第二章 信号矩阵理论PPT课件
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最新第二章-信号分析与信息论基础教学讲义ppt课件
设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1 上，ξ(t1)是一个随机变量。显然，这个随机变量的统 计特性，可以用概率分布函数或概率密度函数去描述。
4、随机过程的数字特征 随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、
方差及相关函数等。 1）数学期望
随机过程ξ(t)的数学期望被定义为
可把t1直接写成t。随机过程的 数学期望被认为是时间t的函数。
说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率
密度函数满足：
则称ξ(t)是平稳随机过程。
6、广义平稳过程 广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差 与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随
通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机 过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。
2.3 信息及信息的度量
2.3.1 通信系统的统计模型（图2-12）
信源：通信的起点。输出消息（包括文字、符号、声 音、图像、数据等）。 信源编码器：将消息变为信号（提高信号传输效率）。
信道编码器：信号处理的设备（提高信号传输的的可 靠
性）。 干扰源：即噪声源。 2.3.2 信息的定义
从统计学的信息指的是消息中包含的不确定性。 2.3.3 信息的度量
7、自相关函数
我们已经知道，平稳随机过程的自相关函数和时间t 无关，而只与时间间隔τ有关，即：
R(τ)＝E{ξ(t)ξ(t+τ)}
自相关函数的性质： 1）
R(0)为ξ(t)的均方值(平均功率)。自相关函数在τ=0处 的数值等于该过程的平均功率( 包括直流功率和交流功 率)。
2）对偶性 R(τ)＝R(－τ) 即自相关函数是τ的偶函
数学期望的物理意义：信号或噪声的直流功率。 2）方差 随机过程的方差定义为
4、随机过程的数字特征 随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、
方差及相关函数等。 1）数学期望
随机过程ξ(t)的数学期望被定义为
可把t1直接写成t。随机过程的 数学期望被认为是时间t的函数。
说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率
密度函数满足：
则称ξ(t)是平稳随机过程。
6、广义平稳过程 广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差 与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随
通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机 过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。
2.3 信息及信息的度量
2.3.1 通信系统的统计模型（图2-12）
信源：通信的起点。输出消息（包括文字、符号、声 音、图像、数据等）。 信源编码器：将消息变为信号（提高信号传输效率）。
信道编码器：信号处理的设备（提高信号传输的的可 靠
性）。 干扰源：即噪声源。 2.3.2 信息的定义
从统计学的信息指的是消息中包含的不确定性。 2.3.3 信息的度量
7、自相关函数
我们已经知道，平稳随机过程的自相关函数和时间t 无关，而只与时间间隔τ有关，即：
R(τ)＝E{ξ(t)ξ(t+τ)}
自相关函数的性质： 1）
R(0)为ξ(t)的均方值(平均功率)。自相关函数在τ=0处 的数值等于该过程的平均功率( 包括直流功率和交流功 率)。
2）对偶性 R(τ)＝R(－τ) 即自相关函数是τ的偶函
数学期望的物理意义：信号或噪声的直流功率。 2）方差 随机过程的方差定义为
矩阵PPT课件
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
第23页/共179页
例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
第24页/共179页
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
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例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
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三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
信号与系统第2章ppt课件
，这种频谱搬移技术在通信系统中
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)
乘以Cos(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
当 0 时 当 0 时
A () li m 0 A e () lim A e ( 0) lim 2 0 2 0
所以
A () li m 0A e()()
B()li m0Be()j
精选ppt
第二章 傅立叶变换
（6）符号函数 符号函数sgn(t)如图所示
由于sgn(t)不符合绝对可积条件， 故使用间接方法计算。
利用傅里叶反变换公式计算
第二章 傅立叶变换
例4 试求图示周期信号的频谱函数，图(b)中冲激函数的强度均为1.
(b)
[提示：（a）F()F[1]1F[cos(t)]
22
）
（b
Cn
1 T
T
2 T
fT(t)ejntdt
2
fT(t)(t)(tT2)
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)
乘以Cos(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
当 0 时 当 0 时
A () li m 0 A e () lim A e ( 0) lim 2 0 2 0
所以
A () li m 0A e()()
B()li m0Be()j
精选ppt
第二章 傅立叶变换
（6）符号函数 符号函数sgn(t)如图所示
由于sgn(t)不符合绝对可积条件， 故使用间接方法计算。
利用傅里叶反变换公式计算
第二章 傅立叶变换
例4 试求图示周期信号的频谱函数，图(b)中冲激函数的强度均为1.
(b)
[提示：（a）F()F[1]1F[cos(t)]
22
）
（b
Cn
1 T
T
2 T
fT(t)ejntdt
2
fT(t)(t)(tT2)
矩阵理论矩阵的标准型(ppt)
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()
D()Biblioteka dr ()00
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准形，称为 Smith 标准形.
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
矩阵理论矩阵的标准型ppt课件
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
矩阵理论矩阵的标准型
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
信号与系统概论PPT第二章线性时不变系统的时域分析2
卷积重要性质： 1) 信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
矩阵教学课件
例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位 矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学 （见P49）
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
,
x
第2章 信号及其描述2PPT课件
➢ ①|X (jƒ)|为连续频谱，而|Cn|为离散频谱； ➢ ②|Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即cm(振
幅)，而|X (jƒ)|的量纲相当于|Cn|/ƒ，为单位频宽 上的幅值，即“频谱密度函数”，cm/Hz（振 幅/频率）。
5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X(jf) x(t)ej2ftdt
➢ d.若x(t)为虚偶函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数；
➢ e.若x(t)为虚奇函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
(2).对称互易性
若:(时域信号) x(t) ↔ X(jƒ) (频域信号)，则
X (jt) ↔ x (-jƒ)
x(t) A
T0
0
2
T0 t 2
X ( jf ) AT0
6 6
7 7
8 8
9 10 9 10t
t
(4).时移、频移特性
x(t)21 X(j)ejtd
x(t)为X(jω)的傅立叶逆变换（反变换）
3.傅立叶变换对
X(j) x(t)ejtdt
x(t)21 X(j)ejtd
FT
x(t)X( j) IF T
✓ 由于ω=2πƒ
X(jf)x(t)ej2fd t t
x(t)X(jf)ej2fd t f
X (jf)X (jf)ej(j f) X(jf) Re2[X(jf)]Im2[X(jf)]
T
t
2
2
矩形窗函数
T 2T 21ej2fd t tj1 2fej2ft T 2T 2
X(jf)x(t)ej2fd t t
j1 2f(ejfTejfT )Tsifn fTT
TsiC n(fT)
幅)，而|X (jƒ)|的量纲相当于|Cn|/ƒ，为单位频宽 上的幅值，即“频谱密度函数”，cm/Hz（振 幅/频率）。
5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X(jf) x(t)ej2ftdt
➢ d.若x(t)为虚偶函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数；
➢ e.若x(t)为虚奇函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
(2).对称互易性
若:(时域信号) x(t) ↔ X(jƒ) (频域信号)，则
X (jt) ↔ x (-jƒ)
x(t) A
T0
0
2
T0 t 2
X ( jf ) AT0
6 6
7 7
8 8
9 10 9 10t
t
(4).时移、频移特性
x(t)21 X(j)ejtd
x(t)为X(jω)的傅立叶逆变换（反变换）
3.傅立叶变换对
X(j) x(t)ejtdt
x(t)21 X(j)ejtd
FT
x(t)X( j) IF T
✓ 由于ω=2πƒ
X(jf)x(t)ej2fd t t
x(t)X(jf)ej2fd t f
X (jf)X (jf)ej(j f) X(jf) Re2[X(jf)]Im2[X(jf)]
T
t
2
2
矩形窗函数
T 2T 21ej2fd t tj1 2fej2ft T 2T 2
X(jf)x(t)ej2fd t t
j1 2f(ejfTejfT )Tsifn fTT
TsiC n(fT)
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
矩阵分析课件chapter2 范数理论及其应用例题详解
第2章范数理论及其应用2.1向量范数及l p范数定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件：1)非负性：||x||≥0,且||x||=0⇔ x=0;2)齐次性：||k⋅x||=|k|⋅||x||，k∈K；3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||.则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。
注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值，当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何线性空间在一组基下都代数同构于常用的n维向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维向量空间就足够了。
范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质1. 范数是凸函数。
即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||其中0≤λ≤ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，则k||⋅|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3. 若||⋅||f和||⋅||g为线性空间V上的两个向量范数，则(1). ||⋅||f+ ||⋅||g为V上向量范数。
(2). max{ ||⋅||f, ||⋅||g } 为V上向量范数。
性质4. 若||⋅||f和||⋅||g分别为线性空间V上两个线性交集为0的子空间V1和V2上的两个向量范数，则对任意x∈V1⊕V2,存在唯一分解x= u+v, 其中u∈V1,v∈V2,定义||x||1=||u||f+ ||v||g ,||x||2=max{||u||f,||v||g}则||x||1和||x||2为V1⊕V2上的向量范数。
性质5. (范数与凸集) 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，集合Ω={x: ||x||≤ 1}为V上凸集。
反之，若Ω为V上的均衡闭凸集，即x∈Ω,则λ⋅x∈Ω,其中|λ|≤1.其中Ω含有内点，即包含一个小的单位球。
第02章 信号.ppt
二阶中心矩为方差：
M
2
(
X
)
D(
X
)
2 X
12
2.6 随机过程
2.6.1 随机过程的基本概念
自然界变化的过程通常可以分为两大类：确定过程和 随机过程。
如果每次试验(观测)所得到的观测过程都相同，且都 是时间 t 的一个确定函数，具有确定的变化规律，那么这 样的过程就是确定过程。
反之，如果每次试验(观测)所得到的观测过程都不相 同，是时间 t 的不同函数，试验(观测)前又不能预知这次 试验(观测)会出现什么结果，没有确定的变化规律，这样 的过程称为随机过程。
另外，对于不同的时刻t = tk ， X (tk) 也是一个随机 变量。
由此可见，X (t)既可以看成是一组样本函数的集合， 也可以看成一组随机变量的集合构成的。
18
尽管随机过程的变化过程是不确定的，但在这
不确定的变化过程中仍包含有规律性的因素，这种
规律性可从大量的样本经统计后呈现出来，也就是
说随机过程是存在某些统计规律的，这些统计规律
2.3 随机信号的性质
在通信系统中，接收端的接收信号是一种随机信号， 可以看作是一种随机过程。在任意给定的时刻，随机过 程的取值是一个随机变量。
接收端在收到发送端发出的消息之前，对发送端 发出的消息具有不确定性；
信道中总是存在噪声的，噪声是随机变化的； 信道特性本身也不是恒定的。特别是无线信道，
当 x xi 时，pX (x) = 0， 当 x = xi 时， pX (x) =
6
2.4 常见随机变量举例 1、正态分布随机变量
定义：概率密度
pX (x)
1
2
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R s 、R n分别表示信号和噪声的相关矩阵。
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9
2.3梯度运算
10
梯度定义 实标量函数(W)对向量W的梯度为：
d e W ( W f) 0 a j 0 b 1 a j 1 b. . .L aj L T b
(2-9)
式部中，w即la：, wwlbl=分w别la+是jw向lb;量即W为的第(Wl个). 元素wl的实部和虚
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3
一般一个自适应系统的输入x(t)表示为
x(t)=a(t)ej e+n(t）
(2-1)
其中， a(t)为输入信号的复包络（时节缓变的 随机信号），为信号的载频， n(t)为输入噪 声。
输入信号用向量的形式表示，隐去时间函数， 则信号向量X可以表示为：
X=[x0 x1…xL]T
(2-2)
式中“T”表示矩阵转置。
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4
自适应系统的基本单元（线性组合器）
x0
w0
x1
w1
…
xL 权向量 wL
+ +
+
y
输出信号
图2-1 此基本单元由L+1个输入x0(t) ,x 1 (t),… xL (t),其相应的 一 组可调权为 w0 , w1 ,… wL ,而输出信号为y(t),用于调整权 的方法即 “自适应算法”。
W
W
(2-10)
w k * r kw l (w k a jk w )b r k( la jkr ) lw b l( ajlw ) b(2-11)
其中，rkl为相关矩阵R的第k行第l列的元
素，因为 rklrklajrklb
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12
提问与解答环节
Questions And Answers
13
谢谢聆听
可调权用权向量W表示： W=[w0 w1 … wL ]T (2-3)
✓自适应组合器的输出为： y=X T W= W T X
(2-4)
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5
2.2输入信号的相关矩阵
6
输入信号的相关矩阵R定义为
RdeEf[X*XT]E E[[xx10**xx00]]
E[x0*x1] E[x1*x1]
... ...
瑞利(Rayleigh)商,且对于所有W的瑞利商均为实数。
定义向量W的瑞利商为：
Ray(W)=WHRW/WHW
(2-6)
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8
图2-1所示的自适应系统的输入信号X表示为 (有用)信号S及噪声N之和,即：
X=S+N
(2-7)
若输入噪声和信号互不相关,则相关矩阵R可写 为:
R=E[S*ST]+E[N*NT]=R s+R n (2-8)
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
14
第二章 信号矩阵理论
2.1信号、信号向量与权向量 2.2输入信号的相关矩阵 2.3梯度运算
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1
2.1信号、信号向量与权向量
2
一个自适应系统输入的有用信号可 以是确定信号或随机信号，而输入信号 中不可避免的混有噪声或干扰；在频域 考虑可能是窄带的也可能是宽带的。
✓ 一个自适应系统的输入信号和信号特性， 通常对该系统的结构和性能起重要作用。
E E[[xx10**xxLL]]
... ... ... ...
E[xL*x0] E[xL*x1] ... E[xL*xL]
(2-5)
✓ 式中“*”表示复数共轭，由定义可知，信号相 关矩阵为厄米特(Hermit)矩阵，即满足R*=RT
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7
厄米特矩阵的性质
1. 对应于R的不同特征值的特征向量都是正交的。
✓ 由定义可知，实标量函数的梯度是一个向量，其 方向代表该函数最陡下降时W变化方向的负向。规 定一个复标量函数的梯度无定义。
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11
梯度运算举例
✓ 对于图2-1自适应系统，其输出信号（平均）功率
为W的二次型函数，即为W HRW，且为实标量。
Hale Waihona Puke 于是，它对向量W的梯度为：
LL
WHRW [k0l0(wk *rkw l l)]
2. R是正定（或半正定）矩阵，它所有的特征值都为实数， 且大于或等于零。
3. 所有特征值之和等于矩阵R的迹，即为输入信号的功率。
4. 信号相关矩阵R可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对 称矩阵，
5.
即：R=Ra+j R b； RaT=Ra， RbT = -Rb
5. 若W为L+1维的权向量,则对相关矩阵R,存在关于W的一个
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2.3梯度运算
10
梯度定义 实标量函数(W)对向量W的梯度为：
d e W ( W f) 0 a j 0 b 1 a j 1 b. . .L aj L T b
(2-9)
式部中，w即la：, wwlbl=分w别la+是jw向lb;量即W为的第(Wl个). 元素wl的实部和虚
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一般一个自适应系统的输入x(t)表示为
x(t)=a(t)ej e+n(t）
(2-1)
其中， a(t)为输入信号的复包络（时节缓变的 随机信号），为信号的载频， n(t)为输入噪 声。
输入信号用向量的形式表示，隐去时间函数， 则信号向量X可以表示为：
X=[x0 x1…xL]T
(2-2)
式中“T”表示矩阵转置。
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自适应系统的基本单元（线性组合器）
x0
w0
x1
w1
…
xL 权向量 wL
+ +
+
y
输出信号
图2-1 此基本单元由L+1个输入x0(t) ,x 1 (t),… xL (t),其相应的 一 组可调权为 w0 , w1 ,… wL ,而输出信号为y(t),用于调整权 的方法即 “自适应算法”。
W
W
(2-10)
w k * r kw l (w k a jk w )b r k( la jkr ) lw b l( ajlw ) b(2-11)
其中，rkl为相关矩阵R的第k行第l列的元
素，因为 rklrklajrklb
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提问与解答环节
Questions And Answers
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谢谢聆听
可调权用权向量W表示： W=[w0 w1 … wL ]T (2-3)
✓自适应组合器的输出为： y=X T W= W T X
(2-4)
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2.2输入信号的相关矩阵
6
输入信号的相关矩阵R定义为
RdeEf[X*XT]E E[[xx10**xx00]]
E[x0*x1] E[x1*x1]
... ...
瑞利(Rayleigh)商,且对于所有W的瑞利商均为实数。
定义向量W的瑞利商为：
Ray(W)=WHRW/WHW
(2-6)
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图2-1所示的自适应系统的输入信号X表示为 (有用)信号S及噪声N之和,即：
X=S+N
(2-7)
若输入噪声和信号互不相关,则相关矩阵R可写 为:
R=E[S*ST]+E[N*NT]=R s+R n (2-8)
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
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第二章 信号矩阵理论
2.1信号、信号向量与权向量 2.2输入信号的相关矩阵 2.3梯度运算
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1
2.1信号、信号向量与权向量
2
一个自适应系统输入的有用信号可 以是确定信号或随机信号，而输入信号 中不可避免的混有噪声或干扰；在频域 考虑可能是窄带的也可能是宽带的。
✓ 一个自适应系统的输入信号和信号特性， 通常对该系统的结构和性能起重要作用。
E E[[xx10**xxLL]]
... ... ... ...
E[xL*x0] E[xL*x1] ... E[xL*xL]
(2-5)
✓ 式中“*”表示复数共轭，由定义可知，信号相 关矩阵为厄米特(Hermit)矩阵，即满足R*=RT
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厄米特矩阵的性质
1. 对应于R的不同特征值的特征向量都是正交的。
✓ 由定义可知，实标量函数的梯度是一个向量，其 方向代表该函数最陡下降时W变化方向的负向。规 定一个复标量函数的梯度无定义。
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梯度运算举例
✓ 对于图2-1自适应系统，其输出信号（平均）功率
为W的二次型函数，即为W HRW，且为实标量。
Hale Waihona Puke 于是，它对向量W的梯度为：
LL
WHRW [k0l0(wk *rkw l l)]
2. R是正定（或半正定）矩阵，它所有的特征值都为实数， 且大于或等于零。
3. 所有特征值之和等于矩阵R的迹，即为输入信号的功率。
4. 信号相关矩阵R可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对 称矩阵，
5.
即：R=Ra+j R b； RaT=Ra， RbT = -Rb
5. 若W为L+1维的权向量,则对相关矩阵R,存在关于W的一个