单位圆与诱导公式(1)

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单位圆与诱导公式

2.推导诱导公式（1）角与的正弦函数、余弦函数关系：
y P(u,v)
公式（2）
o

x P'(u,-v)
sin( ) sin cos( ) cos
例：（ 1） sin( ) sin 2 4 2 4

（2）cos（ -

6
） cos
任意负角的三角函数 0到2π的角的三角数
用公式一或二用公式
任意正角的三角函数
用公式一
三或四或五
0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，化成锐角再查表
点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：
负化正，大化小，化成锐角再查表
注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式，后用哪个公式是没有什么固定要求的，如本例（1）完全可以这样来解：
（2）角与的正弦函数、余弦函数关系：公式（4）
sin －sin
cos －cos
回顾：
y

P(u,v) o
5 (3) cos( ) 4
2 cos( ) cos 4 4 2

x
P'(-u,-v)
角与

2
的正弦函数、余弦函数关系
4.3 单位圆与诱导公式
（第一课时）
即u cos，v sin
P(u,v) 1.在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，终边与单位圆交于点 P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作角的正弦函数，记作 v sin ；点P的横坐标u叫作角余弦函数，记作 u cos.

高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修4的全部内容。

4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。

2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。

知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α,π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思考2 2kπ＋α,π＋α,－α，2kπ－α,π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系。

答案它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与α重合π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α）＝－sin α，cos(－α）＝cos α.梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α）＝sin α，c os（2kπ＋α)＝cos α(1。

必修4-1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式

虹屏居
15
欢迎指导谢谢合作
虹屏居
16
6
(3) cos(3 ) ；(4) sin( 100 ) ．
23
3
虹屏居
13
新知小结
本课所学的知识点有哪些？正弦函数、余弦函数的诱导公式．
本课有哪些数学思想？数形结合思想、类比思想．
你有何收获？
虹屏居
14
新知强化
1、P24习题1-4，A组6、7、8，B组1、3、4 2、高中同步测控优化设计“训练与测评”P4, 3、预习：P25 5.1正弦函数的图像
3
3
32
(3) cos( 31 ) cos(6 5 ) cos 5 cos 3 .
6
6
6
62
虹屏居
10
新知探究
补例 1 在单位圆中，角的终边与单位圆交于点P
（-12,5），写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并分别求角-α，-α， + α ， 2 - α的正弦函数值、余弦函数值．
2
2
解 (1) { | 2k 3 ，k Z}{ | 2k 5 ，k Z}
4
4
(2) { | 7 2k 2k ，k Z}
y6
6y
3π 4
x
O 5π
7π
π
6
6
x O
4
虹屏居
12
新知检测
求下列三角函数值：
(1) cos945 ； (2) sin 35 ；
3．情感、态度与价值观
通过本节学习，能注意到数学中的对称美和事物之间的相互关系．
虹屏居
2
重点难点

单位圆的对称性与诱导公式

出发，可以得到正（余）弦函数的那些性质？
轴对称点的坐标是什么?
点Px，y关于原点对称点 P1 x， y，关于
x 轴对称点 P2 x，-y ，关于 y 轴对称点P3 x，y
1.以旧引新，提出课题
终边相同的角的同名正(余)弦函数值相同；除此之外还有一些角，已知角正（余）弦函数值，那么，能否用它表示相关角（如，，）的正（余）弦函数值？
p与 P关于原点对称, Pu, v
③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p的坐标。 ④ 写出点 p与点 p 坐标之间的关系（即与
正（余）弦函数值之间的关系）。
3.合作探究，推导公式
公式三
r 1
sin v cos u
P cos ,sin
Pcos ,sin
y
由P(u,v)与P‘(-u,-v)知
任意负角的正（余）弦函数
用公式一或二
任意正角的正(余)弦函数
用公式一
锐角的正（余）用公式
弦函数
三或四
0 ~ 2 正
（余）弦函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
6.独立作业，培养能力
作业
（1）必做题 P20 练习1 ，第1题 P23 练习2 第3题（2）选做题
从单位圆关于直线 y x，y x对称性
sin( ) sin cos( ) cos
由此可知，正弦函数y sin x 是奇函数，余弦函数y cos x是偶函数。
3.合作探究，推导公式
问题探究（2）
①角的终边和角的终边有什么关系？
② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点
p，角的终边和单位圆的交点 P，那么，p 和P有什么关系？
3
求 sin 3 的值

1.3诱导公式(一)

3
任意负角的三角函数
用公式三
任意正角的三角函数
用公式一锐角的三角函数用公式二或四 0°～360°的角的三角函数
例题 2：化简： cos(180°+α )²sin(α +360°) sin(-α -180°)²cos(-180°-α ) 课堂练习： 1．填表： α sinα cosα tanα α sinα cosα tanα 2．教材 p27 练习 1、2、3、4 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
（二）新课教学 1. 诱导公式一及其用途，教师板书公式一： sin(k²360°+α )=sinα ， cos(k²360°+α )=cosα ， tan(k²360°+α )=tanα ，k∈Z. 由公式一把任意角转化为 0 ， 360 内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？
o o
我们对 0 , 90
2kπ +α π +α -α π -α
单位圆和三角函数定义与α 的终边的位置关系
2．公式记忆方法：函数名不变，符号看象限.
（五）课后练习基础训练（7）
（六）板书设计公式一：
各角与α 的终边对称关系
例题
5
公式二公式三公式四用公式的步骤
教学反思
6
所以，我们只需研究180 ,180 ,360 与的同名三角函数的关系即研究了与的关系了。
2
3. 提问：（1）锐角的终边与 180 的终边位置关系如何？（2）写出的终边与 180 的终边与单位圆交点 P, P ' 的坐标。（3）任意角与 180 呢？启发学生理解：任意与 180 的终边都是关于原点中心对称的。则有 P( x, y), P '( x, y) ，由正弦函数、余弦函数的定义 y

数学上册5.5《诱导公式》课件(1)

例1 求下列各三角函数的值：
(1)sin13； (2) cos19 ； (3) tan405．
2
3
解 (1) sin 13π sin( π 6π) sin π 1;
2
2
2
(2) cos19π cos( π 6π) cos π 1 ;
3
3
32
(3) tan405 tan(45 360) tan45 1.
5 瀑布
叶圣陶（1894年－ 1988年），原名叶绍钧，字秉臣，汉族人，江苏苏州人，著名作家、教育家、编辑家、文学出版家和社会活动家。
想一想
5瀑布
叶圣陶
瀑布
还没看见瀑布，先听见瀑布的声音，好像叠叠的浪涌上岸滩，又像阵阵的风吹进松林。
山路忽然一转，啊！望见了瀑布的全身！
这般景象没法比喻，千丈青山衬着一道白银。
站在瀑布脚下仰望，好伟大呀，一座珍珠的屏！
时时吹来一阵风，把它吹得如烟，如雾，如尘。
瀑布
还没看见瀑布，先听见瀑布的声音，好像叠叠的浪涌上岸滩，又像阵阵的风吹进松林。
三角
三
三角
角
函数
5.5 诱导公式
角的终边与单位圆的交点为 P (cos , sin )．
y
P( cos ,sin )
sin
O cos
x
已知任意角的终边与单位圆相交于点 P (x，y)．
则
任意角 +k*360° 的终边与单位圆的交点 P 的
坐标是 ( x，y) ；
3
3
3
(4) sin 870 sin(30 5180) sin(180 30) sin 30 1 ．

诱导公式

第五课时诱导公式课标要求：借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π2±α，π±α的正弦、余弦、正切）学习目标：1：能熟练背诵诱导公式2：能利用诱导公式求三角函数值3：能化简三角函数式【自学探究】你能利用单位圆中的三角函数线证明公式二——六吗？基础梳理：公式一：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα，(k∈Z）公式二：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα公式三：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα公式四：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα公式五：sin（π2－α）＝cosα，cos（π2－α）＝sinα公式六：sin（π2＋α）＝cosα，cos（π2＋α）＝－sinα总结：奇变偶不变，符号看象限【基础练习】：一、求值：（1）sin（-1920°）（2）tan(-1560°) （3）cos（-675°）（4）)643sin(π-（5）)686cos(π-)341t a n()6(π-（7）613cosπ（8）)679sin(π-（9）67tanπ（10）421tanπ（11）cos1000π（12）417sinπ（13）)655sin(π-（14）sin870°（15）)314sin(π-（16）cot600°二、化简：1.化简)--)-)-)+)-απαπαπαπαπsin(3sin(cos(cos(2sin(2.化简)1050sin()600cot()420cos()210cos()150tan(︒-︒-︒-︒-︒-3.化简)-︒-⋅180︒--360︒+⋅)+︒αααα180cos()sin()sin(180cos(4.)2tan()23cos()2sin(aaa-∙-∙+πππ【巩固练习】诱导公式（一）1．sin(－103π)的值等于（）A.12B.－12C.32D.－322．若cos165°＝a，则tan195°等于（）A.－1－a2 B.－1＋a2aC.1－a2aD.－1－a2a3．已知cos(π＋θ)＝－12 ，则tan(θ－9π)的值（）A.±12B. 3C.± 3D.－124．已知sin （π－α）＝log 814 ，且α∈(－π2 ，0)，则tan α的值是（）A. 255B.－255C.±255D. －525．下列不等式中，不成立的是（） A.sin130°＞sin140°B.cos130°＞cos140°C.tan130°＞tan140°D.cot130°＞cot140° 6．下列不等式中，正确的是（） A.sin 57 π＞sin 47 π B.tan 158 π＞tan(－π7 )C.sin(－π5 )＞sin(－π6 ) D.cos(－35 π)＞cos(－94π) 7．tan300°＋sin450°的值为（） A.1＋ 3B.1－ 3C.－1－ 3D.－1＋ 38．已知cos(π＋θ)＝－45 ，θ是第一象限角，则sin （π＋θ）和tan θ的值分别为（）A. 35 ，－34B.－35，34C.－35 ，－34D.－35 ，－439．已知x ∈(1，32 )，则|cos πx |＋|cos πx 2 |－|cos πx ＋cos πx 2|的值是（）A.0B.1C.2D.－1 10．tan （－1500）cos （－5700）cos （－11400）tan （－2400）sin （－6900）＝ .11．若α是第三象限角，则)cos()sin(21απαπ---= .12．sin 2(π3 －x )＋sin 2(π6＋x )＝ .13．求：︒⋅--⋅︒690cos )619cos()313tan(330sin ππ的值.14．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值.15．已知sin （π－α）－cos(π＋α)＝23 (π2＜α＜π)，求sin α－cos α与sin 3（π2 ＋α）＋cos 3(π2 ＋α)的值.16．设sin α＝12 ，cos β＝－12 ，且α、β不在同一象限，求sin （α＋β)的值.。

必修四1-4-1单位圆与诱导公式

宝石学校活页课时教案(首页)班级:高一年级科目:数学周次教学时间2015年3月日月教案序号课题1-4-1单位圆与诱导公式课型新授教学目标(识记、理解应用、分析、创见) 知识目标：通过单位圆中的角的对称性理解和记忆诱导公式并能进行简单的化简；能力目标：通过自主探究、小组合作等多种学习方式，培养学以致用的能力.情感目标：认识事物之间的普遍联系与相互转化；培养学生用联系的观点看问题.教学重点及难点重点：记忆诱导公式并会进行简单的化简.难点：理解诱导公式的来源教学方法观察、思考、交流、讨论、概括。

教学反馈板书设计1-4-1 单位圆与诱导公式sin()sin,cos()cos.αααα-=--=sin(2)sin,cos(2)cos πααπαα-=--=sin()sin,cos()cos.πααπαα+=-+=-sin()sin,cos()cos.πααπαα-=-=-sin()cos,cos()sin.22ππαααα+=+=-sin()cos,cos()sin.22ππαααα-=-=高中必修4教案第 2 页共 5 页一、交流订正1、填空1）诱导公式一：=+)2sin(παk ________；=+)2cos(παk _______； 2）诱导公式二：=-)sin(α_________；)cos(α-=___________； 3）诱导公式三：=-)sin(απ_________；=-)cos(απ________； 4）诱导公式四：=+)sin(απ_______；=+)cos(απ_________；5）诱导公式五：=-)2sin(απ___________；=-)2cos(απ_______________；6）诱导公式六：=+)2sin(απ___________；=+)2cos(απ________________；2、这些公式是怎样推导出来的？二、展示点拨1、角α与α-的正、余弦函数关系（关于x 轴对称）sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=2、角α与απ±的正、余弦函数关系（关于原点对称）sin()sin ,cos()cos .sin()sin ,cos()cos .απααπααπααπα+=-+=--=--=-3、角α与πα-的正、余弦函数关系（关于y 轴对称） sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=- 也可以由1、2两组公式推出sin()sin()(sin )sin ,cos()cos()cos .πααπααπααπα-=--=--=-=-=- x yoP (x ,y )P 1 (-x ,-y )xyoP (x ,y )P 1 (x ,-y )P 2 (-x ,y )高中必修4教案第 3 页共 5 页4、角α与2πα+的正、余弦函数关系sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=+=-5、角α与2πα-的正、余弦函数关系sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=-=6、任意角α的正、余弦函数的诱导公式（1）2k πα+：sin(2)sin ,cos(2)cos .()k k k Z πααπαα+=+=∈ （2）α-：sin()sin ,cos()cos .αααα-=--=（3）2πα-：sin(2)sin ,cos(2)cos πααπαα-=--= （4）πα±：sin()sin ,cos()cos .πααπαα+=-+=-sin()sin ,cos()cos .πααπαα-=-=- （5）2πα±：sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=+=- sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=-= 补：32πα±： 33sin()cos ,cos()sin .22ππαααα+=-+= 33sin()cos ,cos()sin .22ππαααα-=--=- 2k πα+、2πα-、α-、πα± 记忆规律：“函数名不变，符号看象限”。

北师大版高中数学必修四 4.3单位圆与诱导公式

北师大教材必修4 第一章 4.4
单位圆的对称性与诱导公式
单位圆的对称性与诱导公式
学习目标 :
（1）识记诱导公式（ 2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值（重点）（ 3）会进行简单三角函数式的化简和证明（难点）。
一：问题提出
（1）复习回顾：任意角三角函数的定义
二:探索研究
（一）
对称美是形式美的美学法则之一．人和动物的对称能给人以健康的美感,角的终边也有对称的现象，它们存在什么美呢？又隐藏着哪些规律呢？
一切平面图形中最美的是圆形，一切圆中最美的是单位圆。
——— 毕达哥拉斯学派
巴黎埃菲尔铁塔
巴黎圣母院
北京故宫
（二）互动探究
已知任意角的终边与单位圆相交于点Px，y，
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ y
终边
y
P(x,y)
（2）余弦cosα＝ x
（3）正切tanα＝ y x
O
x
公式一
sin( k 360 ) sin cos( k 360 ) cos tan( k 360 ) tan
其中 kZ
3sin34 sin4sin422
4cos2040cos2040cos6360120
cos1201 2
例2 化简
cos180•sin360 sin180•cos180.
解 :s i n -- 1 8 0 s in 1 8 0
sin180sin sin
c o s 1 8 0 c o s 1 8 0
1 c o s 4 2 0 cos60cos601
2
2
sin

§4.3单位圆与诱导公式(一)

高一年级数学学科编号：26 班级：学生姓名：设计人：史旭龙审核人：安仓娃课题：§4.3单位圆与诱导公式（一）【学习目标】理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简【学习重点】诱导公式的推导及应用；【学习难点】相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.第一部分【自主学习】1、由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同名三角函数值相等（即角α与2kπ+α的同名三角函数）．即公式一：。

2、角α的终边与角¯α的终边关于x轴对称，α与¯α的三角函数值之间的关系为：公式二：。

3、角2π-α与角α的三角函数值之间关系公式三：.4、、角α的终边与角α±π的终边关于原点对称，α与α±π的三角函数值之间的关系为：公式四：。

5、角α的终边与角π-α的终边关于y称，α与π-α的三角函数值之间的关系为：公式五：。

第二部分【合作探究】1、求下列三角函数值：（1）7sin()4π-；（2）31cos()6π-；（3）2cos()3π2、利用单位圆，求适合cos 22-=α 第三部分【课堂练习】1、完成下列公式sin(2)k πα+= cos(2)k πα+=sin()α-= cos()α-=sin(2)πα-= cos(2)πα-=sin()πα-= cos()πα-=sin()πα+= cos()πα+=2、化简)2cos()2sin()5sin()3cos(αππαπαπα-⋅-⋅+-第四部分【课后反思】相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识；诱导公式的推导及应用。

单位圆的对称性与诱导公式

问题探究2
关于原点对称
y
（3）sin
O
4
3
P (cos
？
,
sin
)
（4）sin
2
3
？x
P
(cos( ),sin( ))
或(cos( ),sin( ))
P与P关于原点对称，横坐标绝关对于值原相点等对称且符号相反，关纵于坐y轴标对绝称对值相
等且符号相反.
公式三：sin( ) sin co（s ） cos sin( ) sin co（s ） cos
sin( ) sin co（s ） cos
sin( ) sin co（s ） cos
[0,2π]的角的三角函数
课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获吗？
1.诱导公式（一）（二）（三）（四）；
口诀: 把a看成锐角时“函数名不变，符号看象限”
2. “数形结合” 、“转化与化归”的数学思想，特殊到一般的归纳思维形式；
3. 感受到数学的对称美；
结束语
一切平面图形中最美的是圆形，一切圆中最美的是
单位圆.
——毕达哥拉斯学派
谢谢观看
sin( ) sin co（s ） cos 公式四： sin( ) sin co（s ） cos
口诀: 把a看成锐角时 “函数名不变，符号看象限”
深化概念
你能概括一下我们研究诱导公式的思想方法吗？
任意角
单位圆的对称
终边的对称关
形
对
性
系
称
美
对称点的数量
关系
三角函数之间的数量
（1）sin
3
3 2
（2）sin(
3

4.3单位圆与诱导公式

sin(π－α)＝sin α 诱导公式三 cos(π－α)＝－cos α
tan(π－α)＝－tan α
[π/2, π)转化为[0, π/2)
sin(－α)＝－sin α 诱导公式二 cos(－α)＝cos α [-π/2, 0)转化为[0, π/2)
tan(－α)＝－tan α
负化正
知识点四诱导公式四
1、第三象限角与第一象限角的关系？ 2、角α与角π＋α有怎样的关系？
3、角π＋α的终边与单位圆的交点 P3(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点 P(cos α，sin α)有怎样的关系？
sin(π＋α)＝－sin α 诱导公式四 cos(π＋α)＝－cos α
tan(π＋α)＝tan α
[π, 3π/2)转化为[0, π/2) [π, 2π)转化为[0, π)
但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( × )
题型一、给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°；解 cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝
(4)cos(－1 920°). .
(4)cos(－1 920°). 解 cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝ .
2、求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°；
(3)tan(－945°).
解方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝ . 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝ .

1.3.1诱导公式(一)

29 29 25 1. sin cos( ) tan( ) 6 3 4 2 3 4 2. tan tan tan tan 5 5 5 5
sin(2 ) tan( ) 4. cos( ) tan( 3 ) tan( )
-
cos cos sin 原式 1. sin ( cos )
2.化简
cos(1800 ) sin( 3600 ) (1) sin( 1800 ) cos(1800 )
0 tan( 180 ) 3 0 (2) cos (180 ) sin( ) cos(3600 )

的终边有何关系？它们的三角函

设（ 0，） 2 y
P1(-x,y) P（x,y)

y

x
0
M1
0
பைடு நூலகம்
M
x
P3(x,-y)
P2(-x,-y)
讲授新课 cos2250 cos(1800 450 ) 如求cos2250 ? 分析：
由此想到2250的三角函数值与 450 角的三角函数值可能存在一定为了使讨论的一般性，我们以任意角来研究. 的关系 .

y

o
x
sin
o
y
x
cos
o
y
x
tan
问题探究(一)
给定一个角。（1）角，的终边与角三角函数之间又有何关系？

的终边有何关系？它们的
（2）角的终边与角的终边有何关系？它们的三角函数之间又有何关系？

1.4.3.1单位圆与诱导公式——导学案

αα+180x yP(x,y)P′(-x ，-y)MM′O(4-5-1)单位圆与诱导公式（一）使用说明：1.阅读探究课本2017-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。

【学习目标】（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解三角函数诱导公式的推导过程；（3）掌握三角函数诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导。

【重点难点】重点：正弦函数的诱导公式；难点：诱导公式的灵活运用。

一、知识链接我们已经学习了任意角的三角函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即=︒⋅+)360sin(k α=︒⋅+)360c o s (k α（其中Z ∈k ）这公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的三角函数值。

如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的三角函数，那么任意角的三角函数就可以查表求出。

二.教材助读１．角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系２．角α与α±π的正弦函数、余弦函数的关系３．角α与π－α的正弦函数、余弦函数的关系三、预习自测 1.求下列函数值（1）sin 45π； (2) cos210º(3)sin(－1650︒)； (4)cos （－５１７π)2. 化简：)sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ--⋅---⋅+预习案 αα-xy P(x,y)P′(x ，-y)M O(4-5-2)基础知识探究在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点Ｐ（135-，1312）求－α、α±π与π－α的正弦函数、余弦函数的值。

综合应用探究求满足cos α≦21的角的集合。

（提示：可以先利用单位圆作出cos α=21的余弦线，然后再考虑比它小的余弦线对应的角的集合）当堂检测1.求下列函数值（1）sin(－4９π) （2）cos （－４２３π）2.已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，求证：A C B A sin )2sin(-=++。

单位圆与诱导公式PPT课件

【答案】
A
π 2 2π 4．已知 cos －α ＝，则 sin(α － )＝________. 3 6 3
【解析】
π π 2 sinα － π ＝sin－－－α 3 2 6
π π π 2 ＝－sin ＋－α ＝－cos －α ＝－ . 3 6 2 6
∴cos α ＝ 1－sin2α ＝
2 5 1－(－ )2＝， 3 3
2 － 3 sin α 2 2 5 tan α ＝＝＝－＝－ . cos α 5 5 5 3
【答案】
B
17π 17π －sin－的值是( 3．cos－ 4 4
)
A. 2 C．0
【解析】
【思路点拨】化简时注意观察题设中的角出现了kπ ，需讨论k是奇数还是偶数【自主探究】当k＝2n(n∈Z)时，
sin(2nπ －α )cos[(2n－1)π －α ] 原式＝ sin[(2n＋1)π ＋α ]cos(2nπ ＋α )
＝＝
sin(－α )²cos(－π －α ) sin(π ＋α )²cos α －sin α (－cos α ) ＝－1；－sin α ²cos α
3k＋1 3k－1 π ＋α ＋cos π －α ，k∈Z. 1．化简：cos 3 3
【解析】
当 k＝2n，n∈Z 时，
π π 原式＝coskπ ＋＋α ＋coskπ －－α 3 3 π π ＝cos2nπ ＋＋α ＋cos2nπ －－α 3 3 π π ＝cos ＋α ＋cos－－α 3 3 π π π ＝cos ＋α ＋cos ＋α ＝2cos ＋α . 3 3 3

数学4.3单位圆与诱导公式

4.3 单位圆与诱导公式
一回忆旧知做好准备同学们回忆一下任意角的正弦、 1 同学们回忆一下任意角的正弦、余弦函数的定义？的定义？回忆不起来的翻阅课本相关内容
sin α = y
y P (x,y)
cos α = x
o
x
同学们回忆终边相同的角2kπ 2kπ＋ 2. 同学们回忆终边相同的角2kπ＋α k∈Z）（k∈Z）与α的正弦函数值和余弦函数值之间的关系？数值之间的关系？
sin(2kπ + α ) = sin α
cos( 2 kπ + α ) = cos α
3.你能求sin750° sin930°的值吗？ 3.你能求sin750°和sin930°的值吗？你能求sin750
4.利用上述公式， 4.利用上述公式，可将任意角的三角函利用上述公式数值，转化为0 数值，转化为00～3600范围内的三角函数值. 数值.其中锐角的三角函数可以查表计而对于90 算，而对于900～3600范围内的三角函数如何转化为锐角的三角函数值，值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们需要研究和解决的问题. 我们需要研究和解决的问题.
利用公式二、 4 利用公式二、三，你能否得到π-α 与
α的正弦、余弦函数值的关系？的正弦、余弦函数值的关系？的正弦
sin(π −α ) = − sin( − π ) = −(− sinα ) = sinα α
cos( π − α ) = cos( α − π ) = − cos α
5 哪位同学说说，这些公式有什么特点，如哪位同学说说，这些公式有什么特点，何记忆？何记忆？ sin(−α) = − sin α 总结：总结： cos(−α ) = cosα
sin(2kπ + α ) = sin α

单位圆的对称性与诱导公式

sin( ) sin cos( ) cos

N
P(u,v) o
M 1
x

P'(-u,-v)

3.合作探究，推导公式
问题探究（3）
①角的终边和角
的终边有什么关系？
② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点
p，角的终边和单位圆的交点 P ，那 p 和 P 有什么关系？么， p 与 P 关于y轴对称, P u, v ③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p 的坐标。 ④ 写出点 p与点 p 坐标之间的关系（即与
3.合作探究，推导公式
问题探究（2）
①角的终边和角
的终边有什么关系？
② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点
p，角的终边和单位圆的交点 P ，那 p 和 P 有什么关系？么， p与 P 关于原点对称, P u, v ③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p 的坐标。
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos
4.应用公式，解决问题
例1.求下列各角的正（余）弦函数值
7 2 (1) sin( ) (2) cos( ) 4 3 7 7 解 (1) sin( ) sin sin(2 ) 4 4 4
任意负角的正（余）弦函数用公式一或二任意正角的正(余)弦函数
用公式一
锐角的正（余）弦函数用公式三或四正（余）弦函数
0 ~ 2
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
6.独立作业，培养能力
作业
（1）必做题 P20 练习1 ，第1题 P23 练习2 第3题（2）选做题
从单位圆关于直线

5.单位圆与诱导公式

第5讲单位圆与诱导公式考点1诱导公式组一口诀：函数名不变，符号看象限.1. ()sin 2sin k παα+=， ()cos 2cos k παα+=． ① 求值：sin 390= ；cos 420= .2. ()sin sin αα-=-， ()cos cos αα-=．如图，角α的终边与单位圆的交点为P ,则点P 的坐标为，角α-的终边与单位圆的交点为Q ,则点Q点P 与点Q 关于x 轴对称，则(sin -()cos α-= .②求值：sin(390)-=；cos(函数()sin f x x =是（奇偶性）；函数()cos f x x =是（奇偶性）； 3. ()sin sin παα+=-， ()cos cos παα+=-．如图，角α的终边与单位圆的交点为P ,则点P 的坐标为，角πα+的终边与单位圆的交点为Q ,则点Q 的坐标为 . 点P 与点Q 关于原点对称，则()sin πα+= ，()cos πα+= .③求值：sin 210= ；cos(210)-= . 4. ()sin sin παα-=， ()cos cos παα-=-． ④求值：sin150= ；cos120= . 考点2 诱导公式组二口诀：函数名称变，符号看象限．5.sin()cos 2παα-= cos()2πα-=6.sin()2πα+= cos()sin 2παα+=-π7. sin()2πα-= cos()2πα-=考点3 诱导公式的应用考法1 求任意角的三角函数 1.求下列三角函数值（1）0cos945 （2）35sin6π （3）100sin()3π-考法2 给值求值1.已知1sin()32πα-=，则cos()6πα+= ；2.已知cos()6πα-=，则5cos()6πα+= .考法3 灵活多变1.已知,,A B C 是三角形ABC 的三个内角，求证：（1）sin()sin A B C += （2）cos()cos A B C +=-，（3）sincos 22A B C+= （4）cos sin 22A B C+= 2.已知0sin10k =，则0cos620= . 3.已知()sin f x x =，则下列式子成立的是 A. ()sin f x x π+= B. (2)sin f x x π-=C. ()cos 2f x x π-=- D. ()()f x f x π-=-4.如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos()2πα+= .5.已知函数()cos 2xf x =，则下列等式成立的是A. (2)()f x f x π-=B. (2)()f x f x π+=C. ()()f x f x -=-D. ()()f x f x -= 6.已知()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ均为非零实数），(2015)5f =，则(2016)f = .。