12章多重线性回归与相关
第12章-多重线性回归分析
6 因变量总变异的分解
P
(X,Y)
Y
（Y Y） （Y Y）
（Y Y）
Y X
Y
Y
9
Y的总变异分解
Y Y Yˆ Y Y Yˆ
Y Y 2 Yˆ Y 2 Y Yˆ 2
总变异 SS总
回归平方和 剩余平方和
SS回
SS剩
10
Y的总变异分解
病程 (X2)
10.0 3.0 15.0 3.0 4.0 6.0 2.9 9.0 5.0 2.0 8.0 20.0
表 12-1 脂联素水平与相关因素的测量数据
空腹
回归模空型腹 ？
瘦素
脂联 BMI 病程 瘦素
脂联
(X3)
血糖 (X4)
素(Y)
(X1)
(X2)
(X3)
血糖 素(Y) (X4)
5.75 13.6 29.36 21.11 9.0 4.90 6.0 17.28
H 0： 1 2 3 4 0 ，即总体中各偏回归系数均为0； H 1：总体中各偏回归系数不为0或不全为0；
= 0.05。
2 计算检验统计量： 3 确定P值，作出推断结论。
拒绝H0，说明从整体上而言，用这四个自变量构成 的回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的变化是有统 计学意义的。
的平方和 (Y Yˆ)2为最小。
只有一个自变量
两个自变量
例12-1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因 素，某医师测定30例患者的BMI、病程、瘦素、空腹血糖， 数据如表12-1所示。
BMI (X1)
24.22 24.22 19.03 23.39 19.49 24.38 19.03 21.11 23.32 24.34 23.82 22.86
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dfR 1
MSR
SSR dfR
=118.95
dfE N 2 =8
MSE
SSE dfE
8.08
F MSR =14.72 MSE
查 F 表， F0.01(1,8) 5.32 ， F F0.05(1,8)
5．某研究所 10 名学生研习某教授的高级统计课程，期中与期末考试成绩见下表。请 问该教授是否可以利用期中考试成绩来预测期末考试成绩?
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解：（1）建立回归方程
经计算 X 79.2， Y 84.2， sX 8.75， sY =4.52
dfE N 2 =8
MSE
SSE dfE
230.5
F MSR =9.15 MSE
查 F 表， F0.05(1,8) 5.32 ， F F0.05(1,8)
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方差分析表如下
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变异来源
自由度
平方和
均方
F
F0.05(1,8)
bYX
Y Y
2
=0.57
X X
a Y bX 23.13
则回归方程为 Yˆ 23.13 0.57X 。
（2）对回归方程进行检验
SST
Y2
Y 2
N
=3952.5
SSR
b2
X
2
X
N
2
=2108.6
SSE SST SSR =1843.9
dfR 1
MSR
SSR dfR
=2108.6
SST SSR N 2
MSE =15.18
2
12章 多元线性回归
统计学第十二章 多元线性回归一． 选择题1. 在多元线性回归分析中，t 检验是用来检验（ ） A 总体线性关系的显著性 B.各回归系数的显著性 C.样本线性关系的显著性 D ．H 0：β1=β2=…βk =02.在多元线性回归模型中，若自变量x i 对因变量y 的影响不显著，那么它的回归系数 βi 的取值（ ）A.可能为0B.可能为1C.可能小于0 D 可能大于13.在多元线性回归方程 y i ˆ=βˆ0+x 11ˆβ+x 22ˆβ+…+xkkβˆ中，回归系数βˆi表示（ ） A.自变量x i 变动1个单位时，因变量y 的平均变动额为βˆiB.其他变量不变的条件下，自变量x i 变动1个单位时，因变量y的平均变动额为βˆiC.其他变量不变的条件下，自变量x i 变动1个单位时，因变量y的变动总额为βˆiD.因变量y 变动1个单位时，因变量x i 的变动总额为βˆi4.设自变量的个数为5个，样本容量为20。
在多元回归分析中，估计标准误差的自由度为（ ）A.20B.15C.14D.18 5.在多元回归分析中，通常需要计算调整的多重判定系数R a2，这样可以避免的值（）A. 由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1B. 由于模型中自变量个数的增加而越来越接近0C. 由于模型中样本容量的增加而越来越接近0D. 由于模型中样本容量的增加而越来越接近16.在多元线性回归分析中，如果F检验表明线性关系显著，则意味着（）A.在多个变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系显著B.所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著C.在多个变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著D.所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著7.在多元线性回归分析中，如果t检验表明回归系数βi不显著，则意味着（）A.整个回归方程的线性关系不显著B.整个回归方程的线性关系显著C.自变量x i与因变量之间的线性关系不显著D.自变量x i与因变量之间的线性关系显著8.设多元线性回归方程为Yˆ=βˆ0+x11ˆβ+x22ˆβ+…+xkkβˆ，若自变量x i的回归系数βˆi的取值接近0，这表明（）A.因变量y对自变量ix的影响不显著B.因变量y对自变量ix的影响显著C.自变量ix对因变量y的影响不显著D.自变量x对因变量y的影响显著i9.一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车司机每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）、行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20位出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶的里程（x2）的有关数据进行回归，得到下面的有关结果（a=0.05）根据上表计算的判定系数为（）A. 0.9229B. 1.1483C. 0.3852D. 0.851610. 一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车四级每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）、行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20位出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶的里程（x2）的有关数据进行回归，得到下面的有关结果（α=0.05）根据上表计算的估计标准误差为（）A. 306.18B. 17.50C. 16.13D. 41.9311. 一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车司机每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）、行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20位出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶的里程（x2）的有关数据进行回归，得到下面的有关结果（α=0.05）根据上表计算的用于检验线性关系的统计量F=（）A. 306.18B. 48.80C. 5.74D. 41.9312.一家产品销售公司在30个地区设有销售分公司。
第12章简单回归分析2
假设检验
例： 用上例资料检验脐带血TSH水平对母血TSH水 平的直线关系是否成立?
Ho:β＝0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间 无线性关系
H1:β≠0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间有 线性关系
α ＝0.05
方差分析表
已知 υ1＝1， υ2＝8，查F界值表，得P<0.05，按 α＝0.05水准拒绝Ho，接受H1，故可以认为脐带血 TSH水平与母血TSH水平之间有线性关系
残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回
归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ。
求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好
地代表数据点分布趋势的直线。
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。
最小二乘法
两部分构成，即：
(yy)(y ˆy)+(yy ˆ)
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
(yy)2 [(y ˆy)+(yy ˆ)2 ]
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y y ˆ+ y ˆ y
2. 两端平方后求和有
n
求X，Y，l XX，lYY，l XY X 15.79 8 2.00，Y 249.01 8 31.13
lXX 47.0315.972 8 15.15 lYY 8468.78 249.012 8 718.03
lXY 594.4815.97249.01 8 97.39
另一次抽样研究 50岁年龄组舒张压得总体均数估
第12章_简单线性回归
x-x均值 -12
-8 -6 -6 -2 2 6 6 8 12
y-y 均值
(x-x均值)*(yy均值)
(x-x均 值)^2
-72
-25 -42 -12 -13 7 27 39 19 72
864
200 252 72 26 14 162 234 152 864 SUM 2840 SUM
144
64 36 36 4 4 36 36 64 144
对于考察变量与变量之间关系时，我们 采用回归分析的方法建立模型或方程进 行变量间关系的分析。 因变量：被预测的变量 自变量：进行预测的变量
简单线性回归模型（对总体而言）
Y 0 1 X
1， 2为未知参数， 为随机误差项，反映其 它未列入回归模型的变量对因变量的影响。
-6
-2 2 6 6 8 12 SUM
-12
-13 7 27 39 19 72 SUM 2840
关于简单线性回归模型的标准假设： E(Y ) 0 1 X E ( ) 0 1. ，可推知， 该方程称为回归方程。 2 2. 对于所有的X，误差项 的方差 一样：即同 方差假定。 i j ) 0 3.误差项 独立。其协方差为零，cov( 4.自变量是给定的变量，与误差项线性无关。 5.误差项 服从正态分布，从而说明Y服从正态分 布
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
6
8
8
12
16
20
20
22
26
58
105
88
118
117
137
157
169
149
202
序号 1
第十二章-matlab--因子分析
第十二章因子分析（大学虎统计）1， 引出因子分析的定义：作个比喻，对面来了一群女生，我们一眼就能够分辨出孰美孰丑，这是判别分析；并且我们的脑海中会迅速的将这群女生分为两类；美的一类，丑的一类，这是聚类分析。
我们之所以认为某个女孩漂亮，是因为她具有漂亮女孩所具有的一些共同点，比如漂亮的脸蛋，高挑的身材，白皙的皮肤，等等。
其实这种从研究对象中寻找公共因子的方法就是因子分析（Factor Analysis ）。
因子分析也是利用降维的思想，把每一个原始变量分解成两部分，一部分是少数几个公共因子的线性组合，另一部分是该变量所独有的特殊因子，其中公共因子和特殊因子都是不可观测的隐变量，我们需要对公共因子作出具有实际意义的合理解释。
因子分析的思想源于1904年查尔斯，斯皮曼（charles spearman ）对学生考试成绩的研究，目前因子分析已经在很多领域得到广泛应用。
本章主要容包括：因子分析的理论简介，因子分析的matlab 实现，因子分析具体案例。
12.1因子分析简介 12.11 基本因子分析模型设P 维总体'(,,...,)p x x x x =的均值为'12(,,...,)p μμμμ=协方差矩阵为()ij p pσ⨯=∑，相关系数矩阵为()ij p pR ρ⨯=。
因子分析的一般模型为111111221122211222221122.........m m m m p p p p pm m p x a f a f a f x a f a f a f x a f a f a f μεμεμε=+++++⎧⎪=+++++⎪⎨⎪⎪=+++++⎩（12.1）其中，12,,...,mf f f 为m 个公共因子，i ε是变量(1,2,...)i x i p =所独有的特殊因子他们都是不可观测的隐变量。
称(1,2,...;1,2,...,)ij a i p j m ==为变量ix 在公共公共因子jf 上的截荷，它反映了公共因子对变量的重要程度，对解释公共因子具有重要的作用。
第十二章直线相关与回归
第十二章直线相关与回归A型选择题〔、若计算得一相关系数r=0.94,则（）A、x与y之间一定存在因果关系B、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为正值C、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为负值D求得回归截距a>0E、求得回归截距a^ 02、对样本相关系数作统计检验（H o =0）,结果r r°.05（v）,统计结论是（）。
A、肯定两变量为直线关系B、认为两变量有线性相关C、两变量不相关B. 两变量无线性相关E、两变量有曲线相关3、若A「0.05（如」2血。
^），则可认为（）。
A. 第一组资料两变量关系密切B. 第二组资料两变量关系密切C. 难说哪一组资料中两变量关系更密切D两组资料中两变量关系密切程度不一样E、以上答案均不对4、相关分析可以用于（）有无关系的研究A、性别与体重B、肺活量与胸围C、职业与血型D国籍与智商E、儿童的性别与体重5、相关系数的假设检验结果，则在〉水平上可认为相应的两个变量间（）A、有直线相关关系B、有曲线相关关系C、有确定的直线函数关系D有确定的曲线函数关系E、不存在相关关系6根据样本算得一相关系数r，经t检验，P v 0.01说明（）A、两变量有高度相关B、r来自高度相关的相关总体C、r来自总体相关系数p的总体D r来自卩工0的总体E、r来自p>0的总体7、相关系数显著检验的无效假设为（）A、r有高度的相关性B、r来自p工0的总体C、r来自p = 0的总体D r与总体相关系数p差数为0E、r来自p>0的总体8、计算线性相关系数要求（）A. 反应变量Y呈正态分布，而自变量X可以不满足正态分布的要求B. 自变量X呈正态分布，而反应变量丫可以不满足正态分布的要求C. 自变量X和反应变量丫都应满足正态分布的要求D. 两变量可以是任何类型的变量E. 反应变量Y要求是定量变量，X可以是任何类型的变量9、对简单相关系数r进行检验，当检验统计量t r>t 0.05（V）时，可以认为两变量x 与丫间（）A. 有一定关系B. 有正相关关系C. 无相关关系D. 有直线关系E. 有负相关关系10、相关系数反映了两变量间的（）A、依存关系B、函数关系C、比例关系D相关关系E、因果关系11、|r| “0.05/2,（2）时，则在G =0.05水准上可认为相应的两变量X、丫间（）。
统计学(贾5)课后练答案(11-14章)之欧阳术创编
第11章 一元线性回归分析11.1（1）散点图（略），产量与生产费用之间正的线性相关关系。
（2）920232.0=r（3） 检验统计量2281.24222.142=>=αt t ，拒绝原假设，相关系数显著。
11.2（1）散点图（略）。
11.3 （1）0ˆβ表示当0=x 时y 的期望值。
（2）1ˆβ表示x 每变动一个单位y 平均下降0.5个单位。
11.4 （1）%902=R（2）1=e s 11.5 一家物流公司的管理人员想研究货物的运输距离和运输时间的关系，为此，他抽出了公司最近10个卡车运货记录的随机样本，得到运送距离(单位：km)和运送时间(单位：天)的数据如下：要求：(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态：(2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。
解：（1）可能存在线性关系。
（2）x 运送距离（km ）y 运送时间（天）x 运送距离（km ）Pearson 相关性 1.949(**) 显著性（双侧）0.000 N10 10y运送时间（天）Pearson 相关性.949(**) 1显著性（双侧）0.000N**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。
有很强的线性关系。
（3）模型非标准化系数标准化系数t 显著性B 标准误Beta1 （常量）0.118 0.355 0.333 0.748x运送距离0.004 0.000 0.949 8.509 0.000a. 因变量: y运送时间（天）回归系数的含义：每公里增加0.004天。
11.6 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人要求：(1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。
(2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。
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sˆi
s∧
其中 βˆi 是回归系数βi 的抽样分布的标准差，k 为回归方程中自变量的个数。
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4．多元线性回归分析中，如果 F 检验表明线性关系显著，则意味着（ ）。[华中农 业大学 2015 研；浙江工商大学 2011 研；安徽财经大学 2012 样题]
7．进行多元线性回归时，如果回归模型中存在多重共线性，则（ ）。[中国海洋大 学 2018 研；浙江工商大学 2011 研；安徽财经大学 2012 样题]
A．整个回归模型的线性关系不显著 B．肯定有一个回归系数通不过显著性检验 C．肯定导致某个回归系数的符号与预期的相反 D．可能导致某些回归系数通不过显著性检验 【答案】D 【解析】在回归分析中存在多重共线性时将会产生某些问题：首先，变量之间高度相关 时，可能会使回归的结果造成混乱，甚至会把分析引入歧途；其次，多重共线性可能对参数 估计值的正负号产生影响，特别是正负号有可能同预期的正负号相反。某些重要的解释变量 的回归系数 t 检验不显著而同时整个回归模型的线性关系检验显著，则通常预示着解释变量 间存在多重共线性。
重判定系数记为 R2a，其计算公式为：
Ra2
1
1
R2
n 1 n k 1
，
其值可能出现负值。
2．在多元线性回归分析中，F 检验时的 F 值越大，则意味着（ ）。[武汉大学 2015 研]
A．随机误差的影响越大 B．相关系数 R 的值越小
9．关于多元线性回归模型的说法，正确的是（ ）。 A．如果模型的 R2 很高，可以认为此模型的质量较好 B．如果模型的 R2 很低，可以认为此模型的质量较差 C．如果某一参数不能通过显著性检验，应该剔除该解释变量 D．如果某一参数不能通过显著性检验，不应该随便剔除该解释变量 【答案】D 【解析】当模型的解释变量间存在多重共线性时，往往会导致某些重要的解释变量的回 归系数 t 检验不显著而同时回归模型却有较高的 R2 值。因此当某一变量的回归系数不能通 过显著性检验时，不应该随便剔除该解释变量；同时回归模型有较高的 R2 值也不能说明该
stata回归结果详解
回归模型中包含无关变量
y 0 1 x1 2 x2 3 x3 u 在控制了x1和x2之后，x3对y没有影响，即3=0。变量x3与x1和x2或许相关，或许不相关。 当回归模型中包含一个或多个无关变量，对模型进行了过度设定， 不影响OLS估计的无偏性，但会影响估计的方差。
第三列df是自由度（degree of freedom），第一行是回归自由度dfr，等于变量数 目，即dfr=m；第二行为残差自由度dfe，等于样本数目减去变量数目再减1，即 有dfe=n-m-1；第三行为总自由度dft，等于样本数目减1，即有dft=n-1。对于本例， m=4，n=10，因此，dfr=4，dfe=n-m-1=20，dft=n-1=24。 第四列MS是均方差，误差平方和除以相应的自由度 1.第一行为回归均方差MSR 2.第二行为剩余均方差MSE，数值越小拟合效果越好
置信区间（CI） 0.0145294-invttail(20,0.025)*0.0830332=0.0145294-2.086*0.0830332=-0.1586748 0.0145294+2.086*0.0830332=0.1877335
3.回归系数检验
ˆ) var( 3
MSE 3.1640 3.1640 0.08303 2 SSTx3 (1 R3 ) 1759.84(1 0.7392) 458.91
VIFj
1 1 = 容忍度 1 R 2 j
R2 j 为x j 对其它自变量进行回归的判决系数
X3的VIF=3.83 =1/(1-0.7392)=1/(0.2608) =1/容忍度
• 不存在完全共线性假设，允许自变量之间存在相关关系，只是 不能完全相关 • 1、一个变量是另一个变量的常数倍，如同时放入不同度量单 位的同一变量 • 2、同一变量的不同非线性函数可以成为回归元，如 consume~income+income2 • 但ln( consume)~ln(income)+ln(income2)共线性，应为 ln( consume)~ln(income)+(lnincome)2 • 3、一个自变量是两个或多个自变量和线性函数
(完整版)第十二章相关和回归分析练习试题
第十二章相关与回归分析一、填空1. 如果两变量的相关系数为0，说明这两变量之间__ 。
2.相关关系按方向不同，可分为_____ 和________ 。
3. 相关关系按相关变量的多少，分为和复相关。
4．在数量上表现为现象依存关系的两个变量，通常称为自变量和因变量。
自变量是作为（变化根据）的变量，因变量是随（自变量）的变化而发生相应变化的变量。
5．对于表现为因果关系的相关关系来说，自变量一般都是确定性变量，因变量则一般是（随机性）变量。
6．变量间的相关程度，可以用不知Y与 X有关系时预测 Y的全部误差 E1，减去知道 Y与 X有关系时预测Y的联系误差E2，再将其化为比例来度量，这就是（削减误差比例）。
7．依据数理统计原理，在样本容量较大的情况下，可以作出以下两个1）实际观察值 Y 围绕每个估计值 Y c是服假定：从（）；（2）分布中围绕每个可能的 Y c 值的（）是相同的。
7. 已知：工资（元）倚劳动生产率（千元）的回归方程为yc 10 80x，因此，当劳动生产率每增长 1 千元，工资就平均增加 80 元。
8．根据资料，分析现象之间是否存在相关关系，其表现形式或类型如何，并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定，即建立一个相关的数学表达式，称为（回归方程），并据以进行估计和预测。
这种分析方法，通常又称为（回归分析）。
9．积差系数 r 是（协方差）与 X 和 Y 的标准差的乘积之比。
二、单项选择1．欲以图形显示两变量 X 和 Y 的关系，最好创建（ D ）。
A 直方图 B 圆形图 C 柱形图 D 散点图2．在相关分析中，对两个变量的要求是（A ）。
A 都是随机变量B 都不是随机变量C 其中一个是随机变量，一个是常数D 都是常数3.相关关系的种类按其涉及变量多少可分为（）。
A. 正相关和负相关B. 单相关和复相关C. 线性相关和非线性相关D. 不相关、不完全相关、完全相关4．关于相关系数，下面不正确的描述是（B ）。
计量经济学-第12章 自相关
但我们拟合了以下模型：
边际成本 i
1
2
产出 i
vi
于是有：
vi
产出2
3
i
ui
(12.1.4) (12.1.5)
由于函数形式的错误使用，残差将反映出自相关性质
蛛网现象（Cobweb phenomenon）
供给对价格的反应要滞后一个时期
供给 t
1
价格
2
t 1
ut
(12.1.6)
t期产量太多，则t期价格下降，从而t+1期产量减少
滞后效应
在消费支出对收入的时间序列回归中，当期消费还 会受到前期消费水平的影响：
消费 t
1
2收入t
3消费t1
ut
(12.1.7)
这种带有因变量的滞后值的回归也叫自回归“编造”
从月度数据计算得出季度数据，会减小波动，引进 匀滑作用，使扰动项出现系统性模式
并获得具有BLUE性质的估计量
— —这种方法即GLS
未知
一次差分法：因为 落在-1到+1之间，
当 = +1时，广义差分方程（12.6.5)便化为一阶差
分方程：
或：
Yt Yt1 2 ( X t X t1 ) (ut ut1 )
2 ( X t X t1 ) t
xt2
xt2
n
xt2
t 1
n
xt2
t 1
n t 1
xt2
对照：没有自相关情形：
(12.2.5) (12.2.6)
var( 2 )
第12章第4节回归方程—2022届新高考数学一轮复习考点突破课件(共50张PPT)
【解析】 由－x ＝30，得－y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为 a， 则 62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68. 选 D 【答案】 D
课后练习
36
知识梳理
典例精析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练习
3. (2014 湖北) 根据如下样本数据：
x3 4 5 6 7
8
y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0
父亲身高 x/cm 174 176 176 176 178 儿子身高 y/cm 175 175 176 177 177 求：(1)y 对 x 的线性回归方程； (2)利用(1)中所求的直线方程，预测当一位父亲的身高为 182 cm，他儿子 的身高为多少．
13
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
【解】 (1)表格中数据较大，直接用公式求解很不方便。将 5 个父亲的 身高同减 176 cm，5 个儿子的身高同减 175 cm，表格中的数据变为：
C.
1 2
D. 1
【解析】 因为所有样本点都落在一条直线上，所以相关系数|r|＝1，又
这组样本数据完全正相关，故 r＞0，所以相关系数为 1，故选 D.
【答案】 D
27
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
二、计算 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018 年的粮食需求量．
A. y＝a＋bx
贾俊平统计学第十二章 多元线性回归_09
12 - 32
Excel 输出结果的分析
SPSS共线性诊断
• • 自变量间的相关系数矩阵，观察是否存在自变量的相关系数非 常高。一般，相关系数>0.9将会存在共线性问题；相关系数在 0.8以上可能有问题 容忍度（Tolerance）：容忍度即以每个自变量作为应变量对其 他自变量进行回归分析时得到的残差比例，大小用1减决定系 数来表示。该指标越小，说明该自变量被其余自变量预测的越 精确，共线性可能就越严重。陈希孺根据经验得出：如果某个 自变量的容忍度小于0.1，则可能存在共线性问题严重 方差膨胀因子（Variance inflation factor,VIF）：实际上是容忍 度的倒数，VIF越大，说明共线性问题可能越严重 特征根（Eigenvalue）：实际上是对自变量进行主成分分析， 如果相当多维度的特征根约等于0，则可能有较严重的共线性 条件指数（Condition Index）：当某些维度的该指标数值大于 30时，可能存在共线性 12 - 33
12 - 35
多重共线性
(例题分析 例题分析) 例题分析
1. tα/2(25-2)=2.0687，所有统计量 α/2(25-2)=2.0687 ，所有统计量t>t 所以均拒绝原假设， 说明这4个自变量两两之间 ， 所以均拒绝原假设 ， 说明这 个自变量两两之间 都有显著的相关关系 由表Excel输出的结果可知 ， 回归模型的线性关系 输出的结果可知， 由表 输出的结果可知 显著(Significance-F＝ 1.03539E-06<α=0.05)。 而 显著 ＝ α 。 回 归 系 数 检 验 时 却 有 3 个 没 有 通 过 t 检 验 (PValue=0.074935 、 0.862853 、 0.067030>α=0.05) α 。这也暗示了模型中存在多重共线性 固定资产投资额的回归系数为负号(-0.029193) ， 固定资产投资额的回归系数为负号 与预期的不一致
第12章双变量关联性分析
21332.38 366926.6
r
16
0.8343
8548.30
3662 16
53813.56
926.62 16
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28
二、相关系数的假设检验
r≠0原因：① 由于抽样误差引起，ρ=0 ② 存在相关关系， ρ≠0
查表法，按v=n-2查r界值表，做出推断结论
t检验
tr
1 r2 n2
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【检验步骤】 1. 建立检验假设，确定检验水准
H0 : 0 H1 : 0 0.05
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2.计算检验统计量 tr 值
r0
0.8343
tr
1 r2
5.6623 1 0.83432
n2
16 2
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3.确定P值，做出统计推断
• 在大量的医学问题研究中常常还要分析两个随机 变量之间的关系，如体重与肺活量、年龄与血压 之间是否存在线性联系，此联系是正向还是负向 以及联系的程度如何？
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• 如果两个连续型变量 X和 Y 都随机变动且不分主次 ，可通过线性相关（linear correlation）分析来估计 它们之间可能存在的线性联系的方向与程度。
• 前面讨论的线性相关用于描述两个随机变 量X与Y之间线性联系的程度，结论所反映 的是它们相互之间的关系，两变量并无主 次之分
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• 随着所探索问题的深入，研究者通常更感兴趣于 其中的一个变量如何定量地影响另一变量的取值 ：例如医学研究中常需要从某项指标估算另一项 指标，如果这指标分别是测量变量X和Y，我们希 望由X推算Y的值。
多元线性回归
2. 由 表 Excel 输 出 的 结 果 可 知 ， 回 归 模 型 的 线 性 关 系 显 著 (Significance-F＝1.03539E-06<=0.05)。而回归系数检验时 却 有 3 个 没 有 通 过 t 检 验 (P-Value=0.075 、 0.86 、 0.067>=0.05) 。这也暗示了模型中存在多重共线性
作出统计决策。给定显著性水平，并进行决策 t>t2，拒绝H0； t<t2，不拒绝H0
经管类 核心课程
统计学
12.3.2 回归系数检验和推断
【例12.3】根据例12.1建立的回归方程，对回归方程各系数的显著 性进行检验(0.05)
解：提出假设
H0：bi=0 (i=1，2，3，4) H1：bi≠0
经管类 核心课程
统计学
12.3.1 线性关系检验
【例12.2】根据例12.1建立的回归方程，对回归方程线性关系的显 著性进行检验(0.05)
解：提出假设 H0：b1=b2=b3=b4=0 H1：b1，b2，b3，b4至少有一个不等于0
计算检验统计量F
作出统计决策。给定显著性水平=0.05和分子自由度4、分母
经管类 核心课程
统计学
12.3.1 线性关系检验
第1步：提出假设
H0：b1b2bk=0 线性关系不显著 H1：b1，b2，，bk至少有一个不等于0
第2步：计算检验统计量F
第3步：作出统计决策。给定显著性水平和分子自由度k、分 母自由度n-k-1找出临界值F，若F>F，拒绝H0；若F<F ，则不拒绝H0。也可利用P值来判断。
计算检验统计量
，
由excel可知,t1=3.84，t2=1.88，t3=0.17，t4=1.88
回归 多重相关系数
回归多重相关系数
多重相关系数是用来衡量一个因变量和多个自变量之间的相关
性的统计指标。
它可以帮助我们理解多个自变量对因变量的综合影响。
在多元线性回归分析中，多重相关系数通常用R来表示。
它的
取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示自变量和因变量之间
的关系越强，越接近0表示关系越弱。
多重相关系数的计算涉及到各个自变量与因变量之间的相关性，以及自变量之间的相关性。
通过计算这些相关系数的加权平均值，
就可以得到多重相关系数。
多重相关系数的平方则表示了自变量对
因变量变化的解释比例，即R^2。
R^2越接近1，说明自变量对因变
量的解释能力越强。
在实际应用中，多重相关系数可以帮助我们判断自变量对因变
量的贡献程度，从而选择最相关的自变量来建立模型。
此外，多重
相关系数还可以用来评估模型的拟合程度，以及预测因变量的准确性。
需要注意的是，多重相关系数并不能说明自变量之间的因果关系，只能说明它们与因变量之间的相关程度。
因此，在解释多重相
关系数时，需要谨慎地避免混淆相关性与因果关系。
总的来说，多重相关系数在多元线性回归分析中扮演着重要的角色，它能够帮助我们理解自变量与因变量之间的复杂关系，从而更好地进行建模和预测分析。
多元回归
SPSS回归结果 回归结果
偏回归系数
t 检验
三、多元回归方程的检验
拟合优度 修正的多重判定系数 估计标准误差 显著性检验 F检验 检验 t检验 检验
多元回归模型的判定系数
我们同样可以用判定系数来衡量多元回归 模型的拟合效果， 模型的拟合效果，在多元回归中也称为多 重判定系数（ 重判定系数（multiple coefficient of determination）。 ）。 2 SSR SSE ∑ei 2 R = = 1 = 1 SST SST ( yi y)2 ∑ R2的正的平方根称为复相关系数，它度量 的平方根称为复相关系数 复相关系数， 了因变量同k个自变量的相关程度 个自变量的相关程度。 了因变量同 个自变量的相关程度。
向后剔除
(backward elimination)
1.
2.
3.
先对因变量拟合包括所有k个自变量的回归模型。 先对因变量拟合包括所有 个自变量的回归模型。 个自变量的回归模型 然后考察p(p<k)个去掉一个自变量的模型 这些模 个去掉一个自变量的模型(这些模 然后考察 个去掉一个自变量的模型 型中在每一个都有的k-1个自变量 使模型的SSE 个自变量)， 型中在每一个都有的 个自变量 ，使模型的 值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除 考察p-1个再去掉一个自变量的模型 这些模型中每 考察 个再去掉一个自变量的模型(这些模型中每 个再去掉一个自变量的模型 一个都有k-2个的自变量 使模型的SSE值减小最 个的自变量)， 一个都有 个的自变量 ，使模型的 值减小最 少的自变量被挑选出来并从模型中剔除 如此反复进行， 一直将自变量从模型中剔除， 如此反复进行 ， 一直将自变量从模型中剔除 ， 直 至剔除一个自变量不会使SSE显著减小为止 至剔除一个自变量不会使 显著减小为止
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一、自变量筛选的标准与原则
2.残差均方缩小与调整决定系数增大 MS残=SS残/（n-p-1） MS残缩小的准则可以看做是在SS残缩小准则的基础上 增加了（n-p-1）-1因子，该因子随模型中自变量个数 p的增加而增加，体现了对模型中自变量个数增加而 施加的“惩罚”。 调整决定系数Ra2越大越好，与MS残等价。
包含汽车流量、气温、气湿与风速这四个自变量的回
归方程可解释交通点空气NO浓度变异性的78.74%
2.复相关系数R (multiple correlation coefficient)
定义为确定系数的算术平方根，
R SS回 SS总
表示变量Y与k个自变量的线性相关的密切程度。 对本例R=0.8837，表示交通点空气NO浓度与汽车流量、
表12-5 空气中NO浓度与各自变量的相关系数与偏相关系数
自变量 车流X1 相关系数 0.80800 偏相关系数 0.6920 偏相关系数P值 0.0005
气温X2
气湿X3 风速X4
0.1724
0.2754 -0.67957
0.47670
-0.00218 -0.59275
0.0289
0.9925 0.0046
第十二章
第一节 第二节 第三节 第四节
多重线性回归与相关
多重线性回归的概念与统计描述 多重线性回归的假设检验 复相关系数与偏相关系数 自变量筛选
一、整体回归效应的假设检验(方差分析)
表12-2 检验回归方程整体意义的方差分析表
变异来源 回归模型
残差 总变异
SS
0.0639 6 0.0172 7 0.0812 3
风速
(X4) 2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
一氧化氮
(Y) 0.005 0.011 0.003 0.140 0.039 0.059 0.087 0.039 0.222 0.145 0.029 0.099
此型资料有一个应变量与多个自变量（k个自
符合准则的程度，从中选择出一个或几个最优的
回归，称为“最优子集回归”。
适合于自变量个数不太多的情况
2.前进法（forward selection）又称为向前选择法
1.假设
H 0 : 0, H1 : 0, 0.05
bi 0 tbi , 1 Sbi
2.检验统计量
利用软件包对例12-1的四个偏回归系数进行t
检验与标准化偏回归系数的结果如表13-3所示。
表12-3
变量
截距 X1 自由 度 1 1
偏回归系数t检验与标准化偏回归系数的结果
df 4
19 23
MS 0.01599 0.000909 03
F
P
<0.00 17.59 1
SS回：在Y的总变异中由于X与Y的直线关系而使Y变异减 少的部分。SS回越大说明回归效果越好。 SS残：X对Y的线性影响之外的一切因素对Y的变异的作
用。SS残越小,说明直线回归的估计误差越小。
二、偏回归系数i的假设检验
200
ÀÀÀÀÀ(À)X1 ú À
3000
ÀÀ(0C)X3
R23=0.97617
2000
P=0.5509
扣除气温
ÓÓÓÓ Ó ÓÓÓÓ(Ó)X2
1000
r23=0.97617
0 28 30 32 34 36 38 40
ÀÀ(0C)X3
其实，冷饮销售量和气温正相关，游泳
人数和气温也正相关，冷饮销售量和游泳人
第十二章 关
第一节 第二节 第三节 第四节
多重线性回归与相
多重线性回归的概念与统计描述 多重线性回归的假设检验 复相关系数与偏相关系数 自变量筛选
一、数据与模型
例12-1 为了研究空气中一氧化氮(NO)的浓度与汽车
流量等因素的关系，有人测定了某城市交通点在单
位时间内过往的汽车数、气温、空气湿度、风速及
车流
(X1) 948 1440 1084 1844 1116 1656 1536 960 1784 1496 1060 1436
气温
(X2) 22.5 21.5 28.5 26.0 35.0 20.0 23.0 24.8 23.3 27.0 26.0 28.0
气湿
(X3) 69 79 59 73 92 83 57 67 83 65 58 687
0.27274
-0.00110 -0.4470
第十二章
第一节 第二节 第三节 第四节
多重线性回归与相关
多重线性回归的概念与统计描述 多重线性回归的假设检验 复相关系数与偏相关系数 自变量筛选
一、决定系数、复相关系数与调整确定系数
1.决定系数R2(coefficient
of determination),或确定系数
气湿
(X3) 80 57 64 84 72 76 69 77 58 65 83 68
风速
(X4) 0.45 0.50 1.50 0.40 0.90 0.80 1.80 0.60 1.70 0.65 0.40 2.00
一氧化氮
(Y) 0.066 0.076 0.001 0.170 0.156 0.120 0.040 0.120 0.100 0.126 0.135 0.099
k 1 R2 2 R R 2 n k 1
对于本例，R2=0.7874，n=23,k=4,则调整R2为：
41 0.7874 R 0.7874 23 4 1 0.7874 0.0445789 0.7426
2
二、偏相关系数 表12-4 冷饮销售量、游泳人数与气温数据
回归平方和在总平方和中所占的百分比 R2=SS回/SS总 用于反映线性回归模型能在多大程度上解释反应变量Y 的变异性。
R2取值范围为0-1之间，越接近1，表示所选用线
性回归模型很好地拟合了样本数据。
R2直接反映了回归方程中所有自变量解释反应变
量Y总变异的百分比，或者说R2可以解释为回归方程使 反应变量Y的总变异减少的百分比。
¨ ÓÓÓÓÓÓY
.02
ÀÀÀÀX1 ÷
ÀÀX2
.10 .08 .06 .04 .02
¨ ÀÀY
.10 .08 .06
¨ ÓÓÓÓÓÓY
ÓÓÓÓ¨Ó ÓÓÓÓÓÓY
.04 .02
0.00 -.02 -.04 -.06 -.08 -1.0
-10
0
10
20
30
-.5
0.0
.5
1.0
1.5
ÀÀX3
À ·ÀX4
异度，所以不能直接用普通偏回归系数的数值大小来反 映各个自变量对反应变量Y的贡献大小。将原始观测数 据进行标准化转换，即： X X *
Xi
i
i
然后用标准化数据进行回归模型拟合，此时所获得的回 归系数，记为P1,P2,P3,…,Pk,标准化偏回归系数 (standardized partial regression coefficient)又 称通径系数(path coefficient)。标准化偏回归系数Pi 较大的自变量在数值上对反应变量Y的贡献较大。
冷饮销 售量X1 267 397 451 528 618 655 游泳人 数X2 722 814 924 1066 1253 1369 气温 (0C) X3 29 30 31 32 33 34 冷饮销 售量X1 690 740 780 889 996 游泳人 数X2 1593 1761 1931 2231 2749 气温 (0C) X3 35 36 37 38 39
一、自变量筛选的标准与原则
3.Cp统计量
MS残p C p (n p 1) 2 1 p 1 若含有p个自变量的模型是合适的，则其残差
均方MS残p接近全部变量的均方，Cp接近p+1
二、自变量筛选的常用的方法
1.所有可能自变量子集选择
根据某种自变量选择准则，通过比较各子集
对总体确定系数R2=0的假设检验完全等价于对回 归方程的整体方差分析，因为
MS回 F MS残 SS残 SS回 k
2
R2
n k 1
1 R
k
n k 1
SS
对例12-1，由方差分析表可得：SS回=0.06396
残=0.01727
SS总=0.08123 R2=0.7874.由此说明，用
气温、气湿与风速等四个变量的复相关系数为0.8837。
3.调整复相关系数(Adjusted R-Square) R2 当回归方程中包含有很多自变量，即使其中有一
些自变量对解释反应变量变异的贡献极小，随回归方
程自变量个数的增加，R2表现只增不减，这是复相关系 数的缺点。
调整复相关系数R2，定义为
.2
.08 .06
.04 .1
0.0
-.1 -600
0.00 -.02 -.04 -.06 -20
图12-3 汽车污染数据的反应变量与四个自变量的偏相关散点图
ÓÓÓÓ¨Ó ÓÓÓÓÓÓY
-400 -200 0 200 400
0.00 -.02
-.04 -.06 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
3000
R12=0.97239
1200
R13=0.98909
1000
Ó ú ÓÓÓÓÓ(Ó)X1
ÓÓÓÓ Ó ÓÓÓÓ(Ó)X2
2000
800
600
1000
r12=0.97239
0 200 400 600 800 1000 1200
400
r13=0.9809
28 30 32 34 36 38 40