一次函数的应用

一次函数的应用

教学设计

考点一次函数的应用

1．建模思想：解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函数的图像与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．

2. —次函数的最大(小)值：一次函数y= kx+ b(k z0)自变量x的

取值范围是全体实数，图像是直线，因此没有最大值与最小值．

3. 实际问题中的一次函数自变量的取值范围一般受到限制，其图像可能是线段或射线，根据函数图像的性质，就存在最大值或最小值.

常见类型：(1)、求一次函数的表达式.

(2) 、利用一次函数的图像与性质解决某些问题，如最值等.

探究一利用一次函数进行方案选择

命题角度：

1. 求一次函数的表达式，利用一次函数的性质求最大或最小值；

2. 利用一次函数进行方案选择.

例1 [2013 •襄阳]某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x> 2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A， B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为 3 元，目前两家超市同时在做促销活动：

A 超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；

B 超市：买一副羽毛球拍送2 个羽毛球．

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B(元).请解答下列问题：

(1) 分别写出y和y与x之间的关系式；

(2) 若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

(3) 若每副球拍配15 个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

解析：(1)可根据题意，直接写出y A和y B与x之间的关系式；

(2) 在第(1)题的基础上，分类讨论，得到对应的自变量的取值范

围；

(3) 题需在(2)题的基础上再次分类讨论，特别需要提醒的是，这里不再限制“只在一家超市购买”，所以，要考虑到 B 超市免费送羽毛球的情况，经过计算、比较，得到结果．

解：(1)y A = 27x + 270, 汨 30x + 240.

(2) 当y A= y B时，27x + 270= 30x + 240,解得x= 10;

当y A>y B时，27X + 270>30x + 240,解得x v 10;

当y A v y B时，27x + 270v30x + 240,解得x> 10.

•••当2 10时，到A超市购买划算.

(3) v x= 15> 10,

•••①选择在A超市购买，y A = 27X15 + 270 = 675(元);

②可先在 B 超市购买10 副羽毛球拍,送20个羽毛球,再在 A 超市购买剩下的羽毛球，则共需费用：10X 30+ (10X 15- 20)x 3X 0.9 = 651(元)．

v 651v 675,

•最省钱的购买方案：先在 B 超市购买10副羽毛球拍,再在 A 超市购买130个羽毛球．

探究二利用一次函数解决资源收费问题

命题角度：

1 ．利用一次函数解决个税收取问题；

2．利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题

例2 [2013衡阳]为响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的阶梯电价，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如图12- 1所示，请根据图像回答下列问题：

(1) __________________________________ 当用电量是180千瓦时时，电费是 _______________________________ 兀；

⑵第二档的用电量范围是 ____________ ;

(3) “基本电价”是______ 元/千瓦时；

⑷小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦

时？

图12- 1

解析：(1)(2)均可观察图像得到；⑶基本电价=108勻80;⑷利用待定系数法求出BC的函数表达式，将函数值328.5代入到所求的函数表

180450540电量(千瓦时)

达式中即可求得自变量.

解：(1)108

⑵大于180千瓦时小于或等于450千瓦时

(3)0.6

⑷因为328.5>283.5,所以他家本月用电量超过450千瓦时，设

BC 的函数表达式为y= kx+b,将(450, 283.5), (540, 364.5)代入,

283.5=450k + b,

得解得k= 0.9, b=—121.5,

364.5= 540k + b,

所以直线BC的函数表达式为y= 0.9x—121.5,

将y= 328.5 代入，得328.5= 0.9x—121.5,解得x= 500.

所以小明家本月用电500千瓦时.

变式题、为促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图12 —2中折线反映了每户居民每月用电电费y(元)与用电量x(千瓦时)间的函数关系.

(1) 根据图像，阶梯电价方案分为三个档次，请填写下表:

（2）小明家某月用电120千瓦时，需交电费______ ;

⑶求第二档每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数表达式;

（4）在每月用电量超过230千瓦时时，每多用1千瓦时要比第二档多

付电费m元，小刚家某月用电290千瓦时交纳电费153元，求m的值. 解析：（1）利用函数图像可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利

用横坐标可得出第二档、第三档中x的取值范围；

⑵根据第一档范围是O v x< 140,利用图像上点的坐标得出函数表达式，进而得出x= 120时y的值；

⑶设第二档每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数表达式为y= kx+b,将（140, 63）, （230, 108）代入求出k, b的值即可；

⑷分别求出第二、三档每度电的费用，进而得出m的值即可.

解：（1）填表如下: