上海交大 理论力学 期末复习

Φ (q, t ) = 0 ∈ R
s×1
Φ ∈R
T q
3 n× s
λ = (λ 1 L λ s )
T
2012年2月27日 2 理论力学CAI 分析力学基础
刚体拉格朗日第一类方程
解题步骤： 解题步骤： B1 , L, B N 组成的刚体系统， （1） 对于由 ） 组成的刚体系统，总体广义坐标为
q = [x1 y1 φ1 L x N y N φ N ] T
2012年2月27日 8 理论力学CAI 分析力学基础
达朗贝尔原理
质点系达朗贝尔原理
外力系与达朗贝尔惯性力系构成平衡力系
平衡方程 力系主矢
n r r r Fk + ∑Fk* = 0 ∑ n
力系对点O 力系对点 的主矩
n r r r r* r ∑MO Fk + ∑MO Fk = 0 k =1 k =1
2004期末考试的 题 期末考试的1-3题 期末考试的
2012年2月27日 15 理论力学CAI 分析力学基础
（2） 写出系统的用广义坐标表示的运动学约束方程。写出 ） 写出系统的用广义坐标表示的运动学约束方程。写出JACOBI阵 阵 和加速度约束方程的右项 γ 引入拉格朗日乘子阵λ (3) 引入拉格朗日乘子阵λ （4） 写出系统的增广质量阵和增广主动力阵 ）
0 0 0 0 m1 0 0 m1 0 0 0 0 0 0 J C1 0 0 0 M = O 0 0 0 mN 0 0 0 0 0 0 mN 0 2012年2月27日 0 0 0 0 0 J CN
例题： 例题：例8.5-4, 8.5-5
2012年2月27日 理论力学CAI 分析力学基础
作业： 作业：8-23, 8-25
7
虚位移原理
具有双侧理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为 具有双侧理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件为： 充分必要条件 系统内所有主动力 所有主动力对于质点系的任意虚位移所作的元功之 系统内所有主动力对于质点系的任意虚位移所作的元功之 和为零， 和为零，即 n r
(5) 受约束刚体系动力学（封闭）数学模型 受约束刚体系动力学（封闭）
T ˆ Z Φq q F a && = Φq 0 λ γ
例题： 例题：例9.1-1,9.1- 3 作业： 作业：8-31
2012年2月27日 4 理论力学CAI 分析力学基础
主矢
对质心C的主矩 对质心 的主矩
F = −maCx = −m&&C x F = −maCy = −m&&C y & M = −JCzω = −JCzα
* x * y * Cz
• 刚体作平面运动，刚体上给定点的加速度公式 刚体作平面运动，
r r r r r r r aP = aC + α × ρP + ω × (ω × ρP )
& ∂qi
2012年2月27日 6 理论力学CAI 分析力学基础
6)对于微幅振动问题，如果自由度为 ， 6)对于微幅振动问题，如果自由度为1，利用近似式 对于微幅振动问题 将微分方程化简为类似于 的振动方程 振动方程 圆频率为 ω n =
k m
cos q ≈ 1
， sin
q≈q
&& ， mq + kq = 0
期末复习提纲
拉格朗日第一类方程
• 质点系
带拉格朗日乘子的质点系动力学方程 T q
&& mq +Φ λ = F
T T n
拉格朗日第一类方程 a
aT T n
q= r
(
T 1
r
T 2
L r
)
F = F
a
(
aT 1
F
aT 2
L F
)
m = diag(m1 , m 2 ,L, m n )
m k = diag(mk , mk , mk )
k =1 n
( )
k =1
( )
2012年2月27日 9 理论力学CAI 分析力学基础
分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法
• 刚体达朗贝尔原理 • 平面运动刚体的达朗贝尔原理
r z
rn MC
r* MC
rn F
C
M +M +M =0
a C n C * C
r a r n r* r F +F +F =0 r r r r
例题： 例题：例3.5-6，8.1-3, 8.1-5 ， 作业： ， ， 作业：8-2，8-3，8-6,8-9
会求纯滚动刚性圆盘质心的加速度、 例3.5-6: 会求纯滚动刚性圆盘质心的加速度、圆盘圆周上的点的加速度 及刚体的角加速度
2012年2月27日 13 理论力学CAI 分析力学基础
碰撞
• 定轴转动的碰撞问题
理论力学CAI 分析力学基础
Φq
F1 x F1 y F1φ a F = M F Nx F Ny F Nφ
3
F 其中， 关于质心的转动惯量， 其中，J C i (i = 1, L , N ) 为B i 关于质心的转动惯量， F ix ， iy ， 分别为作用在 B i 上的主动力力元的主矢在绝对基X，Y方向的分 上的主动力力元的主矢在绝对基 ， 方向的分 上的主动力偶，力元关于质心的主矩。 量，F i φ 为作用在 B i 上的主动力偶，力元关于质心的主矩。
2012年2月27日 理论力学CAI 分析力学基础
• 刚体定轴转动
点P的加速度 的加速度
r r r aP = aα P + aωP
刚体绕基点作定轴转动时， 刚体绕基点作定轴转动时，刚体上任意点的绝对加速度等于该点的切 向加速度与向心加速度的矢量和
r 注意题中给出的无初速度开始运动的条件 aωP = 0
k =1
2012年2月27日
& & myC − myC 0 = ∑ I yk
k =1
k =1 n
• 注意对多刚体系统碰撞问题，可能需要拆开分析， 注意对多刚体系统碰撞问题，可能需要拆开分析， 注意补充速度约束方程
14 理论力学CAI 分析力学基础
例题： 例题：例7.3-1，7.3- 3 ， 作业： 作业：7-17，7-20，7-22 ， ，
理论力学CAIwenku.baidu.com分析力学基础
3) 写出系统的势能V，用独立广义坐标表示。 写出系统的势能 ， 用独立广义坐标表示 。 写出拉格朗日函数 L=T-V 假定重力场和弹性力场的零势能面，求重力和线弹性力的功。V=Di 假定重力场和弹性力场的零势能面，求重力和线弹性力的功。 W d ∂L ∂L − = 0, i = 1, L, n 4) 写出第二类拉格朗日方程。对于有势系统，拉格朗日方程为 写出第二类拉格朗日方程。对于有势系统，
2π = 2π m / k ωn
周期为 T =
• 给定点 的速度 给定点P • 动点P的速度 动点 的速度
r r r r vP = vC + ω × ρP
r r r re vP = vP + vP
动点P 动点 的绝对速度为该点相对动基的相对速度与它对应的 牵连点P’随动基的牵连速度之矢量和 牵连点 随动基的牵连速度之矢量和 • 求速度用到余弦定理
(
)
对于平面运动刚体
1 1 & &C i 2 + yC i 2 + J Cφ i 2 & Ti = m x 2 2
用独立广义坐标表示
5
(
)
描述平面运动刚体动能的柯尼希定理(6.4-5) (6.4-6) 见p212 描述平面运动刚体动能的柯尼希定理 将动能相加，根据运动学约束关系， 将动能相加，根据运动学约束关系，将 x C i , y C i 从而系统的动能用独立的广义速度表示。 ，从而系统的动能用独立的广义速度表示。 2012年2月27日
2012年2月27日 11 理论力学CAI 分析力学基础
• 一般平面运动刚体上给定点 的加速度 一般平面运动刚体上给定点P
re re aαP aωP r r r r 点的牵连加速度 点的牵连加速度 ae = ae + ae + ae r P rt P αP ωP
点的加速度 点的加速度
r r r r r r r a P = aC + α × ρ P + ω × (ω × ρ P )
& dt ∂qi ∂qi
d ∂L ∂L = Qi′, i = 1, L, n & − 对于无势系统， ∂q ∂q 对于无势系统，拉格朗日方程为 dt i i
Qi′为无势广义力，可以通过虚功得到 为无势广义力，
5)对于有势系统，如果L不显含时间 对于定常约束，T+V=C；如果 对于有势系统，如果 不显含时间 对于定常约束， 不显含时间t, 对于有势系统 ；如果L ∂L 不显含 qi，广义动量守恒 广义动量守恒 =C
r δW = ∑ F ⋅ δrk = 0
k =1 a k
元功δ 称为虚功，故虚位移原理也称为虚功原理 称为虚功 元功δW称为虚功，故虚位移原理也称为虚功原理 讨论质点系平衡，优点：直接给出了主动力之间的关 讨论质点系平衡，优点： 系而无需顾及理想约束力 例题8.2-2，8.2-3，8.2-4 ， 例题 ， 坐标法与速度法求坐标与广义坐标虚位移之间的关系 坐标法与速度法求坐标与广义坐标虚位移之间的关系 作业： 题中角60度改为一般情况 度改为一般情况φ 作业：8-10(a) (b) 题中角 度改为一般情况φ， 8-13
re at P
aP = a
r
e P
固结在刚体上任意给定点的绝对加速度等于该点因刚体的一般运动而引 起的牵连加速度
• 刚体作平动
r r r ω =0 α =0
点P的加速度 的加速度
r r aP = aC
12
刚体作平动时， 刚体作平动时，任何瞬时刚体上任意点的绝对加速度与基点的绝对 加速度一致。 加速度一致。
r* F
惯性力 系主矢
ra rn F +F
主动力 与理想 约束力 主矢
ra rn MC + MC
主动力与 理想约束 力对质心 C的主矩 的主矩
r* MC
惯性力 对质心 C的主 的主 矩
O r x
r* F
ra F
ra MC
r y
2012年2月27日 10 理论力学CAI 分析力学基础
• 平面运动刚体惯性力的简化
ra JOzωτ − JOzω0 = ∑MOz (I k )
n k =1
刚体碰撞前后对该轴动量矩的改变等于主动碰撞力的冲 量对该轴的矩之和 • 刚体平面运动碰撞前后的动量与动量矩的变化
mvC − mvC0 = ∑Ik
k =1
n
& & mxC − mxC 0 = ∑ I xk
n
n
r JCz ωτ − JCz ω0 = ∑MCz (Ik )
拉格朗日第二类方程
解题步骤： 解题步骤： 分析系统的自由度， 1) 分析系统的自由度，选取独立的广义坐标
q1 , L , q n
写出系统的动能T。先写出物体B 的动能。 2) 写出系统的动能 。先写出物体 i的动能。 1 1 2 & 2 & 2 T 对于平动刚体 i = m xCi + yCi = mvCi 2 2 见p211 平移刚体的动能 （6.4-2) 1 &2 Ti = J Oφi 对于定轴转动刚体， 对于定轴转动刚体， 2 见p211 定轴转动刚体的动能 （6.4-3)