一阶导数应用

一阶导数应用

1、函数的极值

①P82，定义：如在邻域内，恒有()()0x f x f

≤，()()()0

x f x f ≥，则

称()0x f 为函数()x f 的一个极大（小）值。

可能极值点，()x f /

不存在的点与()0x f /

=的点。（驻点）

驻点 ←极值点 ②判别方法

P82，ⅰ、导数变号。 ⅱ、()0x f //

≠，⎩⎨⎧<>0)f(x 0)f(x 00

例1、 设()x f y =满足关系式0y 4y 2y ///=+-，且()0x f >,

()0x f 0/=，则()x f 在点处 A

A 、取得极大值

B 、取得最小值

C 、在某邻域内单增

D 、在某邻域内单减 例2、 已知函数()x f 对一切满足()()[]

x 2

/

//

e 1x

f x 3x xf --=+

如()0x f 0/

=，()0x 0≠，则 A

A 、()0x f 是()x f 的极小值

B 、()0x f 是()x f 的极大值

C 、()()

00x f x 、是曲线的拐点

D 、()0x f 不是()x f 的极值，()()

00x f x 、也不是曲线

()x f y = 的拐点

例3、 设函数()x f 在0x =的某邻域内可导，且()00f /

=，

2

1x sin (x)f lim /0x -=→，则()0f 是()x f 的极大值。 2、函数的最大值与最小值

(1) 求出[]b a ，内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。

(2)在()b a ，内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值

如是极大值则为最大值

(3)如)b (f )

a (f ),0(0f <>'分别为最小, 最大值

极小值

极大值

(4)实际问题据题意可不判别。

例1、 在抛物线2x 4y -=上的第一象限部分求一点P ，过P 点作 切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。 解：设切点为()y x P ，，切线方程为()()x X x 2x 4Y 2

--=--

即

14x Y

2x

4x X 2

2=+++ ∴ 三角形面积：

2x 0),x 168x (x 412x 4)(x 21S(x)322<<++=+⋅=

)x

16-8(3x 41(x)S 22

/

+=，令3

2

x 0

(x)S /== （唯一） 0)32(

S //>∴3

8

y ,

32x ==

故 )3

832(，为所求点

3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I 上()x f 可导 如()()00x f

//

<>则曲线()x f y =是凹（凸）的,

在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点 ()0x f

//

= 和 ()x f //

不存在的点

例1、 设()()2

3

x

1x x f -=，试讨论()x f 的性态。 4

//

32/

x

1)-6(x (x)f ,x 2)(x 1)-(x (x)f =+= 1x ,

0(x)f -2,

x 1,x 0

(x)f ///=====

渐近线 如a f(x)lim x =∞

→

则称a y =为水平渐近线

如∞=→f(x)lim 0

x x 则称0x x =为垂直渐近线

例2、 求 2

)

1x (1

x 2y --=

渐近线 （斜渐近线不讨论） 解： ∵0)1x (1

x 2lim 2

x =--∞→∴0y =为水平渐近线

∵∞=--→2

1x )1x (1

x 2lim

∴1x =垂直渐近线

例4、 曲线)

2x )(1x (x

x y +-=的渐近线有 4 条

4 证明不等式

（1）利用中值定理（R ，L ）； （2）利用函数单调性； （3）利用最值；

（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式； （5）利用函数凹凸性； （6）利用泰勒公式。

例1、 当b a 0<<，试证：a

a

b a b ln b a b -<

<- 即

a

1

a b a ln b ln b 1<--< 证： 设 x ln y =，在]b ,a [连续，)b ,a (可导， 由拉格朗日中值定理 ∵)a b (1a ln b ln -ξ=

-，即b a 1

a b a ln b ln <ξ<ξ

=--

∴

a

1

a b a ln b ln b 1<--< 例2、设0x >，证明x )x 1ln(x

1x <+<+

证： 设)x 1ln(x )x (f +-=x

1x

x 111)x (f /

+=

+-

= )x (f 单增，当0x >0)0(f )x (f =>∴)x 1ln(x +>

设x

1x )x 1ln()x (f +-

+=