新高考数学(理)函数与导数 专题12 导数的概念及运算(解析版)

2020年高考数学（理）

函数与导数

12 导数及其应用 导数的概念及运算

一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.

2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y c y x ==，，2

y x =，1

y x

=

的导数； (2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【考点透析】 【备考重点】

(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 二、知识概述： 1．由0

()()

'()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平

均变化率的极限.

2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

原函数

导函数 f (x )＝c (c 为常数)

f ′(x )＝0

()()Q n x x f n ∈= ()1-='n nx x f

()x x f sin = ()x x f cos =' ()x x f cos =

()x x f sin -=' ()x a x f =

()a a x f x ln ='

()x e x f = ()x e x f ='

()x x f a log =

()a

x x f ln 1=

' 【考点讲解】

1）基本初等函数的导数公式

2）导数的运算法则

（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（和或差的导数是导数的和与差）

（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导） （3）2

()'()()'()()

'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢

⎥⎣⎦

(g (x )≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）

(4) 复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．

【温馨提示】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.

()x x f ln =

()x

x f 1=

'

2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：

第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =. 【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．

1. 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线e ln x

y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，

B ．a=e ，b =1

C ．1e 1a b -==，

D ．1e a -=，1b =-

【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考

题型.∵e ln 1,x

y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，

将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ． 【答案】D

2.【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）

A ．10x y --π-=

B ．2210x y --π-=

C ．2210x y +-π+=

D ．10x y +-π+=

【解析】本题要注意已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．

【真题分析】

2cos sin ,y x x '=-Q π

2cos πsin π2,x y =∴=-=-'

则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为

(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．

【答案】C

3.【2018年高考全国Ⅰ卷】设函数32

()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)

处的切线方程为（ ）

A ．2y x =-

B ．y x =-

C ．2y x =

D ．y x = 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得

，所以

，

，

所以，所以曲线

在点

处的切线方程为

，化简可得

.

故选D. 【答案】D

4.【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）

【解析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数

()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此

选D ． 【答案】D

5.【2019年高考全国Ⅰ卷】曲线2

3()e x

y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．