几何原本-第一卷几何基础
关于几何原本的知识
关于几何原本的知识几何，作为数学的重要分支之一，是研究空间形体以及其属性的学科。
在我们日常生活中，很多几何知识都是我们必须掌握的基础知识。
那么，在几何原本的知识中，有哪些是我们必须要掌握的呢？下面，就让我来一步步阐述。
第一步：认识图形图形是几何的重要基础，而人们离不开的最基本图形便是点、线、面。
其中，点是没有大小和形状的，只有位置，可以表示为用字母标记的点。
线是由两个点确定，没有宽度和高度，可以用直线标记。
面是由多个线构成，有面积和形状，可以用有限的线段组成。
当然，除了这些基本图形外，我们还可以看到诸如正方形、长方形、圆形、三角形等图形，这些图形都有自己特定的性质和用途，在学习几何时也应该对它们有深刻了解。
第二步：识别几何性质在学习几何时，我们还需要了解各种图形的性质。
如线段上的三点共线，三角形中的内角和为180度，正方形的四边相等，相邻两边相等等等。
掌握了这些性质，我们就能够更好地判定并理解各种图形。
第三步：运用空间几何知识在空间几何中，我们不仅需要学习图形的性质，还需要掌握如何在三维空间中描述图形。
比如，平面图形是在二维空间内讨论的，而将这些平面图形放在三维空间内，则成为了立体图形。
立方体、圆柱体、球体、锥体等图形，都是我们日常生活中常见的，而掌握它们的性质和运用方法，则会让我们在需要进行立体计算时事半功倍。
第四步：应用几何知识最后，了解几何知识后，我们还需要将它们应用到实际问题中。
在日常生活中，我们经常遇到需要运用几何知识的问题，比如测量周长、面积、体积等。
而且在工程、建筑、城市规划等方面，几何知识更是不可或缺，如何将具体问题转化为几何问题，将几何知识与实际应用结合，使我们的生活变得更加便捷和高效。
以上，便是围绕“关于几何原本的知识”所提及的几个步骤，通过这些知识的系统学习和掌握，不仅可以帮助我们更好地认识图形和掌握几何性质，而且能够运用几何知识解决实际问题，实现我们的实践能力的提高。
几何原本的公设和公理
几何原本的公设和公理几何学是一门研究空间中图形、大小、位置关系和性质的学科，它的基础在于公设和公理。
公设和公理是几何学中最基本的概念，它们构成了几何学体系的基础。
本文将详细介绍几何原本的公设和公理。
一、公设1.点线面公设点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的概念。
线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度。
面是由无数条线围成的，具有长度和宽度但没有高度。
2.尺规作图公设尺规作图是指用直尺和圆规来画出一些特定形状的图形。
尺规作图公设认为可以用直尺和圆规画出能够被分解为直线段与圆弧相交所得到的长度为1的线段。
3.平行公设平行公设认为如果一条直线上有两个点与另一条直线上两个点相对应且这两条直线不重合，则这两条直线必定平行。
二、公理1.欧几里德几何五大公理欧几里德几何是古希腊数学家欧几里德所创立的几何学体系。
欧几里德几何的五大公理包括：（1）任意两点之间都可以画一条直线。
（2）有限直线段可以无限延长。
（3）以一个点为圆心、以一个确定的长度为半径可以画出一个唯一确定的圆。
（4）所有直角相等。
（5）如果一条直线上有两点与另一条直线上两点相对应，则这两条直线不会相交，或者在相交处形成同侧的两个直角。
2.非欧几里德几何公理与欧几里德几何不同，非欧几里德几何并不认为第五公理是正确的。
非欧几里德几何有多种公理体系，其中最著名的是黎曼几何和洛巴奇夫斯基空间。
黎曼几何公理认为平面上不存在平行线，而洛巴奇夫斯基空间则认为平面上存在无穷多个平行线。
三、总结公设和公理是构成了现代数学中各个分支学科体系中最基本概念和规则，它们构成了各个分支学科体系的基础和框架。
在学习数学时，我们需要深入掌握这些基本概念和规则，以便更好地理解和应用数学知识。
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定义: 几何学中所用的字的意义。
如：点、线、面、体、直角、垂直、 锐角、钝角、平行线等。
公理: 适用于一切科学的不证自明的真理。
如：若a=c, b=c, 则a=b 。
公设: 适用于几何学的不证自明的真理。
如：所有直角彼此相等。
1. 点没有大小。 2. 线有长度没有宽度。 3. 线的界是点。 4. 直线上的点是同样放置的。 5. 面只有长度和宽度。 6. 面的界是线。 20. 在三边形中，三条边相等的，叫做等边 三角形；仅两条边相等的，叫做等腰三角形； 各边不相等的，叫做不等边三角形。 23. 平行直线是在同平面內的直线，向两个 方向无限延长，在不论哪个方向它们都不相 交。
形
几何图形的产生 割圆术
《几何原本》 密铺
七巧板
测量术
几何 形学
欧氏几何
（抛物几何）
非欧氏几何
（双曲几何
椭圆几何）
3×3=9 3×5=15
三角形的面积=边长×边长÷2
集整个古希腊数学成 果和精神于一书
数学巨著
哲学巨著
《几何原本》的內容
• 第一卷 几何基础篇 • 第二卷 几何代数 • 第三及第四卷 圆形及正多边形 • 第五卷 比例论 • 第六卷 相似 • 第七、八、九卷 数论 • 第十卷 公度与不可公度 • 第十一至第十三卷 立体几何
5. 如果两条直线与另一条直线相交，所成的 同侧內角的和小于两直角，那么这两条直 线在这一侧必相交。
L
L1
a
b
L2
a + b < 180
公理
1. 等于同量的量相等。 2. 等量加等量，其和相等。 3. 等量减等量，其差相等。 4. 可重合的图形全等。 5. 全体大于部分。
黄金时期
比例论举例
定理: 如果两个三 角形的高相等, 则它 们的面积之比等于两 底长之比
比例定义：A，B；C，D 对任何正整数m和n，关系 m A n B ↔ m C n D BmC=m(BC)，△ABmC=m(△ABC)； DEn=n(DE) ，△ADEn=n(△ADE)。
由已证明的结果,可知 △ABmC △AEnD ↔BmC EnD
欧几里得（ 约公元前330年—前275年）古希腊数学家， 是希腊论证几何学的集大成者。 被称为“几何之父”。 现存著作有：《原本》数据》、《论剖分》、《现象 》、《光学》和《镜面反射》等。 失传著作：《圆锥曲线》《衍论》、《曲面轨迹》、 《辩伪术》等。 而在这些著作中最重要的莫过于《原本》
《原本》（Στοιχετα） 13卷 5条公理、5条公设
缺陷: (1) 某些定义借助于直观或含混不清；
(2) 公理系统不完备.
1482 第一个拉丁文印刷本(威尼斯) 1607 中译本<几何原本>(徐光启,利玛窦)
历史意义：
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。 其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎 体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识， 是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借 助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、 比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密 的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本 》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深 远的影响。
在五个公设中，第五个公设不像前四个那样 显而易见，大家很快就认为：欧几里得把 这一命题列为公设．不是因为它不能证明， 而是找不到证明。这实在是《几何原本》 这部不朽巨著的白璧微瑕。 从《几何原本 》的问世到19世纪初，许多学者投入无穷 无尽的精力，力图洗刷这—“污点”，最后 导致非欧几何的创立。
几何原本
第6卷共有33个命题，将第5卷已建立的理论用到平面图形上去，为相似多边形的理论。
创作背景
公元前8至公元前6世纪，在小亚细亚地区，希腊移民建立了一群经济上繁荣富裕的工商业城市，发展出了希 腊城邦制度。希腊人凭借地理上的优势，大力发展海上贸易，广泛吸收先进的古埃及和古巴比伦的文化，成为古 希腊文明的中心，培育出了公元前6世纪以后的小亚细亚诸城邦的一批思想家和学者，小亚细亚、尤其爱奥尼亚成 了古希腊自然哲学和科学的故乡。希波战争以后，雅典取得了希腊城邦的领导地位，海上贸易更加发达。经济生 活更加繁荣，古希腊文明中心由小亚细亚移向希腊本土雅典，此时，希腊民主城邦制度逐步走向全盛时代。“各 城邦实行独立的主权在民和直接民主制度，即城邦的政治主权属于它的公民，公民们直接参与城邦的管 理。”“在这种制度下，凡享有政治权利的公民的各项决议无论在寡头、贵族或民主政体中总是最后的裁断，具 有最高的权威”，这种“民主生活又使得议会、陪审法庭和公民大会成为说话的艺术即雄辩术的广阔的用武之地。 雄辩术可以使一个普通的公民成为民众的领袖”。在这种环境下，雅典学术气氛十分活跃，雅典公民在公开的政 治生活中获得广泛的知识，希腊世界各地的知识分子也群趋雅典，希腊哲学、艺术、文化科学等各方面呈现出百 花齐放、各炫异彩的空前盛况。马其顿王亚历山大的帝国崩溃以后，作为东西海陆交通枢纽的埃及的亚历山大里 亚逐渐成为古希腊文化中心。其时，托勒密一世重视科学文化，在那里修建科学中心。修建博物园，建立图书馆， 藏书70余万卷，几乎包括所有古希腊的著作和东方的一部分典籍，还把当时所有学术中心的许多学者请到亚历山 大里亚，欧几里得就是在公元前300年左右受邀到那里从事教学和研究的。数学在一个自由的学术气氛中最能获 得成功，而希腊的民主城邦制度则提供了这种自由的学术环境，在那里古希腊人创立了思辩的哲学，发展和积累 了丰富的自然科学和数学知识，《几何原本》就是在这样的环境中诞生的。
数学史古希腊数学
几何《原本》第十二卷
▪ 第十二卷主要论述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理。 并用穷竭法加以证明。
▪ 命题5 等高三棱锥之比等于它们底之比。 ▪ 命题7 三棱柱可以分成三个彼此相等的三棱锥。 ▪ 命题10 圆锥是同底等高圆柱的三分之一。
欧几里得与几何《原本》
• 《原本》在我国传播 • 1607年徐光启（1562－1633）与意大利传教士利玛窦（M.Ricci，
1552-1610）合译O.Clauvius（1537－1612）校订、增订的拉丁文本 《原本》前6卷。 • 1857年，李善兰（1811－1882）与英国传教士伟烈亚历（A.Wylie， 1815－1887）续译后9卷。
▪ 命题14 同圆内等弦的弦心距相等；弦心距相等则弦相等。 ▪ 命题22 内接于圆的四边形，其对角和是二直角。 ▪ 命题32 直线切于一圆，弦与切线的夹角等于弦所对圆周角。 ▪ 命题35 圆内有相交二弦，其中一弦上所截线段围成的长方形等于
另一弦上所截线段围成的长方形。
几何《原本》第四卷
▪ 第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形 ▪ 命题12 作已给圆的外切正五边形。 ▪ 命题15 作已给圆的内接正六边形。
▪ 命题2 求不互素数的最大公约数。 ▪ 命题19 四数成比例，则第一、四两数乘积等于第二、三两数乘积，
反之亦然。
几何《原本》第七、八、九卷
▪ 命题35：给出了关于完全数的一个著名定理：若几何
级数（从1开始）一些项之和 1 2 22 2n1是
质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，即
(1 2 22 2n1 )2n1
《几何原本》利玛窦徐光启（合译）
《几何原本》利玛窦徐光启（合译）展开全文中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552－1610）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的。
该译本第一次把欧几里德几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国，同时确定了许多我们如今耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似、外似等。
他们只翻译了前6卷，后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。
徐光启翻译中的重要贡献徐光启译《几何原本》徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。
“几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”，而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。
用“几何”译“geometria”，音义兼顾，确是神来之笔。
几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。
这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。
前六卷的翻译工作《几何原本》传入中国，首先应归功于明末科学家徐光启。
徐光启(1562～1633)，字子先，上海吴淞人。
他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献，对引进西方数学和历法更是不遗余力。
他认识意大利传教士利玛窦之后，决定一起翻译西方科学著作。
利玛窦主张先译天文历法书籍，以求得天子的赏识。
但徐光启坚持按逻辑顺序，先译《几何原本》。
对徐光启而言，《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。
这种区别于中国传统数学的特点，徐光启有着比较清楚的认识。
他还充分认识到几何学的重要意义，他说“窃百年之后，必人人习之”。
他们于1606年完成前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行。
几何原本与九章算术的异同
《几何本来》与《九章算术》的异同《几何本来》和《九章算术》都是经典的数学著作，一部是西方的著作，一部是中国的古代著作，这两部著作都对此后的数学发展做出了很大的贡献，并对人类文明产生深远的影响。
《几何本来》和《九章算术》自己是对于纯数学的专著，但高度抽象化的数学是必然是需要和其余的学科相联合的。
下边，我就《几何本来》和《九章算术》的异同做一些论述，第一，《几何本来》和《九章算术》产生的背景不一样：《几何本来》产生的背景：欧几里得的平生，此刻知道的甚少，欧几里得在公元前 300 年左右，到达亚历山大里亚教课．人们夸赞欧几里得治学精神谨慎、谦逊，是一个温良敦朴的数学教育家．欧几里得在从事数学教育中，老是谆谆教导地启迪学生，倡导勤苦研究，弄懂弄通，反对谋利钻营、急于求成的狭小思想．欧几里得在从事数学教育中，擅长累积数学知识，并进行了拓宽与创新．他的巨著《几何本来》是一世中最重要的工作，这部著作的形成拥有无以伦比的历史意义．他精僻地总结了人类长期间累积的数学成就，成立了数学的科学系统，为后代持续学习和研究数学供给了课题和资料，使几何学的发展充满了活的活力．这部著作长期间被人崇敬、崇奉，素来没有一本教科书，像《几何本来》那样长久广为歌颂．从 1482年到 19 世纪末，欧几里得《几何本来》的印刷本竟用各样文字印刷 1000 版以上，在此从前，它的手手本统御几何学也已达近 1800 年之久．欧几里得继承和发展了古人的数学知识，《几何本来》所用到的资料大多半是希腊先期各学派创立的成就．欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本沿续了柏拉图的传统思想，承继了《共和国》中所论及的科学方法．欧几里得在《几何本来》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4 科为内容的科学思想．此外，欧几里得还采纳了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善．《几何本来》所采纳的公义、定理都是经过仔细商酌、挑选而成，并按谨慎的科学系统进行编排，使之系统化、理论化，超出了从前的所有著作，所以，当《几何本来》问世以后，其余诸类渐渐偃旗息鼓了．《九章算术》的背景：中国数学经过长久累积，到西汉期间已有了相当丰富的内容．除《周髀算经》外，西汉早期出现了第一部数学专著 ---《算术书》，用竹简写成．全书共60多个标题，如“相乘”、“增减”、“少广”、“税田”、“金价”、“合分”等，标题以下有各样问题．《九章算术》的体例便遇到《算术书》的影响．此外，当时西汉已有初步的负数及比率观点，面积和体积计算的知识也增加了．这些都为我国初等数学系统的形成准备了条件．现传本《九章算术》约成书于西汉末年，作者不详，可能经多人之手而成．它是一部承上启下的著作，一方面总结了西汉及西汉从前的数学成就，集当时初等数学之大成；另一方面又对后代数学发展产生了深远的影响．其次，《几何本来》和《九章算术》的内容的异同：<<几何本来本 >>各卷简介 :第一卷：几何基础。
再读《几何原本》第一卷(一)
再读《几何原本》第一卷（一）本阅读将第一册的48个命题平均分为三部分。
每部分有16个命题。
第一部分研究相等关系，包括三边相等的三角形、两个全等的三角形、等线段、两边相等的三角形、两个角相等的部分、相交成等邻角的直线等等。
第二部分研究不等关系和平行关系，≠ ，不等号是这样的，研究平行线时，也是这样的，用一条斜线交两线。
第三部分研究等面积变换。
先从第三部分开始讨论，然后第一部分，最后第二部分。
因为第三部分，相对容易理解。
这部分的目标：化任意多边形为等面积的正方形。
内容：从第三十三命题到第四十八命题。
因为这些命题，大部分是夹在平行线之间的平行四边形以及三角形，只要预先假定两平行线之间，距离处处相等。
距离由于欧氏几何独特的性质，如图，从S点向直线TV引垂线ST，这垂线必然也垂直于直线SU。
因此，可以定义平行线之间的距离。
这些距离，图中ST,UV,WZ,等，都相等。
有了这个假设，则大部分命题比较容易理解。
其实，这个命题也可以作为公设，代替传说中的第五公设。
这个命题与第五公设是等价的。
有了第五公设，就有了平行线的性质，这个假设也就不是假设，而是可以证明的定理。
但书中似乎没有出现“距离”这样的字样。
一直用线段度量线段，就是考虑线段与线段的比值。
这一点，同《九章算术》明显不同。
《九章》中，（刘徽）在计算圆周率的时候，就使用了各种长度单位；在《海岛算经》中，各种长度单位的转化更是繁复。
在单位中，实际上定义了一个固定的线段。
其他的与它成比例。
只有利用阿基米德公理才能完成测量。
用比例，就避免了单位的转化。
相同单位的两个量一比，单位就消失了。
更重要的原因是，继承了毕达哥拉斯学派的传统，一定要找到线段和线段之间的“最大公约数”，就是“可公度量”。
让线段之间可以产生比。
当时比的是除法，就是分数还不知道。
这与无理数不能精确地用比例表示有关。
无理数的危机怎么解决？我要看完那一章才知道。
因为现在倒着看这一章书，所以先假定有“距离”这概念。
《九章算术》与《几何原本》作业
《九章算术》与《几何原本》异同一、《九章算术》与《几何原本》的内容相似有以下几个方面：1、《九章算法》的第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。
包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法；而《几何原本》第一卷：几何基础。
重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：几何与代数。
讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。
第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；它们都是在平面上来研究几何图形的面积及性质。
2、《九章算术》第四章“少广”：已知面积，体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；而《几何原本》第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.它们研究都涉及立体几何的内容。
3、《九章算术》第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；而《几何原本》第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是“最重要的数学杰作之一”。
第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。
第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论。
它们都涉及到比例的算法。
4、《九章算术》第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题，提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，《几何原本》中的命题1.47，证明了是欧几里德最先发现的勾股定理。
在它们研究的范围内都用到勾股定理。
二、《九章算术》与《几何原本》的思维方面有很大的区别：1、《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。
九章算术与几何原本的比较讲解
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目录
第一卷 几何基础
第二卷 几何与代数
第三卷 圆与角
第四卷 圆与正多边形
第五卷 比例
第六卷 相似
第七卷 数论（一）
第八卷 数论（二）
第九卷 数论（三）
第十卷 无理量
第十一卷 立体几何
第十二卷 立体的测量
第十三卷 建正多面体
定理。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；
第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最
《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标 志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从 《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由 国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行 刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。
可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰
出贡献
LOGO
关于《九章算术》的历史考证:
现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西
汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的作者不详。 很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补 充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会
出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因
第五章“商功”：土石工程、体积计算；
第六章“均输”：合理摊派赋税；
第七章“盈不足”：即双设法问题；
第八章“方程”：一次方程组问题；
几何原本的主要内容
几何原本的主要内容几何原本是欧几里得所著的一本关于几何学的著作，它被认为是几何学中最具有影响力的书籍之一。
该书共分为13卷，讲述了平面和立体几何学中的基本概念、定理和证明方法。
以下是关于几何原本的主要内容。
第一卷：基础概念第一卷主要介绍了几何学中的基础概念，包括点、线、面等。
欧几里得通过定义这些基础概念来建立整个几何体系，并提出了公设法作为证明方法。
第二卷：平面几何第二卷介绍了平面几何中的基本定理和证明方法，包括点、线、角、三角形等概念。
其中最著名的是勾股定理，即直角三角形斜边上的平方等于两直角边上平方之和。
第三卷：圆形第三卷主要讲述了圆形和圆锥曲线等相关知识。
欧几里得提出了圆周角定理和切割圆法等重要定理和方法。
第四卷：比例论第四卷主要介绍了比例论，包括比例、相似和比例的应用等。
欧几里得提出了重要的黄金分割定理，即长与短的比例等于整体与长的比例。
第五卷：平面几何进阶第五卷进一步深入了解平面几何中的各种定理和证明方法，包括相似三角形、平行线、多边形等。
其中最著名的是欧几里得算法，即求最大公约数的一种方法。
第六卷：立体几何第六卷讲述了立体几何中的基本概念和定理，包括球体、棱锥、棱柱等。
欧几里得提出了球面角定理和平行截面定理等重要定理。
第七卷：数学物理学第七卷主要涉及到数学物理学中的知识，包括音乐比例、光学和天文学等。
欧几里得通过这些应用领域来展示他所建立的几何体系在实际中的应用价值。
第八卷：类似论第八卷主要介绍了相似三角形和类比问题。
欧几里得提出了相似三角形面积比例定理和类比问题解法等重要定理和方法。
第九卷：测量论第九卷讲述了测量论中的知识，包括长度、角度和面积等的测量方法。
欧几里得提出了重要的三角形面积公式和圆周率的近似值等定理。
第十卷：几何代数学第十卷主要介绍了几何代数学中的知识，包括线性方程组、二次曲线等。
欧几里得通过这些应用领域来展示他所建立的几何体系在实际中的应用价值。
第十一卷：不变性第十一卷讲述了不变性原理和对称性等相关知识。
论《九章算术》与《几何原本》的特点
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论《九章算术》与《几何原本》的特点
作者：陈家欣
来源：《文理导航》2017年第32期
【摘要】《九章算术》是中国古代数学著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系；《几何原本》是古希腊时期乃至整个人类历史上最重要的数学著作，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。
【关键词】九章算术；几何原本；代数；几何
引言
《九章算术》与《几何原本》是数学史上东西辉映的两大巨著，是数学思想方法的两个源头。
《九章算术》强调辩证思维，特别注重实事求是，理论联系实际。
全书的246道题，都建立在与生活和生产相关的应用上，形成了以计算为中心的数学体系，对中国古算影响深远；而《几何原本》则相反，与生活和社会的实际问题无关，全书没有一道应用题，全部是纯粹的数学问题。
两书同为古代数学的巨著，对近代数学的发展影响深远，那两书到底有着怎样不同的风格特点，本文将从以下三个方面来论述。
1.体系
《九章算术》开放的归纳体系，全书共246个与生产生活相关的算术题目，同一类型的计算问题化归为一章，共九章。
现将各章内容简介如下：
第一章“方田”：田亩面积计算；（“方”面积单位）
第二章“粟米”：谷物粮食之间互相兑换；（“粟”谷物）
第三章“衰分”：比例分配；（“衰”按比例）
第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边宽广等；（“少”多少，“广”宽广）
第五章“商功”：土木工程、体积计算；（“商”度量，“功”工程）
第六章“均输”：合理摊派赋税；（“均”匀，“输”财物）
第七章“盈不足”：解应用；。
《几何原本》第一卷《几何基础》
《几何原本》第一卷《几何基础》23条定义1、点是没有部分的2、线只有长度而没有宽度3、一线的两端是点4、直线是它上面的点一样地平放着的线5、面只有长度和宽度6、面的边缘是线7、平面是它上面的线一样地平放着的面8、平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度. 9、当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角. 10、当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。
11、大于直角的角叫钝角。
12、小于直角的角叫锐角13、边界是物体的边缘14、图形是一个边界或者几个边界所围成的15、圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。
16、这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。
17、圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。
18、半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
（暂无注释，可能是接着17的）19、直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线围成的，多边形是由四条以上线段围成的。
20、在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形. 21、此外，在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。
22、在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形. 23、平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线. 五条公理1、等于同量的量彼此相等；2、等量加等量，其和相等；3、等量减等量，其差相等；4、彼此能重合的物体是全等的；5、整体大于部分。
一)几何原本与几何基础共16页
1902年清朝政府正式颁布了钦定学堂章程，于 1905年下诏“立停科举，以广学校”，建立了初 小5年，高小4年，中学5年的洋学制，并正式开 始在中学讲授平面几何。由于日本十九世纪后半 叶的明治维新运动对我国触动很大，当时所用课 本大都为日本教材的中译本。数学教育逐步走上 了正轨。
辛亥革命后，1912至1922年，民国政府教育 部将学堂改为学校，算学改称数学，（这一称谓 于三十年代在民间普及），学制改为初小4年， 高小3年，中学4年，教育部审定教学用书，平面 几何教材逐步开始使用一些英译本，如美国人温 德华氏几何学，和我国自己编的课本，数学教育 的水平已大大提高。
1922年，民国政府教育部制定了课程纲要， 学制改为小学6年，初中3年，高中3年，平面几 何在初中三年级与高中一年级讲授。 高中课程 为升入大学进行准备，初中纲要已包括了平面几 何的基本内容。
从三十年代初直到五十年代初，我国很多初 中使用3S平面几何作为教材，作者为美国的 Schultz-Sevenoak-Schuyler三位姓氏以S开头的 数学工作者。这本书可以看作是《几何原本》中 平面几何部分的改写本，结合了中学生的接受能 力，体系严谨，语言平实。二战胜利后，经过修 订又出了一套新3S平面几何，由上海中学余元 庆老师等人翻译，一直沿用到50年代初。
欧几里得原本十三卷
主讲人：xxxx
《几何原本》（希腊语Στοιχεῖ）
是古希腊数学家欧几里得所著的一部数
学著作，共13卷。这本著作是现代数学
的基础，在西方是仅次于《圣经》而流
传最广的书籍。
欧几里得约于前300年写成《几何
原本》。它翻译成阿拉伯文，然后再
二手翻译成拉丁文。最先的印制本出 现于1482年。希腊文版的文字仍然存
足球是由二十个正六边形、十二个正五边形组成若 正二十面体棱边的三分之一处切去角。
食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面
体,硫化铁结晶体有时会出现接近正十二面体的形状。
金字塔是正四面体。
病毒都是正二十面体（SARS） 具有正二十面体的艾滋病病毒 ——魔鬼与天使的结合体
构 成 面 正 八 面 体 等 边 三 角 形
图形
几何数据
表面积： 12a 2 体积： 2 a 3 3 二面角角度： arccos( 1 ) 外接球半径：
内接球半径：
2 a 2 a 6
3
构 成 面 正 十 二 面 体 正 五 边 形
图形
几何数据
表面积： 25 10 5 a 2 3
1 (15 7 5 ) a 3 4 5 arccos( ) 二面角角度： 5
对称性:每个正多面体是相似多 面体所属点群中对称性最高的。 对偶性：正六面体与正八面体对 偶，正十二面体与正二十面体对偶。 欧拉公式：V-E+F=2 五个正多面体间的关系
正四面体
正八面体
正六面体
正二十面体
正十二面体
正多面体的应用：
柏拉图视火、空气、水、土四个元
素为原子，其形状如正多面体中 其中四个 。
体积：
人教版数学七年级下册-几何原本
《几何原本》欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。
从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。
因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。
属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。
《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。
《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。
（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。
它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。
）这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。
全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。
比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。
都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。
关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。
所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。
它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。
几何原本简介
对《几何原本》的评价
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徐光启在评论《几何原本》时说过 ：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其 精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世 无一人不当学。”其大意是：读《几何原本》 的好处在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯， 会按一定的法则，培养巧妙的思考。所以全世界人 人都要学习几何。 • 徐光启同时也说过：“能精此书者，无一事不 可精；好学此书者，无一事不可学。” • 爱因斯坦更是认为：“如果欧几里得未激发你 少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。” • 由此可见《原本》一书对人类科学思维的影响 是何等巨大。
Arkey Works
目录
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Arkey Works
第一卷 几何基础 第二卷 几何与代数 第三卷 圆与角 第四卷 圆与正多边形 第五卷 比例 第六卷 相似 第七卷 数论（一） 第八卷 数论（二） 第九卷 数论（三） 第十卷 无理量 第十一卷 立体几何 第十二卷 立体的测量 第十三卷 建正多面体
论证方法上的影响
关于几何论证的方法，欧几里得提出了 分析法、综合法和归谬法。所谓分析法 就是先假 设所要求的已经得到了，分析这 时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合 法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证 明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定 结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过 的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而 证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
作为基础的五条公理和公设
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五条公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分。 五条公设 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角 之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几 何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生 了非欧几何。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也不能说是错误， 它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外 情况的讨论。
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命题1.35
• 命题：在同底上且在相同的二平行线之间的平行 四边形面积相等；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.36-41
• 命题1.36、在等底上且在相同的二平行线之间的平行四边 形面积相等； • 命题1.37、同底等高的三角形面积相等； • 命题1.38、等底等高的三角形面积相等； • 命题1.39、有共同底边位于同侧面积相等的三角形的令两 点的连线平行于底边； • 命题1.40、等底并在同一边的面积相等的三角形，定点的 连线平行于底边； • 命题1.41、如果一个平行四边形与三角形同底边，并同一 顶点连线平行与底边，那么平行四边形的面积是三角形的 两倍；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.13-15
• 命题1.13、两条直线相交，邻角是两个直角或者 其和为180度； • 命题1.14、平面上两条不在一边的射线过任意直 线上一点，所成的邻角之和若等于两个直角的 和，那么这两条射线构成一条直线； • 命题1.15、两直线相交对顶角相等；
Hanjing shanxi jincheng
定义
• 定义1.18、 半圆：是直径与被它切割的圆弧围成 的图形，半圆的圆心与原圆心相同；
Hanjing shanxi jincheng
定义
• 定义1.19、 直线图形是由线段首位顺次相接围成 的。 三角形是由三条线段围成的， 四边形是由四条线段围成的， 多边形是由四条以上线段围成的； • 定义1.20、三角形中，三条变相等称为等边三角 形，两条变相等称等腰三角形，三边都不相等称 不等边三角形；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.16-17
• 命题16：任意三角形，其任意一边的延长线所形 成的外角大于任意不相邻的内角；
• 命题17：任意一个三角形 其两内角和总小于两个 直角；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.18-19
• 命题18：在任何三角形中，大边一定对大角；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.22
• 命题：用三条线段建立三角形，那么这三条线段 必须满足任意 jincheng
命题1.23
• 命题23:给定一条直线和一条其上的点，可以做一 个角等于已知角。
Hanjing shanxi jincheng
Hanjing shanxi jincheng
定义
• 定义1.21、 三角形中，有一个角为直角的叫直角 三角形，有一个钝角的称钝角三角形，三个角都 为锐角的称锐角三角形；
Hanjing shanxi jincheng
定义
• 定义1.22、 四边形中，四条变相等并四个角为直 角的称正方形， 四个角为直角但边不完全相等的叫长方形， 四边相等，角不是直角的叫菱形， 两组对边分别相等的叫平行四边形， 一组对边平行，另一组对边不平行叫梯形；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.27
• 命题：如果一条直线与另外两条直线相交，所形 成的内错角相等，那么这两条直线平行。
Hanjing shanxi jincheng
命题1.28-31
• 命题1.28、如果一条直线与另外两条直线相交， 所形成的同位角相等，那么这两条直线平行；如 果同旁内角互补，两条直线也平行。 • 命题1.29、一条直线与两条平行线相交，所成内 错角相等，同位角相等，同旁内角互补。 • 命题1.30、平行于同一条直线的两条直线平行。 • 命题1.31、通过直线外一点可以作一条直线的平 行线。
Hanjing shanxi jincheng
定义
• 定义1.12、 锐角：小于直角的角；
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定义
• 定义1.13、 边界：边界是物体的边缘； • 定义1.14、 图形：是一个边界或几个边界围成 的； • 定义1.15、 圆：有一条线包围着的几何图形，其 内有一点与这条线上任何一个点所练成的线段都 相等； • 定义1.16、 这个点叫做圆心； • 定义1.17、 直径是穿过圆心、端点在圆上的任意 线段，该线段将圆分成两部分；
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命题1.2、
• 命题:从一个给定的点可以引一条线段等于已知线 段 设： A为给定的点，BC为给定的线段 • 求作： 以A为端点的线段等于BC • 做法：连接A，B两点成线段AB并由此做成一个等 边三角形DAB（命题1.1）， 做DA的延长线AE，DB的延长线BF 再以B为圆心，BC为半径作圆CGH，再以D为圆心DG 为半径作圆GKL
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命题1.32
Hanjing shanxi jincheng
命题1.33-34
• 命题1.33、一组对边平行且相等的四边形的另一 组对边也平行且相等； • 命题1.34、平行四边形中对边相等，对角相等， 对角线平分该四边形；
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公理
• • • • • 1.1、等于同量的量彼此相等； 1.2、等量加等量，其和仍相等； 1.3、等量减等量，其和仍相等； 1.4、彼此能够重合的物体是全等的； 1.5、整体大于部分。
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命题1.1
• • • • 命题:已知一条线段可以做一个等边三角形 设： AB为已知线段。 要求：以线段AB为边建立一个等边三角形。 做法：以A为圆心AB为半径做圆BCD；再以B为圆心，AB 为半径做圆ACE；两圆相交与C点，连接CA，CB。
•命题19：在任何三角形中，大角总是对大边；
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命题1.20
• 命题：在任何三角形中任意两条边的和大于第三 边；
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命题1.21
• 命题：以三角形一边的两个端点向三角形以内引 两条相交线，那么交点到这两个端点的这两条线 段的和小于三角形余下的两条边的和，所形成的 角大于三角形同侧的内角。
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命题1.47-48
• 命题1.47、在直角三角形中，以斜边为边的正方形面积等 于以两直角边为边的正方形面积之和（勾股定理）；
• 命题1.48、在一个三角形中，如果一边为边的正方形等于 另两边为边的正方形之和，那么后两边的夹角是直角。
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定义
• 定义1.23、 平行直线：在同一个平面内向两端无 限延长不能相交的直线
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公设
• 1.1、过两点可以做一条直线； • 1.2、直线可以向两端无限延伸； • 1.3、以定点为圆心及定长的线段为半径可以做 圆； • 1.4、凡直角都相等； • 1.5、同平面内同一条直线和另外两条直线相交， 若在直线同侧的两个内角之和小于180度，则这 两条直线经无限延长后 在这一侧一定相交。
命题1.24
• 命题:两个三角形有两条对应边相等，其中一个三 角形的对应夹角大于另一个三角形的夹角，那 么，这一个三角形的第三边也大于另一个的第三 边。
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命题1.25-26
• 命题1.25:三角形中如果有两条对应边相等，其中 一个的第三边比另一个大，那么同时也有一个角 比另一个大。 • 命题1.26:两个三角形如果有两个角和一条对应边 相等，那么其余的对应边和角都相等。
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命题1.2、
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命题1.3
• 命题:给定两条不等线段可以在较长一条上取一条 较短线段等于已知线段
Hanjing shanxi jincheng
命题1.4
• 命题：如果三角形的两条边及其夹角相等，则第三边也相 等，；两个三角形全等，其他的两个角也相等； • 设：三角形ABC、DEF，使得AB=DE，AC=DF，AB是 DE的对应边，AC是DF的对应边，角A等于角D；那么我 们说边BC=EF，三角形ABC全等于三角形DEF，相应的 角亦相等，角B等于角E，角C等于角F； • 证明：假设三角形ABC与DEF不全等，置A点于D点上， AB线于DE线上， 因为AB=DE， B就同点E重合； • 又角A等于角D，AC与DF相等；于是C必定与点F重合。 结果成立。
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命题1.9
• 命题：一个角可以分成相等的两个角； • 设：已知角BAC，平分该角；
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命题1.10-12
• 命题1.10、一条线段可以被分成两条相等的线 段； • 命题1.11、过直线上一个点，可以做该直线的垂 线； • 命题1.12、过直线外一点，可以做该直线的垂 线；
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命题1.5-1.8
• 命题1.5、等腰三角形的两底角相等，将腰延长， 与底边形成的两个补角亦相等； • 命题1.6、如果在一个三角形里有两个角相等，那 么也有两条变相等； • 命题1.7、过线段两端点引出两条线段交与一点， 那么在同一侧，不可能有相交于另一点的两条线 段，分别等于前两条线段，即交点到相同端点的 线段相等； • 命题1.8、如果两个三角形有三边对应相等，那么 这两个三角形所有的对角亦相等；
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命题1.42-46
• 命题1.42、可建立一个平行四边形使其面积等于 一个给定角的给定三角形的面积； • 命题1.43、在任何平行四边形中，对角线上两边 的平行四边形的补形的面积互相相等； • 命题1.44、给定一条线段，给定一个角，可建立 一个平行四边形使其面积等于给定的三角形； • 命题1.45、建一平行四边形使其内角等于一给定 角，面积等于给定的多边形的面积； • 命题1.46、给出一条线段，可以作一个正方形；