新高考数学(理)函数与导数 专题12 导数的概念及运算(解析版)

2020年高考数学（理）
函数与导数
12 导数及其应用 导数的概念及运算
一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.
2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y c y x ==，，2
y x =，1
y x
=
的导数； (2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【考点透析】 【备考重点】
(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 二、知识概述： 1．由0
()()
'()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平
均变化率的极限.
2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
原函数
导函数 f (x )＝c (c 为常数)
f ′(x )＝0
()()Q n x x f n ∈= ()1-='n nx x f
()x x f sin = ()x x f cos =' ()x x f cos =
()x x f sin -=' ()x a x f =
()a a x f x ln ='
()x e x f = ()x e x f ='
()x x f a log =
()a
x x f ln 1=
' 【考点讲解】
1）基本初等函数的导数公式
2）导数的运算法则
（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（和或差的导数是导数的和与差）
（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导） （3）2
()'()()'()()
'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢
⎥⎣⎦
(g (x )≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）
(4) 复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．
【温馨提示】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.
()x x f ln =
()x
x f 1=
'
2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：
第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =. 【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．
1. 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线e ln x
y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，
B ．a=e ，b =1
C ．1e 1a b -==，
D ．1e a -=，1b =-
【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考
题型.∵e ln 1,x
y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，
将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ． 【答案】D
2.【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210x y +-π+=
D ．10x y +-π+=
【解析】本题要注意已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
【真题分析】
2cos sin ,y x x '=-Q π
2cos πsin π2,x y =∴=-=-'
则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为
(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．
【答案】C
3.【2018年高考全国Ⅰ卷】设函数32
()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)
处的切线方程为（ ）
A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x = 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得
，所以
，
，
所以，所以曲线
在点
处的切线方程为
，化简可得
.
故选D. 【答案】D
4.【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）
【解析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数
()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此
选D ． 【答案】D
5.【2019年高考全国Ⅰ卷】曲线2
3()e x
y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．
【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x
y x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，
则曲线23()e x
y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【答案】30x y -=
6.【变式】【2018年理数全国卷II 】曲线()1ln 2+=x y
在点()00，
处的切线方程为__________． 【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.由题中条件可得：12+=
'
x y ，所以切线的斜率为21
02
=+=k ，切线方程为()020-=-x y ，即x y 2=.
【答案】x y 2=
7.【2019年高考天津文数】曲线cos 2
x
y x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【解析】∵1sin 2y x '=--，∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为1
12
y x -=-，
即220x y +-=. 【答案】220x y +-=
8．【2018年高考天津文数】已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 【解析】由函数的解析式可得，则
.
即
的值为e.
【答案】e
9.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .
【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ， 则00ln y x =.又1y x
'=
，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=
-，
即00ln 1x y x x -=
-，将点()e,1--代入，得00
e 1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =， 考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+， 当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1. 【答案】(e, 1)
10.【2018年全国卷Ⅲ理】曲线()()x e ax x f 1+=在点()10，
处的切线的斜率为2-，则=a ________．
【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.由题意可知：
()()x x e ax ae x f 1++='，则()210-=+='a f ，所以3-=a ，故答案为-3.
【答案】3-
【变式】已知函数错误!未找到引用源。

的图像在点错误!未找到引用源。

的处的切线过点错误!未找到引用源。

，则 错误!未找到引用源。

.
【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值. ∵错误!未找到引用源。

，∴错误!未找到引用源。

，即切线斜率错误!未找到引用源。

，
又∵错误!未找到引用源。

，∴切点为（1，错误!未找到引用源。

），∵切线过（2,7），∴错误!未找到引用源。

，解得错误!未找到引用源。

1. 【答案】1
11．【2017年高考天津文数】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________．
【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ，因为1
()f x a x
'=-
，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-， 切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令0x =可得1y =，故l 在y 轴上的截距为1． 【答案】1
12.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4
(0)y x x x
=+>上的一个动点，则点P 到直 线0x y +=的距离的最小值是 . 【解析】由4(0)y x x x =+
>，得241y x '=-，设斜率为1-的直线与曲线4
(0)y x x x
=+>切于000
4
(,)x x x +
，由20411x -=-得02x =（02x =-舍去），
∴曲线4
(0)y x x x
=+>上，点(2,32)P 到直线0x y +=的距离最小，最小值为
2
2
232411
+=+.
故答案为4． 【答案】4
13.【2017福建4月质检】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x -++=，且当1x >时，
()2
x x f x e -=
，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是__________．
【解析】本题考点是考点：1、函数的对称性；2、解析式；3、导数的几何意义．
.因为()()112f x f x -++=，所以函数关于点（1,1）对称， 1x <时，取点(,)x y ，关于（1,1）对称点是(2-,2)x y -代入1x >时， ()2
x x f x e -=
，可得22x x y e ---=
， 可得22--=-x x y e ，所以 1
'--=x
x y e ，令0,'1,0x y y ==-=所以切线方程为0x y +=. 【答案】y x =-
【变式】（1）【2016高考新课标Ⅲ文数】已知错误!未找到引用源。

为偶函数，当错误!未找到引用源。

时，
错误!未找到引用源。

，则曲线错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

处的切线方程式_____________________________.
【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．
当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

．又因为错误!未找到引用源。

为偶函数，所以错误!未找到引用源。

，
所以错误!未找到引用源。

，则切线斜率为错误!未找到引用源。

，所以切线方程为错误!未找到引用源。

，即
错误!未找到引用源。

． 【答案】错误!未找到引用源。

【变式】（2）【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线
()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．
【解析】考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．
当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1
()3f x x
'=
-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--． 【答案】21y x =--
【变式】（3）【2015高考陕西，文15】函数错误!未找到引用源。

在其极值点处的切线方程为____________. 【解析】本题考点是函数的极值与导数的几何意义.错误!未找到引用源。

，令错误!未找到引用源。

，此时错
误!未找到引用源。

.函数错误!未找到引用源。

在其极值点处的切线方程为错误!未找到引用源。

.
【答案】错误!未找到引用源。

14.【2018年理北京卷】设函数()()[]x e a x a ax x f 34142+++-=．
（Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()11
f ，处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若
()x f 在2=x 处取得极小值，求a 的取值范围．
【解析】本题考点导数的运算法则，并利用导数的几何意义、函数的极值求待定的参数问题. （Ⅰ）因为
()()[]x e a x a ax x f 34142+++-=，对函数求导可得：
()()[]()[]x x e a x a ax e a ax x f 34141422+++-++-='()[]x e x a ax 2122++-=.
又因为()x f y =在点()()11
f ，处的切线与x 轴平行，有()()e a f -='11， 所以有
()()011=-='e a f ，即1=a ，此时(),031≠=e f 所以a 的值是1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()[]()()x x e x ax e x a ax x f 212122--=++-='.
讨论：若21>
a ，则当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,1a x 时，()0<'x f ； 当()+∞∈
,2x 时，()0>'x f ．所以()x f 在2=x 处取得极小值．
若21≤a ，则当()20，
∈x )时，02<-x ，0121
1<-≤-x ax ，所以()0>'x f ．所以2不是 ()x f 的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛∞+，21． 【答案】(1) a 的值为1 (2) a 的取值范围是⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，21. 15.【2019年高考北京文数】已知函数3
21()4
f x x x x =
-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；
（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．
【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =
-+得23()214f x x x '=-+．
令()1f x '=，即23
2114
x x -+=，得0x =或83x =．又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273
y x -=-，
即y x =与64
27
y x =-．
（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-．由321()4g x x x =-得23
()24
g'x x x =-．令()0g'x =得0x =或
8
3
x =．(),()g'x g x 的情况如下：
x
2-
(2,0)-
8
(0,)3 83
8(,4)3 4
()g'x
+
-
+
()g x
6-
Z
]
6427
-
Z
所以()g x 的最小值为6-，最大值为0．故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =．综上，当()M a 最小时，3a =-． 【答案】（Ⅰ）y x =与64
27
y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-.
1.设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)
()2(lim
0000
x f x
x f x x f x 则( ).
A ．
2
1 B ．－1
C ．0
D ．－2
【解析】因为
()='0x f x
x f x x f x ∆-∆-→∆)
()(lim
000
，由题意可知
,22)
()2(lim 2)(2000
0=∆--∆--='-→∆x
x f x x f x f x 所以有1)(0-='x f .
【答案】B
2.曲线3)(3
+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（ ） A ．)3,1( B ．)3,1(- C ．)3,1(和)3,1(- D ．)3,1(-
【解析】因2
'()31f x x =-，令'()2f x =，故2
3121x x -=⇒=或1-，所以(1,3)P 或(1,3)-，经检验，
点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ． 【答案】C.
3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足x e f x x f ln )(2)(+'=，则=')(e f （ ）
【模拟考场】
A ．e
B ．1-
C ．1--e
D ．e - 【解析】本题主要考查导数的运算法则，因为1()2()f x f e x ''=+
，所以1
()2()f e f e e
''=+，解得11
()f e e e
-'=-=-，故选C ．
【答案】C
4.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=
错误!未找到引用源。

图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，
且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )
A.(0,1)
B. (0,2)
C. (0,+∞)
D. (1,+ ∞)
【解析】考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 设错误!未找到引用源。

（不妨设错误!未找到引用源。

），则由导数的几何意义易得切线
错误!未找到引用源。

的斜率分别为错误!未找到引用源。

由已知得
错误!未找到引用源。

121221
1
1,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线错误!未找到引用源。

的方程分别为
错误!未找到引用源。

，切线错误!未找到引用源。

的方程为
错误!未找到
引用源。

，即错误!未找到引用源。

.
分别令错误!未找到引用源。

得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++
错误!未找到引用源。

又错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的交点为
错误!未找到引用源。

，故选A.
【答案】A
5.已知曲线错误!未找到引用源。

在点
错误!未找到引用源。

处的切线与曲线错误!未找到引用源。

相切,则
a = ．
【解析】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 由
错误!未找到引用源。

可得曲线错误!未找到引用源。

在点错误!未找到引用源。

处的切线斜率为2,故切线
方程为错误!未找到引用源。

,
与
错误!未找到引用源。

联立得错误!未找到引用源。

,显然错误!未找到引用源。

,所以由 错误!未找到引用
源。

. 【答案】8
6.在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2
b
y ax x
=+
（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .
【解析】本题考点是导数与切线斜率．曲线2
b y ax x =+
过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b
y ax x
=-，所以7
442b a -
=-②，由①②解得1,2,
a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-． 【答案】3-
7.设曲线ax
y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 【解析】由已知可知曲线的切线斜率为2，又()ax
f x ae '=Q ，(0) 2.f a '∴== 【答案】2
8.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】曲线2
1
y x x
=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【解析】设()y f x =，则2
1
()2f x x x '=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线2
1
y x x
=+
在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 【答案】1y x =+
9.曲线2
()f x x =过点(1,0)P -处的切线方程是_____________. 【解析】由题意可知，
()x x f 2='，设直线与曲线相切于点()00,y x ，所求的曲线的切线的斜率为
02x k =
，所以有1
10200000
+=
+-=x y x y x ，因为()00,y x 在曲线上，所以有2
00x y =，即有
⎪⎩⎪
⎨
⎧+==120
00200x y x x y 解这个方程组可得：2,000-==x x ，所以有40-==k k ，或.所求切线方程为0440=++=y x y 或.
【答案】0440y x y =++=， 10.3
22()13
f x x x ax =
-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为 ．
【解析】由题意可知原三次函数的导函数是二次函数，并且曲线存在两条斜率为3的切线，说明导函数有两个零点，
()a x x x f +-='222，方程有3222=+-a x x 有两个不等正实根，所以有
()0384>--=∆a ，并且有()0321,12121>-=
=+a x x x x ，可得2
73<<a . 【答案】7
(3,)2
11.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路
的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，
，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，
的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，
所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a
y x b
=
+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；
（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .
①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.
【解析】本题考点为利用导数求函数最值，导数几何意义.
M
N
l 2
l 1
x
y O
C
P
l
（1）由题意得函数2
a
y x b
=
+过点(5,40),(20,2.5)，列方程组就可解出a ，b 的值（2）①求公路l 长度的函数解析式()f t ，就是求出直线l 与x,y 轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线l 方程，再根据M ，N 为C 的两个端点的限制条件得定义域为[5,20]②对函数解析式()f t 解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势.
试题解析：（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．
将其分别代入2a
y x b =+，得4025 2.5400a
b a b
⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．
（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，3
2000
y x '=-， 则l 的方程为()23
10002000y x t t t -
=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫
B ⎪⎝
⎭． 故()2
2
6224
33000341022t f t t t t ⨯⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，[]5,20t ∈． ②设()62
4410g t t t ⨯=+，则()6
5
16102g t t t
⨯'=-．令()0g t '=，解得102t =． 当(
)
5,102t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；
当()
10
2,20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．
从而，当102t =时，函数()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min 153f t =．
答：当102t =时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．
【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①62
49109(),4f t t t ⨯=+定义域为[5,20]，②min 102,()153t f t ==千米
12.已知函数()ax e x f x
-=（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.
（I ）求a 的值及函数()x f 的极值；（II ）证明：当0>x 时，x e x <2；
（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，
0x x ，恒有x ce x <2. 【解析】考点：1.函数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放性题.4.导数的综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的数学思想.
试题分析：（I ）由函数()ax e x f x
-=（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切
线斜率为-1.所以求函数()x f 的导数,即可求出a 的值.再根据函数()x f 的导数地正负,即可得函数()x f 的极值.
（II ）当0>x 时，x e x <2恒成立,等价转换为函数的最值问题.令2
()x
g x e x =-,通过求函数()g x 的导数求出最值即可得到结论.
（III ）对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，
0x x ，恒有x ce x <2.由（II ）得到函数的单调性当1c ≥时,即可找到00x =符合题意.当01c <<时.通过等价转化,等价于不等式恒成立问题,再对通过估算得到0x 的值.即可得到结论.
解法一:（I ）由()x
f x e ax =-，得'()x
f x e a =-.又'(0)11f a =-=-,得2a =. 所以()2,'()2x
x
f x e x f x e =-=-.令'()0f x =,得ln 2x =.
当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增. .所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为ln 2
(ln 2)2ln 22ln 4,()f e
f x =-=-无极大值.
（II ）令2
()x
g x e x =-,则'()2x
g x e x =-.由（I ）得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>,故()g x 在R 上单调递增,
又(0)10g =>,因此,当0x >时, ()(0)0g x g >>,即2x x e <.
（III ）①若1c ≥,则x x e ce ≤.又由（II ）知，当0x >时, 2x x e <.所以当0x >时, 2x x ce <.取00x =,当
0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.
②若01c <<,令1
1k c
=
>,要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立.而要使2x e kx >成立， 则只要2
ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立. 令()2ln ln h x x x k =--,则22
'()1x h x x x
-=-
=
. 所以当2x >时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增. 取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.
又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知ln ,ln 2,50k k k k >>>.
所以0()0h x >.即存在016
x c
=
,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <. 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2x x ce <. 解法二: （I ）同解法一.（II ）同解法一.
（III ）对任意给定的正数c ,取04,x c
=
由（II ）知,当0x >时, 2x e x >,所以2222
()(),22x x
x x x e e e =⋅>⋅当0x x >时, 22222
2
41
()()()222x
x x
x x x e e e x c c
=⋅>⋅>=,因此,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)
x x ∈+∞时,恒有2x
x ce <.
解法三: （I ）同解法一.（II ）同解法一.
（III ）首先证明当(0,)x ∈+∞时,恒有
313x x e <.证明如下:令31
(),3
x h x x e =-则2'()x h x x e =-.由（II ）知,当0x >时, 2x
x e <.从而'()0,()h x h x <在(0,)+∞单调递减,所以()(0)10,h x h <=-<即313
x x e <.取
03x c =
,当0x x >时,有2311
3
x x x e c <<.因此,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2x x ce <.。