQ 的斜率都存在且不为0.设直线MN ：(2)y k x =-，则直线PQ ：1(2)y x k=--，设()()1122,,,,M x y N x y由()(22233y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩可得：()222231121230k x k x k --++=， 当2310k -=时，即213k =，方程为470x -+=，此时只有一解，不符合题意，当2310k -≠时，42221444(31)(123)12(1)0k k k k ∆=--+=+>，由韦达定理可得：21221231k x x k +=-，所以点R 的横坐标为()212216231R k x x x k =+=-，代入直线MN ：(2)y k x =-可得：()22262223131R Rk ky k x k k k ⎛⎫=-=-= ⎪--⎝⎭， 所以线段MN 的中点22262,3131k k R k k ⎛⎫⎪--⎝⎭， 用1k -替换k 可得22266331T k x k k ==--，2222331T k k y k k --==--，所以线段PQ 的中点2262,33k T k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，当1k ≠±时，()()()()()2222222222222232312313666363131313RTk k k k k k k k k k k k k k k k k ---+---===-------， 直线RT 的方程为：222226()33(1)3k k y x k k k+=----， 整理可得：222222623(1)3(1)33k k k y x k k k k =-⋅-----2222222222622932(1)(3)3(1)33(1)3(1)33(1)3(1)k k k k k kx x x k k k k k k k -=-+=-=--------， 此时直线RT 过定点G ()3,0， 若1k =±时，则()3,1R ， ()3,1T -，或()3,1R -，()31T ,，直线RT 的方程为3x =， 此时直线RT 也过点G ()3,0， 综上所述：直线RT 过定点G ()3,08．（2022·河北张家口·三模）已知0b a >>，点)A，B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，动点P满足|||PA PB =，点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线y kx m =+与曲线C 相切，与曲线2222:1x yE a b-=交于M ､N 两点，且π2MON ∠=（O 为坐标原点），求曲线E 的离心率. 【答案】(1)222x y b +=；【解析】 【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可. (1)设(,)P x y，由|||PA PB ==222x y b +=即为曲线C ； (2)y kx m =+与曲线C相切，b ∴=2221m b k=+.设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入曲线E 整理得：222222222()2(0)b a k x a kmx a m a b ---+=，2220b a k -≠，222222()40a b m b a k ∆=+->，2122222a km x x a k b -∴+=-，222212222a m a b x x a k b +=-.π2MON ∠=，0OM ON ∴⋅=，即12120x x y y +=. 222222212121212222()()()k a b m b y y kx m kx m k x x km x x m a k b -=++=+++=-， 2222222222222220a m a b k a b m b a k b a k b +-∴+=--，整理得2222221m a b k b a =+-， 22222a b b b a∴=-，即222b a =，223c a =，e 故曲线E9．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知点D 为圆O ：221x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，连接BA 并延长至点P ，使得1PA =，点P 的轨迹记为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l 与曲线C 交于不同于右顶点Q 的M ，N 两点，且QM QN ⊥，求QM QN ⋅的最大值．【答案】(1)2214x y +=(2)3225【解析】 【分析】(1) 注意到A 为BP 的中点，由相关点法，即可求得曲线C 的方程；(2) 先判断直线l 恒过点6,05T ⎛⎫⎪⎝⎭，而QM QN ⋅即为∵QMN 面积的两倍，故将问题转化为求∵QMN 面积的最大值. (1)设点P （x ，y ），D 00(,)x y ，则A 0(,0)x 、B 0(0,)y ，由题意的1AB =，因为1PA =， 所以BA AP = 而00(,)BA x y =-，0(,)AP x x y =-，所以002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入圆O ：221x y +=得曲线C 的方程为2214x y += . (2)由题意知，直线l 的斜率不为0，则不妨设直线l 的方程为()2x ky m m =+≠．联立得2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=，()()222244440k m k m ∆=-+->，化简整理，得224k m +>．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+．因为QM QN ⊥，所以0QM QN ⋅=．因为()2,0Q ，所以()112,QM x y =-，()222,QN x y =-，得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式，得()()()()2212121220k y y k m y y m ++-++-=，得()()()2222242122044m km k k m m k k --+⋅+-⋅+-=++，解得65m =或2m =（舍去）， 所以直线l 的方程为65x ky =+，则直线l 恒过点6,05T ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12114822525QMNS QT y y =⋅-=⨯△ 设214t k =+，则14t <≤，825QMN S =△ 易知825y =10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以当14t =时，QMNS取得最大值为1625． 又12PMN S QM QN =⋅△，所以()()maxmax32225QMN QM QN S ⋅==△． 10．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知点1,0A ，动点M 到直线4x =的距离与到点A 的距离的比为2，设动点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)若点()1,0B -，点P ，Q 为曲线C 上位于x 轴上方的两点，且PA QB ∥，求四边形PABQ 的面积的最大值.【答案】(1)22143x y += (2)3 【解析】 【分析】（1）直接法求点的轨迹方程 ；（2） 由已知得A ，B 为所求椭圆C 的焦点，通过计算=PE QF ，可得四边形PEFQ 为平行四边形，将所求四边形PABQ 的面积转化为求三角形POE的面积，从而得到2POEPABQS S ==四边形△，利用换元法及导数法即可求出面积的最大值. (1)设(),M x y2=，所以4x -=两边平方，得()()2224414x x y -=-+，化简，得22143x y +=，即曲线C 的方程为22143x y +=.(2)如图，由（1）知曲线C 为椭圆，A ，B 为其焦点，延长PA 与椭圆相交于另一点E ，延长QB 与椭圆相交于另一点.F设直线PE 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,E x y ，联立方程221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并化简，得()2234690,m y my ++-=， 所以122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，所以PE()22121.34m m +=+ 因为//PA QB ，所以//PE QF ，设QF 的方程为1x my =-， 同理可求()2212134m QF m +=+，所以PE QF =，所以四边形PEFQ 为平行四边形，所以四边形PABQ 的面积 2PQE POE PABQ S S S ==四边形△△. 点O 到直线PE的距离d ==所以()22121112234POEm S PE d m +=⋅=⨯=+△所以2POEPABQ S S ==四边形△()1t t ≥，所以212121313PABQ t S t t t==++四边形，令13y t t =+，则2221313t y t t -=-='，显然当1t ≥时，0y '>，所以13y t t=+在[)1,+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，y 取得最小值，且min 4y =， 所以()max3PABQS =四边形，即四边形PABQ 的最大值为3.11．（2022·全国·模拟预测（理））已知(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足AM 与BM 的斜率之积为14-，记M 的轨迹为曲线C . (1)求点M 的轨迹方程；(2)点P ，Q 在C 上，且AP AQ ⊥，求APQ 面积的取值范围.【答案】(1)221(2)4x y x +=≠±(2)160,25⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）设点(),M x y ，由坐标分别求出直线AM 、BM 的斜率，结合斜率之积为14-，得到关于x ，y 得方程，化简即可，注意考虑斜率不存在，得到取值范围；（2）直线AP 的斜率为k ，，由点斜式得到直线AP 的方程，联立椭圆C 消去y 得到关于x 的一元二次方程，联立韦达定理求得P x ，再由弦长公式求得AP ，因为AP AQ ⊥，则直线AQ 的斜率为1k-，同理可得AQ ，代入12APQ S AP AQ =△化简得到关于k 的式子，利用换元法和对勾函数得到取值范围. (1)直线AM 的斜率为(2)2AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率为(2)2BM y k x x =≠-， 由题意可知：22144224AM BM y y k k x y x x ⋅=⋅=-⇒+=+-(2)x ≠±， 故曲线C 的方程为：221(2)4x y x +=≠±.(2)不妨设P 在x 轴的上方，直线AP 的斜率为k ，则0k >.则直线AP 的方程为：()2y k x =+，联立椭圆22:14x C y +=，得2222(14)161640k x k x k +++-=，即()()()222216414164160k k k ∆=-+-=>，则由韦达定理得：22221648221414p p k k x x k k --+-=⇒=++，所以，2p AP +==由于AP AQ ⊥，所以AQ 的斜率为1k -，直线AQ 的方程为：1(2)y x k=-+，以1k -代替2||14()k AQ k⇒==+-，所以222218()118(1)||122(14)(4)4()9APQk k k k S AP AQ k k k k++====++++△‖， 令1t k k=+，由于0k >，所以2t ≥，2889494APQ t S t t t==++△.由于94t t+在2t ≥时单调递增，所以2t =时面积最大，此时1625APQ S =△. 综上：160,25APQ S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦△，故APQ 面积的取值范围为160,25⎛⎤⎥⎝⎦.12．（2022·四川·石室中学三模（理））已知点(0,M，(0,N -，(4,R ，(4,0)Q ，动点S ，T 满足RS RQ λ→→=，2()MT MR λλ→→=∈R ，直线MS 与NT 交于一点P ．设动点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线1:320l x y -=与曲线C 交于A ，B 两点，G 为线段AB 上任意一点（不与端点重合），倾斜角为α的直线2l 经过点G ，与曲线C 交于E ，F 两点.若2||||||EF GA GB ⋅的值与点G 的位置无关，求证：||||GE GF =.【答案】(1)2211612x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设(),P x y ，由M ，P ，S 三点共线，得(4y x -=-，由N ，P ，T 三点共线，得8(y λ+=，消去λ即得解；（2）不妨设点A 在第一象限，设点(2,3)G m m ，其中11m -<<，若直线2l 的斜率不存在，则直线2l 的方程为2x m =，故2||||||EF GA GB ⋅不为定值. 若直线2l 的斜率存在，设直线2l 的斜率为k ，则直线2l 的方程为(23)y kx k m =--.将直线2l 的方程代入曲线C 的方程化简、整理得到韦达定理计算即得证.(1)解：由题意，知(0,RQ →=-，从而)()4,1S λ-，则()4,MS →=-. 设(),P x y，则(,M x P y →=-，(,N x P y →=+. 由M ，P ，S三点共线，得(4y x -=-. 由()4,0MR →=，得(8,T λ，从而(8NT λ→=.由N ，P ，T三点共线，得8(y λ+=，消去λ得()22321224y x -=-，整理得2211612x y +=，即曲线C 的方程为2211612x y +=.(2)证明：由题意并结合（1）易知（不妨设点A 在第一象限），(2,3)A ，(2,3)B --. 设点(2,3)G m m ，其中11m -<<，则||)GA m =-，||)GB m =+，所以()2||||131GA GB m ⋅=-.若直线2l 的斜率不存在，则直线2l 的方程为2x m =，此时(2E m，(2,F m ，故()()222124||||||131m EF GA GB m -=⋅-不为定值.若直线2l 的斜率存在，设直线2l 的斜率为k ，则直线2l 的方程为(23)y kx k m =--.将直线2l 的方程代入曲线C 的方程化简、整理，得()2222438(23)4(23)480k x km k x k m +--+--=.设()11,E x y ，()22,F x y ，则1228(23)43km k x x k -+=+，221224(23)4843k m x x k --=+， 所以()()22212||1EF kx x =+-()(){}()222222222164(23)1643(23)1243k k m k k k m k ⎡⎤+--+--⎣⎦=+()()()222222481(23)161243k k m k k⎡⎤+--+⎣⎦=-+，故()()()()22222222481(23)1612||||||13431k k m k EF GA GB k m ⎡⎤+--+⎣⎦=⋅+-. 因为2||||||EF GA GB ⋅的值与m 的值无关，所以22(23)1612k k -=+，解得12k =-，所以1224(23)2243x x km k m k +-==+， 所以G 是EF 的中点，即||||GE GF =.13．（2022·福建三明·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0F ，过直线l ：4x =左侧且不在x 轴上的动点P ，作PH l ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且2PH MF =，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 与x 轴正半轴交于点1A ，过点()4,0S -的直线1l 交C 于A ，B 两点，AS BS λ=，点T 满足AT TB λ=，其中1λ<，证明：12ATB TSO ∠=∠. 【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，代入动点()(),0P x y y ≠的坐标，化简即可； （2）注意到S 点在x 轴上，所以12y y λ=，将λ作为桥梁，合理利用，即可求解. (1)设()(),0P x y y ≠，因为PH x ∥轴，所以HPM PMF ∠=∠， 因为PM 为HPF ∠的角平分线，所以HPM FPM ∠=∠， 所以FPM PMF ∠=∠，即MF PF =，所以12PF MF PHPH==.12=，化简整理得22143x y +=，因为P 不在x 轴上，即曲线C 的方程为()221043x y y +=≠(2)易知直线1l 的斜率存在且不为0，设1l 的方程为()40x my m =-≠.联立方程组221434x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消x 整理得()223424360m y my +-+=， 所以()()2224434360m m ∆=--⨯+⨯>，得2m >或2m <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222434m y y m +=+，1223634y y m =+. 由AS BS λ=得12y y λ-=-，所以12y y λ=， 设()00,T x y ，由AT TB λ=，得()0120y y y y λ-=-，所以21211201122236222334241134y y y y y m y y m y y my m λλ⨯++=====++++， 所以003441x my m m=-=⨯-=-， 所以点31,T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线1x =-上，且00y ≠，又因为()4,0S -与()12,0A 关于直线1x =-对称，所以1TSA △是等腰三角形， （或者证明直线TS 与直线1TA 的斜率互为相反数）所以11TSA TA S ∠=∠，因为111ATB TSA TA S ∠=∠+∠，所以12ATB TSO ∠=∠， 综上所述，12ATB TSO ∠=∠.14．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知平面上一动点P 到定点()1,0F 的距离与它到定直线1x =-的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的轨迹方程(2)已知点(2,B ，过点B 引圆()()222:402M x y r r -+=<<的两条切线BP ；BQ ，切线BP 、BQ 与曲线C 的另一交点分别为P 、Q ，线段PQ 中点N 的纵坐标记为λ，求λ的取值范围．【答案】(1)24y x ＝；(2)λ的取值范围为(--． 【解析】 【分析】(1)根据曲线轨迹方程的定义求解；(2) 设切线BP的方程为12y k x +＝（﹣）BQ的方程为22y k x +＝（﹣）1224k k r +=-， 212284r k k r =--，再求出12228y y t r +==--，即得解.(1)设(,)P x y ，|1|x =+， 化简得()222(1)1x y x -+=+， 所以24y x =，所以曲线C 的方程为24y x ＝， (2)由已知2B（，所以切线,BP BQ 的斜率存在， 设切线BP的方程为12y k x -+＝（） 则圆心40M （，）到切线AP的距离d r ==，所以22211480r k r -++（）﹣＝， 设切线BQ的方程为22y k x -+＝（）同理可得22222480r k r -++（）﹣＝，所以12k k ，是方程222480r k r -++（）﹣＝的两根，所以12k k += 212284r k k r =--，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立12(2)4y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩211048k y y k =+﹣﹣，所以11=所以114y k =-，同理224y k =-，所以121244(=22y y k k λ-+-++=12112k k ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=﹣12122k k k k +⋅=﹣224284r r r -=-⋅--=- 因为02r ＜＜，所以2111884r <<-所以--<- 所以λ的取值范围为(--．15．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知点()2,0A -，()2,0B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为12-，记动点P 的轨迹为曲线C(1)求曲线C 的方程；(2)设D 为曲线C 上的一点，线段AD 的垂直平分线交y 轴于点E ，若ADE 为等边三角形，求点D 的坐标﹒【答案】(1)()220421x y y +=≠；(2)25⎛- ⎝⎭或2,5⎛-⎝⎭﹒ 【解析】 【分析】(1)设P (x ，y )(y ≠0)，根据12PA PB k k ⋅=-即可求C 的方程；(2)设()00,D x y (00y ≠)，根据D 在C 上列出一个方程，用D 表示出E ，根据ADE 为等边三角形的AD AE =，由此可得第二个方程，两根方程联立即可求出D 的坐标． (1)设点P 的坐标为()(),0x y y ≠，∵直线PA 与直线PB 的斜率之积为12-，∵12PA PBk k ⋅=-，即1222y y x x ⨯=-+-，化简得22142x y +=， ∵曲线C 的方程为()220421x y y +=≠；(2)设()00,D x y (00y ≠)，()0,E t ，线段AD 的中点为002,22x y Q -⎛⎫⎪⎝⎭， 则直线AD 的斜率002AD y k x =+，直线QE 的斜率00222QEy t k x -=-， 由题可知1AD QEk k ⋅=-，∵000021222y t y x x -⨯=--+，整理得2000422y x y t -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又∵2200142x y +=，∵20002y y t y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得02y t =-，故00,2y E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又∵ADE 为等边三角形，有AD AE =，220003404y x x ++=，∵20532120x x ++=，解得025x =-或06x =-(舍去)， 将025x =-代入2200142x y+=，解得0y0y = ∵点D的坐标为25⎛- ⎝⎭或2,5⎛-⎝⎭． 16．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点F （2，0）且与直线2x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线Γ． (1)求曲线Γ的方程；(2)过点M （m ，0）（m ＞0）作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与曲线Γ交于A ，B 两点，2l 与曲线Γ交于C ，D 两点，点P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，求△MPQ 面积的最小值． 【答案】(1)28y x = (2)16 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，列出等量关系，整理得到轨迹方程；（2）设出直线方程，与第一问求出的抛物线联立，得到两根之和，两根之积，从而表达出点P ，Q 的坐标，表达出△MPQ 面积，利用基本不等式求出面积的最小值. (1)设圆心为(),A x y ，2=+x ，两边平方，整理得：28y x =，故曲线Γ的方程为28y x =.(2)显然直线12,l l 斜率均存在，不妨设1:l x ky m =+，（0k >）与28y x =联立得：2880y ky m --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y k y y m +==-，则()21212282x x k y y m k m +=++=+，故21242x x k m +=+，1242y y k +=，所以()24,4P k m k +，由于直线12,l l 互相垂直，故244,Q m kk ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2MPQSk m m m m =+--1816k k ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1k k ，即1k =时等号成立，所以△MPQ 面积的最小值为16.17．（2021·福建省德化第一中学三模）在平面直角坐标系中，∵ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为()1,0-，()1,0，平面内两点G ，M 同时满足以下3个条件：∵G 是∵ABC 三条边中线的交点：∵M 是∵ABC 的外心；∵//GM AB(1)求∵ABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若点P （2，0）与（1）中轨迹上的点E ，F 三点共线，求||PE PF ⋅的取值范围【答案】(1)221(0)3y x y +=≠；(2)93,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得轨迹方程；（2）设出三点所在的直线方程，与（1）中的轨迹方程联立，由判别式大于0求出2k 的范围，利用韦达定理得到E ，F 两点横坐标的和与积，将PE PF ⋅表示为k 的关系式，进一步得到PE PF ⋅的取值范围． (1)设C （x ，y ），G （0x ，0y ），M （M x ，M y ）， 因为M 是∵ABC 的外心，所以MA MB = 所以M 在线段AB 的中垂线上，所以1102M x -+==， 因为/GM AB ，所以0M y y =，又G 是∵ABC 三条边中线的交点，所以G 是∵ABC 的重心， 所以0011003333x x y yx y -++++====，， 所以03M yy y ==， 又MA MC =，=化简得()22103y x y +=≠，所以顶点C 的轨迹方程为()22103y x y +=≠；(2)因为P ，E ，F 三点共线，所以P ，E ，F 三点所在直线斜率存在且不为0， 设所在直线的方程为()2y k x =-，联立()222,1,3y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()222234430k x k x k +-+-=．由()()()2222443430k k k ∆=-+->，得21k <．设()11,E x y ，()22,F x y ，则212221224,343.3k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩所以()()2121212142PE PF x x k x x x x ⋅=--=+⋅-++⋅()()()222224384313k k k k k +-+-=+⋅+()2229118933k k k +==-++．又201k <<，所以2334k <+<， 所以932PE PF <⋅<． 故PE PF ⋅的取值范围为93,2⎛⎫⎪⎝⎭．18．（2022·广西柳州·三模（理））已知点(A ，点(2,B -，点M 与y 轴的距离记为d ，且点M 满足：214d MA MB ⋅=-，记点M 的轨迹为曲线W ． (1)求曲线W 的方程；(2)设点P 为x 轴上除原点O 外的一点，过点P 作直线1l ，2l ，1l 交曲线W 于点C ，D ，2l 交曲线W 于点E ，F ，G ，H 分别为CD ，EF 的中点，过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ，设CD ，EF ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，3k 的，求证：()312k k k +为定值．【答案】(1)22186x y +(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)设(),M x y ，则d x =，根据平面向量数量积的坐标表示化简计算即可；(2)设()0,0P x 和直线GH 的方程，进而求出点G 的坐标，设(,)C C C x y 、(,)D D D x y ，利用点差法和弦中点坐标公式计算化简可得()2401014330k x m k x k m +++=，同理可得()2402024330k x m k x k m +++=，根据韦达定理可得()124034x k k k x m +=-+，代入()312k k k +计算化简即可. (1)设(),M x y ，由题意得d x =，()2MA x y =-，()2,MB x y =--由214d MA MB ⋅=-,∵()()222,14d x y x y -⋅--=-∵2224314x x y -+-=-．∵22364x y +=， 即M 的轨迹方程为22186x y +；(2)显然GH 斜率存在，设()0,0P x ，设GH 的方程为：4y k x m =+ 由题意知CD 的方程为：()10y k x x =-联立方程()104y k x x y k x m⎧=-⎨=+⎩ 解得：()101414014k x m x k k k k x m y k k +⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩ 可得：()140101414,k k x m k x m G k k k k +⎛⎫+ ⎪--⎝⎭设(,)C C C x y ，(,)D D D x y ，C ，D 都在曲线W 上，则有22186C Cx y +=∵22186D D x y +=∵ ∵-∵得：2222086C D C D x x y y --+=则有：134C D C DC D C Dy y x x k x x y y -+==-⋅-+又G 为CD 中点，则有；()10114034C D C D y y k x m k x x k k x m -+==-⋅-+可得：()2401014330k x m k x k m +++= 同理可得：()2402024330k x m k x k m +++=故1k ，2k 为关于k 的方程()24004330k x m k x k m +++=的两实根由韦达定理得：()124034x k k k x m +=-+，将0x x =代入直线GH 中得：40y k x m =+ 可得：()040,N x k x m +故有：4030k x mk x += 则()()4003120403344k x m x k k k x k x m ⎡⎤++=⋅-=-⎢⎥+⎣⎦，故()312k k k +为定值34- 19．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆22:2O x y +=与x 轴交于A ，B 两点，动点P 满足直线AP 与直线BP 的斜率之乘积为12-.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点()1,0的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，则在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅的值为定值？若存在，求出点Q 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2212x y +=，(x ≠；(2)存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得QM QN ⋅为定值716-，理由见解析；【解析】 【分析】（1）设出动点(),P xy (x ≠，利用直接法求解轨迹方程；（2）先求出直线l 斜率为0时不合题意，得到直线斜率不等于0，从而设出直线l 的方程1x ky =+，联立第一问求出的轨迹方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，设出(),0Q m ，求解QM QN ⋅，化简整理得到QM QN ⋅()224522m m k -=--+，从而得到存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得QM QN ⋅为定值716-.(1)令0y =得：x =()),A B ，(),P x y (x ≠，则12PA PB k k ⋅==-，整理得：2212x y +=，(x ≠；动点P 的轨迹方程E 为2212x y +=，(x ≠；(2)存在点(),0Q m ，使得QM QN ⋅为定值，理由如下：当直线l 斜率为0时，则直线l 为0y =，此时与2212xy +=，(x ≠无交点，故不合题意，舍去，即直线l 斜率不为0设(),0Q m ，直线l 设为1x ky =+，则与2212x y +=，(x ≠联立得：()222210k y ky ++-=，设()()1122,,,M x y M x y ，则12122221,22k y y y y k k +=-=-++，所以()()()()11221212,,QM QN x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+()()()()221212121212121111x x m x x m y y ky ky m ky ky m y y =-+++=++-+++++()()()()22121211k y y k mk y y m =++-++-()224522m m k -=--+ 当450m -=即54m =时，QM QN ⋅为定值，即存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得QM QN ⋅为定值716-； 综上：存在点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭使得QM QN ⋅为定值716-.20．（2022·全国·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面∵∵∵中选取两个作为条件，证明另外一个成立：∵M 在AB 上；∵PQ AB ∥；∵||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213y x -= (2)见解析 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k , M (x 0,y 0),由∵|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由∵//PQ AB 等价转化为003ky x =，由∵M 在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可. (1)右焦点为(2,0)F ，∵2c =,∵渐近线方程为y =，∵ba=∵b =，∵222244c a b a =+==，∵1a =，∵b =∵C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由∵∵推∵或选由∵∵推∵：由∵成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选∵∵推∵，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符； 总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件∵M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--, 设()00,M x y ,则条件∵AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-, 移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM∵由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∵)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==---,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =, 代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦, 解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∵0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫-++-=--⎪--⎭∵03x m y =, ∵条件∵//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=， 综上所述：条件∵M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件∵//PQ AB 等价于003ky x =；条件∵AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选∵∵推∵:由∵∵解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∵∵成立； 选∵∵推∵：由∵∵解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∵003ky x =，∵∵成立； 选∵∵推∵：由∵∵解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∵02623x k -=-，∵()2002ky k x =-，∵∵成立.。
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专题：圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。
这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =- ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等，故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。
析：设点D 为BC 的中点，显然有OP OA AP -= 12AB BC AB BD AD +=+= [),0,AP AD λλ=∈+∞ 故点P 的轨迹是射线AD ， 所以，轨迹一定过三角形的重心。
三、大显身手1、直接法例1、设过点P （x,y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，若,2PA BP =且1=⋅AB OQ ,则P 点的轨迹方程为 解：设(,0),(0,)A a B b 又(,)P x y 所以(,),(,)BP x y b PA a x y =-=--又,2PA BP = 所以32()223x a x a xy b y b y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩33(,0),(0,3)(,3)22A xB y AB x y ∴∴=-而Q 点与P 点关于y 轴对称，∴点Q 的坐标为(,)x y - 即(,)OQ x y =- 又1=⋅AB OQ 所以223312x y += 这个方程即为所求轨迹方程。
变式1、已知两点M （-2,0），N （2,0），点P 满足0=⋅+⋅NP MN MP MN ,动点P 的轨迹方程为 解:设(,)P x y 则：224,(2),(4,0),(2,).MN MP x y MN NP x y ==++==-又0=⋅+⋅NP MN MP MN224(2)4(2)0x y x ∴+++-= 化简得所求轨迹方程为：28y x =-2、定义法例2、已知圆A 的方程为100)3(22=+-y x ，点B （-3,0），M 为圆O上任意一点，BM 的中垂线交AM 于点P ，求点P 的轨迹方程。
解：由题意知：BP MP =AM PA MP PA PB =+=+∴又圆A 的半径为10，所以 10=AM10=+∴PB PA即点P 的轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆 （椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为)5(1162522±≠=+x y x 变式2、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点为21,F F ，P 是椭圆上的任意一点，如果M 是线段P F 1的中点，则动点M 的轨迹方程是解：因为M 是线段P F 1的中点，连接OM ，则221PF OM =1121PF MF = 由椭圆的定义知：a PF PF 221=+a PF PF MO MF =+=+)(21211 即点M 到定点O 、定点1F 的距离和为定值a ，故动点M 的轨迹是以O 、1F 为焦点，以a 为长轴的椭圆，其方程为14)2(42222=++by a c x（说明：此题也可以用代入法解决）3、坐标转移法（代入法）OPxyABMxyPF1F2M例3、从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
解：设Q ),(00y x 则由⎩⎨⎧=-+=+--02000y x y x y x 可得 N 点坐标 ⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=22220000y x y y x x 设),(y x P 由中点坐标公式可得：⎩⎨⎧-+=-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=23223222322232000000y x y y x x y x y y x x 又点Q ),(00y x 在双曲线122=-y x 上， 所以 4442020=-y x 代入得4)23()23(22=-+--+y x y x化简得 21)21()21(22=---y x 即为所求轨迹方程。
变式3、自抛物线x y 22=上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于R ，求点R 的轨迹方程。
解：设),(),,(00y x P y x R ∵抛物线的方程是x y 22=∴),21(),0,21(0y Q F -所以 直线OP 的方程是000=-x x x y 直线QF 的方程是 02100=-+y y x y 联立两方程得：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=12212200x y y x x x 又 0202x y =所以 )122(2)122(2--=--x xx y 化简得：0222=-+x y x 即为所求轨迹方程。
4、参数法例4、设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0,1）的直线l 交椭圆于A 、B ，点P 满足)(21OB OA OP +=,点)21,21(N ，当直线l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）NP 的最大、最小值。
解：（1）设直线l 的方程为1+=kx y 代入椭圆方程得032)4(22=-++kx x k设),(),,(2211y x B y x A 则 22142kkx x +-=+ 2422)(222121++-=++=+∴kk x x k y y 设动点P 的坐标为),(y x ，由)(21OB OA OP +=可得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+-=+=22122144242k y y y k k x x x 消去参数k 即得所求轨迹方程为：0422=-+y y x 当斜率k 不存在时，点P 的坐标为（0,0）显然在轨迹上，故动点P 的轨迹方程为0422=-+y y x 。
（2）P 点的轨迹方程可以化为1)21(41622=-+y x所以可设点P 的坐标为)sin 2121,cos 41(αα+ 则21cos 41cos 163)sin 21()21cos 41(2222+--=+-=ααααPN127)32(cos 1632++-=α所以 当32cos -=α时 621max=PN 当1cos =α时 41min =PN 变式4、过抛物线x y 22=的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB.(1) 求弦AB 的中点的轨迹方程；（2）证明：直线AB 与x 轴的交点为定点。
解：（1）由题意知OA 的斜率存在且不为零，设为k则直线OA 的方程为kx y =与抛物线x y 22=联立可得点A 的坐标为)2,2(2kk 同理可得点B 的坐标为)2,2(2k k - 设弦AB 的中点为M （x,y ）则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=kk y k k x 1122消去k 得弦AB 的中点的轨迹方程为 22-=x y（2）直线AB 的斜率为21k kk AB -= 所以，其方程为)2(1222k x kk k y --=+ 令0=y 得2=x 故直线AB 与x 轴的焦点为定点（2,0）5、交轨法例5、垂直于x 轴的直线交双曲线1222=-b y a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状。
解：.解：(1)设M 点的坐标为(x 1,y 1)，则N 点坐标为(x 1,－y 1),又有)0,(),0,(21a A a A -则A 1M 的方程为：y =)(11a x ax y ++ ① A 2N 的方程为：y =－)(11a x ax y -- ② ①×②得：y 2=－)(2222121a x ax y --③又因点M 在双曲线上，故).(,12212221221221a x ab y b y a x -==-即代入③并整理得2222by a x +=1.此即为P 的轨迹方程.变式5、设点A 、B 为抛物线)0(22>=p px y 上除原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB,OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
解:设OA=y=kx, 则x ky OB 1:-=，⎪⎩⎪⎨⎧==pxy kx y 22 得)2,2(2k p k p A 同理 B(2pk 2, -2pk)22222111112222k kk k k kkk pk k p pk k p k AB -=-=-+=-+= AB:23222121)2(12k pk x k k pk x k k pk y ---=--=+ )2(11211221222232p x kkk pk x k k k pk pk x k k y --=---=----=....① 而op: x kk y 21-=.....② ∵ M 为AB 与OM 的交点，联立①②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=)2......(..........1)1).......(2(122x k k y p x k k y(1)×(2)消去k,y 2=-(x-2p)x, ∴ x 2+y 2-2px=0(x ≠0)即为所求.四、享受战果1、已知4),0,2(),0,2(=+-PN PM N M ，则动点P 的轨迹方程为 析:满足条件的点在线段MN 上，故轨迹方程是0(22)y x =-≤≤2、经过抛物线px y 22=焦点的弦的中点的轨迹方程为析：设过焦点的弦AB 所在的直线方程为()2py k x =-代入抛物线方程消去y 的 2222222()2(2)024p k p k x px k x p k x -=⇒-++= 设1122(,),(,)A x y B x y AB 的中点为(,)M x y则 []21221212(2)22()22x x p k x k y y k p y x x p k ⎧++==⎪⎪⎨+⎪==+-=⎪⎩消去参数k 得2()2py p x =- 这就是所求轨迹方程。