计算理论概述
理解计算机中的计算理论与复杂性
理解计算机中的计算理论与复杂性计算机中的计算理论与复杂性计算理论是计算机科学的重要分支之一，它研究计算过程的本质和性质，为计算机科学提供了理论基础。
而复杂性理论则研究计算问题的复杂性，即问题的难解程度。
在计算机发展的不断推动下，计算理论与复杂性的研究越发重要。
本文将从计算理论和复杂性两个方面对相关概念和研究进行介绍和探讨。
一、计算理论计算理论是计算机科学中关于计算概念和过程的研究。
它主要分为可计算性理论和形式语言与自动机理论两大部分。
1. 可计算性理论可计算性理论研究的是什么问题可以用计算机算出，以及如何判断一个问题是否可计算。
它的核心思想是“图灵机”，即由英国数学家图灵提出的一种理论模型，用于描述计算过程。
可计算性理论的研究对象包括了函数的计算性、计算问题是否可判定、可计算函数的分类等。
2. 形式语言与自动机理论形式语言与自动机理论研究的是描述和处理信息的形式化语言和自动机模型。
形式语言的研究对象包括了正则语言、上下文无关语言和上下文敏感语言等。
而自动机模型则包括了有限状态自动机、下推自动机和图灵机，用于描述和处理形式语言。
二、复杂性理论复杂性理论是研究计算问题的复杂性的学科。
它关注的是问题的求解难易程度，即问题的复杂性。
复杂性理论主要分为计算复杂性理论和各类计算问题的复杂性。
1. 计算复杂性理论计算复杂性理论研究的是计算问题的复杂性度量和分类。
其中最具代表性的是时间复杂性和空间复杂性。
时间复杂性研究的是计算问题在计算时间上的耗费，空间复杂性研究的是计算问题在计算空间上的耗费。
常用的时间复杂性度量是“大O记号”，用于表示问题在最坏情况下的耗时增长趋势。
2. 计算问题的复杂性计算问题的复杂性研究的是不同类型问题的复杂性分类以及它们之间的关系。
其中最经典的研究是关于P类问题和NP类问题的划分。
P 类问题指的是可以在多项式时间内求解的问题，而NP类问题指的是可以在多项式时间内验证的问题。
复杂性理论的研究则主要集中在P与NP问题之间的关系。
常用计算的基本理论和方法
积分是微积分的另一重要概念，用于计算曲 线与x轴所夹的面积，是解决实际问题的重 要方法。
线性代数基础
向量
向量是一组有序数，可以表示空间中的点或方向，是线性代数中 的基本概念。
矩阵
矩阵是由数字组成的矩形阵列，可以表示向量之间的关系和变换， 是线性代数中的重要工具。
线性方程组
线性方程组是描述多个未知数之间线性关系的方程组，通过矩阵和 向量运算可以求解线性方程组。
代数运算
代数运算包括加法、减法、乘法、 除法以及指数、对数等运算，是 数学中基本的运算方法。
代数式
代数式是由数字、字母通过有限 次的四则运算得到的数学表达式， 是代数中常用的表达方式。
微积分基础
极限
极限是微积分的基本概念，描述了函数在某 点的变化趋势，是研究连续函数的重要工具 。
导数
导数描述了函数在某点的切线斜率，是研究函数变 化速度和极值点的关键概念。
阐述本主题的目的，即掌握常用计算 的基本理论和方法，提高计算思维和 解决问题的能力。
意义
强调常用计算基本理论和方法的重要 性，包括在计算机科学、数学、工程 等领域的应用价值。
02 数学基础
代数基础
代数方程
代数方程是数学中的基本概念， 包括一元一次方程、一元二次方 程、多元一次方程组等，用于描 述数学关系和解决实际问题。
方差分析
总结词
方差分析是一种通过比较不同组数据的变异程度来分 析因素对结果的影响的方法。
详细描述
方差分析的基本思想是将数据的变异分解为两部分：一 部分是由实验操作或处理引起的变异，另一部分是由随 机误差引起的变异。通过比较不同组数据的变异程度， 可以判断不同因素对结果的影响是否显著。方差分析需 要满足一定的假设条件，如各组数据的方差齐性、正态 性等。在应用方差分析时，需要注意数据的分布特征和 处理方式，以及选择合适的统计方法和软件进行数据分 析。
第6章 计算与算法理论
（2）流程图 流程图是一种用于表示算法或过程的图形。在流程图中 ，使用各种符号表示算法或过程的每一个步骤，使用箭头符 号将这些步骤按照顺序连接起来。使用流程图表示算法可以 避免自然语言的模糊缺陷，且依然独立于任何一种特殊的程 序设计语言。流程图的使用人员包括分析人员、设计人员、 管理人员、工程师和编程人员等。
在一般流程图中，主要的图形元素如下： ① 开始/结束框。一般使用圆形、椭圆形或圆角矩形表示， 用于明确表示流程图的开始和结束。 ② 箭线。带有箭头的线段，表示算法控制语句的流向。一 般地，箭线源自流程图中的某个图形，在另一个图形处终止 ，从而描述算法的执行过程。 ③ 处理框。在一般流程图中，往往使用直角矩形表示算法 的处理步骤，称为处理框。 ④ 输入/输出框。一般情况下，流程图使用平行四边形来表 示输入/输出框，也就是表示算法的输入、输出操作。 ⑤ 条件判断框。许多流程图使用菱形表示条件判断框，用 于执行算法中的条件判断，控制算法的执行过程，在条件判 断框中，往往有一个输入箭线和两个输出箭线，两个输出箭 线分别表示条件成立时和不成立时的执行顺序。
图灵机对现代计算机的出现和发展有很大作用，有不少启示。对 图灵机给出如此高的评价，因为其中蕴涵着很深邃的思想。 ① 图灵机，向我们展示了这样一个过程：程序和其输入数据 保存到存储带上，图灵机程序一步一步运行直到给出结果，结果 也保存在存储带上，程序在控制器中。 ② 可以隐约看到现代计算机的主要构成：存储器（相当于存 储带）、中央处理器（相当于控制器及其状态，并且其字母表可 以仅有0和1两个符号）、IO系统（相当于存储带的预先输入）。 ③ 基本动作非常简单、机械、确定。左/右移、不移；读/写 带；确定指令；获取机器状态、改变机器状态。因此有条件用真 正的机器来实现图灵机。
计算理论第一章绪论
1.1 计算与计算模型
上世纪初，德国大数学家希尔伯特(Hilbert)提出： 是否存在着一个通用过程，这个过程能用来判
定任意数学命题是否成立，即，输入一个数学命题， 在有限时间内，得到一个证明，如果这个命题成立； 或是一个反例，如果这个命题不成立。
图灵证明了对于平面几何来说，存在这样的过程。 但是，对于一般的数学命题，不存在这样的过程。
图灵机和可计算函数
英国 数学家
1936年，图灵24岁时发表一篇 论文《论数字计算在判决难题 中的应用》，提出著名的“图 灵机”的设想。这一思想奠定 了现代计算机的基础。
美国计算机协会在图灵去世12 年后以他的名字命名了计算机 领域的最高奖“图灵奖”。
艾伦·图灵（1912－1954）
1.1 计算与计算模型
判定。
1.3图灵机
NP完全问题：
NP类中某些问题的复杂性与整个类的复杂 性相关联，这些问题称为NP完全问题。
可计算性与计算复杂性
可计算性computability 是否可解
复杂性 complexity 解的难易程度
1.4 语言与文法
乔姆斯基最初从产生语言的角度研究语言， L*。
问题：考察一个字符串是否是某个语言的句 子。
计算的图灵机定义：
1936年由Turing给出，定义计算为： 输入—执行过程（有限步内结束）—输出
1946年，冯·诺依曼与宾夕法尼亚大学的工程师 采用电子器件物理实现了图灵的计算模型，建成 了世界的第一台计算机。
现在称计算机的体系结构为冯·诺依曼体系结构。
1.1 计算与计算模型
图灵给出了过程的科学定义，区分了可计算 的问题和不可计算的问题。
1.6 计算逻辑与描述逻辑
科学计算的理论与应用
科学计算的理论与应用随着计算机技术的不断发展和进步，科学计算在现代科学研究中扮演了越来越重要的角色。
科学计算既是研究科学问题的重要工具，也是实现行业应用的必要手段。
本文将围绕科学计算的理论与应用展开探讨。
一、科学计算的基本概念和理论科学计算是一种运用数学模型、计算方法和计算机系统进行问题求解的过程。
其目的在于为科学研究或实际应用提供定量预测、分析、判断的手段，为科学研究和产业发展提供重要的支撑。
科学计算通常包括四个阶段：问题建模、离散化、求解及结果验证。
其中，问题建模是对实际问题的抽象化和数学描述，离散化则将连续问题离散成计算机能处理的离散问题，求解则是应用数值计算方法对离散化后的问题进行计算，最后进行结果验证以确认计算结果的有效性和可靠性。
科学计算的实现离不开数值计算方法的支持。
数值计算方法是将数学模型转化成计算机程序，通过计算机算法求解问题的一种方法。
计算方法可分为两类：一类为解析方法，即通过解方程或逆运算求解；另一类为迭代方法，即通过大量运算寻求数值解。
数值计算方法的应用包括但不限于：求解微分方程、矩阵运算、优化问题及统计分析等。
其中，求解微分方程是科学计算的基石，常用的微分方程求解方法包括Euler法、Runge-Kutta法及有限元法等。
矩阵运算被广泛应用于工程、经济、物理等各个领域。
优化问题则是对各种问题的最优解进行求解，常用的算法包括贪心算法、动态规划算法、线性规划等。
而统计分析则是对大量数据进行分析和处理，常用的方法包括方差分析、回归分析等。
二、科学计算在实际应用中的重要性科学计算在各行各业中都扮演了重要的角色。
例如，在交通运输领域，人们利用科学计算技术研究交通流量、交通事故的成因以及交通规划等方面，为交通安全和交通效率提供保障。
在航空航天领域，人们利用科学计算技术模拟燃烧过程、控制飞行姿态等，确保飞行的顺利进行。
在农业方面，科学计算技术也被广泛应用于农作物生产、气候预测等方面，为农民提供生产保障。
云计算相关理论
云计算相关理论在当今数字化时代，云计算作为一种重要的信息技术，正在引领着全球范围内的数字化转型。
云计算可以帮助企业和个人以更高效、更灵活的方式管理和处理数据。
本文将介绍云计算的相关理论，包括云计算的定义、云计算的基本原理和优势，以及云计算的分类和应用。
一、云计算的定义云计算是一种基于互联网的计算模式，通过互联网将计算资源（包括计算能力、存储和网络设备）提供给用户。
它允许用户通过互联网访问和使用远程的计算资源，而无需购买、维护和管理大量的硬件和软件设备。
云计算的核心理念是资源共享和按需服务。
二、云计算的基本原理1. 虚拟化技术：云计算的基础是虚拟化技术，它将物理资源抽象成为虚拟资源，使得用户可以灵活地利用和管理计算资源。
2. 多租户架构：云计算提供多租户架构，即多个用户共享同一组计算资源，但彼此之间相互隔离，确保用户间的数据安全和隐私保护。
3. 弹性扩展：云计算可以根据用户需求的变化自动扩展或缩减计算资源，提供最优的服务质量和使用成本。
4. 高可用性：云计算通过在多个地理位置部署计算节点和数据备份，实现了高可用性和容灾能力，保证用户的应用和数据不会因单点故障而受到影响。
三、云计算的优势1. 节约成本：云计算以按需付费的方式提供服务，避免了传统IT设备的高额购买和维护成本。
2. 提高效率：云计算通过自动化管理和高度可扩展的架构，提高了资源利用率和工作效率。
3. 灵活性和可扩展性：云计算允许用户根据需求快速扩展或缩减计算资源，实现业务的灵活性和可扩展性。
4. 全球化服务：云计算提供全球范围内的数据中心部署，使得用户可以在任何时间、任何地点访问和使用计算资源。
四、云计算的分类云计算可以根据服务类型和部署模式进行分类。
1. 按照服务类型：- 基础设施即服务（IaaS）：提供基础计算资源，如虚拟机、存储和网络。
- 平台即服务（PaaS）：提供应用程序开发和部署的平台环境。
- 软件即服务（SaaS）：提供完整的应用程序和服务，如电子邮件、在线办公套件。
拱桥计算理论
（4）建模时，根据联合作用的大小，选择主拱或拱圈和拱 上建筑的建模图式。
一、概 述 Introduction
1、联合作用：荷载作用下拱上建筑参与主拱圈共同受力；
（5）主拱圈不计联合作用的计算偏于安全，但拱上结构不 安全，不合理。
（6）梁板式拱上建筑不考虑联合作用，拱式拱上建筑考虑 联合作用。
（7）整体型上承式拱桥必须考虑联合作用。
一、概 述 Introduction
2、活载横向分布：活载作用不论是否在桥面中心， 使主拱截面应力不均匀的现象。
（1）活载横向分布与许多因素有关，主要与桥梁的横向 构造形式有直接关系。
（2）在板拱、箱拱情况下常常不计荷载横向分布，认为 主拱圈全宽均匀承担荷载。
（ Calculation of Arch Bridges ）
一、拱轴线的选择与确定 二、主拱圈结构恒载与使用荷载内力计算 三、主拱附加内力计算 四、主拱在横向水平力及偏心荷载下计算 五、拱上建筑计算 六、连拱作用计算简介 七、拱桥动力及抗震计算要点 八、主拱内力调整 九、考虑几何非线性发主拱内力计算简介 十、主拱圈结构验算
程。
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本方程成为线
性。材料的应力、应变关系满足广义虎克定律；位移是微小的；约束 是理想约束。
只要研究对象不能满足线性问题基本假定中任何一个时，就转化为各
种非线性问题。
一、概 述 Introduction
3、非线性影响考虑
（1）什么是非线性？ Odin说过“ 我们生活在一个非线性世界里”。 线性理论在许多情况下并不适用，开始了对非线性力学问题的研究。 固体力学中有三组基本方程，即：本构方程、几何运动方程和平衡方
计算理论基础知识
计算理论基础知识计算理论是计算机科学的核心领域之一，它研究的是计算过程的本质和限制。
在计算机科学的发展过程中，计算理论提供了重要的理论基础和方法，为计算机科学和技术的发展奠定了坚实的基础。
本文将简要介绍计算理论的基础知识。
一、自动机理论自动机是计算理论中的重要概念之一，它用于描述计算过程的抽象模型。
自动机可以分为有限自动机和非确定性有限自动机等多种类型。
有限自动机是一种最简单的计算模型，它由状态、输入字母表、转换函数和初始状态等组成。
通过状态的转换和输入的驱动，有限自动机可以执行特定的计算任务。
非确定性有限自动机则相对更加复杂，它在进行状态转换时可以有多个可能的选项。
二、形式语言与文法形式语言和文法是计算理论中研究自动机行为规律的重要工具。
形式语言是由符号组成的集合，用于表示计算过程中的输入、输出和中间结果等信息。
文法则定义了形式语言的句子生成规则。
常见的文法类型有上下文无关文法、上下文相关文法等。
形式语言和文法的研究使得我们能够通过规则来描述和分析计算过程，从而更好地理解计算机科学中的一些重要概念和问题。
三、图灵机和可计算性理论图灵机是计算理论中最重要的概念之一，它由一个无限长的纸带和一个读写头组成。
图灵机通过读写头在纸带上的移动和改写来模拟计算过程。
图灵机的提出使得我们能够更深入地研究计算过程的本质和限制。
可计算性理论是计算理论中的一个重要分支，它研究的是什么样的问题可以通过某种计算模型解决。
根据可计算性理论，存在一些问题是不可计算的，即无法用任何计算模型来解决。
四、复杂性理论复杂性理论是计算理论中的另一个重要分支，它研究的是计算问题的复杂度。
复杂性理论主要关注计算问题的难解性和可解性。
常见的复杂性类别有P类、NP类等。
P类问题是可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是可以在多项式时间内验证解的问题。
复杂性理论的研究使得我们能够更好地理解计算问题的本质，从而设计更高效的算法和方法。
五、计算复杂性和可计算性的关系计算复杂性和可计算性是计算理论中两个重要的概念。
计算理论导引总结分章节版
定义概念题目：第三章：1. 图灵机：是一种精确的通用计算机模型，能模拟实际计算机的所有计算行为，它的核心是转移函数δ，它说明了机器如何从一个格局走到下一个格局。
对于图灵机，δ的形式如下：Q×Γ→Q×Γ{L,R},图灵机是一个7元组（Q，∑，Γ，δ，q 0,q accept,q reject）.其中Q，∑，Γ都是有穷集合，并且1）Q是状态集；2）∑是输入字母表，不包括特殊空白符号凵，3）Γ是带字母表，其中凵∈Г，∑∈Г4）δ2. 格局：图灵机的计算过程中，当前状态，当前内容和读写头当前位置组合在一起。
例如：1011q701111：当前状态q7，当前读写头位置在第二个0上。
定义3.2 如果一个语言能被某一个图灵机识别，则称该语言是图灵可识别的（递归可枚举语言）定义3.2 如果一个语言能被某一个图灵机判定，则称该语言是图灵可判定的简称可判定的（递归语言）3.图灵机的变形：多带图灵机、非确定型图灵机、枚举器。
每个4.枚举器：他是图灵机的一种变形，是带有打印机的图灵机，图灵机把打印机当作输出设备，从而可以打印串，每当图灵机想在打印序列中增加一个串时，就把此串送到打印机。
一个语言是图灵可识别的，当且仅当有枚举器枚举它。
5.图灵机的术语：形式化描述，实现描述，高水平描述。
第四章：1.可判定的语言有：（A DFA、A NFA、A REX、E DFA、EQ DFA 是正则语言）、（A CFG、E CFG 是上下无关语言）❶每个上下文无关语言都是可判定的。
2.不可判定的语言有:：EQ CFG、A TM 、停机问题、HALT TM 、E TM、REGULAR TM 、EQ TM 、 E LBA 、ALL CFG 、PCPA TM =｛<M,ω>｜M是TM，ω是串，M接受ω｝是不可判定的。
证明：假设证A TM 是可判定的，下面将由之导出矛盾。
设H是A TM 的判定器。
令M是一个TM，ω是一个串。
《计算理论》
《计算理论》计算理论计算理论是计算机科学的一个重要分支，它研究计算的本质、计算机的局限性、算法的复杂性等问题。
计算理论不仅对计算机科学的理论研究有着重要的贡献，而且对计算机科学的实际应用也有着重要的指导意义。
本文将从计算理论的基础概念、重要方法和应用研究方面分别进行综述。
一、计算理论的基础概念计算理论的基础概念包括自动机、图灵机、可计算性、复杂性等。
1.自动机自动机是一种数学模型，描述一组有限状态与转换规则，它可以接受或拒绝输入的序列。
其种类包括有限自动机、下推自动机、图灵机等，其中图灵机是计算理论中最重要的一种自动机。
2.图灵机图灵机是由英国数学家图灵（Alan Turing）在1936年提出的，它是一种虚拟机器，可以模拟任何其他计算模型的算法，其所能解决的问题可以称之为可计算问题。
图灵机包括状态寄存器、可写磁带、读写头等组成部分，它可以读取磁带上的输入符号，根据规则执行计算，并将结果输出到磁带上。
3.可计算性可计算性是计算理论中的一个基本概念，它指的是能够通过某种计算模型进行计算的问题。
如果一个问题可以被图灵机计算，那么它就具有可计算性。
4.复杂性复杂性是计算理论中的另一个核心概念，它指的是计算的时间和空间复杂度。
时间复杂度指的是算法执行所需的时间，而空间复杂度指的是算法执行所需的空间。
通常通过渐进符号来表示算法的复杂性，如O(n)、O(nlogn)等。
二、计算理论的重要方法计算理论的重要方法包括可计算性理论、复杂性理论、自动机理论等。
1.可计算性理论可计算性理论是研究问题的可计算性的理论。
该理论主要使用图灵机等计算模型来描述问题的可计算性，其重要结论包括：（1）停机问题不可解停机问题是指给定一个程序及其输入，是否可以在有限时间内停止运行。
停机问题不可解意味着不存在一个通用算法，可以判定任意程序是否会在有限时间内停机。
（2）哥德尔不完备定理哥德尔不完备定理指的是，任何形式化的公理化系统都存在某些命题是无法通过该系统来证明的。
2 计算理论与计算模型
22
• 转换函数的另一种表示: 状态
a b c d
(b,1,R) (b,1,R) (c,1,R) (a,0,S)停机
23
[例]做一个以1的个数表示数值的加法运算，在磁带上的数据是： 0011101100 , 就是3+2的意思。 输出结果为0011111000。
•
当前状态-读入-查表-改变状态-写出
36
时间复杂度= (n+1)+ n(n+1)+n2+ n2(n+1)+n3=2n3+3n2+2n+1
算法时间复杂度
• 时间复杂度的表示
–一般情况下，算法中基本操作重复执行的次 数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示。
• T(n)=2n3+3n2+2n+1
37
–若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无 穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的 常数，则称f(n)是T(n)的渐近函数。 –记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n)) 为算法的渐 进时间复杂度，简称时间复杂度。
• 问题的规模与计算复杂性
– 问题的规模，即一个问题的大小。 – 给定一个算法以后，计算大小为n的问题 所需要的时间、空间就可以表示为 n的函 数。
29
问题规模
30
【例】有两个算法A1和A2求解同一问题，时间消耗分别是： T1(n)=100n2，T2(n)=5n3 （1）当输入量n＜20时，有T1(n)＞T2(n)，后者花费的时间较少。 （2）随着问题规模n的增大，两个算法的时间开销之比 100n2/5n3=20/n亦随着增小。即当问题规模较大时，算法A1比算 法A2要有效得多。
计算理论基础
计算理论基础计算理论基础是计算机科学领域的重要理论基础之一。
它研究计算语言和计算模型，旨在理解计算的原理和能力，并解决算法、计算复杂性、自动机理论、形式语言及逻辑等相关问题。
本文将从计算语言、计算模型、算法、计算复杂性和形式语言等方面介绍计算理论基础。
一、计算语言计算语言是计算理论中的重要概念，用于描述计算机程序的形式化语言。
常见的计算语言包括命令式语言（如C、Java）、函数式语言（如Haskell、Lisp）、逻辑式语言（如Prolog）等。
计算语言通常有其独特的语法和语义规则，用于描述计算过程中的基本操作和控制结构。
二、计算模型计算模型是计算理论研究中的另一个重点。
它是对计算过程进行抽象和模拟的数学工具，用于描述计算机的工作原理和能力。
常见的计算模型包括图灵机、有限状态机、形式文法等。
这些模型通过定义状态、转换和输入输出规则，揭示了计算的基本要素和规律。
三、算法算法是计算理论中的核心内容，它描述了解决问题的步骤和方法。
算法涉及到输入、输出和计算过程，是一种能够在有限时间内解决问题的指令序列。
计算理论通过研究算法的性质和效率，寻求解决问题的最优和最快的方法。
四、计算复杂性计算复杂性研究的是计算问题的难度和可解性。
通过分析算法的时间复杂度和空间复杂度，计算理论可以对问题的可解性进行分类和评估。
常见的计算复杂性理论包括P类问题、NP类问题以及NP完全问题。
计算复杂性的研究在计算机科学的算法设计和优化方面具有重要意义。
五、形式语言形式语言是计算理论中用于描述计算语言和自动机理论的工具。
形式语言包括正则语言、上下文无关语言和上下文敏感语言等。
通过使用形式语言，计算理论可以描述和分析计算语言的结构和特性，并为计算模型的研究提供基础。
综上所述，计算理论基础涉及到计算语言、计算模型、算法、计算复杂性和形式语言等方面的研究。
它对计算机科学的理论发展和实践应用具有重要意义，为我们理解计算的本质和规律提供了基础。
计算机科学中的计算理论
计算机科学中的计算理论计算理论是计算机科学中的一门重要学科，它研究计算过程和计算机的本质，涉及到算法、自动机、形式语言、复杂性理论等方面。
计算理论的发展和研究影响了计算机科学的发展和应用，为计算机科学的发展提供了理论基础和支撑。
一、基本概念1. 计算：计算是指一切机器可以完成的信息处理活动，包括数据的采集、传输、存储和加工等过程。
计算理论关注的是这些信息处理活动本质上的规则和方法。
2. 计算机：计算机是一种能够按照预定程序自动进行算术或逻辑运算、处理和存储大量数据的电子设备。
计算机在现代社会中扮演着重要的角色，广泛应用于各个领域。
3. 算法：算法是指计算问题求解的一系列步骤或规则。
算法可以是手工的，也可以是自动计算机程序的形式，是计算理论中的重要基础。
4. 自动机：自动机是指在给定输入和状态下的状态转移系统。
自动机在计算机科学中有广泛的应用，包括正则表达式、文法、语言的描述和识别等方面。
5. 形式语言：形式语言是为了精确地描述计算问题而设计的一种语言。
形式语言通常是通过符号和规则来描述的，是计算机科学中的核心内容之一。
二、研究方向1. 算法算法是计算理论中的基础，研究算法可以帮助我们更好地理解计算过程和计算机的本质。
算法的分析和设计是算法研究的核心内容，其目的是寻找效率高、正确性保证的算法。
常见的算法有排序算法、查找算法、最短路径算法等。
2. 自动机自动机是计算机科学中的重要工具，它可以用来描述计算问题、语言和文法。
自动机理论是计算机科学、通信工程、电路设计等领域的基础知识，是计算机自动化技术的核心之一。
3. 形式语言形式语言是形式化描述计算问题的一种语言，包括正则语言、上下文无关语言、上下文敏感语言等。
形式语言理论是计算机科学中的重要分支，它在编译器设计、自然语言处理、计算机安全等领域有广泛的应用。
4. 复杂性理论复杂性理论是计算理论中的一个重要分支，主要研究计算问题的复杂度和可解性。
复杂性理论的目标是确定计算问题的最优算法，进而推导出计算问题的难度。
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蚁群觅食原理
蚂蚁从蚁穴出发觅食，可沿AC找到食物，也可沿ABC找到，如右图。 每个蚂蚁找到食物后沿原路返回，并在路上留下外激素。
什么是计算
--从工匠到设计师 • 计算机械化与现代化
计算技术发展：个人的才智与技能-大众技能-计算工具 -自动化-现代化 早期工具：算筹-算盘-计算尺-手摇计算机（早期发报机） 现代工具：电子计算机（器）-超级计算机-网络 无处不在的计算：计算网格与云计算-物联网与普适计算
• 计算模型-万变不离其中
• 自然计算方法
演化计算、蚁群算法、粒子群优化方法、人工免 疫系统、模糊计算
蚁群算法概述
• 受蚂蚁觅食行为的的启发，90年代Dorigo提出蚁群优化算法 (Ant Colony Optimization，ACO)求解TSP问题
• 设计虚拟的“蚂蚁”，摸索不同路线，并留下会随时间挥发 的虚拟“信息素”
• 从自然与社会系统中获得灵感
如蚂蚁算法、禁忌搜索和粒子群优化方法，模糊计算及模糊 系统、粗造集及其系统
相互关系
计算智能与人工智能的界限并非十分明显，1992年Bezdek给出了一 个有趣的关系图，其中 NN—神经网络，PR—模式识别，I—智能 • A－Artificial， 表示人工的（非生物的），即人造的 • B－Biological， 表示物理的＋化学的＋（？？）＝生物的 • C－Computational， 表示数学＋计算机
创造智能工具的理论基础
现代启发式计算-回归自然
• 自下而上的研究思路
传统人工智能研究思路是自上而下，现代智能计算方法强调 通过计算实现生物内在的智能行为，也称为计算智能
• 从简单到复杂的演化进程
智能的获得不是一蹴而就，是渐进式的积累过程，简单中孕 育复杂，平凡中蕴含智慧
• 在传统学科中寻找算法
如生命科学（遗传算法）、物理学（模拟退火算法）和化学 （DNA计算）等
数值计算问题求解 计算方法
• 从逻辑到计算
古希腊哲学家和数学家发展逻辑学和逻辑演绎方法 十九世纪数理逻辑问世将逻辑与计算联系起来 通过计算进行逻辑演绎，通过逻辑推理实现计算-符号运算 非数值计算问题求解 组合优化方法
什么是计算
--不只是工匠
• 算法与计算
欧几里得
算法（Algorithm)一词来源于古阿拉伯一本数学名著的书名， 指的是一种计算过程—问题的求解过程，具有如下性质：
• 根据“信息素较浓，则路径更短”的原则，每只蚂蚁每次随 机选择要走的路径，但倾向于信息素比较浓的路径
• 算法利用了正反馈机制，使得较短的路径能够有较大的机会 得到选择
• ACO已成功用于解决其他组合优化问题 图的着色(Graph Coloring)问题 最短超串(Shortest Common Supersequence)问题 网络路由问题
内容提要
• 什么是计算 • 什么是计算理论 • 计算理论的核心问题 • 计算理论的主要内容 • 计算理论的地位和作用 • 现代问题求解方法 • 展望
什么是计算
--两类典型的计算问题
• 从计数到计算
实算物筹-计运数算-技屈巧指（计古数代-结中绳国刘计称徽数术-）刻符-算计术数祖（-冲整发之数明运数算字）-数亚 多制里德数士系
理论基础和方法之本 • 多学科交叉的纽带，新兴学科方向的拐点
现代问题求解方法
—源于复杂性
复杂问题求解
实际 应用领域 的需求
复杂系统
面临困境 与挑战
复杂信息处理
信息时代的呼唤
•工业时代
能量资源-创造动力的工具获得能量
•物理学、化学
创造动力工具的理论基础
•信息时代
信息资源-创造智能的工具获得智能
•智能计算理论
歌德尔
算法求解问题的能力与图灵机一样
单机与超级计算机等价
• 可计算性理论
可判定性 可判定性的定义（图灵机） 有不可判定的问题吗？ -停机问题 -怎样证明 怎样证明其他问题的不可判定性？ -可归约性方法
可计算性理论的数学背景 -不可计算的根源
康托 罗素
• 计算复杂性理论
时间复杂性及其定义 P与NP理论
ABC的关系图 计算智能是一种智力方式的低层认知，传统人工智能 是中层认知，中层系统含有知识，当一个智能计算系 统以非数值方式加上知识值，则为人工智能系统
自然计算
• 自然计算的含义
学习、运用自然规律，模拟自然系统乃至社会系 统的演变过程的智能计算方法，借鉴自然科学学 科的原理和理论进行问题的求解方法
相 • 计算模型及其计算能力
相Hale Waihona Puke 互辅关 • 问题是否可解-可计算性 相
联 • 问题是否难解-计算复杂性 成
计算理论的主要内容
• 丘奇-图灵论题
图灵
图灵-图灵机（TM）
丘奇-λ演算—递归函数论
算法可计算函数都是递归函数，也是图灵机可计算 函数，可称为计算公理—从直观到严格的数学定义
从计算能力考查—
各计算模型是等价的 图灵机的各种变形是等价的
斯蒂芬 库克
-P类问题与NP类问题的定义（图灵机）
NP完全理论
-NP完全问题的定义
-库克（Cook）定理及其证明（1971）
-库克定理的意义、可归约性方法
空间复杂性及其定义
难解性与层次定理-问题难度的分类与层次
• 复杂性理论高级专题
近似算法
-局部搜索法 -概率算法 -现代启发式算法 -自然与演化计算方法
（1）通用性-适用于某类问题的求解
（2）能行性-有明确的求解步骤
（3）确定性-每个步骤都是机械的、明确的，无歧义
（4）有穷性-对某些输入在有限步内结束，并给出结果
（5）离散性-输入输出是离散的符号（数字和字母）
问题的求解是计算，求解算法中的每个步骤是计算
计算的过程是算法，算法又由计算步骤构成 计算的目的由算法实现，算法的执行由计算完成
复杂性的应用
-密码学（难的妙用） -密钥 -公钥密码系统 -单向函数 -天窗函数
计算理论的地位和作用
• 计算机学科的基石 • 令人着迷、引人入胜的领域 • 受到优秀的数学家、哲学家、逻辑学家和物
理学家等的青睐 • 起源于上世纪30年代，成型于70年代，现在
依然充满活力 • 计算机科学领域其他学科和方向的思想源泉、
图灵机-跳不出的如来佛手心 递归函数-以有穷构造无穷的必由之路 λ演算-严格的函数运算 乔姆斯基范型-语言与文法 计算机（物化的计算模型）、算法与高级语言
什么是计算理论
问题求解
计算复杂性理论
问题描述
问题模型
是
否
可解？
可计算性理论
计算模型、算法、 程序、复杂性
计算理论
问题特征、分类 不可解证明
计算理论的核心问题