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证明 T ={U ′| U∈F } 其中,T 为X的拓扑。
∅ (1)∵X, ∈T,∴ ∅ = X ′, X = ∅′ ∈ T
(2)若A、B∈F,则
A′, B′ ∈ T , ⇒ A′ ∩ B′ ∈ T , A ∪ B = A′′ ∪ B′′ = ( A′ ∩ B′)′ ∈ F
(3)令:
T 1 = { A′ | A ∈ F1},∴T 1 ⊂ T , ⇒ ∪ A′∈T A′ ∈ T .
§2.4Biblioteka Baidu导集,闭集,闭包 . 导集,闭集,
本节重点:熟练掌握凝聚点、导集、闭集、 本节重点:熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的 概念。 概念。 掌握一个点属于导集或闭包的概念上的不同。 掌握一个点属于导集或闭包的概念上的不同。 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件。 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件。 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件。 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件。
A = ∩ B∈ F , B ⊃ A B
即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之 交.
• A = ∩ B∈F , B ⊃ A B
证明: 由于 A ⊂ ∩ B∈F , B ⊃ A B, 而后者是一个闭集, 所以 由定理2.4.5(4)与定理2.4.4 有
A ⊂ ∩ B∈F , B ⊃ A B
另一方面, 由于 A 是一个闭集,并且 A ⊂ A , 所以
综上所述,可见(3)成立.(这是证明一个集 合包含于另一个集合的另一方法:要证 A ⊂ B , 只要证 ∀x ∉ B ⇒ x ∉ A 即可.)
三、闭包
•定义 定义2.4.3 设X是一个拓扑空间,A ⊂ X.集合A与A的 定义 导集d(A)的并A∪d(A) 称为集合A的闭包,记作 A或A− . •简而言之 简而言之: 简而言之
(1) c (φ ) = φ * (2) A ⊂ c ( A)
*
(3) c ( A ∪ B ) = c ( A) ∪ c ( B )
* * *
(4) c (c ( A)) = c ( A)
* * *
为集合X的一 则称 c : P ( X ) → P ( X ) 为集合 的一
*
个闭包运算. 个闭包运算
定理2.4.5 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有:
( ) = Φ; 1Φ
(2)A ⊂ A; (3) ∪ B=A ∪ B; A
(4) = A. A
定理2.4.6 拓扑空间X的任何一个子集A的 闭包 A 都是闭集. 证明根据定理2.4.4和定理2.4.5(4)直接 推得. 定理2.4.7设X是一个拓扑空间,F是由空 间X中所有的闭某构成的族,则对于X的每一个 子集A,有
1
⇒ ∩ A∈F1 A = ∩ A∈F1 A′′ = (∪ A∈F1 A′)′ ∈F
定理证明完成. 定理证明完成
总结
(1)有限个开集的交是开集,任意个开集的并是开集。 其余情形不一定。 (2)有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集。 其余情形不一定。
例2.4.3实数空间R中作为闭集的区间. 2.4.3实数空间R中作为闭集的区间. 实数空间 设a,b∈R,a<b. 闭区间[a,b] 闭区间[a,b]是实数空间R中的一个闭集, [a 因为[a,b]的补集 [ a, b]′ =(-∞,a)∩(b,∞) 是一个开集. 同理,(-∞,a],[b,∞)都是闭集, ,(a],[b, ,( , (-∞,∞)=R 更显然是一个闭集. 然而开区间(a,b)却不是闭集,因为a是(a, ( b)的一个凝聚点,但a (a,b). ∉ 同理区间(a,b],[a,b),(-∞,a)和 (b,∞)都不是闭集.
如果 x ∉ d ( A) ,则称 x 为 A 的 则称 一个孤立点. 一个孤立点. 简而言之: 简而言之
x ∈ d ( A) ⇔ ∀U ∈ U x , U ∩ ( A − {x}) ≠ ∅ x ∉ d ( A) ⇔ ∃U ∈ U x , U ∩ ( A − {x}) = ∅
x ∈ d ( A) ⇔ ∀U ∈ U x ,U ∩ ( A − {x}) ≠ ∅ x ∉ d ( A) ⇔ ∃U ∈ U x , U ∩ ( A − {x}) = ∅
的任意一个子集. 解:设 A 是 X 的任意一个子集
(1) 若 A 是 空集,显然有 d ( A ) = φ 空集,
(2) 若 A 是一个单点集,令 是一个单点集,
A = { a}
对任意 x ∈ X , x ≠ a ,点 x 有唯的一 个邻域 X ,使得 X ∩ ( A − { x}) ≠ φ , 使得
•根据下确界的性质以及邻域的定义易见:
ρ(x,A) 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃y ∈ A, 使得ρ(x,y) ε; = < ⇔ ∀B( x, ε)有 B( x, ε) A ≠ Φ ; ∩
⇔ ∀U ∈ U x 有 U ∩ A ≠ Φ.
定理2.4.9 设A是度量空间(X,ρ)中的一个 定理 非空子集.则 (1)x∈d(A)当且仅当ρ(x,A-{x})=0; (2)x∈ A 当且仅当ρ(x,A)=0.
x ∈ A ⇔ ∀U ∈ U x , U ∩ A ≠ ∅
定理2.4.4 拓扑空间 的子集 是闭集的充要条件是 拓扑空间X的子集 是闭集的充要条件是A= A 。 的子集A是闭集的充要条件是 定理 证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A) 证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)⊂ A 而这又当且仅当A=A∪d(A) 而这又当且仅当A=A∪d(A)
∩ B∈F , B ⊃ A B ⊂ A
(“交”包含于形成交的任一个成员)
综合这两个包含关系,即得所求证的等式.
定义2.4.4 是一个集合. 定义2.4.4 设 X 是一个集合.映
c * : P ( X ) → P ( X ) 如果满足条件:对 如果满足条件: 射
于任何 A , B ∈ P ( X ) ,
证明(1)蕴涵(2): 设 B ⊂ Y是一个闭集.则 B ′ 是一个开集, 因此根据(1),
f
−1
( B ′) = ( f
−1
( B))′ 是X中的一个开集,
因此
f
−1
(B)是X中的一个闭集.
(2)蕴涵(3): 设A ⊂ X, 由于
f (A ⊂ f (A ⇒A⊂ f −1( f (A , ) ) ))
一、闭集
•定义2.4.1 设X是一个拓扑空间,A ⊂ X.若A的补集 A′ 是一个开集,则称A是一个闭集.
定理2.4.1 设X是一个拓扑空间.记F为所有闭集构成的 族.则: (1) X,∅ F ∈ (2)如果A,B∈F,则AUB∈F (从而如果 A1 , A2 ,...An ∈ F , n ≥ 1 ⇒ A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∈ F ) (3)如果 Φ ≠ F1 ⊂ F ⇒ ∩ A∈F1 A ∈ F
•定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间, 定理2.4.10 是两个拓扑空间, 定理 :X→Y. f :X→Y. 则以下条件等价: 则以下条件等价: (l)f是一个连续映射; 是一个连续映射; f −1(B)是一个闭集 是一个闭集; 中的任何一个闭集B (2)Y中的任何一个闭集B的原象 (B)是一个闭集 (3)对于X中的任何一个子集A,A的闭包的象包含 对于X中的任何一个子集A 的象的闭包, 于A的象的闭包,即 f ( A ) ⊂ f ( A) ; (4)对于Y中的任何一个子集B,B的闭包的原象 4 对于Y中的任何一个子集B 包含B的原象的闭包, 包含B的原象的闭包,即 f −1 ( B ) ⊃ f −1 ( B)
()d(A ∪ B)=d(A) d(B); 3 ∪
(4)d(d ( A)) A ∪ d(A) ⊂ .
()d(Φ) Φ; 1 =
证明(1)由于对于任何一点x∈X和点x的任何 一个邻域U, 有U∩ (∅ − {x}) = ∅,∴ x ∉ d (∅) ∴ d (∅) = ∅
( )A ⊂ B蕴含着d(A) d(B); 2 ⊂
例2.4.1 离散空间 X 中集合的凝聚点和 导集
解:设 A 是 X 的任意一个子集,对任意 的任意一个子集, x∈X,{x} 是 x 的一个邻域,并且有 ∈ , 的一个邻域,
{ x} ∩ ( A − { x}) = φ
的凝聚点, 从而 x 不是 A 的凝聚点,故 d ( A) = φ .
例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集
c : P ( X ) → P ( X ) 是集合 X 的一个闭
*
包运算. 包运算 . 则存在 X 的唯一一个拓扑 T 使得在拓扑空间 ( X , T ) 中对于每一 使得在拓扑空间( X, T) 个 A ⊂ X 有 c* ( A) = A .
T = {U ⊂ X | c (U ′) = U ′}
*
设A ⊂ B .如果 x ∈ d ( A),U ∈ U x ∵ U ∩ ( A − {x}) ≠ ∅ ∴ U ∩ ( B − {x}) ≠ ∅ ∴ x ∈ d ( B )
⊂ 这证明了d(A) d(B).
()d(A ∪ B)=d(A) d(B); 3 ∪
根据(2),由于A,B ⊂ A∪B,所以有 ⊂ d(A),d(B) d(A∪B),
即 x ∈ d ( A) .
对 a 的唯一的邻域 X ,有 X ∩ ( A − {a}) = φ 有 由以上的讨论我们有: 故 a ∉ d ( A) ,由以上的讨论我们有
d ( A) = X − A
(3) 若A多于一点 . 则对任意 x ∈ X , 多于一点 有 X ∩ ( A − { x}) ≠ φ 故 d ( A) = X
注:以上四个条件称为 Kuratovski 闭包公理. 闭包公理 是一个拓扑空间, 设X是一个拓扑空间, : P ( X ) → P ( X ) 是一个拓扑空间 c
*
使得 c ( A) = A , 则 c 是一个闭包
*
*
运算. 运算
定理2.4.8 是一个集合, 定理 2.4.8 设 X 是一个集合 ,
定理2.4.2 设(X,T)是一个拓扑空间,A ⊂ X. 定理 则A为X的闭集 ⇔ d ( A) ⊂ A.
注: 离散空间中的任何一个子集都 是闭集; 是闭集
平庸空间中的闭集只有 X , φ .
定理2.4.3 设X是一个拓扑空间,A⊂ X.则
( d(Φ) Φ; 1 ) =
()A ⊂ B蕴含着 (A) d(B); 2 d ⊂
⊂ 从而d(A)∪ d(B) d(A∪B).
x ∉ d ( A) 另一方面,如果 x ∉ d ( A) ∪ d ( B), ⇒ x ∉ d ( B)
∃U ∈ U x ∋ U ∩ ( A − {x}) = ∅ ⇒ ⇒ D = U ∩ V ∈U x ∃V ∈ U x ∋ V ∩ ( B − {x}) = ∅ ∋ D ∩ ( A ∪ B − {x}) = D ∩ (( A − {x}) ∪ ( B − {x})) = ( D ∩ ( A − {x})) ∪ ( D ∩ ( B − {x})) ⊂ (U ∩ ( A − {x})) ∪ (V ∩ ( B − {x})) = ∅ ∴ D ∩ ( A ∪ B − {x}) = ∅ ⇒ x ∉ d ( A ∪ B) ⇒ d ( A ∪ B) ⊂ d ( A) ∪ d ( B)
四、度量空间中的导集,闭集,闭包 度量空间中的导集,闭集, 导集 在度量空间中,集合的凝聚点,导集和闭包都可以 通过度量来刻画. 定义2.4.5 设(X,ρ)一个度量空间.X中的点x到X 的非空子集A的距离ρ(x,A)定义为
ρ(x,A)= inf{ρ(x,y)|y∈A} x,A)= inf{ρ(x,y)
二、导集
定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间 是一个拓扑空间, 定义 如果点 ∈ A ⊂ X .如果点 x∈ X 的每一个邻域 U 的点. 中都有 A 中异于 x 的点.即,
U ∩ ( A − { x}) ≠ φ
则称点 x 是集合 A 的一个凝聚点或极 限点. 限点.集合 A 的所有凝聚点构成的集 的导集, 合称为 A 的导集,记作 d (A). .
−1
∵f (A ∈F ) Y
根据(2), f
( f ( A )) ∈ F X
∴ A ⊂ f −1 ( f ( A)) ⇒ f ( A ) ⊂ f ( A) 成立.
(3)蕴涵(4) 设A ⊂Y 集合 f (B)⊂ X应用(3)即得