章测试系统动态特性

an
dn y t
d n1 y t
dtn an1 dtn1 L

a1
dy t
dt


a0
y
t

bm
dmx t
d m1x t
dtm bm1 dtm1 L

b1
dx t
dt


b0
x
t

– y：输出量；x：输入量；t：时间
– 系统的阶次由输出量最高微分阶次n决定。
x f (t) m
m
d
2 y(t) dt 2

c
dy(t) dt

Ky(t)

x(t)
将• 此公L 式左右R 作付里叶• 变换得：
c
k
n
K m
(b)
y(t) mYxu((t))( j)2 cY (C)( jyu)(t) KY () X ()
该• 系统的频响函数•为
H(
j )

Y () X ((c)

m(
j )2
1 c(
j )

K
k 1 K
二阶系统（Second-order system) 中南大学交通运输学院
数学表述
a2
d2y dt 2

a1
dy dt

a0
y

b0 x
a2 a0
d 2 y(t) dt 2

a1 a0
dy(t) dt
– 静态灵敏度(Transduction constant)
y(t)
K b0 a0
b0 a0
x(t)
– 系统固有频率(Angular natural frequency)n – 阻尼比(Damping ratio) a1
a0 a2
归一化后
2 a0a2
d
2 y(t) dt 2

2
n
dy(t) dt

n2
y(t)

n2 x(t )
• 一阶系统
– 数学表述
dy a1 dt a0 y b0 x
– 传递函数 Y s K
X
s 1
–
K

b0 a0
静态灵敏度
–


a1 a0
时间常数
对于时不变线性 系统，静态灵敏度 S=b0/ a0为常数， 在动态特性分析中 ，灵敏度只起着使 输出量增加倍数的 作用。
为了方便起见， 讨论的测试系统， 都采用静态灵敏度 S=1。
输出信号
频率特性
测试系统的广义数学模型
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测试系统的数学模型是根据相应的物理定律（如牛 顿定律、能量守恒定律、基尔霍夫电路定律等）而 得出的一组将输入和输出联系起来的数学方程式。
常系数线性微分方程(General Differential equation)
– 任何一个具体的输入量和输出量之间的关系都可以写成下 列数学形式
•
•
•
Ti (t)
(c)
由弹簧、阻尼器组成一阶机械系统 c dy(t) ky(t) kx(t) dt
低通滤波器电路
RC
dyu (t) dt

yu
(t)

xu
(t)
液柱式温度计
a1
dy(t) dt

a0
y(t)

b0 x(t)
一阶系统 (First-order System)
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引起ax的(t输) 出为 。 ay(t)
●微分特性：dx(t引) 起的输出为
dt
t
●积分特性： x(t)d引t 起的输出为 0
●频率保持性：如 x(t) x0则e j0t
dy (t )
dt
t
y(t)dt

y (t )

y e j (0t ) 0
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重要结论：
线性系统具有频率保持性是指输入信号 的频率成分通过线性系统后仍保持原有的频 率成分。
Re ()
A()- 曲线称为幅频特性曲线，()- 曲线称为相频 特性曲线。实际作图时，常画出20lgA()-lg和()lg曲线，两者分别称为对数幅频曲线和对数相频曲线， 总称为伯德图（Bode图）。作Im()-Re()曲线并注出 相应频率，称为奈魁斯特图（Nyquist图）。
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例： 在动圈式电表中，由永久磁钢所形
成的磁场和通电线圈所形成的动圈
磁场相互作用,产生的电磁转矩,使
线圈产生偏转运动，测试仪表的可
(t) 动阻部尼分力发矩、生弹偏x簧转f (刚，t) 度最力后矩和与惯电性磁力转矩L、
矩相平衡， m方程式为
b1
dx (t ) dt
b0 x(t)
• 将此公式两边作傅里叶变换，在变换过程中利用
傅里叶变换的微分性质得：
Y ( ) an ( j )n an1( j )n1 a1( j) a0 X ( ) bm ( j)m bm1( j)m1 b1( j) b0
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H(j)一般为复数，写成实部和虚部的形式：
H ( j) Re () jIm ()
或：
H ( j) A()e j ()
其中：
A() H ( j) Re ()2 Im ()2 , 幅频特性 () H ( j) arctan Im () ，相频特性
2.3 测试系统的动态响应特性
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2.3 测试系统的动态响应特性
• 动态特性是研究当测试与检测系统的输入和 输出均为随时间而变化的信号时，系统对输 出信号的影响。
• 动态测量中，当输入量变化时人们观察到的输 出量的变化不仅受研究对象动态特性的影响，
同时也受到检测系统动态特性的影响。系统 的动态特性一般通过描述系统的数学模型如微 分方程、或找出系统的动态特性函数如传递函
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频率响应函数(Frequency response)
• 线性系统的输出输入关系为：
an
d n y(t) dt n

an 1
d n1 y(t ) dt n1

a1
dy (t ) dt

a0 y(t)

bm
d m x(t) dt m
bm1
d m1 x(t ) dt m1
•
N
i(t) S
y(t)
xu (t)
c
k
•
(a)
(b)
二阶系统（Second-order system)
LR
•
•
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(t) xu (t)
•
C yu (t)
•
(c)
n
K m
c
2 Km
k 1 K
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如图所示的弹簧－质量－阻尼系统，其运动方程为：
数、频率响应函数等来进行研究
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线性系统的性质：
●叠加性：x1(t), x2 (引t) 起 的输出分别为
y1 (t如), y输2 (t)
入为
x1 (t)则 x输2 (出t) 为
y1 (t) y2 (t)
●比例特性（齐次性）:如 x(引t)起的输出为 ，y则(t)
如果输入是正弦函数，输出却包含其它 频率成分，就可以断定其它频率成分绝不是 输入引起的，它们或由外界干扰引起，或由 装置内部噪声引起，或输入太大使装置进入 非线性区，或该装置中有明显的非线性环节
非线性系 统特性
如余弦信号通过非线性 系统（二极管），则输 出被整流，其频率成分 被改变。
输入信号
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X
a0
– K：静态灵敏度
• 零阶系统的输出和输入同步变化，不产生任何的失真和 延迟，因此是一种理想的测试系统，如位移电位器、电 子示波器等。
一阶系统 (First-order System)
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Fa
Fb
x(t )
y (t )
T0 (t)
(a)
•
xu (t)
•
R
C
(b)
•
yu (t)
位，得到幅值比Ai、相位差φi。
第二章、测试系统特性
优点：简单，信 号发生器，双踪 示波器 缺点：效率低
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f0 f1 f2 f3
从系统最低测量频率fmin到最高测量频率fmax，逐 步增加正弦激励信号频率f，记录下各频率对应的幅 值比和相位差，绘制就得到系统幅频和相频特性。
第二章、测试系统特性
2.3 测试系统的动态响应特性
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传递函数:直观的反映了测试系统对不同频率成分 输入信号的扭曲情况。
A

2.3 测试系统的动态响应特性
a)传递函数的测量(正弦波法)
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依据：频率保持性
若
x(t)=Acos(ωt+φx)
则
y(t)=Bcos(ωt+φy)
依次用不同频率fi的简谐信号去激励被测系 统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值、相
频率响应函数：
H ( j)

Y ( j) X ( j)

1 (

K )2
n
j2n
3.4 典型系统的动态响应
1 一阶系统