教学目标1、解函数极限的ε-δ,ε-M定义及单侧极限

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简析如何掌握极限的ε语言定义

简析如何掌握极限的ε语言定义极限的ε语言定义是非常精准但又极其抽象的定义，本文从解不等式的角度出发，讨论了如何理解并掌握这种定义，为数学专业的初学者提供了一种思考的新角度，有助于学习者能巧妙而快速地应用ε语言定义求极限。

标签：极限；ε-δ定义；不等式极限理论是微积分的理论基础，而极限的ε语言定义是从量化的角度给出了用数学解析式计算数列an（函数f（x））与某个常数A的依赖于自变量n（x）的距离的一种定义形式。

极限的ε语言定义中核心的是两个不等式及其之间的逻辑关系。

就不等式本身而言，其求解就是数学中比较难的一个环节，在极限的ε语言定义中涉及两个不等式，而计算的核心是由一个不等式出发求证另一个不等式的存在性，由于极限的语言定义的极度抽象，使得初学者对它的学习感到很难掌握。

本文从不等式出发，解析两个不等式之间的这种逻辑结构，给出它们之间更为清晰的关系以便初学者能快速地应用极限的ε语言定义解题。

一、数列极限的ε-N定义定义1 设{an}为数列，a为已知的常数，若对任意的ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时有|an-a|N和|an-a|0，希望不等式|an-a|N时，在|an-a|中，将其中的n用不等式n>N右侧的N替换，就会推出不等式|an-a|N；（2）若能找到，如何找？对这两个问题的回答是理解和掌握数列极限的ε-N定义的关键。

事实上，一般情况下，这两个问题是在同一过程中解答的，为了找到使不等式|an-a|N，有两方面要去思考。

一方面，虽然n>N是使|an-a|N作为|an-a|N，同时也即是问题所要的充分条件。

保证等价推导是很容易做到的，所以，在解题时，思考的方向往往是从|an-a|N。

这是学习数列极限的ε-N定义首先要弄清的地方。

另一方面，为了能从不等式|an-a|N，需要搭建合理而巧妙的桥梁。

其中一个是将|an-a|先做适当的变形。

为了保证|an-a|N的逻辑关系不变，对|an-a|只能做恒等或放大变形。

如何理解 “ε-N” “ε-δ” “ε-X” 语言

如何理解“ε-N”“ε-δ”“ε-X”语言
数列极限、函数极限是高等数学第一部分内容，其中极限的定义几乎是用符号表达的，用纯粹的数学语言对“极限”进行描述.许多考生感觉极限的定义太抽象，与中学的讲法不同.用定义去证明一个个数列或函数在某过程下是否有极限时，学生看到的方法步骤似乎是“套路”，但自己动起手来又不知道如何去“套”。

真的有“套路”吗?如果真的有所谓“套路”，那应该是正确的解题思路!
下面我们梳理一下极限思想的核心内容.
极限的通俗定义：如果一个变量y在某变化过程中，与一个常数a的距离越来越小且无限接近于0，则变量y在该过程下有极限a.
显然这个定义容易理解.但是，从数学角度来看，有两点没有说清楚，一个是“变化过程”，另一个是“无限接近a”，因此为了解决这个语义上的模糊不清问题，从更严谨的意义上，数学家们给出符号式的定义：。

极限的概念教学-概念解析以及定义

极限的概念教学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：极限是微积分中非常重要的概念，它是数学中一种重要的分析工具，在很多领域都有着广泛的应用。

对于学生来说，理解和掌握极限概念对于后续微积分和数学建模的学习都至关重要。

本文将从极限概念的定义、重要性和教学方法等方面展开论述，期望能够对教师在教学极限概念时提供一些参考和帮助。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括对整篇文章的章节和内容进行简要介绍，让读者对整篇文章的结构有一个大致的了解。

可以提及每个章节的主题和基本内容，以及各部分之间的逻辑关系和连接方式。

此外，还可以简要说明每个章节对于整个文章的重要性和作用，引导读者对整篇文章有一个整体的认识。

1.3 目的本篇文章的目的在于探讨极限概念在数学教学中的重要性，并提出相应的教学方法和建议。

通过对极限概念的深入讨论，我们希望能够帮助教师和学生更好地理解和应用极限概念，提高数学教学的质量和效果。

同时，我们也希望能够引起更多教育工作者对数学教学中极限概念的重视，促进教学方法的更新和改进，为学生打下坚实的数学基础。

通过本文的阐述，我们还希望能够对未来数学教学的发展提供一些思路和展望。

总之，本文的目的在于为极限概念的教学提供一些有益的参考和启示。

2.正文2.1 极限概念的定义极限是数学中一个非常重要的概念，它在分析、微积分、数学分析等领域中都有着重要的应用。

在数学中，极限可以用来描述一个数列或函数在自变量趋于某个特定值的情况。

具体来说，当自变量趋于某个确定的值时，如果函数值无限接近于一个确定的常数，那么这个常数就是函数在该点的极限。

数学上对于极限的定义可以用严格的数学语言来描述，通常定义为：对于任意给定的正实数ε，存在一个正实数δ，使得当自变量x与a的距离小于δ时，函数值f(x)与L的距离小于ε，即f(x) - L < ε。

这个定义可以形象地说明函数在自变量趋于a时，函数值无限接近于L。

总之，极限是描述函数在某一点或者在正无穷、负无穷处的特殊性质的概念。

函数极限说课

∀ε > 0, 作出带形区域
A−ε < y < A+ ε
必存在x 必存在 0的去心邻域
0 < x − x0 < δ ,
y
A+ε
y = f ( x)
A A−ε
O
x 0 − δ x 0 x0 + δ
对于此邻域内的 x,
x
对应的函数图形位于这一带形区域内. 对应的函数图形位于这一带形区域内
注 (1) 定义中的 0 < x − x0 表示 x ≠ x0 , 有没有极限与f 在点在点x 所以 x → x 0时 , f (x)有没有极限与 (x)在点 0 有没有极限与是否有定义并无关系. 是否有定义并无关系有关. 一般地说, 越小, 也将越小. 有关一般地说 ε 越小 δ 也将越小 (2) 定义中 δ 标志接近 0的程度它与 ε 标志x接近的程度, 接近x
− x从左侧无限趋近 x0 , 记作x → x0 − 0 或x0 从左侧无限趋近 + x从右侧无限趋近 x0 , 记作x → x0 + 0 或x0 从右侧无限趋近
x0 − δ
x0
x0 + δ
左极限 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得 x0 − δ < x < x0时,
恒有 f ( x ) − A < ε.
0 < x − x0 < δ 表示x → x0的过程 .
δ
O
δ
x0
U ( x0 , δ )
x0 + δ
x
o
x0 − δ
点x 0的去心δ邻域, δ体现x接近x0程度.
定义设函数 f ( x )在点 x0 的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义.

数学分析教案(华东师大版)第三章函数极限

第三章函数极限教课目标：1.使学生坚固地成立起函数极限的一般观点，掌握函数极限的基天性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判断某些函数极限的存在性；3. 掌握两个重要极限和，并能娴熟运用；4.理解无量小（大）量及其阶的观点，会利用它们求某些函数的极限。

教课重（难）点：本章的要点是函数极限的观点、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教课时数： 14 学时§ 1函数极限观点（2学时）教课目标：使学生成立起函数极限的正确观点；会用函数极限的定义证明函数极限等相关命题。

教课要求：使学生逐渐成立起函数极限的定义的清楚观点。

会应用函数极限的定义证明函数的相关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈说。

教课要点：函数极限的观点。

教课难点：函数极限的定义及其应用。

一、复习：数列极限的观点、性质等二、讲解新课：（一）时函数的极限：学好料迎下以介符号 : 定 ( 和例引入 .的意 ,和. )的直意.几何意介域此中充足大的正数．而后用些域言介几何意．例 1例 2例 3（二）函数的极限：由考定函数极限的“”定. 几何意 .用定函数极限的基本思路. 的极限引入.⋯⋯例4 考证例5 考证例6 考证证由=为使为使需有需有于是 , 倘限制, 就有例 7 考证例 8 考证(近似有（三）单侧极限 :1．定义：单侧极限的定义及记法 .几何意义 :介绍半邻域而后介绍等的几何意义 .例9考证证考虑使的2.单侧极限与两侧极限的关系 :Th近似有 :例 10证明:极限不存在.例 11设函数在点的某邻域内单一.若存在,则有=§2函数极限的性质（2学时）教课目标：使学生掌握函数极限的基天性质。

教课要求：掌握函数极限的基天性质：独一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教课要点：函数极限的性质及其计算。

教课难点：函数极限性质证明及其应用。

教课方法：讲练联合。

一、组织教课：我们引进了六种极限 :, . 以下以极限为例议论性质.均给出证明或简证.二、讲解新课：（一）函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.独一性 :2.局部有界性 :3.局部保号性 :4.单一性 ( 不等式性质 ):Th 4若和都存在,且存在点的空心邻域, 使，都有证设=(现证对有)註:若在Th 4的条件中,改“”为“” ,未必就有以举例说明.5.迫敛性 :6.四则运算性质 : ( 只证“ +”和“” )（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用 . 在计算一些简单极限时 , 有五组基本极限作为公式用 , 我们将陆续证明这些公式 .利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：经过相关性质 , 把所求极限化为基本极限 , 代入基本极限的值 , 即计算得所求极限 .例1(利用极限和) 例 2例 3註:对于的有理分式当时的极限.例4[利用公式]例 5例 6例 7例 8例 9例10已知求和增补题:已知求和()§ 3函数极限存在的条件（ 4 学时）教课目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判断某些函数极限的存在性。

如何理解极限的ε-δ定义及应用

如何理解极限的ε-δ定义及应用作者：侯林波赵嘉旭来源：《科教导刊》2010年第12期摘要极限的概念和思想方法在高等数学中占有极其重要的地位和作用,可以说它们贯穿于高等数学的整个体系,在高等数学中,可连续、可导、可积等概念都是利用极限的-给出的,所以说,如果理解了极限的概念,那么在学习高等数学时与之相关的定义和问题就很容易理解和解决了。

在此主要从极限f(x)=a的定义入手来理解和研究。

通过分析和理解我们形成一种基本的认识:“极限是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果。

”关键词极限定义无限接近中图分类号:O1文献标识码:A1 极限的两个定义1.1 定性定义定义1当自变量无限接近(无限趋近于)定点x0时,函数f(x)值无限接近于(任意接近于)定值a,那么定值a就称作函数f(x)在x0点的极限,记作f(x)=a。

而极限 f(x)=a的定性定义是一个描述性的定义,在这里只是用“无限接近(无限趋近于)”这类朴素的形象的语言,对极限作了定性的描述,这些在数学中无法进行严格的论证,其中的“无限接近”或“任意接近于”该怎么来理解,什么程度上的接近才是“无限接近(无限趋近于)”,对我们来说,虽然很形象,但又很抽象,感觉上是那么回事,但又无法具体表达出来。

那么,我们要想理解极限的概念,就要转换思维方式,从距离的角度来考虑。

不妨将“自变量x无限接近(无限趋近于)定点x0”转化为动点x到定点x0的距离│x-x0│是一定范围之内即│x-x0│1.2 定量定义定义2设函数f(x)在空心邻域U0(x0):0│f(x)-a│< (1)那么常数a就叫做函数f(x)当x→x0时的极限,记作f(x)=a (2)以上定义可以用符号表达为:f(x)=a>0,E>0,当02 极限定义的分析下面我们对以上用符号表达的定义进行逐句和逐个符号分析,并且理解其中每句的含义和之间的关系。

我们来搞明白与E和与两对符号所代表的含义和作用。

数学分析之函数极限

好的问题.
2. 是不惟一的, 一旦求出了, 那么比它更小的正
数都可以充当这个角色.
3. 正数是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
可以先限制 xx0 1, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
12 x0 ,
所以 x 2 x 0 2 (1 2 x 0)x x 0,故只要
xx0
12 x0
.
证 0,取min1,12x0,当 0xx0
时, 有 x2x02 .
这就证明了
limx2
limf(x)A 或者 f(x ) A (x ) .
x
lim f(x ) A 的几何意义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定义比较
函数定义域自变量变化趋势函数值变化趋势定义
一、x 趋于时的函数极限二、x 趋于x0时的函数极限
三、单侧极限
观察函 sin x数当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
f (x)当 x 趋于时以A为
O
极限.
f (x)

高中数学新课 2.3函数的极限(二) 教案

课题：2.3函数的极限(二)教学目的：1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限．2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限．3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就无限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.几个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义二、讲解新课： 1.研究实例(1)探讨函数2x y =，当x 无限趋近于2时的变化趋势．当x 从左侧趋近于2时，记为：-→2x ．当x 从右侧趋近于2时, 记为：+→2x .发现（左极限）22lim 2x x -→=,（右极限）22lim 2x x +→=,因此有22lim 2x x →=． (2)我们再继续看112--=x x y ,当x 无限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:211,(1)1x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．当x 从右侧趋近于1时, 即1x +→时，2y →．即（左极限）2111(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-，（右极限）2111(1)21lim lim x x x x x ++→→-∴=+=- 2111(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-(3)分段函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩当x →0的变化趋势.①x 从0的左边无限趋近于0，则()f x 的值无限趋近于－1.即0lim ()1x f x -→=- ②x 从0的右边无限趋近于0，则()f x 的值无限趋近于1. 即0lim ()1x f x +→= 可以看出00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，就称当0x →时，()f x 的极限不存在．2. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→3. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限三、讲解范例：例1求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+<⎩解：（1）220011lim lim 12121x x x x x x x →→-+==--+ （2）000lim 1,lim 1lim x x x x x xx x x-+→→→=-=⇒不存在．（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+<⎩20lim ()lim(1)1,lim ()lim 21xx x x x f x x f x --++→→→→⇒=+=== 0lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+→→→⇒==⇒=．四、课堂练习：1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2．对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3.求如下极限：⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 22x x x x --→π ⑷2321lim4--+→x x x ;⑸xa x a x -+→20lim（0>a ）; ⑹x x 1lim 0→答案：⑴2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 32300(1)(13)3lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-⑷443x x →→==⑸012x x a x a→→== ⑹x x 1lim 0→不存在．五、小结：六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

数学分析教学大纲

2、能准确叙述复合函数极限定理与海涅定理，并能熟练应用。
3、能准确叙述并证明函数的极限性质——唯一性、局部有界性、局部保号性和不等式性质。
4、会应用迫敛性、有理运算、复合函数极限定理及两个重要极限，熟练地计算极限。
5、会用海涅定理判断某些函数极限不存在。
[教学重点与难点]:
重点: 准确理解函数极限的“ε－δ”定义和“ε－A”定义，会运用函数的极限性质以及两个重要极限来计算函数极限。
（2）为避免教学上的难点过于集中，有些定理可先提出并应用，把证明推迟进行，如实数的一些基本定理可移到一元函数微积分学之后，又如定积分中“上和与下和”、“可积条件”的证明可移到积分法之后。
（3）作为数学与应用数学专业的学生，应对“实数理论”有一定的理解，本大纲把“实数理论”作为附录放在最后，建议结合实数基本定理的证明作适当介绍。
4、会运用柯西收敛准则证明极限的敛散性。
5、会用数列与子列极限的关系判断某些数列发散。
[教学重点与难点]:
重点: 理解数列极限的“ε－N”定义及否定叙述，准确叙述和证明数列极限性质并求数列极限。
难点: 准确理解“ε－N”定义及否定叙述，运用数列极限有关定理来证明数列极限的敛散性。
难点: 函数极限的“ε －δ”定义和海涅定理。
[附注]：
在记号、～的举例时，可介绍记号O，并说明无穷大量与无穷小量的关系。
5、函数在一点的连续性，单侧连续性，间断点及其分类，连续函数局部性质，区间上的连续函数性质——有界性、最值性、介值性、一致连续性，反函数的连续性，初等函数连续性[教学要求]：
（4）大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用。
三....[教学方式]:

高数第2章

ˆ
ˆ ( a, δ ) x∈N 时，有 f ( x ) > 0 （或 f ( x ) < 0 ）。 lim f ( x ) = A ˆ （II）若在点 a 的某个去心邻域 N ( a, δ ) 内有 f ( x ) ≥ 0 （或 f ( x ) ≤ 0 ），且 x→a ，
则 A ≥ 0 （或 A ≤ 0 ）。 5．极限的四则运算与复合运算设 c 是常数，（1） x → a
∆x ( ≠ 0) 时，函数 f ( x ) 取得相应的改变量 ∆y = f ( a + ∆x) − f ( a ) ，若极限
∆y f ( a + ∆x ) − f ( a ) = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x 存在，则称此极限值为函数 y = f ( x ) 在点 a 处的导数（或微商），记作 lim
lim
f ( x) A = ， B ≠ 0； g ( x) B
Λ
若 lim g ( x) = u 0，lim f (u ) = A，且∀x ∈ U (a , δ ) (δ > 0)，有g ( x) ≠ u 0，
x→a u →u 0
lim f [ g ( x)] = lim f (u ) = A
u →u 0
f ′(a)， y ′ x =a ，
导数定义的等价形式有
dy dx
或
x=a
d f ( x) dx
x=a
。
f ′(a ) = lim
x→a
f ( x) − f (a) x−a 。
（2）左、右导数
f ( x) − f (a ) x→a x−a 左导数 f ( x) − f (a) f +′ (a ) = lim+ x→a x−a 右导数 f ′( a ) 存在 ⇔ f −′ (a) = f +′ (a) 。 f −′ (a ) = lim−

601《数学分析》考试大纲

601《数学阐发》测验大纲一、大纲综述数学阐发是大学数学系本科学生的最根本课程之一，也是大都理工科专业学生的必修根底课。

为帮忙考生明确测验范围和有关要求，特制订《数学阐发》测验大纲。

《数学阐发》测验大纲按照北京林业大学数学与应用数学本科《数学阐发》教学大纲编制而成，适用于报考北京林业大学数学学科各专业〔根底数学、概率论与数理统计、计算数学、应用数学〕硕士学位研究生的考生。

参考书目以华东师范大学数学系编写的教材为主，其他两个参考书目为辅。

二、测验内容1．实数集与函数〔1〕确界概念，确界道理〔2〕函数概念与运算，初等函数2.数列极限〔1〕数列极限的ε一N定义〔2〕收敛数列的性质〔3〕数列的单调有界法那么，柯西收敛准那么，重要极限3．函数极限(1) 函数极限的ε一M定义和ε一δ定义，单侧极限(2) 函数极限的性质(3) 海涅定理〔归结原那么〕，柯西收敛准那么，两个重要极限(4) 无穷小量与无穷大量的定义、性质，无穷小〔大〕量阶的比拟4．函数的持续性(1) 函数在一点持续，单侧持续和在区间上持续的定义，间断点的类型(2) 持续函数的局部性质。

复合函数的持续性，反函数的持续性。

闭区间上持续函数的性质。

(3) 一致持续的定义，初等函数的持续性5．导数与微分(1) 导数的定义，导数的几何意义(2) 导数四那么运算、反函数导数、复合函数导数，求导法那么与求导公式(3) 参数方程所确定的函数的导数，高阶导数(4) 微分概念、微分根本公式，微分法那么，一阶微分形式的不变性。

微分在近似计算中的应用，高阶微分6．微分中值定理及其应用(1) 费马定理，罗尔定理，拉格朗日定理(2) 柯西中值定理，罗比达法那么，不定式极限(3) 泰勒公式(4) 函数的单调性、凸性与拐点、极值与最值(5)渐近线，函数作图。

7．实数的完备性〔1〕区间套定理，柯西收敛准那么，聚点定理，有限覆盖定理，致密性定理〔2〕闭区间上持续函数的性质及证明8．不定积分〔1〕原函数与不定积分的概念，根本积分表，线性运算法那么〔2〕换元积分法，分部积分法〔3〕有理函数的积分法。

函数极限概念教学设计

课题：函数极限的概念一、教学内容分析极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1．通过函数极限概念的教学，使学生掌握数学符号语言。

.2. 通过函数极限概念的教学，给学生提供精确定义解决极限问题的必要模式。

2．观察运动和变化的过程，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力。

三、教学重点及难点重点：函数极限的概念的理解难点：函数极限的概念的理解四、教学流程设计五、教学过程设计（一）引入1、创设情境，引出课题考察实例求自由落体在=2t 秒时的瞬时速度是多少？（二）学习新课2、观察归纳，形成概念（1）直观认识概念辨析归纳函数极限的描述性定义：如果当x 无限接近于x 0 , 函数f (x )的值无限接近于常数A , 则称当x 趋于x 0 时, f (x )以A 为极限. 记作0lim x x →f (x )=A 或f (x )→A (当x →0x ).（2）量化认识问题拓展给出函数极限的精确定义：设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ, 使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时, 对应的函数值f (x )都满足不等式 |f (x )-A |<ε , 那么常数A 就叫做函数f (x )当x →x 0时的极限, 记为 A x f x x =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).（三）、巩固练习讲授例题例1. 证明c c x x =→0lim 例2. 证明00lim x x x x =→. 例3. 证明211lim 21=--→x x x . 分析: 注意函数在x =1是没有定义的, 但这与函数在该点是否有极限并无关系（四）、课堂小结（五）、作业布置六、教学设计说明由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.。

函数极限ε-δ定义的解读(老黄学高数第85讲)

老黄学高数
第85讲函数极限
ε-δ定义的解读
设f在某空心邻域U⁰(x0;δ’)内有定义， A为定数. 若对任给的ε>0，存在正数δ(<δ’)，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于x0时以A为极限. 注： 1、定义中的正数δ，相当于数列极限ε-N定义中的N，
它依赖于ε，但不是由ε所唯一确定。一般来说，
根据函数极限的ε-δ定义叙述
≠A.
解：函数f在点x0的某个空心邻域U⁰(x0;δ’)内有定义，
A为定数。若存在某个正数ε0，使得对任意正数δ(<δ’)，总存在x’，满足0<|x’-x0|<δ，且|f(x’)-A|≥ε0，则称
当x→x0时函数f不以A为极限，记作：
≠A.
若A存在任意性，则当x→x0时函数f的极限不存在.
ε愈小，δ也愈小，δ不唯一，可取得更小一些。
设f在某空心邻域U⁰(x0;δ’)内有定义， A为定数. 若对任给的ε>0，存在正数δ(<δ’)，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，注：
2、定义中只要求函数f在x0的某一空心邻域内有定义，
一般不考虑f在x0处是否有定义，或取什么值。
4、ε-δ定义的几何意义如图：
正数ε越小时，一般δ也越小；
f(x)在U⁰(x0;δ)内的图象落在横轴区间U⁰(x0;δ)和纵轴区间 U(A;ε)围成的带形区域里.
函数极限的几何意义：
x趋于+∞的函数极限
x趋于x0的函数极限
按定义证明： (x2-6x+10)=2；证：∀ε>0，当0<|x-2|<1时，有 |(x2-6x+10)-2|=|x-2|·|x-4|≤|x-2|(|x-2|+2)<3|x-2|，只要取δ=min{1, }，则当0<|x-2|<δ时，就有 |(x2-6x+10)-2|<ε, ∴ (x2-6x+10)=2.

函数极限的 ε-δ 定义

函数极限的ε-δ定义及解释
函数极限的ε-δ 定义是一种用于精确描述函数在某点处极限的数学定义。

它用ε (epsilon) 和δ (delta) 两个变量来表示，通常用于实数域上的函数。

具体定义如下：
设函数 f(x) 在 x=a 的某个去心邻域内没有定义（或者与f(a) 无关），除非 x=a 本身的取值，即 0 < |x-a| < δ 时，f(x) 在 x=a 处没有定义（或者与 f(a) 无关）。

如果对于任意给定的ε > 0，都存在一个正数δ > 0，使得当 0 < |x-a| < δ 时，都有 |f(x) - L| < ε 成立，其中 L 是实数，那么我们说函数 f(x) 在 x=a 处的极限为 L，记为：lim(x→a) f(x) = L
在这个定义中，ε 表示我们对极限值 L 的容忍度，δ 表示在离极限点 a 足够近的范围内，函数值 f(x) 与极限值 L 的距离的容忍度。

简而言之，这个定义要求当 x 足够接近 a 时，f(x) 必须足够接近 L，且接近程度由ε 和δ 的选取来控制。

通过这个ε-δ 定义，我们可以严格地说明一个函数是否在某一点处有极限，并帮助我们理解和证明函数的极限性质。