行列式计算方法
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i 1 n
1 1 1 1 x (ai x)( ... ) i 1 x a1 x a2 x an x
n
8. 用拉普拉斯定理计算行列式
定理5 在行列式D中任选k行（或k列），由这k行（或k列）元 k C n 个k阶子式）与它的代数余 素组成的一切k阶子式（共可组成 子式的乘积之和等于行列式D.
解：把Dn 的所有元素都加上-x，得 D
a 2 x ... ... ... 0
... a n x
D的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元 素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，所以
Dn (a1 x)( a2 x) (an x) x (a1 x) (ai 1 x)( ai 1 x) (an x)
F ( x)(1 x x 2 ) D1 x (D2 D1 ) x 2 (D3 D2 D1 ) x 3 ... (Dn Dn1 Dn2 ) x n ...
又 Dn Dn1 Dn2 0.(n 3,4,5...)
D1 1, D2
二、行列式的定义及性质
a11 a12 a 22 ... an2 ... ... a1n ...
1
定义：n阶行列式
Dn a ij
a 21 ... a n1
... a 2 n ... a nn
( 1) ( j j
j1 j 2 ... j n
1 2
... j n )
a1 j a2 j ...anj
a11 D a 21 ... a n1 a12 a 22 ... an2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a nn
D1 a11 x a12 x ... a1n x a 21 x a 22 x ... a 2 n x ... ... ... ... a n1 x a n 2 x ... a nn x
关于行列式计算方法的研究
摘要：本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了
计算n阶行列式的几种行之有效的方法. 除比较常用的定义 法，化三角形法，升阶法，数学归纳法等法外，还介绍了 利用降阶定理，幂级数变换，换元等技巧性较高的计算方 法.只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上 解决n阶行列式的计算问题.
... 1 ...
=
0 ... 2 ... ... ...
= (1)
n ( n 1) 2
12 ...n
n
0
...
n
0
...
n
...
(1)箭形行列式;(2)可化为箭形行列式的行式
(3)行（列）的和相等的行列式 这几种类型的行列式均可化为三角形行列式. 3. 用递推法计算行列式 :利用行列式的性质,把某一行列 式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式(称 为递推关系式），根据所得递推关系式及低阶某初始 行列式的值便可递推求得所需的结果. 文章给出了一类可化为 Dn aDn1 bDn2 的递归行列式. 的计算方法。 当b等于0 时，易得 Dn a n1 D1 当b不等于0时， Dn C1 n1 C2 n1
E CA 1 0 A B E A 1 B A 0 1 E C D 0 E 0 D CA B E 0 E A 1 B 1 ， 1 CA E 0 E
. P D A BD 1C 则
由于
P
所以两边取行列式，
A B C D
A D CA 1 B
，同理可证（2）。
定理3 设A与D分别为n阶与m阶可逆阵，B与C分
别为n×m阵与m×n阵，则
A B P 证明：设 C D ,由定理2 A B P A D CA 1 B D C D
D 故，D CA B A A BD 1C
1
D CA 1 B
D A
A BD1C
A BD 1C
。
6. 用幂级数变换计算行列式 把一类n阶行列式转化为差分方程，再利用幂级数变 换求解差分方程，即可求出行列式的值. 任给一个数列 {an } ,则可相应地作出一个幂级数 F ( x) a x ,将 F (x ) 叫做数列 {a } 的幂级数变换.给定一个幂级 n 数 F ( x) a x 唯一确定数列 {an } 数列与幂级数有对应关系.
n n 1 n 1 ... D2 n ... n n 1 1 2 3 4 ... n2 ...
=
x x1 1 ( 2 ) 1 ( x2 x1 ) 1 x2 x 1 x1 x
=
1 [ x2 . (1) n x2n x n x1 . (1) x1n x n ] 1 = ( x2 x1 ) n0 n 0
n (1) n ( x2 1 x1n1 ) n x x x n 1 2 1
.
三、行列式的计算方法
利用行列式的定义来计算 对于含零元素较多的行列式可用定义来计算. 因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值 就为零，故只须求出所有非零项即可. 1
（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘积的 所有项. 当行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零 元素乘积项只有一项时，用此法计算非常简便.
C1 D2 D1 D D1 , C2 2
,其中
和
ຫໍສະໝຸດ Baidu
为特征方程
x 2 ax b 0 的两根。
4. 用升阶法计算行列式 升阶法指的是在原行列式中再添加一行一列， 使原来的n阶成n+1阶，且往往让n+1阶行列式的 值与原n阶行列式的值相等.一般来说,阶数高的 比阶数低的计算更复杂些.但如果合理地选择所 添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零” 的话，则升阶后有利于计算行列式的值. 凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是： 除主对角线上的元素外，其余元素都相同，或任 两行（列）对应元素成比例.升阶时，新行（列） 由哪些元素组成？添加在哪个位置？要根据原行 列式的特点作适当的选择.
⑤
比较②式与⑤式的系数，得
n (1) n ( x2 1 x1n1 ) (1) n 1 5 n1 1 5 n1 Dn [( ) ( ) ] x2 x1 2 2 5
=
1
7. 用换元法计算行列式:此法应用于当以同一个数 改变行列式的所有元素时，其各元素的代数余 子式容易计算的情形，它基于下面的定理. 定理4 设
（法二）求出非零元素乘积 a1 j a2 j ...anj 的列下标
1 2 n
j1 , j2 ,..., jn
的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零项.
2 化三角形法 :把已知行列式通过行列式的性质化为下 列三角形行列式中的某一种形式，则其值就可求出.
1
0 ... 0 0 2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 0 0 ... n ... 1 0 ... 0
例1.计算行列式
0 0 Dn ... 0 0 0 1 0 ... 0. 0 0 1 1 0 1 1 1 ... ... ... ... 0 1 0 ... 0 0 ... ... ... 0 ... 1 1 0 ... 0 ... 0 ... ... 1 0 1 1 1 1
将按第1列展开得： Dn Dn1 Dn2 ① 此行列式序列是斐波那契 数列，开始项为1,2，以后各项均为前两项之和. D ①式变形为， n Dn1 Dn2 0 (n 3,4,5...) 设 F ( x) D1 x D2 x 2 D3 x3 ... Dn x n ... ② 解：D
1 5 n1 1 5 n1 [( ) ( ) ] 2 2 5
则 D1 D x Aij
i , j 1
n
其中 Aij 是元素 aij 的代数余子式.
a1
x a2 x
... ...
x x
例2
计算行列式
Dn
x ... x
... ... ... ... a n
a1 x 0 ... 0 0 ... 0 0 ...
1
...
1
0
...
0
=
0 2 ... ... ... ... ... 0
=
2 ... 0 ... ... ... ... ... n
... ... n
... 1 0 ... 0
=
12 ...n
0
0
0 ... 2 ... ... ...
=
... 2 ... ... ...
关键词：n阶行列式；递推关系式；升阶；幂级数变
换；换元
一、引言
行列式的计算是高等代数的重要内容之一, 也是学习中的一个难点.对于阶数较低的行列 式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算 出结果.对于一般的n阶行列式,特别是当n较大 时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐 的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必 要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使 计算大大简化，从而得出结果.本文介绍了几 种计算方法，只要将各种方法综合地应用起来， 就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.
1
1
1 1
2
所以
x x2 1 F ( x) 1 2 2 1 x x 1 x x
方程1 x x 0 的两根为：
2
x1
1 5 1 5 , x2 2 2
且有
x1.x2 1, x2 x1 5
F ( x) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 ( x x1 )(x x2 ) ( x2 x1 ) x x1 x x2 1 x x
1
1, D2
1
1
1 1
2
用-x乘②式得: ( x 2 ) 用 乘②式得: ②+③+④，得:
③ ④ x 2 F ( x) D1 x 3 D2 x 4 D3 x 5 ... Dn x n2 ...
xF( x) D1 x 2 D2 x 3 D3 x 4 ... Dn x n1 ...
1 2
n
其中 ( j1 j2 ... jn ) 为排列
j1 j2 ... jn
的逆序数.
2
(1) (2) (3) (4)
性质 行列互换，行列式不变. 数k乘行列式的一行相当于数k乘此行列式. 若行列式中有两行相同，那么行列式为零. 若行列式中两行成比例，那么行列式为零.
(5) 若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之 和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列 式分别以这两组数作为该行（列）元素，其余各行 （列）与原行列式相同. (6) 把行列式中一行的倍数加到另一行，行列式不变. (7) 对换行列式中两行的位置，行列式反号.
n n 0 n
n 0
n
n
数列之间的运算关系同幂级数变换之间的运 算关系是对应的.差分方程的结构是由数列项之间 的递推关系而确定的，把行列式转化为差分方程， 引入幂级数变换，通过幂级数的分析运算可求出 1 1 0 0 0 ... ... 0 行列式的值. 1 1 1 0 0 ... ... 0
5.
用降阶定理计算行列式 ,将行列式与矩阵联系在 一起，用行列式的降阶定理计算n阶行列式，以 使方法简单化. 设
A B P ,其中A为年n阶，D为m阶方阵。 C D
P A D CA 1 B
定理2
（1）若A可逆，则
（2）若D可逆， 证明： （1）若A可逆，由分块矩阵的乘法，有
定理1 一个n阶行列式中等于零的元素个数如果比 n×n－n多，则此行列式等于零. 证明：由行列式定义，该行列式展开后都是n个 元素相乘，而n阶行列式共有n×n个元素.若等 于零的元素个数大于n×n－n，那么非零元素 个数就小于n个.因此该行列式的每项都至少含 一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式 等于零.
1 1 1 1 x (ai x)( ... ) i 1 x a1 x a2 x an x
n
8. 用拉普拉斯定理计算行列式
定理5 在行列式D中任选k行（或k列），由这k行（或k列）元 k C n 个k阶子式）与它的代数余 素组成的一切k阶子式（共可组成 子式的乘积之和等于行列式D.
解：把Dn 的所有元素都加上-x，得 D
a 2 x ... ... ... 0
... a n x
D的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元 素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，所以
Dn (a1 x)( a2 x) (an x) x (a1 x) (ai 1 x)( ai 1 x) (an x)
F ( x)(1 x x 2 ) D1 x (D2 D1 ) x 2 (D3 D2 D1 ) x 3 ... (Dn Dn1 Dn2 ) x n ...
又 Dn Dn1 Dn2 0.(n 3,4,5...)
D1 1, D2
二、行列式的定义及性质
a11 a12 a 22 ... an2 ... ... a1n ...
1
定义：n阶行列式
Dn a ij
a 21 ... a n1
... a 2 n ... a nn
( 1) ( j j
j1 j 2 ... j n
1 2
... j n )
a1 j a2 j ...anj
a11 D a 21 ... a n1 a12 a 22 ... an2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a nn
D1 a11 x a12 x ... a1n x a 21 x a 22 x ... a 2 n x ... ... ... ... a n1 x a n 2 x ... a nn x
关于行列式计算方法的研究
摘要：本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了
计算n阶行列式的几种行之有效的方法. 除比较常用的定义 法，化三角形法，升阶法，数学归纳法等法外，还介绍了 利用降阶定理，幂级数变换，换元等技巧性较高的计算方 法.只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上 解决n阶行列式的计算问题.
... 1 ...
=
0 ... 2 ... ... ...
= (1)
n ( n 1) 2
12 ...n
n
0
...
n
0
...
n
...
(1)箭形行列式;(2)可化为箭形行列式的行式
(3)行（列）的和相等的行列式 这几种类型的行列式均可化为三角形行列式. 3. 用递推法计算行列式 :利用行列式的性质,把某一行列 式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式(称 为递推关系式），根据所得递推关系式及低阶某初始 行列式的值便可递推求得所需的结果. 文章给出了一类可化为 Dn aDn1 bDn2 的递归行列式. 的计算方法。 当b等于0 时，易得 Dn a n1 D1 当b不等于0时， Dn C1 n1 C2 n1
E CA 1 0 A B E A 1 B A 0 1 E C D 0 E 0 D CA B E 0 E A 1 B 1 ， 1 CA E 0 E
. P D A BD 1C 则
由于
P
所以两边取行列式，
A B C D
A D CA 1 B
，同理可证（2）。
定理3 设A与D分别为n阶与m阶可逆阵，B与C分
别为n×m阵与m×n阵，则
A B P 证明：设 C D ,由定理2 A B P A D CA 1 B D C D
D 故，D CA B A A BD 1C
1
D CA 1 B
D A
A BD1C
A BD 1C
。
6. 用幂级数变换计算行列式 把一类n阶行列式转化为差分方程，再利用幂级数变 换求解差分方程，即可求出行列式的值. 任给一个数列 {an } ,则可相应地作出一个幂级数 F ( x) a x ,将 F (x ) 叫做数列 {a } 的幂级数变换.给定一个幂级 n 数 F ( x) a x 唯一确定数列 {an } 数列与幂级数有对应关系.
n n 1 n 1 ... D2 n ... n n 1 1 2 3 4 ... n2 ...
=
x x1 1 ( 2 ) 1 ( x2 x1 ) 1 x2 x 1 x1 x
=
1 [ x2 . (1) n x2n x n x1 . (1) x1n x n ] 1 = ( x2 x1 ) n0 n 0
n (1) n ( x2 1 x1n1 ) n x x x n 1 2 1
.
三、行列式的计算方法
利用行列式的定义来计算 对于含零元素较多的行列式可用定义来计算. 因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值 就为零，故只须求出所有非零项即可. 1
（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘积的 所有项. 当行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零 元素乘积项只有一项时，用此法计算非常简便.
C1 D2 D1 D D1 , C2 2
,其中
和
ຫໍສະໝຸດ Baidu
为特征方程
x 2 ax b 0 的两根。
4. 用升阶法计算行列式 升阶法指的是在原行列式中再添加一行一列， 使原来的n阶成n+1阶，且往往让n+1阶行列式的 值与原n阶行列式的值相等.一般来说,阶数高的 比阶数低的计算更复杂些.但如果合理地选择所 添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零” 的话，则升阶后有利于计算行列式的值. 凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是： 除主对角线上的元素外，其余元素都相同，或任 两行（列）对应元素成比例.升阶时，新行（列） 由哪些元素组成？添加在哪个位置？要根据原行 列式的特点作适当的选择.
⑤
比较②式与⑤式的系数，得
n (1) n ( x2 1 x1n1 ) (1) n 1 5 n1 1 5 n1 Dn [( ) ( ) ] x2 x1 2 2 5
=
1
7. 用换元法计算行列式:此法应用于当以同一个数 改变行列式的所有元素时，其各元素的代数余 子式容易计算的情形，它基于下面的定理. 定理4 设
（法二）求出非零元素乘积 a1 j a2 j ...anj 的列下标
1 2 n
j1 , j2 ,..., jn
的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零项.
2 化三角形法 :把已知行列式通过行列式的性质化为下 列三角形行列式中的某一种形式，则其值就可求出.
1
0 ... 0 0 2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 0 0 ... n ... 1 0 ... 0
例1.计算行列式
0 0 Dn ... 0 0 0 1 0 ... 0. 0 0 1 1 0 1 1 1 ... ... ... ... 0 1 0 ... 0 0 ... ... ... 0 ... 1 1 0 ... 0 ... 0 ... ... 1 0 1 1 1 1
将按第1列展开得： Dn Dn1 Dn2 ① 此行列式序列是斐波那契 数列，开始项为1,2，以后各项均为前两项之和. D ①式变形为， n Dn1 Dn2 0 (n 3,4,5...) 设 F ( x) D1 x D2 x 2 D3 x3 ... Dn x n ... ② 解：D
1 5 n1 1 5 n1 [( ) ( ) ] 2 2 5
则 D1 D x Aij
i , j 1
n
其中 Aij 是元素 aij 的代数余子式.
a1
x a2 x
... ...
x x
例2
计算行列式
Dn
x ... x
... ... ... ... a n
a1 x 0 ... 0 0 ... 0 0 ...
1
...
1
0
...
0
=
0 2 ... ... ... ... ... 0
=
2 ... 0 ... ... ... ... ... n
... ... n
... 1 0 ... 0
=
12 ...n
0
0
0 ... 2 ... ... ...
=
... 2 ... ... ...
关键词：n阶行列式；递推关系式；升阶；幂级数变
换；换元
一、引言
行列式的计算是高等代数的重要内容之一, 也是学习中的一个难点.对于阶数较低的行列 式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算 出结果.对于一般的n阶行列式,特别是当n较大 时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐 的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必 要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使 计算大大简化，从而得出结果.本文介绍了几 种计算方法，只要将各种方法综合地应用起来， 就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.
1
1
1 1
2
所以
x x2 1 F ( x) 1 2 2 1 x x 1 x x
方程1 x x 0 的两根为：
2
x1
1 5 1 5 , x2 2 2
且有
x1.x2 1, x2 x1 5
F ( x) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 ( x x1 )(x x2 ) ( x2 x1 ) x x1 x x2 1 x x
1
1, D2
1
1
1 1
2
用-x乘②式得: ( x 2 ) 用 乘②式得: ②+③+④，得:
③ ④ x 2 F ( x) D1 x 3 D2 x 4 D3 x 5 ... Dn x n2 ...
xF( x) D1 x 2 D2 x 3 D3 x 4 ... Dn x n1 ...
1 2
n
其中 ( j1 j2 ... jn ) 为排列
j1 j2 ... jn
的逆序数.
2
(1) (2) (3) (4)
性质 行列互换，行列式不变. 数k乘行列式的一行相当于数k乘此行列式. 若行列式中有两行相同，那么行列式为零. 若行列式中两行成比例，那么行列式为零.
(5) 若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之 和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列 式分别以这两组数作为该行（列）元素，其余各行 （列）与原行列式相同. (6) 把行列式中一行的倍数加到另一行，行列式不变. (7) 对换行列式中两行的位置，行列式反号.
n n 0 n
n 0
n
n
数列之间的运算关系同幂级数变换之间的运 算关系是对应的.差分方程的结构是由数列项之间 的递推关系而确定的，把行列式转化为差分方程， 引入幂级数变换，通过幂级数的分析运算可求出 1 1 0 0 0 ... ... 0 行列式的值. 1 1 1 0 0 ... ... 0
5.
用降阶定理计算行列式 ,将行列式与矩阵联系在 一起，用行列式的降阶定理计算n阶行列式，以 使方法简单化. 设
A B P ,其中A为年n阶，D为m阶方阵。 C D
P A D CA 1 B
定理2
（1）若A可逆，则
（2）若D可逆， 证明： （1）若A可逆，由分块矩阵的乘法，有
定理1 一个n阶行列式中等于零的元素个数如果比 n×n－n多，则此行列式等于零. 证明：由行列式定义，该行列式展开后都是n个 元素相乘，而n阶行列式共有n×n个元素.若等 于零的元素个数大于n×n－n，那么非零元素 个数就小于n个.因此该行列式的每项都至少含 一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式 等于零.