点集拓扑ppt

（）d（A ∪ B）＝d（A） d（B）； 3 ∪
（4）d（d ( A)） A ∪ d（A） ⊂ .
（）d（Φ） Φ； 1 =
证明（1）由于对于任何一点x∈X和点x的任何 一个邻域U， 有U∩ (∅ − {x}) = ∅,∴ x ∉ d (∅) ∴ d (∅) = ∅
（ ）A ⊂ B蕴含着d（A） d（B）； 2 ⊂
综上所述，可见（3）成立．(这是证明一个集 合包含于另一个集合的另一方法:要证 A ⊂ B ， 只要证 ∀x ∉ B ⇒ x ∉ A 即可.)
三、闭包
•定义 定义2.4.3 设X是一个拓扑空间，A ⊂ X．集合A与A的 定义 导集d(A)的并A∪d(A) 称为集合A的闭包,记作 A或A− . •简而言之 简而言之: 简而言之
的任意一个子集. 解：设 A 是 X 的任意一个子集
(1) 若 A 是 空集，显然有 d ( A ) = φ 空集，
(2) 若 A 是一个单点集，令 是一个单点集，
A = { a}
对任意 x ∈ X , x ≠ a ，点 x 有唯的一 个邻域 X ,使得 X ∩ ( A − { x}) ≠ φ ， 使得
四、度量空间中的导集，闭集，闭包 度量空间中的导集，闭集， 导集 在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以 通过度量来刻画． 定义2.4.5 设（X，ρ)一个度量空间．X中的点x到X 的非空子集A的距离ρ（x，A）定义为
ρ（x,A）＝ inf{ρ（x,y）|y∈A} x,A）＝ inf{ρ（x,y）
定理2.4.5 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：
（ ） = Φ； 1Φ
（2）A ⊂ A； （3） ∪ B＝A ∪ B； A
（4） = A. A
定理2.4.6 拓扑空间X的任何一个子集A的 闭包 A 都是闭集． 证明根据定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接 推得． 定理2．4．7设X是一个拓扑空间，F是由空 间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个 子集A，有
设A ⊂ B ．如果 x ∈ d ( A),U ∈ U x ∵ U ∩ ( A − {x}) ≠ ∅ ∴ U ∩ ( B − {x}) ≠ ∅ ∴ x ∈ d ( B )
⊂ 这证明了d（A） d（B）．
（）d（A ∪ B）＝d（A） d（B）； 3 ∪
根据（2），由于A，B ⊂ A∪B，所以有 ⊂ d（A），d（B） d（A∪B），
证明（1）蕴涵（2）： 设 B ⊂ Y是一个闭集．则 B ′ 是一个开集， 因此根据（1），
f
−1
( B ′) = ( f
−1
( B))′ 是X中的一个开集，
因此
f
−1
(B)是X中的一个闭集．
(2)蕴涵（3）： 设A ⊂ f −1( f (A , ) ) ))
A = ∩ B∈ F , B ⊃ A B
即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之 交．
• A = ∩ B∈F , B ⊃ A B
证明: 由于 A ⊂ ∩ B∈F , B ⊃ A B， 而后者是一个闭集， 所以 由定理2.4.5(4)与定理2.4.4 有
A ⊂ ∩ B∈F , B ⊃ A B
另一方面， 由于 A 是一个闭集，并且 A ⊂ A ， 所以
一、闭集
•定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A ⊂ X．若A的补集 A′ 是一个开集,则称A是一个闭集.
定理2.4.1 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的 族．则： （1） X，∅ F ∈ （2）如果A，B∈F，则AUB∈F （从而如果 A1 , A2 ,...An ∈ F , n ≥ 1 ⇒ A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∈ F ） （3）如果 Φ ≠ F1 ⊂ F ⇒ ∩ A∈F1 A ∈ F
•根据下确界的性质以及邻域的定义易见：
ρ（x，A） 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃y ∈ A, 使得ρ（x，y） ε； = < ⇔ ∀B（ x， ε）有 B（ x， ε） A ≠ Φ ； ∩
⇔ ∀U ∈ U x 有 U ∩ A ≠ Φ.
定理2.4.9 设A是度量空间（X，ρ）中的一个 定理 非空子集．则 （1）x∈d（A）当且仅当ρ(x，A-{x})=0； （2）x∈ A 当且仅当ρ（x，A）＝0．
注：以上四个条件称为 Kuratovski 闭包公理. 闭包公理 是一个拓扑空间， 设X是一个拓扑空间， : P ( X ) → P ( X ) 是一个拓扑空间 c
*
使得 c ( A) = A , 则 c 是一个闭包
*
*
运算. 运算
定理2.4.8 是一个集合， 定理 2.4.8 设 X 是一个集合 ，
即 x ∈ d ( A) .
对 a 的唯一的邻域 X ,有 X ∩ ( A − {a}) = φ 有 由以上的讨论我们有: 故 a ∉ d ( A) ，由以上的讨论我们有
d ( A) = X − A
(3) 若A多于一点 . 则对任意 x ∈ X , 多于一点 有 X ∩ ( A − { x}) ≠ φ 故 d ( A) = X
x ∈ A ⇔ ∀U ∈ U x , U ∩ A ≠ ∅
定理2.4.4 拓扑空间 的子集 是闭集的充要条件是 拓扑空间X的子集 是闭集的充要条件是A= A 。 的子集A是闭集的充要条件是 定理 证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A) 证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)⊂ A 而这又当且仅当A=A∪d(A) 而这又当且仅当A=A∪d(A)
1
⇒ ∩ A∈F1 A = ∩ A∈F1 A′′ = (∪ A∈F1 A′)′ ∈F
定理证明完成． 定理证明完成
总结
（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集。 其余情形不一定。 （2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集。 其余情形不一定。
例2.4.3实数空间R中作为闭集的区间． 2.4.3实数空间R中作为闭集的区间． 实数空间 设a，b∈R，a＜b． 闭区间[a，b] 闭区间[a，b]是实数空间R中的一个闭集， [a 因为[a，b]的补集 [ a, b]′ =（－∞，a）∩（b，∞） 是一个开集． 同理，（-∞，a]，[b，∞）都是闭集， ，（a]，[b， ，（ ， （-∞，∞）＝R 更显然是一个闭集． 然而开区间（a，b）却不是闭集，因为a是（a， （ b）的一个凝聚点，但a (a，b）． ∉ 同理区间（a，b]，[a，b），（-∞，a）和 （b，∞）都不是闭集．
∩ B∈F , B ⊃ A B ⊂ A
(“交”包含于形成交的任一个成员)
综合这两个包含关系，即得所求证的等式．
定义2.4.4 是一个集合. 定义2.4.4 设 X 是一个集合.映
c * : P ( X ) → P ( X ) 如果满足条件:对 如果满足条件: 射
于任何 A , B ∈ P ( X ) ,
二、导集
定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间 是一个拓扑空间, 定义 如果点 ∈ A ⊂ X .如果点 x∈ X 的每一个邻域 U 的点． 中都有 A 中异于 x 的点．即，
U ∩ ( A − { x}) ≠ φ
则称点 x 是集合 A 的一个凝聚点或极 限点． 限点．集合 A 的所有凝聚点构成的集 的导集， 合称为 A 的导集，记作 d (A)． ．
例2.4.1 离散空间 X 中集合的凝聚点和 导集
解：设 A 是 X 的任意一个子集，对任意 的任意一个子集， x∈X，{x} 是 x 的一个邻域，并且有 ∈ ， 的一个邻域，
{ x} ∩ ( A − { x}) = φ
的凝聚点， 从而 x 不是 A 的凝聚点，故 d ( A) = φ .
例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集
如果 x ∉ d ( A) ,则称 x 为 A 的 则称 一个孤立点． 一个孤立点． 简而言之: 简而言之
x ∈ d ( A) ⇔ ∀U ∈ U x , U ∩ ( A − {x}) ≠ ∅ x ∉ d ( A) ⇔ ∃U ∈ U x , U ∩ ( A − {x}) = ∅
x ∈ d ( A) ⇔ ∀U ∈ U x ,U ∩ ( A − {x}) ≠ ∅ x ∉ d ( A) ⇔ ∃U ∈ U x , U ∩ ( A − {x}) = ∅
⊂ 从而d（A）∪ d（B） d（A∪B）．
x ∉ d ( A) 另一方面，如果 x ∉ d ( A) ∪ d ( B), ⇒ x ∉ d ( B)
∃U ∈ U x ∋ U ∩ ( A − {x}) = ∅ ⇒ ⇒ D = U ∩ V ∈U x ∃V ∈ U x ∋ V ∩ ( B − {x}) = ∅ ∋ D ∩ ( A ∪ B − {x}) = D ∩ (( A − {x}) ∪ ( B − {x})) = ( D ∩ ( A − {x})) ∪ ( D ∩ ( B − {x})) ⊂ (U ∩ ( A − {x})) ∪ (V ∩ ( B − {x})) = ∅ ∴ D ∩ ( A ∪ B − {x}) = ∅ ⇒ x ∉ d ( A ∪ B) ⇒ d ( A ∪ B) ⊂ d ( A) ∪ d ( B)
•定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间， 定理2.4.10 是两个拓扑空间， 定理 :X→Y． f :X→Y． 则以下条件等价： 则以下条件等价： （l）f是一个连续映射； 是一个连续映射； f −1(B)是一个闭集 是一个闭集； 中的任何一个闭集B （2）Y中的任何一个闭集B的原象 (B)是一个闭集 （3）对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含 对于X中的任何一个子集A 的象的闭包， 于A的象的闭包，即 f ( A ) ⊂ f ( A) ； （4）对于Y中的任何一个子集B，B的闭包的原象 4 对于Y中的任何一个子集B 包含B的原象的闭包， 包含B的原象的闭包，即 f −1 ( B ) ⊃ f −1 ( B)
§2．4 导集，闭集，闭包 ． 导集，闭集，
本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、 本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的 概念。 概念。 掌握一个点属于导集或闭包的概念上的不同。 掌握一个点属于导集或闭包的概念上的不同。 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件。 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件。 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件。 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件。