6.1平方根 (三)
6.1 平方根(3)
四、反思总结
通过本节课的学习，你学会了哪些知识和方法？还有什么困惑？
【自我检测】
1.数9的平方根是， 的平方根是，(-7)2的平方根是。
2.下列说法中不正确的是（）
A. 是5的平方根B.－ 是5的平方根
C.5的平方根是 D.5的算术平方根是
课题：6.1平方根（3）
郧县城关一中熊勇
【学习目标】
1.理解平方根的概念，会用根号表示一个非负数的平方根，明确平方根与算术平方根的区别与联系。
2.会求一个非负数的平方根，知道开平方与平方互为逆运算，掌握平方根的性质。
【前置学习】
一、基础回顾
1.49的算术平方根是，0的算术平方根是，-25有算术平方根吗？。
4.任何数都有平方根吗？若不是，哪些数有？有几个？哪些数没有呢？为什么？
5.正数 的平方根、算术平方根、负的平方根各怎样表示？它们之间有何关系？
6.若正数m的算术平方根是3.654，则m的平方根、负的平方根各是多少？
三、疑难摘要
。
【学习探究】
一、合作交流、解决困惑
1．小组交流：
通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？互相解答存在的困惑。
2.班级展示与教师点拔：
展示一：(1)什么是平方根？平方根有什么性质?
(2)什么叫开平方？开平方与平方运算是什么关系？
（3）当时，± 有意义；当时，± 无意义。
展示二：（教师结合学生情况自主生成）
二、应用新知、解决问题
例1.求下列各式的值: (1) (2)- (3)± (4)
例2.求下列方程中的 的值: (1) (2)
3.求下列各式的值
（1） (2)－ (3)±
4.求下列方程中的 的值: (1) 4 (2)
人教版七年级数学下册《平方根》第三课时教学设计
6.1平方根（第3课时）教学设计
【教学过程】
师生共建
1．归纳平方根的概念
如果一个数的平方等于9，这个数
是多少？
由于()2
3=9
±，所以这个数是3
或-3.
3是前面学习过的9的算术平方根，
-3与9的算术平方根有什么关
系？
根据上面的研究过程填表：
如果我们把
2
1467
5
±±±±±
、、、、
分别叫做
4
1163649
25
、、、、
的平方根，你能类比算术平方根的概
念，给出平方根的概念吗？
一般地，如果一个数的平方等于
a，那么这个数叫做a的平方根或二次
方根．这就是说，如果2x a
=，那么x
叫做a的平方根．
例如：3和-3是 9的平方根，
简记93
±=±
2．平方根的表示
通过课本上例题来引
出平方根。
通过对已知x2的平方
求x的运算让学生逐渐归
纳得出平方根的定义。
分层达标
学生练习。
学生完成后教师引导分析。
归纳小结这节课主要学到了什么内容？教师引导学生归纳本
节学习的主要内容
作
业
布
置
教科书习题6.1第3、4、7、8题。
第4套人教初中数学七下 6.1 平方根课件3 【经典初中数学课件 】
2、平行公理：经过 直线外 一点，有且只有 一 条 直线与这条直线平行；
3、推论：如果两条直线都与第三条直线‗‗‗平‗‗行‗‗‗， 那么这两条直线也互相平行. 即：如果b∥a，c∥a，那么‗‗‗b‗∥‗‗c‗‗‗‗‗‗；
（2）
5 6
是 25
36
的一个平方根.（√
）
X X （3） 42 的平方根是－4. （ ） （4） 25 的平方根是±5. （ ）
2.求出下列各数的平方根.
⑴0.04
⑵ 81
121
⑶6 1
4
⑷
(2) 81 9 121 11
(3) 25 5 42
4、学习反思： ‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗ ‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗。
五、强化训练
判断题 ①不相交的两条直线叫做平行线( × ) ②两条直线的关系只有相交、平行两种（ × ）
直线b相交逐步变为在直线c 的右侧与b相交。想象一下， 在这个过程中，有没有直线 a与直线b不相交的位置呢？
c a
A
B
b
二、学习目标
1 理解平行线的意义，了解 同一平面内两条直线的两种位 置关系；
2 理解并掌握平行公理及其 推论，会根据几何语句画图、 用直尺和三角板画平行线.
知平
识行
点 一
线 的
8.求满足下列各式的 x 的值.
（1） 25x2 36 0 ; (2) 21 x2 1 ; (3) 1 2x 32 52 .
人教版七年级数学下册教案 6.1 平方根(3课时)
第六章实数教材简析本章的内容包括：平方根、立方根、实数．在学习了有理数的基础上，加强与实际的联系，从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数，即无理数，开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比，数的范围由有理数扩充到实数，与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用．在中考中，本章的考点有平方根、立方根的定义及运算，实数的运算及大小比较等，考查基本概念及基本计算．教学指导【本章重点】平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算．【本章难点】对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】1．体会分类的数学思想，如：对实数进行分类．2．掌握分类讨论思想，如：由于一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论．3．掌握转化思想，如：学习了平方根和立方根后，运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解．4．体会数形结合思想，如：数的范围由有理数扩充到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，这样可以通过观察“形”的特点，解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划6．1平方根3课时6．2立方根1课时6．3实数1课时6．1 平方根第1课时算术平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根．3．了解算术平方根的性质．【过程与方法】加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平，鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神．【情感态度与价值观】通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】算术平方根的概念．【教学难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P40的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数.2．规定：0的算术平方根是0.3．算术平方根具有双重非负性：(1)a≥0；(2)a≥0.4．求下列各数的算术平方根：(1)81；(2)0.25；(3)23.解：(1)9.(2)0.5.(3)23.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)0.36；(3)214；(4)412－402.【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？ 【解答】(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8. (2)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6. (3)∵⎝⎛⎭⎫322＝94＝214，∴214的算术平方根是32. (4)∵412－402＝81，92＝81，∴81＝9.∵32＝9， ∴412－402的算术平方根是3.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．5的算术平方根为( A ) A.5 B ．25 C ．±25D ．±52．一个数的算术平方根是34，这个数是( C )A.32 B ．34C.916D ．不能确定3．要切一块面积为0.81 m 2的正方形钢板，它的边长是0.9m. 4.4的算术平方根是 2.5．已知3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知x 、y 为有理数，且x －1＋3(y －2)2＝0，求x －y 的值．【互动探索】算术平方根和平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得出什么结论？【解答】由题意，得x －1＝0，y －2＝0， 所以x ＝1，y ＝2. 所以x －y ＝1－2＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)算术平方根、绝对值和平方式都具有非负性，即a ≥0，|a |≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a性质：双重非负性⎩⎨⎧a ≥0a ≥0练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 估算算术平方根教学目标 一、基本目标 【知识与技能】1．会比较两个数的算术平方根的大小．2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识． 3．会用计算器求一个数的算术平方根． 【过程与方法】体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数． 【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】夹值法及估计一个(无理)数的大小． 【教学难点】夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P41～P44的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．实际上，许多正有理数的算术平方根(例如3，5，7)都是无限不循环小数．2．被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律：当被开方数扩大(或缩小)到原来的100倍⎝⎛⎭⎫1100，10000倍⎝⎛⎭⎫110000…时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)到原来的10倍⎝⎛⎭⎫110，100倍⎝⎛⎭⎫1100… 3．用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法： 大多数计算器都有 键，用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．先按ON 键开机，再按键、“被开方数”、＝，即可显示“算术平方根”． 4．与37最接近的整数是( B ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】通过估算比较下列各组数的大小： (1)5与1.9； (2)6＋12与1.5. 【互动探索】(引发学生思考)(1)估算5的大小，或先求1.9的平方，再比较5与1.92的大小；(2)先估算6的大小，再比较6与2的大小，从而进一步比较6＋12与1.5的大小．【解答】(1)(方法一)因为5>4，所以5>4，即5>2，所以5>1.9. (方法二)因为1.92＝3.61,3.61＜5，所以5>1.9.(2)因为6>4，所以6>4，所以6>2，所以6＋12>2＋12＝1.5，即6＋12>1.5.【互动总结】(学生总结，老师点评)比较两个数的大小常用方法有：①作差比较法；②作商比较法；③移因数于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．估计5＋1的值，应在(C)A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．估算19－2的值(B)A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间3．计算：(1)1225；(2)36.42(精确到0.001)；(3)13(精确到0.001)．解：(1)1225＝35.(2)36.42≈6.035.(3)13≈3.606.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下关系式：d＝7×t－12(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？【互动探索】(1)根据题意可知是求当t＝16时d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；(2)根据题意可知是求当d＝35时t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．【解答】(1)当t＝16时，d＝7×16－12＝7×2＝14.即冰川消失16年后苔藓的直径是14厘米．(2)当d＝35时，即7×t－12＝35，所以t－12＝25，解得t＝37.即冰川约是在37年前消失的．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查算术平方根的实际应用，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．夹值法及估计一个(无理)数的大小．2．用计算器求一个正数的算术平方根．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握数的开方的意义、平方根的意义、平方根的表示方法．【过程与方法】通过带领学生探究一个数的平方根，使学生理解数的开方、平方根的概念．【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力．二、重难点目标【教学重点】平方根的概念．【教学难点】求一个数的平方根．教学过程环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P44～P46的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根或叫二次方根．也就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．2．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．3．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算．4．下列说法不正确的是(C)A．－2是2的平方根B.2是2的平方根C ．2的平方根是 2D ．2的算术平方根是 2 5．求下列各数的平方根： 16,0，49，242.解：16的平方根是±4. 0的平方根是0. 49的平方根是±23. 242的平方根是±24. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生对学) 【例1】求下列各数的平方根： (1)12425； (2)0.0001； (3)(－4)2； (4)81.【互动探索】(引发学生思考)把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．【解答】(1)∵12425＝4925，⎝⎛⎭⎫±752＝4925，∴12425的平方根是±75，即±12425＝±75. (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01. (3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±(－4)2＝±4. (4)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3.【互动总结】(学生总结，老师点评)正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数．【互动探索】(引发学生思考)一个正数的平方根有两个，它们之间有什么关系呢？ 【解答】由于一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0. 即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．活动2 巩固练习(学生独学)1．关于平方根，下列说法正确的是( B ) A ．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数 B ．负数没有平方根C ．任何一个数只有一个算术平方根D ．以上都不对2．如果a 、b 分别是16的两个平方根，那么ab ＝－16. 3．若25x 2＝16，则x 的值为±45.4．求下列各数的平方根：(1)196； (2)10－4； (3)144169； (4)3625.解：(1)±14. (2)±10－2. (3)±1213. (4)±95.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】求下列各式中x 的值． (1)x 2＝361； (2)81x 2－49＝0； (3)(3x －1)2＝(－5)2.【互动探索】上述方程都可以化成一个数或代数式的平方的形式，结合平方根的定义，你能算出x 的值吗？【解答】(1)∵x 2＝361，∴开平方，得x ＝±361＝±19. (2)整理，得x 2＝4981，∴开平方，得x ＝±4981＝±79. (3)∵(3x －1)2＝(－5)2，∴开平方，得3x －1＝±5. 当3x －1＝5时，x ＝2；当3x －1＝－5时，x ＝－43.综上所述，x ＝2或－43.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)平方根⎩⎪⎨⎪⎧平方根的概念平方根的性质开平方及相关运算练习设计请完成本课时对应练习！。
人教版七年级数学下册课件：6.1平方根(3)
平 方 运 算
底数
幂
a的平方根 被开方数
已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数
开平方与平方的对比填空
运算 适用 运算结 符号 范围 果名称
性质
开 方
正 数 与 零
平 方 根
正数有 2 个平方根,它们是互为相反,数 零的平方根是 0 ,
负数 没有平方根 .
平 方
a2
任 何
幂
数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方是 正 数.
36的平方根是 ± 6； ４的平方根是 2；
（ 5）2的平方根是 5 ； 9的算术平方根是 3 ； 16的算术平方根的平方根是 ± 2 。
2. 求下列各数的平方根:
9 （1） 81 （2）10 （3）4 （4）0.49 （5）169
分析 问：解题思想方法是？ 答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。 即求出平方等于81的所有数。
（× ）
（6）7的平方根是±49.
(× ) 7
思考？
• 6.平方根与算术平方根有什么异同？
• 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系
（1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平
方根是平方根的一种。
（2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非
负性
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。
区别
(6)若 3 是x的一个平方根，那么x的另一个平方根是
（ 3 ）；
(7)平方根等于它本身的数是（ 0 ），算术平方根等于 它本身的数是（ 0，1）；
(8) 一个数的平方等于 0.01 ，这个数是（±0.1）；
(9) (5)2 = 5
25 (10)求下列各数的平方根：0.81 , 0， 81 49
6.1平方根(3)
思源实验学校教师备课记载表 年 月 日 第 节课 授课人签名：主备人姓名 余凤姣任教年级 七年级 任教科目 数学 参与备课教师姓名：课题 6.1 平方根（3）教学目标（三维目标体现）1.知识与技能：会用计算器求一个数的算术平方根；体验“无限不循环小数”的含义2.过程与方法：通过观察、动手操作，小组探究等活动，理解2等数字。
3.情感态度与价值观：体验数学来源于生活，数学的发展也是人类社会文明进步的体现。
教学重点认识2等无限不循环小数 教学难点夹值法及估计一个（无理）数的大小。
教、学法设计教学设计主备人完整教案（可增加页码） 备课参与人个性化补充 （含授课前要点个性标注、课后重要环节简要后记，补充及小结）教学过程：一、复习引入一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2 ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”, a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0 。
取值范围：a 中，0≥a ，0≥a活页常用的三大非负数：a ，2a ，a例1 求下列各数的算术平方根：（1）100 （2）6449 （3）0.0001 例2：求下列各式的值：（1）1 （2）259 （3）24 （4）0 二、提出问题（1）能否用两个面积为 1 dm2的小正方形拼成一个面积为 2 dm2的大正方形？学生活动：剪一剪，试一试。
（2）拼成的这个面积为 2 dm2 的大正方形的边长应该是多少呢？解: 设大正方形的边长为x dm ，则 22=x由算术平方根的定义，得 2=x所以大正方形的边长为2 dm（3）2有多大呢？先让学生思考讨论并估计大概有多大，在此基础上按书本讲解并板书．可以这样提出问题并讲解：由直观可知招大于1而小于2，那么了2是1点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1.5，2大于1.4而小于1.5...... 关于2是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明．为无理数的概念的提出打下基础．归纳（提出问题）：你对正数a 的算术平方根a 的结果有怎样的认识呢？ a 的结果有两种情：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
人教版七年级数学(下)课件：6_1 平方根(第3课时)
探究新知
知识点 1 平方根的概念及性质
要做一张边长是3分米的方桌 面，它的面积是多少？
这个问题实际上就是求：
32 ？
答：9平方分米. 乘方运算
这是已知底数和指数，求幂的运算.
3分米
探究新知 反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的
边长是多少分米？
实际上就是要求出一个数，使
解: 由于 62 36,
因此36的平方根是6与-6.
即± 36=± 6 .
探究新知
（2） 25 ; 有两个平方根
9
解: 由于
5 2 3
25 9
，
因此
25 9
的平方根是
5 3
与
-
5 3
.
即±
25 9
=±
5 3
.
（3）1.21. 有两个平方根
解: 由于1.12 1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8
-8
3
4
-
3 4
11 ？
-11 ？
0.6 ？
-0.6 ？
0
？ ？
没有？ ？
？64
？9 16
121 0.36
0 -4
探究新知
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的 数.我们抽象出下述概念：
如果有一个数x，使得x2=a，那么我们把x叫作a的一个平方 根，也叫作二次方根.
可以省略 根指数
a 非负数a的平方根表示为： 2
根号 被开方数
一个正数a的正平方根，用“ a ”表示，（读作“根号
人教版七年级数学下册 教案6.1 第3课时《算术平方根和平方根》
人教版七年级数学下册教案6.1 第3课时《算术平方根和平方根》一. 教材分析《算术平方根和平方根》是人教版七年级数学下册第六章第一节的内容。
本节课主要介绍了平方根和算术平方根的概念，以及它们的性质和运算。
通过学习本节课，学生能够理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的性质和运算，并为后续学习二次根式打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘方，对数的认识，以及一些基本的代数运算。
但是，对于平方根和算术平方根的概念和性质可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这些概念和性质。
三. 教学目标1.理解平方根和算术平方根的概念。
2.掌握平方根和算术平方根的性质和运算。
3.能够运用平方根和算术平方根解决实际问题。
四. 教学重难点1.平方根和算术平方根的概念。
2.平方根和算术平方根的性质和运算。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过具体例子和实际操作，引导学生主动探索、积极思考，培养学生的动手操作能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.练习题。
3.教学道具（如平方根和算术平方根的模型）。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或数学故事，引出平方根和算术平方根的概念。
例如，讲解勾股定理时，提到直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，从而引出平方根和算术平方根的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示平方根和算术平方根的定义，以及它们的性质和运算。
让学生观察和思考，引导他们发现其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，运用平方根和算术平方根的性质和运算，解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目难度可以适当调整，以保证大部分学生能够成功。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出其中的错误和不足。
5.拓展（10分钟）引导学生运用平方根和算术平方根解决更复杂的问题，如二次方程的求解、实际生活中的测量等。
部编人教版七年级下册数学6.1第1课时《算术平方根3》教案
6.1.1 算术平方根教学目标1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.重点：了解算术平方根的概念、性质.难点：了解算术平方根的概念、性质.教学过程一、创设情境问题：活动1学校要举行美术作品比赛，伊克拉木很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？答：因为52＝25（板书：因为52＝25），所以这个正方形画布的边长应取5分米（板书：所以边长＝5分米）.请同学们填表：正方形的面积1 9 16 36 4/25边长问题实质：已知一个正数的平方a，怎样求出这个正数呢？结论：已知一个正数的平方，求这个正数的思想方法是平方运算的逆运算.这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念.【教学备注】【教师提示】课件演示一张面积为25平方分米的图片二、目标导学,探索新知目标导学1：理解掌握算术平方根的概念归纳算术平方根的概念。
活动2让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.生任意抽一张卡片，让其他学生回答平方或算术平方根.按以上过程抽完所有卡片。
精讲活动3求下列各数的算术平方根。
求下列各数的算术平方根①25 ②9/25 ③0.36 ④0学习目标2：掌握算术平方根的性质精讲：下列式子表示什么意义？你能求出它们的值吗？活动4 练一练三、巩固训练，熟练技能四、归纳总结，板书设计1）算术平方根的概念；（2）算术平方根的双重非负性；（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆运算，利用这个互逆运【教学提示】请学生把算术平方根概念默读两遍。
第六章 6.1 平方根(3)
【典例剖析】求下列各数的平方根： 9 (1)100; (2) ; (3)0.25.
16
解：（1）因为(±10)2=100， 所以100的平方根是±10；
3 2 9 9 3 (2)因为 ( ) ; 所以 平方根是 ; 4 16 16 4
（3）因为(±0.5)2=0.25, 所以0.25的平方根是±0.5.
【典例剖析】求下列各式的值：
(1) 144; (2) 0.81; 121 (3) ; 196
解：（1）因为122=144， 所以 144 12;
（2）因为0.92=0.81， 所以 0.81 0.9;
11 2 121 (3)因为 ( ) , 所以 121 11. 14 196 196 14
平方根
二次方根 平方根 逆运算 两 相反数 算术平方 没有
a a a
正、负根号a
情景导入
【活动1】王东同学说：“如果一个数的平方等于9，那么 这个数一定是3.”你觉得他说的对吗？ 学生活动：小组合作探究. 展示与点评1：王东同学说的不对. 3的平方等于9，但平方等于9的数却不一定是3，因为 （－3）2=9，所以这个数可以是3，也可以是－3，因此， 如果一个数的平方是9，那么这个数是3或－3.我们知道3 是9的算术平方根，那么－3与9除了平方关系外，还有什 么特殊关系吗？接下来，我们一起来探究平方根的秘密.
a
任 何 幂 数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方是 正 数.
填空：
3
2
=( 9 )
2
(－3 ) = ( 9 ) 1 2 1 (2 ) =( 4 ) 1 1 2 (－ ) =( 4 ) 2 2 0 =( 0 ) 什么叫乘方？什么叫幂？ 乘方运算
6.1平方根(课时3)课件(新人教版七年级数学下)
【学习目标】
1.掌握平方根的概念，明确平方根与算术平方根的联系与区别. 能用符号正 确地表示一个数的平方根 2.理解开平方与平方间的互逆关系.根据这种互逆关系求一个数的平方根.
.
【重点难点】
重点：平方根的概念; 求一个数的平方根. 难点：平方根的概念; 求一个数的平方根.
9
数学活动二:数学活动二：求一个数的平方根
把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,而平方运算与开平方运算互 为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根. 例如当 2 时,x=±1; 当 2 时,则x=±4,
x = 16 x =1 2 2 当x = 36 时,x=±6; 当 x = 49 时,x=±7; 2 4 4 2 当x = ,则 ± 为 的平方根,它们的对应关系如图所示. 25 5 25
【当堂达标】
1. 169 的平方根是多少？
2.
16 的值为多少?16的平方根为多少? 16 的平方根呢?
3.若 35 的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.
4. 有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为 25m2 ,求长和宽
平方 开平方
数学活动三：应用
1 （2） （3）0 36
2. 121的平方根是多少？
（4）0.01
3.
49
的算术平方根是多少？
【学习体会】
1.本节课你独立思考了那些知识？参与讨论了哪些知识？还 有那些疑惑？ 2.本节课你最成功的地方是什么？说给你小组成员听听.
创设情景
1.如果一个数的平方等于9，则这个数是________;
2.填表
【课中探究】
数学活动一：阅读教材，理解平方根的概念：
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根, 即若 x 2 = a ,则x为a的平方根,记为 x = 为±3 是9的平方根,表示为 ? 3
人教版七年级数学下册《6.1 平方根 第三课时》课件ppt
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方, a 叫做被开方数.
2.要点精析： (1)一个正数的正的平方根就是它的算术平方根． (2)平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、除、乘方 一样是一种运算，即： 运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方(非负数)． 运算结果：和、差、积、商、幂、平方根(互为相反数)．
边长是多少？.
解：正方形的面积是边长的平方，根据算术平方根
的定义可得：正方形的边长是 A (A＞0)．
2 如果x 2＝a，那么下列说法错误的是( B ) A. 若x 确定，则a 的值是唯一的 B. 若a 确定，则x 的值是唯一的 C. a 是x 的平方 D. x 是a 的平方根
3 4的平方根是（ C ） A．16 C．±2
1. 定义：若x2=a，则x 叫做a 的平方根.
2. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数， 0的平方根是0，负数没有平方根.
3. 平方根与开平方间的关系： (1)开平方是求平方根的运算； (2)平方根是开平方运算的结果.
求一个非负数的平方根的方法：
① 求一个非负数a 的平方根，就是要把平方后等于a 的 数找出来，从而求出a 的所有平方根；
因为152＝225，所以225的算术平方根是15.
(2)
2 1 9 44
.因为
3 2
2
9 4
，
所以
2 1 4
的平方根是±
3 2
.
因为
3 2
2
9 4
，所以 2 1 4
的算术平方根是
3 2.
(3)因为
1
2 3
2
1
2 3
2
，
所以
1
6.1平方根(3)新人教版
例1
，
4
所以 9 的平方根是 3 ．
．
3．例题解析 求下列各数的平方根： 9 1 （） ；（） ; （）0.25 ; （）2 ; （）0 . 1 100 2 3 4 5 16 4 解：（3）因为 0.5 0.25 ，
2
例1
所以0.25的平方根是 0.5 ． 即 0.25 0.5．
（5）-16的平方根是-4．
4．归纳数的平方根的性质 正数的平方根有什么特点？ 正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是多少？ 0的平方根就是0 ； 负数有平方根吗？ 负数没有平方根．
为什么？
5．平方根的表示
我们怎么用数学符号来表示一个正数的平方根呢？
写法 正平方根(即算数平方根
）
读法
1．归纳平方根的概念 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 由于 3 =9 ，
2
所以这个数是3或-3.
3是前面学习过的9的算术平方根， -3与9的算术平方根有什么关系？
你能类比算术平方
1．归纳平方根的概念
根的概念，给出平 方根的概念吗？
根据上面的研究过程填表：
x
2
1
16
36 6
49
x
2
例1
所以0的平方根是0．
即 0 0 ．
3．例题解析
正数的平方根有什么特点？
正数的平方根有两个，它们互为相反数； 例2 判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根；
（3）-5是25的平方根；
（4）64的平方根是 8 ；
负数有平方根吗？ 负数没有平方根．
算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方 等于a，即 ，那么这个正数x叫 做a的算术平方根（特别规定： 0的算术平方 根是0）
6.1 平方根(3)
已知b a 6 3 18 3a 3，求a b的平方根。
计算各式中 x的 值 ： （ 1 ） 9x 2 256 0 （ 2 ） x 100 0
2 2 （ 3 ） 4 （ 2x 吗？ (1) 3x2-6.75=0 (2)（x－1）2＝4
一般地，如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 即：若x2=a，那么x叫做a的平方根。 记作：x= a
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 开平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3
例 ： 求 下 列 各 数 的 平根 方， 9 2 （ 1 ） 100 （ 2 ） （ 3 ）（ 7 ） 16 （ 4 ） 13 12 （ 5 ）（ 25 ）
思考
（ 1） 一 个 数 的 平 方 是 9， 这 个 数 是 ＿ ＿ 4 2 ± （ 2） 平 方 等 于 的 数 有 几 个 ？ 5 25 平 方 等 于 0.64的 数 呢 ？ ±0.8
x2
±3
1
16
36
49
4 25
5
5
x
±1 ±4 ±6
±7 ± 2 ± 5
若x2=a（x≥0），那么x叫做a的算术平方根。 记作：x= a
(3) x 7
解: (1) x2=2.25
(4) x 1 3
(3) x=49 (4) x-1=9
∴x=±1.5 (2) x-1=±2 ∴x=3或x=-1
∴x=10
例5.求下列各式的值: (1) 144
(2) (3)±
0.81
121 196
思考：
2021-2022学年人教版数学七年级下册6.1 平方根(三)练习
6.1 平方根(三)【笔记】1.平方根的定义:一般地,如果一个数的平方等于a ,这个数就叫做a 的 或 .a (a ≥0)的平方根记作 .2.平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为 ;0有一个平方根,它是 ;负数没有平方根.注:一个正数a 的正的平方根,叫做a 的算术平方根.3.开平方运算:求一个数a 的平方根的运算,叫做 .开平方与 互为逆运算.【训练】1.“425的平方根是±25”,用数学式子可以表示为 () A.√425=±25B.±√425=±25C.√425=25D.-√425=-252.如果一个数的平方根等于这个数本身,那么这个数是( ) A.1 B.-1 C.0D.±1 3.下列各式中正确的是( ) A.√25=±5B.√(−3)2=-3C.±√36=±6D.√−100=10 4.(-6)2的平方根是 () A.-6 B.36 C.±6D.±√6 5.下列说法正确的是 () A.√4的平方根是±2B.-a 2一定没有平方根C.0.9的平方根是±0.3D.a 2+1一定有平方根6.16的算术平方根和25的平方根的和是( ) A.9B.-1C.9或-1D.-9或1 7.16的算术平方根为 ,16的平方根为 ,√16的平方根为 . 8.一个正数的两个平方根的和是 ,商是 .9.a 2=16,|b |=3且ab <0,则a +b 的值为 .10.(广东中考)一个正数的平方根分别是x +1和x -5,则x = .11.若√x +2=2,则2x +5的平方根是 .12.求下列各数的平方根:(1)9; (2)16121; (3)0.01.13.求下列各式的值.(1)√625;(2)√1−59;(3)±√11336; (4)±√(−123)2. 14.求下列各式中x 的值.(1)x 2-121=0; (2)(x -2)2-64=0.15.现在定义一种运算,其规则为a*b=a2-b2,根据此规则,如果x满足(x+2)*5=0,那么x的值为.16.自由下落物体的高度h(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系是h=4.9t2.有一个物体从120m高的建筑物上自由落下,到达地面需要多长时间(结果取整数)?17.已知a-1和5-2a都是m的平方根,求3m-4a+5的平方根.18.已知x-1的算术平方根为2,3x+y-1的平方根为±4,求3x+5y的平方根.19.王老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为2m-6,它的平方根为±(m-2).求这个数.小张的解法如下:依题意可知,2m-6是m-2或者是-(m-2)两数中的一个,当2m-6=m-2,解得m=4,2m-6=2×4-6=2,这个数为4;当2m-6=-(m-2)时,解得m=83,2m-6=2×83-6=-23,这个数为49.综上所述,这个数为4或49.王老师看后说,小张的解法是错误的.你知道小张错在哪里吗?为什么?请予以改正.参考答案6.1平方根(三)【笔记】1.平方根二次方根±√a2.相反数03.开平方平方【训练】1.B2.C3.C4.C5.D6.C7.4±4±28.0-19.±110.211.±312.(1)∵(±3)2=9,∴9的平方根是±3.(2)∵(±411)2=16121,∴16121的平方根是±411.(3)∵(±0.1)2=0.01,∴0.01的平方根是±0.1.13.(1)25(2)23(3)±76(4)±12314.(1)x=±11(2)x=-6或x=1015.3或-716.将h=120代入h=4.9t2,解得t2≈24.49,∵t>0,∴t=√24.49≈5,答:到达地面需要5s.17.由题意,得①(a-1)+(5-2a)=0,解得a=4,∴m=(a-1)2=9,则3m-4a+5=16.∴3m-4a+5的平方根为±4.②a-1=5-2a,解得a=2,∴m=(a-1)2=1.则3m-4a+5=0,∴3m-4a+5的平方根是0.18.x-1=4且3x+y-1=(±4)2,解得x=5,y=2,∴3x+5y=25.∴3x+5y的平方根为±5.19.错在当m=83时,2m-6<0,不符合题意应舍去.∴这个数为4.。
6.1平方根(3)
主备人:七年级备课组课题：6.1平方根三教学目标知识与技能1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系；过程与方法培养学生的探究能力和归纳问题的能力．情感价值观培养学生的探究能力和归纳问题的能力．教学重点平方根和算术平方根的联系与区别教学难点平方根和算术平方根的联系与区别教学方法自主探究使用媒体多媒体教学过程教学流程教学活动学生活动设计意图思考归纳导入概念如果一个数的平方等于9，这个数是多少？学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数．注意中括号的作用．又如：，则x等于多少呢？给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果=a，那么x叫做a的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算．观察：课本中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据思考题是引入学生完成课本的填表练习这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验．在等式中求出x的值，为填表做准备．通过填表中的x的值，进一步加深时“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平方根的引入做准备．教学中可以引导学生通过查阅资料等方式，了解平方根产这个关系说出1,4,9的平方根．注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数．口答:(看谁做的又对又快)求下列各数的平方根：（1） 36 （2） 0.49 （3） 2 （4）（5） 102（6）－9 （7）（－4）2 规范书写格式生发展的过程．（通常称为平方根．在研究有关n次方根的问题3表示＋3和一3两个数．这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提到。
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第六章 实 数
6.1.2平方根 （三）
主备人
童相琴
使用人 使用时间
教学目标 （1）知识与技能：
1.理解平方根的概念，知道开平方是平方逆运算.[来源
2.会用符号表示平方根，并会求平方数的平方根；
3.知道平方根的特性，会判别一个式子有无意义.
（2）过程与方法：
1.类比算术平方根概念探究平方根，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，
2.经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的特征.
（3）态度与价值观：
使学生深入体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯.
教学重点 理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根. 教学难点 理解平方根的意义. 教学策略 教学用具
多媒体课件
教 学 过 程
个案修订 一、情境引入
通过前面的学习，我们已经知道3的平方等于9，3是9的算术平方根，那么，除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？ 二、探究新知 1．填表：
2x 1 16 36 49 25
4
x
2. 问题：如果不论正负，所有平方等于9的数都叫做9的平方根，你能类比算术平方根的定义，给平方根下定义吗？.
3.归纳：得到：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根或二次方根. 即如果a x 2，那么x 叫做a 的平方根.
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方这两种运算互为逆运算.
这样又认识了一种新的运算——开方（求一个数方根的运算叫做开方），到此，基本运算一共有六种：加、减、乘、除、乘方、开方.
正数a 的算术平方根可以用a 表示，正数a 的负的平方根，就可以用符号“-a ”表示，正数a 的平方根，用符号“±a ”表示，读作“正、负根号a ”.
结合上表可以看出正数，0，负数的平方根各有什么特点？ 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根.
于是，当a ≥0时a 有意义，a ＜0时，a 无意义. 4.例题讲解
例1.求下列各数的平方根：
(1)16 (2)0 (3)15
求15的平方根，因为找不到一个有理数的平方等于15，所以，用平方根符号表示出来即可. 例2.求下列各式的值：
(1) 144 (2) 81.0- (3) 225±
解：(1) 144=12； (2) 9.081.0-=-； (3) 15225±=±
例3.已知021=++-y x ，求x ，y 的值.
归纳：只要是两个非负式相加为0，都是这样考虑，结果也都是两个非负式各自等于0. 三、课堂训练
1．7的平方根是_______.
2．如果数a 只有一个平方根，则a =______. 3．如果数b 没有平方根，则b _______.
4．如果23是x 的一个平方根，那么x = ，x 的另一个平方根是 . 5．若一个正数的一个平方根是a ，则它的另一个平方根是_____. 6．若a 的两个平方根分别为m 、n ，则m +n =_____. 7．若0)4(32=-++b a ，则b a +=______. 8．一个负数的平方等于1225，这个数是______. 9．下列式子中正确的是（ ） A. 24±= B.24=± C. ()222-=- D. 222-=- 10．下列说法正确的有（ ） A ．3是3的平方根
B ．3的平方根是3
C ．3±是3±的平方根
D ．3-是-3的一个负的平方根 11．求下列各数的负的平方根： (1) 256 (2)324 (3)137
12．下列各式如果有意义请说明它表示的意义，并求值。
(1) 9
4- (2) 64.0± (3) 100-
1． 若03)2(12=-+-+-z y x ， 则z y x ++=________.
2．41441+-+-=x x y ，则=+y x ____. 四、小结归纳
1.类比算术平方根理解平方根的概念，知道开平方是平方逆运算.
2.会用符号表示平方根，并会求平方数的平方根.
3.知道平方根的特性，会判别一个式子有无意义. 五、作业设计
课本47页： 3、4、8、11、12
补充：1.已知2a －1的平方根是±3，3a ＋b －1的平方根是±4，求a 和b 的值
2.若的平方根求a
b
b a ,094=-+-.
板书 设计
6.1 平方根（三）
一、平方根定义 二、归纳 三、例题
正数有两个平方根，
符号表示 它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根
教学 反思
感谢您的阅读，祝您生活愉快。