函授 数值 课件 chap4：解线性方程组的直接法3(直接三角分解法)

然后解线性方程组 Ux = y
紧凑格式的 Doolittle法
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例2. 用紧凑格式的Doolittle法解方程组(例1) 解:
a11 a21 A= a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 a15 2 10 0 3 a25 3 4 12 13 = 1 a35 2 3 4 a45 4 14 9 13
3 10 0 2 17 3 2 11 12 解Ux = y 2 → 1 3 3 2 11 11 11 2 2 6 9 4 11
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u rj = a rj ∑ l rk u kj
k =1
r 1
r = 1 ,2 , L , n j = r ,L , n r = 1 ,2 , L , n 1
U的第r行 ------(3)
lir =
air ∑ lik u kr
k =1
r 1
u rr
i = r + 1,L , n
L的第r列 ------(4)
若 n阶方阵 A = ( aij ) n× n 的顺序主子式 Dk ≠ 0 , k = 1,2 , L , n
则由上节可知 , A的 LU 分解 A = LU 存在且唯一 , 即
a11 M A = ak 1 M a n1 L a1 k O M L akk M L ank L a1 n 1 M M O L akn = mk 1 L 1 O M M M L ann mn 1 L mnk a( 1) L a ( 1) L a ( 1) 1k 1n 11 O M M (k (k akk ) L akn ) O O M (n L 1 ann )
a1 j = u 1 j
r
j = 1,2 , L , n
ai 1 = li 1u 11
i = 2 ,3 , L , n
a rj = ∑ lrk u kj
k =1
j = r ,L , n
r = 1 ,2 , L , n
air = ∑ lik u kr
k =1 r 1
r
i = r + 1, L , n
r = 1,2 , L , n 1
air lir (i ≥ r + 1), r = 1,2 , L , n 1
同样 , 解三角形方程组Ly = b时, 有如下特点：
求出y1后b1的存储位置即不再需要
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求出yi 后bi (i ≥ 2 )的存储位置即不再需要 因此yi的存储可以使用 bi (i ≥ 1)空出的存储位置
bi yi , i = 1,2 , L , n
r 1
10 5 2 7
3 10 0 2 10 3 4 12 13 5 r =1 → 12 4 2 2 3 2 2 14 9 13 7
u1
j
= a1
a i1 u 11
u rj = a rj ∑ lrk u kj
j
k =1
li1 =
lir =
称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为Doolittle分解
思考
A的 Doolittle 分解 A = LU 中 L为单位下三角阵 U 为上三角阵，如果将 A = LU 中的 L表示为下三 角阵 , U表示为单位上三角阵 , 则称之为 Crout 分 解, 请找出类似于 (1) ~ ( 4 )式的表达式 .
u1 , n u2 ,n M u n 1 ,n unn
urr
r = n 1, n 2 , L ,2 ,1
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上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法 例1. 用Doolittle法解方程组
0 3 2 10 3 4 12 13 1 2 3 4 9 13 4 14
yn xn = unn
T
(x1
x2
x3
x4 ) = (1 2 3 4 )T
yr xr =
j =r +1
∑u
n
rj
xj
urr
Doolittle法在计算机上实现是比较容易的 但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间:
A, b , x , L , U , y都需要单独的存储空间
而从lij , uij的计算过程( 1) ~ ( 4 )式可知 求出U的第一行 u1 j 后a1 j ( j ≥ 1)的存储位置即不再需要
y1 u11 b2 r = 2 l21 → l31 b3 l b4 41
u12 u22 l32 l42 u12 u22 l32 l42
u13 u23 a33 a43 u13 u 23 u 33 l43
u14 u24 a34 a44 u14 u24 u34 u 44
y1 y2 b3 b4 y1 y2 y3 y4
直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示: Doolittle :
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 a15 a11 a25 a21 = a31 a35 a45 a41
x1 10 5 x2 = x3 2 x 4 7
u1 j = a1 j
li 1 = ai1 u 11
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解:
由Doolittle分解
u12 u13 u14 ) = (2 10 0 3 )
(u11
(1
l21
l31
l41 )T = (1 1.5 0.5 2 )T
a rj = ∑ lrk u kj + 1 u rj
k =1
r 1
air = ∑ lik u kr + lir u rr
k =1
因此可以推导出
u 1 j = a1 j ai 1 li 1 = u 11
j = 1, 2 , L , n
U的第一行
------(1)
i = 2 ,3 , L , n
L的第一列 ------(2)
air ∑ lik u kr
k =1r ∑ lrj y j
j =1
r 1
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2 3 2 r =2 → 1 2 2 2 3 r =3 2 1 → 2 2
10 17 11 12 20 2 3 3 4 2 11 6 9 13 7 11 3 10 0 10 17 11 12 20 2 3 3 2 17 11 11 11 11 6 9 13 7 11 10 0
= LU
2
上式可记为
a11 M A = ar 1 M a n1 L a1 r O M L arr M L anr L a1 n 1 u11 L u1 r L u1 n M M O O M M L arn = lr 1 L 1 u rr L u rn O M M M O O M l L ann unn n 1 L lnr L 1
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对于线性方程组
Ax = b
系数矩阵非奇异,经过Doolittle分解后
A = LU
线性方程组可化为下面两个三角形方程组
Ly = b
y为中间未知量向量
1 l21 L = l31 M l n1 1 l32 M ln 2
Ux = y
O L 1
1 M ln 3
u11 U =
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i = r + 1,L , n )为
air = ∑ lik u kr
k =1
r
i = r + 1,L , n
r = 1 ,2 , L , n 1 i = 2 ,3 , L , n
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显然 , r = 1时 , ai 1 = li 1u 11
综合以上分析,有
u12 u22
u13 u 23 O
L L un 1 ,n 1
u1 , n u2 ,n M un 1 , n unn
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由第一节三角形方程组的知识 , 不难得到Ly = b的解 :
y1 = b1
y2 = b2 l21 y1 yr = br ∑ lrj y j
j =1 r 1
r = 2 ,3 , L , n
根据矩阵的乘法原理 , A的第一行元素 a1 j为
a1 j = u 1 j
j = 1,2 , L , n
A的第 r行元素主对角线以右元 素 arj ( j = r ,L , n )为
a rj = ∑ l rk u kj
k =1
r
j = r ,L , n r = 1 ,2 , L , n
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同样,由
a11 M A = ar 1 M a n1 L a1 r O M L arr M L anr L a1 n 1 u11 L u1 r L u1 n O M M O M M L arn = lr + 1 ,1 L 1 u rr L u rn M O O M M O M l L ann n 1 L lnr L 1 unn
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n A= =b Ax M M M M an1 an2 L ann
第二章 解线性方程组的直接法 j =1
xi =
bi ∑lij xj lii
i1
§2.4, n直接三角分解法 i = 2,3,L
§ 2.4
直接三角分解法
一、基本的三角分解法(Doolittle法)
T
lir =
air ∑ lik u kr
k =1
r 1
u rr
T
y1 = b1 yr = br ∑ lrj y j
j =1 r 1
(0
( y1
0 0 u 44 ) = (0 0 0 4 )
解Ly = b , 得
y2 y3 y 4 )T = (10 20 17 / 11 16 )T